直线与圆锥曲线有关向量的问题

直线圆锥曲线有关向量的问题
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知识要点：
1．直线与圆锥曲线的公共点的情况
00
),(0
2=++⇒⎩⎨
⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 →0
,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交
（3）两个公共点 →0,0>∆≠A
2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：2
121221
11AB k
x x y y k
=+-=+
- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容
（1）给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数
；③若存在实数
,等于已知
三点共线.
（6）给出
，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7）给出,等于已知
,即
是直角,给出,等于
已知
是钝角, 给出
,等于已知
是锐角。

（8）给出,等于已知是的平分线。

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;
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主要题型：
1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；
4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。

近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为
（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

特别提醒：∆法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。

高考真题
1.[2012·上海卷]若n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果
用反三角函数值表示)．．arctan2[解析]考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．
由已知可得直线的斜率k ×1
－2
＝－1，∴k ＝2，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan2.
2.[2012·重庆卷]如图1－3，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 24的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．
解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．
因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c
2
.结合c 2＝a 2－b 2
得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝2
5
5.
在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故
S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c
2
·b ＝b 2.
由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为：
x 220＋y 2
4
＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.
设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此
y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16
m 2＋5，
又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →
＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16
＝－16m 2－64m 2＋5
，
由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →
＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0. 3 [2012·湖北卷]设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x
轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，
可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m
|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m 2＝1(m ＞0，且m ≠1)． 因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－
1－m 2，0)，(
1－m 2，0)；
当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－
m 2－1)，(0，
m 2－1)．
(2)方法1：如图(2)、(3)，对任意的k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直
线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2
＝0.
依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得
－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1
m 2＋4k 2.
于是PQ →
＝(－2x 1，－2kx 1)，
PH →
＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2
x 1m 2＋4k 2.
而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝4(2－m 2)k 2x 2
1m 2＋4k 2
＝0，即2－m
2＝0，又m ＞0，得m ＝2， 故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2
＋y 2＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .
方法2：如图(2)、(3)，对任意x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．
因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2
，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 2
2)＝0.③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0.于是由③式可得
(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)
＝－m 2.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2
x 1＋x 2.
于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－m 2
2
.
而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 2
2＝－1，又m ＞0，得m ＝2，
故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2
＋y 22
＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .
4大纲文数 [2011·全国卷] 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：x 2
＋y 2
2
＝1在y 轴正半轴上的焦点，过F 且
图1－4
斜率为－2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA →＋OB →＋OP →
＝0. (1)证明：点P 在C 上；
(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．
【解答】 (1)证明：F (0,1)，l 的方程为y ＝－2x ＋1，代入x 2＋y 22
＝1并化简得 4x 2－22x －1＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，
则x 1＝2－64，x 2＝2＋6
4，
x 1＋x 2＝2
2
，y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋2＝1，
由题意得x 3＝－(x 1＋x 2)＝－2
2，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1.
所以点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫－2
2，－1.
经验证，点P 的坐标⎝⎛⎭
⎫－22，－1满足方程x 2
＋y 22＝1，故点P 在椭圆C 上．
(2)证明：由P ⎝⎛⎭⎫－22，－1和题设知Q ⎝⎛⎭
⎫2
2，1，PQ 的垂直平分线l 1的方程为y ＝－22x .①
设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭
⎫24，1
2，AB 的垂直平分线l 2的方程为y ＝22x ＋14.②
由①、②得l 1、l 2的交点为N ⎝⎛⎭⎫－28，1
8.
|NP |＝⎝⎛⎭⎫－22
＋2
82＋⎝⎛⎭⎫－1－182＝3118， |AB |＝1＋(－2)2·|x 2－x 1|＝32
2
，
|AM |＝324
，
|MN |＝⎝⎛⎭⎫24
＋2
82＋⎝⎛⎭⎫12－182＝338，
|NA |＝|AM |2＋|MN |2＝311
8
，
故|NP |＝|NA |.
又|NP |＝|NQ |，|NA |＝|NB |， 所以|NA |＝|NP |＝|NB |＝|NQ |，
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上．
5[2012·福建卷]如图椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝1
2
，过F 1的直线
交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明
理由．
解：解法一：
(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，
所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝1
2，所以c ＝1，
所以b ＝
a 2－c 2＝ 3.
故椭圆E 的方程是x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由错误!得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.
因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)
此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m .由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝kx ＋m 得Q (4,4k ＋m )．
假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．
设M (x 1,0)，则MP →·MQ →
＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立．
因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m
－x 1，3m ，MQ →
＝(4－x 1,4k ＋m )， 由MP →·MQ →
＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m
＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)k
m ＋x 21
－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，
解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .
解法二：(1)同解法一．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，
得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.
因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)
此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m .由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝kx ＋m ，
得Q (4,4k ＋m )．
假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．
取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，
交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－1
2
，m ＝2，
此时P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －342＝4516， 交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．
以下证明M (1,0)就是满足条件的点：
因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m
－1，3m ，MQ →
＝(3,4k ＋m )， 从而MP →·MQ →
＝－12k m －3＋12k m
＋3＝0，
故恒有MP →⊥MQ →
，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .
突破重难点
例1．过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB •=，则点P 的轨迹方程是（ D ）
A ．22331(0,0)2x y x y +
=>> B ．223
31(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．223
31(0,0)2
x y x y +=>>
例2．已知椭圆C 1：x 24
＋y 2
＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →
，求直线AB 的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2
4
＝1(a >2)，
其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4
＝1.
(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，
由OB →＝2OA →
及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝4
1＋4k 2
， 将y ＝kx 代入y 216＋x 2
4＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，
所以x 2B ＝164＋k 2
，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2
A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线A
B 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →
及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24＋y 2
＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，
所以x 2A ＝41＋4k 2
，由OB →＝2OA →
， 得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 2
1＋4k 2
，
将x 2B ，y 2
B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k
2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
例3.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线y2＝2x 相交于A 、B 两点．
（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2
=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于 点A(3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；
当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，
由22(3)
y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22
x y x y ==，
∴2121212121()34
•=+=+=OA OB x x y y y y y y ，
综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么⋅=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2
=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题
是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(2
1
,1)，此时•OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)
不在直线AB 上；
说明：由抛物线y 2
=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足⋅=3，
可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2， 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
例4已知A,B 为抛物线x 2
=2py (p >0)上异于原点的两点，0OA OB ⋅=，点C 坐标为（0，2p ）
（1）求证：A,B,C 三点共线；
（2）若AM ＝λ（R ∈λ）且0OM AB ⋅=试求点M 的轨迹方程。

（1）证明：设22
1212(,),(,)22x x A x B x p p
， 由0OA OB ⋅=得22
21212120,422x x x x x x p p p
+
=∴=-， 又
222
121121(,2),(,)22x x x AC x p AB x x p p
-=--=-
222
211121(2)()022x x x x p x x p p -∴-⋅--⋅-=，
//AC AB ∴，即A,B,C 三点共线。

（2）由（1）知直线AB 过定点C ，又由0OM AB ⋅=及＝λ（R ∈λ）知OM ⊥AB ，垂足为M ，
所以点M 的轨迹为以OC 为直径的圆，除去坐标原点。

即点M 的轨迹方程为x 2+(y-p )2=p 2
(x ≠0，y ≠0)。

例5椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，| PF 1|=34，| PF 2|=3
14
.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若直线l 过圆x 2+y 2
+4x -2y =0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。

解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt△PF 1F 2中，,522
1
2221=-=
PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而b 2
=a 2
－c 2
=4, 所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1.
(Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.
由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得
（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2
+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称. 所以
.29491822
221-=++-=+k k
k x x 解得9
8
=k ，
所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492121=+y x ① ,14
92
222=+y x ② 由①－②得 .04
)
)((9))((21212121
=+-++-y y y y x x x x ③ 因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2,
代入③得
2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9
8，
所以直线l 的方程为y －1＝9
8
（x +2），
即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
例6设F 1、F 2分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
解：（Ⅰ）解法一：
易知2,1,a b c ===，
所以(
))
12
,F F ，设(),P x y ，
则(
))
2212,,
,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()22
21
133844
x x x =+--=-
因为[]2,2x ∈-，故当x=0，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值-2 当x=±2，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF
⋅有最大值1 解法二：易知2,1,a b
c ===
())
12
,F F ，设(),P x y ，则
2
2
2
1212
1212121212
cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅
⋅
(
(2
2
2
2221
1232x y x y x y ⎡⎤=+++-=+-⎢
⎥⎣⎦
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，
联立22
2
1
4
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
∴12122
2
43,114
4
k x x x x k k +=-
⋅=
+
+
由()2
2
14434304k k k ⎛⎫∆=-+
⨯=-> ⎪
⎝
⎭
得：k <
k > 又0
0090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>
又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2223841144k k k k -=++++22
1
14
k k -+=+
∵
2223
1
01144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<<
故由①、②得2k -<<
2k << 例7已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P.
（Ⅰ）设P 点的坐标为00(,)x y ，证明：22
00132
x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值。

（Ⅰ）证明:
椭圆的半焦距1c =
=，
由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22
001x y +=，
所以，222200001132222
x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，
代入椭圆方程22
132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则：2122632k x x k +=-+，212236
32k x x k -=+，
12BD x x =-==；
因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1
k
-
．
所以，2211132k AC k
⎫+⎪
⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)96
2(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+=••==++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
≥． 当k 2
=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD 的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S=4．
综上，四边形ABCD 的面积的最小值为
9625
． 例8已知函数y kx =与2
2(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是
22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．
（I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．
解：（I ）由方程2
2
y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得2
20x kx -+=． ···· ① 依题意，该方程有两个正实根，故212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，
，
解得k >
（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，
由2
112y x =+，并令0y =，得11
1
2x t x =
-
1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <，、故
212828
k k x k k --==
+-，22k >，1x 是关于k 的减函数，所以1x 的取值范围是(02)，．t 是关于1x 的增函数，定义域为(02)，，所以值域为()-∞，0，
（III ）当12x x <时，由（II ）可知11
1
2x OM t x ==-
+． 类似可得2212x ON x =
-．121212
2x x x x OM ON x x ++-=-+． 由①可知122x x =．从而0OM ON -=．
当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =． ★★★自我提升
1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，
其中α,β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( D )
A ． 3x +2y -11=0
B ．(x -1)2+(y -2)2
=5 C ． 2x-y =0 D ． x +2y -5=0
2、已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)2(, b =j y i x ++)2(,且满足|a
|+|b |=4.
则点P (x ,y )的轨迹是.(C)
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．线段
D ．射线
3、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为2
1，则椭圆方程为(C )
222222222222A. 1 B.1 C. 1 D.12575752525757525
x y x y x y x y +=+=+=+=
4、直线y=kx +1与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，则m 的取值范围是（A ）. A 、m≥1且m≠5 B、m≥1 C、m≠5 D、m≤5
5、已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(, b =j y i x ++)3(,且满足|a
|-|b |=2.
则点P (x ,y )的轨迹C 的方程为__________.( 2
2
1(0)2
y x x -=<).
5．[2012·许昌一模]设F 1、F 2分别是双曲线x 2－
y 29
＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→
|＝( )
A ．22B.10C ．42D ．210
5．D[解析] 根据已知△PF 1F 2是直角三角形，向量PF 1→＋PF 2→＝2PO →
，根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半即可求出.PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2→
|＝210.
6．已知A 、B 为抛物线x 2
=2py (p>0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D ，则①y 轴上恒存在一点K ，使得0=•KF KA ；②0=•DF CF ；③存在实数λ使得 AO AD λ=；④若线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，有0=•AB FT 。

中说法正确的为-___________①②③④
7.已知椭圆2
212
x y +=，过P(1,0)作直线l ，使得l 与该椭圆交于
A
P
Q F
O
x
y
A,B 两点，l 与y 轴的交点为Q ，且AQ PB =，求直线l 的方程。

解：直线l 过P(1,0)，故可设方程为y=k (x-1)，因为AQ PB =，所以AB 的中点与PQ 的中点重合.
由2
212(1)
x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2(k 2
-1)=0所以22412A B k x x k +=+，又x P +x Q =1故22
4112k k =+得22k =±，所求的直线方程为2
(1)2
y x =±
-。

8．[2012·瑞安质检] 设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2
a 2－2
与x 轴交于点A ，若
OF 1→＋2AF 1→
＝0(其中O 为坐标原点)．
(1)求椭圆M 的方程；
(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF →的最大值．
解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0，
由OF 1→＋2AF 1→＝0，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2.解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)解法1：设圆N ：x 2＋(y －2)2
＝1的圆心为N ， 则PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1.
设P (x 0，y 0)是椭圆M 上一点，则x 206＋y 2
02
＝1，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2
＋12. 因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →
的最大值为11.
解法2：设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝－x 1，
y 2＝4－y 1.可得
PE →·PF →＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(x 1－x 0)(－x 1－x 0)＋(y 1－y 0)(4－y 1－y 0) ＝x 20－x 21＋y 20－y 21＋4y 1－4y 0＝x 20＋y 20－4y 0－(x 21＋y 21－4y 1
)． 因为点E 在圆N 上，所以x 21＋(y 1－2)2＝1，即x 21＋y 2
1－4y 1＝－3.
又因为点P 在椭圆M 上，所以x 206＋y 20
2
＝1，
即x 20＝6－3y 20.所以PE →·PF →＝－2y 20－4y 0＋9＝－2(y 0＋1)2
＋11.
因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，(PE →·PF →
)min ＝11.
9.设椭圆C ：)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C
于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ， 且PQ AP 58=
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：
053=-+y x 相切，求椭圆C 的方程.
解：⑴设Q （x 0，0），由F （-c ，0）
A （0，b ）知
),(),,(0b x b c -==
c b x b cx AQ FA 2
02
0,0,=
=-∴⊥
设PQ AP y x P 58),,(11=由，得
21185
,1313b x y b
c == 因为点P 在椭圆上，所以1)135
()138(22222=+b b a c b
整理得2b 2=3ac ，即2（a 2－c 2
）=3ac ，22320e e +-=,
故椭圆的离心率e ＝1
2
⑵由⑴知
a c a c a c
b a
c b 21
2123
3222
====，得又
；
，得，
于是F （－12
a ，0）， Q )0,23
(a
△AQF 的外接圆圆心为（21
a ，0），半径r=1
2
|FQ|=a
所以a a =-2|521
|，解得a=2，∴c=1，b=3，
所求椭圆方程为1342
2=+y x。