4.3解直角三角形及其应用课件湘教版
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湘教版九年级上4.3解直角三角形课件
A. 1 2
解
B.
2 2
C. 1
D. 2
∵∠α是等腰直角三角形的一个锐角，
∴∠α=45°， ∴ tanα= tan45°=1. 故选C.
中考 试题
例3
如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ A ） A. 1 B. 2 C. -3 D.-1. 2 2
解
由相似三角形对应角相等，得 ∠E=∠B=60°，所以 cosE =1 2 . 故选A.
A
议一议
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2 个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边？
C
B
议议），就可以求出其余的3个未知元素.
解直角三角形:在直角三角形中，由已知 元素求未知元素的过程．
例1
如图，在 Rt△ABC 中， C 90, A 30 ,
a=5， 解直角△ABC.
已知在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，sinA = 3 ， 则tanB的值为（ A ） A.4
5
3
B. 4
5
C. 5 4
D. 3
4
解
Rt△ABC中，∠C=90°，∵
3 sinA= 5 ,
∴ 可设a=3k，c=5k，b=4k，
b =4 . ∴ tanB = a 3
故选A.
中考 试题
例2
如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则tanα的值是（C ）
练习
1. 在Rt△ABC中， C 90, B 45 ,b=3cm， 求a，c 的长度. 答： a = 3 cm，
c = 3 2 cm.
3. 在Rt△ABC中，C 90, A 30, c=16cm， 求a，b的长度.
解
B.
2 2
C. 1
D. 2
∵∠α是等腰直角三角形的一个锐角，
∴∠α=45°， ∴ tanα= tan45°=1. 故选C.
中考 试题
例3
如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ A ） A. 1 B. 2 C. -3 D.-1. 2 2
解
由相似三角形对应角相等，得 ∠E=∠B=60°，所以 cosE =1 2 . 故选A.
A
议一议
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2 个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边？
C
B
议议），就可以求出其余的3个未知元素.
解直角三角形:在直角三角形中，由已知 元素求未知元素的过程．
例1
如图，在 Rt△ABC 中， C 90, A 30 ,
a=5， 解直角△ABC.
已知在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，sinA = 3 ， 则tanB的值为（ A ） A.4
5
3
B. 4
5
C. 5 4
D. 3
4
解
Rt△ABC中，∠C=90°，∵
3 sinA= 5 ,
∴ 可设a=3k，c=5k，b=4k，
b =4 . ∴ tanB = a 3
故选A.
中考 试题
例2
如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则tanα的值是（C ）
练习
1. 在Rt△ABC中， C 90, B 45 ,b=3cm， 求a，c 的长度. 答： a = 3 cm，
c = 3 2 cm.
3. 在Rt△ABC中，C 90, A 30, c=16cm， 求a，b的长度.
湘教版-数学-九年级上册 4.3解直角三角形 优秀课件
（4）一个锐角为 40 ，斜边长为3cm；
（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm； 通过对以上这些问题的探讨，你们得到了 什么结论？
【概念引入】
既然我们已经知道确定一个直角三角形的条件， 那么我们又如何依据这个条件求出该直角三角形 未知的边和角呢？
1.解直角三角形的概念：
在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边 和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一 个是边），就可以利用边角关系求出其余的3个 未知元素，这叫做 解直角三角形。
2，解直角三角形的基本类型（已知两边或已知
一边一锐角）
Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a,b,c
已知
选择的边角关系
斜边和一直 角边
c,a
两直角边 a,b
斜边和一锐 c,
角
∠A
一直角边 a, 和一锐角 ∠A
【典例分析 】
例1，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, ∠A ＝30°，a=5，求∠B，b，c
【教学目标】
1.理解解直角三角形的概念。
2.掌握直角三角形边角关系,会运用勾股定理, 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形。
【知识回顾】
1．如图，解直角三角形的公式：
A
（1）三边关系：_a_2_+_b_2_=_c_2______．
No b
c
（2）角角关系：∠A+∠B＝___9_0_°
2 . 如何运用勾股定理,直角三角形的两锐角互余 及锐角三角函数解直角三角形。
【课后作业】
请大家完成教科书第120页A组1，2题
B
C
A
例2，在Rt△ABC中，∠C＝90°, a=15，b= 5 3
（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm； 通过对以上这些问题的探讨，你们得到了 什么结论？
【概念引入】
既然我们已经知道确定一个直角三角形的条件， 那么我们又如何依据这个条件求出该直角三角形 未知的边和角呢？
1.解直角三角形的概念：
在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边 和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一 个是边），就可以利用边角关系求出其余的3个 未知元素，这叫做 解直角三角形。
2，解直角三角形的基本类型（已知两边或已知
一边一锐角）
Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a,b,c
已知
选择的边角关系
斜边和一直 角边
c,a
两直角边 a,b
斜边和一锐 c,
角
∠A
一直角边 a, 和一锐角 ∠A
【典例分析 】
例1，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, ∠A ＝30°，a=5，求∠B，b，c
【教学目标】
1.理解解直角三角形的概念。
2.掌握直角三角形边角关系,会运用勾股定理, 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形。
【知识回顾】
1．如图，解直角三角形的公式：
A
（1）三边关系：_a_2_+_b_2_=_c_2______．
No b
c
（2）角角关系：∠A+∠B＝___9_0_°
2 . 如何运用勾股定理,直角三角形的两锐角互余 及锐角三角函数解直角三角形。
【课后作业】
请大家完成教科书第120页A组1，2题
B
C
A
例2，在Rt△ABC中，∠C＝90°, a=15，b= 5 3
湘教版九年级数学上册《解直角三角形》课件
［归纳］（1）三边之间的关系：a2+b2＝c2．（勾股定理）
（2）两个锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°．
（3）边和锐角之间的关系：sinA= A的对边 ，
斜边
cosA＝ A的邻边 ，
斜边
tanA＝ A的对边 ．
邻边
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
在直角三角形中：
1.三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理).
2.锐角之间关系：∠A+∠B=90°.
3.边角之间关系
2
正弦函数：sinA=
A的对边 .
斜边
余弦函数：cosA= A的邻边 .
斜边
正切函数：tanA= A的对边 .
邻边
以上三点是解直角三角形的依据，熟知后运用.
1．直角三角形的边角关系图4-3-1 ［说一说］如图4-3-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别记作a，b，c， （1）直角三角形三边之间有什么关系？ （2）直角三角形的两个锐角之间有什么关系？ （3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
第四章 锐角三角函数
4.3 解角三角形． 三角函数在解直角三角形中的应用．
一、创设情境，导入新课
导语一 在直角三角形中，共有三条边、三个角(六
2
个元素)，你能根据所学谈谈它们之间的关系吗?
教师提出问题，引导学生思考、然后小组内讨论，
回答.
导语二 教师根据学生的回答归纳.
湘教版-数学-九年级上册 4.3解直角三角形 教学课件
2 ≈1.41， 3 ≈1.73）
【巩固提升1】
1、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， cosA＝3，BE＝2，求tan∠DBE的值。
5
D
C
A
B
E
【巩固提升2】 2、草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而 且屡败屡试，永不言弃。如图，一天，灰太狼
在自家城堡顶部A处观察羊羊们时，发现懒羊 羊在大树底下睡觉，此时，测得懒羊羊所在地
3、算式 2cos30 tan 45 1 tan 602
的值是 0
。
4、在平面直角坐标系中，有一点P（P在第二
象限），OP＝8，OP与x轴的正半轴的夹角为
135°，则P点坐标为 4 2 ，4 2
。
【典例剖析1】
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的 对边分别是a、b，已知a＝10，b＝ 10 3 ， 求∠A、∠B的大小。
【教学目标】
1、深刻理解三角函数的概念，会在直角三角 形中求某一个角的三角函数值；
2、熟练掌握30°，45°，60°角的三角函数 值，并会进行有关计算；
3、能运用锐角三角函数解直角三角形； 4、会运用解直角三角形的知识解决简单的实
际问题。
【有关概念】
正弦：sinA ＝
A的对边 斜边
余弦：cosA＝
B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测 得B处的俯角为30°，已知AC＝40米，若灰太 狼以5m/s的速度从城堡底部D出发，几秒钟后 能抓到懒羊羊？
（结果精确到个位。）
【课堂小结】
【当堂测试1】
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝16， b＝ 16 3 ，则∠A＝ 30°，∠B＝ 60°。
*已知锐角三角函数求特殊角 *用计算器进行有关计算
【巩固提升1】
1、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， cosA＝3，BE＝2，求tan∠DBE的值。
5
D
C
A
B
E
【巩固提升2】 2、草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而 且屡败屡试，永不言弃。如图，一天，灰太狼
在自家城堡顶部A处观察羊羊们时，发现懒羊 羊在大树底下睡觉，此时，测得懒羊羊所在地
3、算式 2cos30 tan 45 1 tan 602
的值是 0
。
4、在平面直角坐标系中，有一点P（P在第二
象限），OP＝8，OP与x轴的正半轴的夹角为
135°，则P点坐标为 4 2 ，4 2
。
【典例剖析1】
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的 对边分别是a、b，已知a＝10，b＝ 10 3 ， 求∠A、∠B的大小。
【教学目标】
1、深刻理解三角函数的概念，会在直角三角 形中求某一个角的三角函数值；
2、熟练掌握30°，45°，60°角的三角函数 值，并会进行有关计算；
3、能运用锐角三角函数解直角三角形； 4、会运用解直角三角形的知识解决简单的实
际问题。
【有关概念】
正弦：sinA ＝
A的对边 斜边
余弦：cosA＝
B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测 得B处的俯角为30°，已知AC＝40米，若灰太 狼以5m/s的速度从城堡底部D出发，几秒钟后 能抓到懒羊羊？
（结果精确到个位。）
【课堂小结】
【当堂测试1】
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝16， b＝ 16 3 ，则∠A＝ 30°，∠B＝ 60°。
*已知锐角三角函数求特殊角 *用计算器进行有关计算
湘教版九年级上册4.3 解直角三角形的应用 (2) (共13张PPT)
你还可以用其 他方法求出BC 吗？
从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向 线之间的水平夹角，叫方位角。
北 北偏东 西 南 东
方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航 空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都 广泛使用。
例2 如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在 A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到 达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在 灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行 是否安全？ C 北
A C
∴AC=100(m)，PB = 289(m)，BC = 231(m) 小亮一共划了620米
B
7 、某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥 所报告：A船说 B船在它的正东方向， C船在它的北 偏东55°方向；B船说C船在它的北偏西35°方向； C船说它到A船的距离比它到 B船的距离远 40km. 求 A，B两船的距离（结果精确到0.1km）. 解 由图易知∠ACB =90°，即△ABC为直角三角形.
60°
该船能继续安全地 向东航行．
1、如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比 是 1： √3 ，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的 长度是 100m 。
2、一段河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，试根据下图中的数据求出 坡角α和坝底宽AD．（单位是米， B 4 C i=1:√3 结果保留根号） α=30° AD=4+0=84 m3
1、什么是坡比？方位角？ 2、东北方向指北偏东多少度？ 3.说说利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般 过程是什么？
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去 解直角三角形； （3）得到数学问题的答案,从而得到实际问题的答案. 作业：P129练习 A 1、 2 B
从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向 线之间的水平夹角，叫方位角。
北 北偏东 西 南 东
方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航 空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都 广泛使用。
例2 如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在 A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到 达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在 灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行 是否安全？ C 北
A C
∴AC=100(m)，PB = 289(m)，BC = 231(m) 小亮一共划了620米
B
7 、某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥 所报告：A船说 B船在它的正东方向， C船在它的北 偏东55°方向；B船说C船在它的北偏西35°方向； C船说它到A船的距离比它到 B船的距离远 40km. 求 A，B两船的距离（结果精确到0.1km）. 解 由图易知∠ACB =90°，即△ABC为直角三角形.
60°
该船能继续安全地 向东航行．
1、如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比 是 1： √3 ，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的 长度是 100m 。
2、一段河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，试根据下图中的数据求出 坡角α和坝底宽AD．（单位是米， B 4 C i=1:√3 结果保留根号） α=30° AD=4+0=84 m3
1、什么是坡比？方位角？ 2、东北方向指北偏东多少度？ 3.说说利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般 过程是什么？
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去 解直角三角形； （3）得到数学问题的答案,从而得到实际问题的答案. 作业：P129练习 A 1、 2 B
湘教版九年级数学 4.3 解直角三角形(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
例2 [母题 教材 P123 练习 T2 ]根据下面的条件，解直角
三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3 ，b＝2.
解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择 适合的关系式求解.
感悟新知
解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°， a＝2 3，b＝2，∴ c＝ a2＋b2＝ 12＋4＝4. ∵ tan A＝ab＝223＝3 ，∴∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°
知2－练
感悟新知
2-1.根据下面的条件解直角三角形：在 Rt △ ABC 中，知2－练 ∠ C=90 ° ， a=20，c=20 2 . 解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°， ∵a＝20，c＝20 2， ∴b＝ c2－a2＝ 800－400＝20. ∵sinA＝ac＝20202＝ 22， ∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.
知2－练
∴
AD=
1 2
AC=1，∴
CD=
AC 2 － AD 2=
22 － 12=
3.
在 Rt △ ADB 中， ∠ B ＝ 45° ， AD ＝ 1，
∴ BD ＝ AD ＝ 1，∴ BC ＝ BD+CD ＝ 1+ 3 ． 答案：C
感悟新知
知2－练
4-1. [ 期中·济南槐荫区 ] 如图， △ ABC 是边长 为 6 的等
第四章 锐角三角函数
4.3 解直角三角形
学习目标
1 课时讲解 解直角三角形的定义
直角三角形中的边角关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 解直角三角形的定义
新湘教版九年级数学上册《解直角三角形》精品课件
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
A
议一议
C
B
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2
个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边？
议议），就可以求出其余的3个未知元素.
解直角三角形:在直角三角形中，由已知 元素求未知元素的过程．
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
例1 如图，在 Rt△ABC 中， C 9 0 , A 3 0 ,
a=5， 解直角△ABC.
解 B 9 0 - A 9 0 - 3 0 6 0 .
中考 试题
例3
如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ A ）
A.
1 2
B. 2 2
C. -3
D.-1.
解 由相似三角形对应角相等，得
∠E=∠B=60°，所以 cosE =
1 2
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
A
议一议
C
B
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2
个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边？
议议），就可以求出其余的3个未知元素.
解直角三角形:在直角三角形中，由已知 元素求未知元素的过程．
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
例1 如图，在 Rt△ABC 中， C 9 0 , A 3 0 ,
a=5， 解直角△ABC.
解 B 9 0 - A 9 0 - 3 0 6 0 .
中考 试题
例3
如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ A ）
A.
1 2
B. 2 2
C. -3
D.-1.
解 由相似三角形对应角相等，得
∠E=∠B=60°，所以 cosE =
1 2
湘教版九年级上册4.3《解直角三角形及其应用》课件
2019年11月30日10时40
分
1.两锐角之间的关系: B
∠A+ ∠ B=90°
解
直 角 三 角
2.三边之间的关系:
a2+b2=2
C
A
正弦函数：sin
A
A的对边 斜边
形
3.边角之 间的关系
余弦函数：cos
A
A的邻边 斜边
正切函数：tan
A
A的对边 A的邻边
布置作业：
P120 A 组 T1、T2、
直角三角形中的边角关系
1、三边之间的关系：
B
a2 b2 c2 (勾股定理） a
c
2、两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90°
C
b
A
3、边角之间的关系：
sin A cos B a , c
tan A a 1 , b tan B
sin B cos A b , c
2019年11月30日10时40
解 c a2 b2 15.602 8.502 17.77cm.
a 15.60
B
由于 tan A
1.835,
c
b 8.50
a
A 6125.
C
A
b
从而 B 90 6125 2835.
互教互学
2019年11月30日10时40 分
思考：1、在例1中，求b还有 其它方法吗？
2、已知“①已知一边一角，② 已知两边”怎样解直解三角形？
巩固练习
2019年11月30日10时40 分
1、在Rt ABC中，C＝90, B＝45 , b＝3cm,求A, a,c的值。
4[1].3 解直角三角形及其应用1湘教版
![4[1].3 解直角三角形及其应用1湘教版](https://img.taocdn.com/s3/m/b08b1a25192e45361066f5b1.png)
从而
答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.
图4-26
例1
如图4-27，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船 的北偏东 6 0 的方向，轮船从B处向正东方向行驶 2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向.求C处 与灯塔A的距离(精确到1m).
答： A C
= 2 4 0 0 ta n 6 0 = 4 1 5 7 (m ) .
i h l
图4-30
坡度通常写成 1 : m 的形式． 图4-30中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角). 显然，坡度等于坡角的正切. 坡度越大，山坡越陡.
图4-30
例6 如图4-30， 一山坡的坡度 i = 1:1.8，小刚 从山坡脚下点P上坡走了24m到达点N，他上升了 多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多少度 (精确到1′)？
图4-26
解:
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
AC=28.5+1.5=30(m)， B A C = 9 0 - 1 5 = 7 5
由于BC是∠BAC的对边，AC是邻边，
因此
ta n 7 5 = B C = B C . AC 30
B C = 3 0 ta n 7 5 1 1 2 ( m ) .
角 sin = 的对边
, , .
其中∠A可以换成∠B.
图4-35
例3 如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸 成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸 的距离.
?
图4-25
解: 从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此
湘教版九年级数学上册课件4.3解直角三角形第1课时
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You made my day!
我们，还在路上……
2．用解直角三角形知识解决垂直面内的实际问题 ［做一做］如图4-3-6甲，在高为28.5 m的楼顶平台D处， 用仪器测得一路灯电线杆底部B的俯角为14°2′，仪器高度AD 为1.5 m，求这根电线杆与这座楼的距离BC（精确到1 m）．
［分析］(1)怎样利用从点A看点B的俯角14°2′这个条件？
怎样把实际问题转化为数学模型？
第四章 锐角三角函数
4.3 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角与解直角三角行
（1）灵活地运用三角函数关系式解直角三角形． （2）理解仰角、俯角、方向角等意义，能根据实际问 题构建直角三角形的数学模型．
运用解直角三角形的方法解决实际问题，学会“能将实际问 题转化为数学问题——解直角三角形”的方法．
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午12时36分22.4.1300:36April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三12时36分17秒00:36:1713 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(2)Rt△ABC中，已知边是哪一条？求的是哪一条边？
解：如图4-3-6（乙），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝
28.5+1.5＝30（m），∠BAC=90°-14°2′=75°58′， ∵tan75°58′= BC = BC ，
AC 30
∴BC＝30×tan75°58′≈120（m）.
答：这根电线杆与这座楼的距离约为120m.
解直角三角形应用题的基本思路：从图形中找出已知条件 和所要求的边或角的直角三角形，把问题转化为解某个直角三 角形.
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2．用解直角三角形知识解决垂直面内的实际问题 ［做一做］如图4-3-6甲，在高为28.5 m的楼顶平台D处， 用仪器测得一路灯电线杆底部B的俯角为14°2′，仪器高度AD 为1.5 m，求这根电线杆与这座楼的距离BC（精确到1 m）．
［分析］(1)怎样利用从点A看点B的俯角14°2′这个条件？
怎样把实际问题转化为数学模型？
第四章 锐角三角函数
4.3 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角与解直角三角行
（1）灵活地运用三角函数关系式解直角三角形． （2）理解仰角、俯角、方向角等意义，能根据实际问 题构建直角三角形的数学模型．
运用解直角三角形的方法解决实际问题，学会“能将实际问 题转化为数学问题——解直角三角形”的方法．
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午12时36分22.4.1300:36April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三12时36分17秒00:36:1713 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(2)Rt△ABC中，已知边是哪一条？求的是哪一条边？
解：如图4-3-6（乙），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝
28.5+1.5＝30（m），∠BAC=90°-14°2′=75°58′， ∵tan75°58′= BC = BC ，
AC 30
∴BC＝30×tan75°58′≈120（m）.
答：这根电线杆与这座楼的距离约为120m.
解直角三角形应用题的基本思路：从图形中找出已知条件 和所要求的边或角的直角三角形，把问题转化为解某个直角三 角形.
4.3 解直角三角形及其应用 第1课时湘教版
4.3
解直角三角形及其应用
第1课时
B c
a
A ┌
b
C
1、体会锐角三角函数在解决问题中的作用；
2、能够把实际问题转化为数学问题，发展数学应用意 识和解决问题的能力．
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ B c2 (1) 三边之间的关系：a2+b2=_____ 90° (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____
规律方法：在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，
本书除特别说明外, 到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； 边长保留四个有效数字，角度精确
（2）已知一条边和一个锐角
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，
B
cosA=
3 4
6 ,则AC的长是_______ C A
2.（2010·常德中考）在Rt△ABC中，若AC=2BC，则sinA 的值是（
A. 1 2
C ）
B.2
C. 5 5 D. 5 2
3、（2010•常德中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=
4 5
则tanB为（
4 3
B
3 4
）
3 5 D. 4 5
A
A.
B.
C.
4．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4，cosB= 4
由cosA b c ， 得
A
b=c·cosA=30×0.7420=22.26
由sinA a c ， 得
a=c·sinA=30×0.6704=20.112
1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º， BC＝20米，则树高AB＝ 精确到0.1米） 【解析】 由tanC 米（用计算器计算，结果
解直角三角形及其应用
第1课时
B c
a
A ┌
b
C
1、体会锐角三角函数在解决问题中的作用；
2、能够把实际问题转化为数学问题，发展数学应用意 识和解决问题的能力．
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ B c2 (1) 三边之间的关系：a2+b2=_____ 90° (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____
规律方法：在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，
本书除特别说明外, 到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； 边长保留四个有效数字，角度精确
（2）已知一条边和一个锐角
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，
B
cosA=
3 4
6 ,则AC的长是_______ C A
2.（2010·常德中考）在Rt△ABC中，若AC=2BC，则sinA 的值是（
A. 1 2
C ）
B.2
C. 5 5 D. 5 2
3、（2010•常德中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=
4 5
则tanB为（
4 3
B
3 4
）
3 5 D. 4 5
A
A.
B.
C.
4．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4，cosB= 4
由cosA b c ， 得
A
b=c·cosA=30×0.7420=22.26
由sinA a c ， 得
a=c·sinA=30×0.6704=20.112
1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º， BC＝20米，则树高AB＝ 精确到0.1米） 【解析】 由tanC 米（用计算器计算，结果
4.4 解直角三角形的应用 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册
BD＝BC－DC＝
AC·ta1nα
－
1 tanβ
，
AG＝AC＋CG＝
AC＋BE
课堂新授
续表
图形
关系式
BC＝BD＋DC ＝AD·
ቆ1 ＋ tanα 1 ቇ
tanβ
图形
关系式
BC＝BE＋EF＋CF ＝BE＋AD＋CF＝
AD＋h· 1＋1 tanα tanβ
课堂新授
特别提醒 1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，
感悟新知
在 Rt△ BCQ 中，∠BQC＝45°， ∴∠QBC＝45°＝∠BQC，∴CQ＝BC＝225 m. ∴PC＝PQ＋CQ＝425 m. 在 Rt△ PCA 中，tan∠APC＝tan15°＝APCC＝4A2C5≈0.27， ∴AC≈114.75 m. ∴AB＝BC－AC≈225－114.75＝110.25(m)≈110 m. ∴奇楼 AB 的高度约为 110 m.
∴ BF＝BC·si授
在Rt△AFB中，∵∠A＝30°，
∴ AB＝2BF＝200 2 m.
计算结果必须根据
又∵ AD＝18 2 m，BE＝32 2 m， 题目要求进行保留.
∴ DE＝AB－AD－BE＝200 2－18 2－32 2＝150 2(m)，
1. 仰角和俯角的定义： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方
的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角.
课堂新授
特别提醒 ◆仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置
的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”. ◆实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形
中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.
∵ 150 2÷10=15 2≈ 21.3(m)，
(课件1)4.3解直角三角形及其应用1湘教版
2 2 2
（２）直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90º .
C
b
A
（３）直角三角形边与锐角之间有什么关系？
sin A
tan A
A 的对边
斜边 A 的对边
A 的邻边
.
cos A
A 的邻边 斜边
.
．
根据下列每一组条件，能画出多少个直角 三角形（全等的直角三角形算一个）？
做一做
考虑
如果知道的2个元素都是角， 能求出直角三角形的边吗？
例 题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90º ， ∠A =30º ，a=5,求∠B 、b、 c。
B
c
a
解 B 90 A 90 30 60
又 tan B
b a
,
C 3 A
b
b a tan B 5 tan 60 5 sin A c a sin A a c 5 sin 30 5 1 2 10
田心中学 邓日善
B c
在直角三角形中，除 了直角外还有哪些边 角元素？
a
C
b
A
（1）∠A，∠B （2）a ，b, c
如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90º ∠A 、 ， 说一说 ∠B 、∠C 的对边分别记作a、 b、c．
B （1）直角三角形三边之间有什么关系？
a c
勾股定理
a b c .
２．如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90º ， 例 a=15.6cm，b=8.50cm, 求c 、∠A、 ∠B 题 (长度精确到0.01cm，角度精确到1')．
解
c
a b 15.60 8.50 17.77 cm .
（２）直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90º .
C
b
A
（３）直角三角形边与锐角之间有什么关系？
sin A
tan A
A 的对边
斜边 A 的对边
A 的邻边
.
cos A
A 的邻边 斜边
.
．
根据下列每一组条件，能画出多少个直角 三角形（全等的直角三角形算一个）？
做一做
考虑
如果知道的2个元素都是角， 能求出直角三角形的边吗？
例 题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90º ， ∠A =30º ，a=5,求∠B 、b、 c。
B
c
a
解 B 90 A 90 30 60
又 tan B
b a
,
C 3 A
b
b a tan B 5 tan 60 5 sin A c a sin A a c 5 sin 30 5 1 2 10
田心中学 邓日善
B c
在直角三角形中，除 了直角外还有哪些边 角元素？
a
C
b
A
（1）∠A，∠B （2）a ，b, c
如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90º ∠A 、 ， 说一说 ∠B 、∠C 的对边分别记作a、 b、c．
B （1）直角三角形三边之间有什么关系？
a c
勾股定理
a b c .
２．如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90º ， 例 a=15.6cm，b=8.50cm, 求c 、∠A、 ∠B 题 (长度精确到0.01cm，角度精确到1')．
解
c
a b 15.60 8.50 17.77 cm .
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2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知 识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理 运用.
1.两锐角之间的关系:
A+B=90°
解 直 角 三 角 形
2.三边之间的关系:
B
a +b =c
2
2
2
3.边角之间 的关系
A的对边 正弦函数： A sin 斜边 A的邻边 余弦函数： A cos 斜边 A的对边 正切函数： A tan A的邻边 A的邻边 余切函数： A cot A的对边
C
A
再
见
See you next time !
解直角三角形应用
授课教师 赵小益
1 3 2 2 1.计算： sin 30 sin 60 t an30 2- 3 cos 60 1 2.计算： 1 sin 60 t an30
(1)直角三角形的三边有什么关系?
a 2 b2 c 2 (勾股定理 )
(2)直角三形的锐角之间有什么关系?
回顾与小结：
• 与同学交流，谈谈你在本节课中学到哪些 知识？
小结
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中 没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用 的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实 际问题化归为直角三角形中的边角关系.
(4)面积公式 S ABC
1 1 ab ch 2 2
例3 如图，在△ABC中，∠A=45° ， ∠B=30°，BC=8 ，求 ∠ACB及AC、AB的长。
C
解：过C作CD⊥AB于D点。 在Rt △BCD中，∠B=30°， BC=8 ∴CD=4.
A 45° D 30° B
cos30
BD 3 ,即BD BC cos30 8 4 3. BC 2 在Rt △ACD中， ∠A=45 °， ∴AD=CD=4
解直角三角形的依据
在Rt△ABC中，若∠C=90°， ∠A 、 ∠B 、 ∠C所对的边分别 为a 、b 、c ，AB边上的高为h (1) 三边间的关系:a2+b2=c2(勾股定理) (2) 锐角间的关系:∠A+ ∠B=90° (3) 边角间的关系:
a ; cos A c b sin B ; cos B c sin A b ; t an A c a ; t an B c a ; cot A b b ; cot B a b ; a a . b
A B 90
(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系?
sin A
A的对边 斜边 A的对边 t an A A的邻边
A的邻边 斜边 A的邻边 cot A A的对边 cos A
想一想Βιβλιοθήκη 抽 象在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道 其中的2个元素(至少有一个是边），求出其余的3个元素的过程叫做解直 角三角形。
AC 4 2 AB AD BD 4 4 3 , ACB 180 45 30
如图，我军某部在一次野外训练中， 有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚 和山顶的水平距离为1000米，山高为565 米．如果这辆坦克能够爬30０的斜坡，试 问：它能不能通过这座小山?
例 题
例1，如图，在直角形ABC中， 。 ∠C=90 ,∠A=30 ,求∠B,b,c.
B
a
A
c b A
C
例 题
解c
a 2 b2
15.602 8.50 2 17.77(cm)
a 15.60 由于 t an A 1.8353 , b 8.50 因此 A 61 25 从而 B 90 61 25 2835