建筑力学3轴向拉伸和压缩DOC

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第3章 轴向拉伸和压缩

一、基本要求

１．熟练掌握截面法求轴力，绘轴力图。 ２．掌握轴向拉、压杆的强度计算。

３．熟练掌握轴向拉、压时的胡克定律及变形、位移计算。 ４．了解弹性模量Ｅ、泊松系数μ。 ５．了解材料力学性能的主要指标。 ６．熟练掌握一次超静定杆系的求解。

７．掌握“用切线代替圆弧”法求简单珩架节点位移的方法。

的力学模型（图１）受力特点 件轴线重合。

变形特点 ２．内力

定义 在外力作用下，杆件内部各部分之间的相互作用力。根据连续性假设，内力是连续分布于截面上的分布力系。分布力系的合力（或合力偶）简称为内力。

轴力 轴向拉压时，杆件横截面上分布力系的合力的作用线与杆件轴线重合，故称为轴力。用符号Ｎ表示，单位为牛顿（Ｎ）。拉力为正，压力为负。

轴力图 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。 ３．应力

定义 杆件截面上某点处分布内力的集度称为该点处的应力P 。 正应力 垂直于截面的应力分量，用符号σ表示。 剪应力 切于截面的应力分量，用符号τ表示。 １）拉压杆横截面上的应力

拉压杆横截面上只有正应力σ，且为均匀分布，其计算公式为

式中Ｎ为该截面的轴力，Ａ为横截面的面积。

A N =

σ

106 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 ２）拉压杆斜截面上的应力（如图２）

拉压杆任意斜截面（α面）上的应力为均匀分布，其计算公式为 全应力 p α＝σcos α

正应力 σα

＝σcos2α

剪应力

τ

α

=

正负号规定：

α

负。

ασ 拉应力为正，压应力为负。

ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。

４、材料的力学性能 １）胡克定律：σ＝Ｅε

２）弹性极限σe 、比例极限σp 、屈服极限σs 和强度极限σb 。 ３）延伸率δ、断面伸缩率ψ。 ５、拉压杆的强度条件

式中[σ]为杆件材料的许用应力，

塑性材料：

脆性材料：

其中n s ，n b 称为安全系数。

６、拉压杆件的变形计算 １）变形

杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短（如图３）；受到轴向压力

ｂ

ｂ

n σ

σ=][S

S

n σ

σ=][[]

σσ≤=A

N

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时，轴向缩短，横向伸长。

轴向绝对变形：l l =∆1轴向线应变：l

l ∆=

ε 横向绝对变形：b =∆横向线应变：b

b ∆=

'ε ２）胡克定律的第二种形式：EA

l =

∆ ＥＡ称为杆件的抗拉压刚度。

对于Ｎ或Ａ沿杆轴线ｘ变化的拉压杆件，其轴向变形应分段计算后再求代数和，或按积分计算（当Ｎ与Ａ随轴线ｘ连续变化时）：

７、轴向拉伸或压缩的变形能

杆件在外力作用下因变形而存储的能量，称为变形能。 在线弹性范围内，杆件轴向拉伸或压缩时的变形能为：

变形比能 杆件单位体积内储存的变形能。 轴向拉压时的弹性变形比能为：

８、拉压超静定问题

在拉压杆件结构中，当未知约束力数多于独立的平衡方程数时，称为超静定问题。

求解超静定问题需要综合静力平衡方程、变形协调方程和物理方程。一般步骤如下：

（１） 分析结构的约束力数和独立平衡方程数，确定超静定次数； （２） 根据结构的约束条件作出变形位移图，建立变形协调方程； （３） 根据物理条件，即变形与力的关系，将杆件变形用载荷及未知约束力表示，并代入变形协调方程，得到补充方程，与静力平衡方程联立

()()

⎰

=∆l x EA dx x N l EA l N l P U 2212

=∆=σεμ2

1=

解之。

三、典型例题分析

例１如图所示，一变截面圆钢杆ABCD。已知Ｐ1=20kN，P2=35kN，P3=35kN，L1=L3=300mm，L2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，弹性模量E=210GPa。试求：

1．I-I，II-II，及III-III截面上的轴力，并作AD杆的轴力图；

2．杆的最大正应力σmax；

3．B截面的轴向位移u B及AD杆的伸长ΔL AD；

解：１．求轴力及画轴力图

用截面法分别在I-I、II-II及III-III截面处将杆件截开，保留右边部分，截面处都加正方向的轴力N1-1、N2-2及N3-3。图b分别表示三个保留部分的受力图。由轴向静力平衡条件，分别可求得：

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MPa 8.176max =σ其中“－”号的轴力表示压力。显然N 1-1、N 2-2、N 3-3分别表示了AB 、

BC 、CD 段杆内任意截面上的轴力，因此其轴力图如图C 所示。

２．求最大正应力σmax

可见最大正应力发生在AB 段，即

３．B 截面的轴向位移u B 及AD 杆的伸长ΔL AD

例２ 刚性梁ＡＢＣ由圆杆ＣＤ悬挂在Ｃ点，Ｂ端作用集中载荷Ｐ＝25kN ，已知ＣＤ杆的直径d ＝20mm ，许用应力［σ］＝160MPa ，试校核ＣＤ杆的强度，并求：

１．结构的许用载荷［Ｐ］；

２．若Ｐ＝50kN ，设计ＣＤ杆的直径d 。

kN

50kN 15kN 20321332122111-=--=-=-===---P P P N P P N P N MPa 8.176Pa 108.1764

)1012(102062

3311=⨯=⨯⨯⨯==--πσAB AB

A N A

B 段：MPa 5.110Pa 105.1104

)

1024(105062

3333-=⨯-=⨯⨯⨯-==--πσCD CD

A N CD 段：m

1047.0mm

3.0m 100.310)58.142.1(m 1058.14

)

1024(102103

.01050m 1042.14

)

1016(102104

.01015m 1053.24

)

1012(102103.010*******

39333342

3932224

2

393111------------⨯-=∆+∆+∆=∆∴-=⨯-=⨯--=∆+∆=∴⨯-=⨯⨯⨯

⨯⨯⨯-==∆⨯-=⨯⨯⨯

⨯⨯⨯-==∆⨯=⨯⨯⨯

⨯⨯⨯==∆CD BC AB AD CD BC B CD CD BC BC AB

AB l l l l l l EA l N l CD EA l N l BC EA l N l AB μπππ段：段：段：