浅谈解析几何中的函数思想
几何图形中函数思想总结
几何图形中函数思想总结函数思想在几何图形中的应用是数学中的一个重要领域。
通过函数思想，我们可以给几何图形赋予更多的数学分析和推理能力，从而更好地理解和解决几何问题。
下面对几何图形中函数思想的应用进行总结。
首先，函数思想可以用来定义几何图形。
在几何学中，我们经常需要定义各种形状和大小的图形，而函数思想提供了一种很好的方法。
比如，我们可以用函数描述一个圆的形状，其方程为x^2+y^2=r^2，其中r为半径。
这样，我们就能通过该函数方程来确定圆的形状和大小。
其次，函数思想可以用来描述几何图形的运动和变化。
在几何学中，我们经常需要研究几何图形在平面上的运动和变化情况，而函数思想能够提供一个很好的分析工具。
通过将几何图形的位置或形状与某个参数关联起来，我们就可以用函数来描述图形的运动和变化。
比如，我们可以用函数描述一条直线的斜率，通过改变斜率的值，可以实现直线的平行移动或斜率变化。
函数思想还可以用来解决几何图形之间的关系问题。
在几何学中，我们经常需要研究图形之间的位置关系和相交情况，而函数思想可以提供一种很好的分析方法。
通过将几何图形的性质和特征用函数表示，我们可以通过函数的交点或相交情况来确定图形之间的位置关系。
比如，我们可以用函数表示两条直线的方程，通过求解方程组的解，可以确定两条直线的交点。
最后，函数思想还可以用来证明几何图形的性质和定理。
在几何学中，我们经常需要证明各种图形的性质和定理，而函数思想提供了一种很好的方法。
通过将几何图形的性质和特征用函数表示，我们可以利用函数的性质和运算来推导和证明各种几何定理。
比如，我们可以利用函数的导数性质来证明曲线的切线斜率等于该点的导数值。
综上所述，函数思想在几何图形中的应用是非常广泛的。
通过函数的定义、描述、分析和推导，我们可以更好地理解和解决几何问题。
因此，函数思想在几何学中的应用具有重要的意义，对于我们深入研究几何学和数学的其他分支都具有积极的推动作用。
数学思想之——函数思想
数学思想之——函数思想数学思想之——函数思想摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越来越重要，本文就其在方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、向量以及在实际中等方面的应用作例说。
关键词：数学思想函数思想应用数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，数学思想不仅是数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用，它包括：分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、正难则反思想等等。
而函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。
构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，去分析、研究问题转化问题并解决问题。
函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、向量等问题也常常可以通过构造函数来求解。
本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。
一、运用函数思想求解方程问题函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。
一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。
一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。
因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。
例1、求证：不论 a取什么实数，方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有两个不相等的实根。
分析：常规解法，若求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。
万法归宗——解析几何中的数学思想
湖南 彭德 良
解 题
２ 函 数 方 程 思 想 的 应 用
◇
函数 思想 指通 过构建 与 问题相 关 的 函数 ， 并 根据
函数 的性 质 来分 析 、 解决问题， 方 程 思 想 指 将 题 设 关 系转换 为方 程 或 方 程 组来 解 决 ． 二者相辅相成 ， 可 以
的面积 ｓ一 １・ ４・ ４＝ ８
．
４ ） 一１和 ２点 Ａ（ 一ｍ， ０ ） 、 Ｂ（ ， Ｏ ） （ ＞０ ） ， 若 Ｃ上存 在 点 Ｐ， 使得 ＡＰ Ｂ＝ ： ＝ ９ ０ 。 ， 则 ｍ 的最大 值为 （
Ａ ７； Ｂ ６； Ｃ ５； Ｄ ４
・
４ ）与 曲 线 有 关 的 几 何 证 明 （ 对 称 性 或 求 对 称 曲
线、 平行 、 垂 直） ；
那么 ， ｍ 一２ ６ ＋６ ｃ ｏ ｓ口 ＋８ ｓ ｉ ｎ ａ 一２ ６ ＋１ ０ ｓ ｉ ｎ （ ａ ＋口 ） ，
ｓ ｉ ｎ （ ａ ｔ／ ？ ） 最 大值 为 １ ， 则 ｍ 的最 大 值 为 ３ ６ ， 即 ｍ 的
的方程 为 一 ／ ｚ 一１ ．
在 近几年 的数 学 高 考 中 ， 解 析几 何 一 直 稳定 在 ２
或 ３道 选 择 题 ， １个 填 空 和 １道 解 答 题 ， 分值 约 为 ３ Ｏ 分， 不 可小 觑． 一直 以来 ， 很 多 学 生 都认 为 解析 几 何 是
高 中数学 的难 点 ， 主 要 是 因 为 没有 找 对 方 法 ． 整 理 发
３ ）与 曲线 有关 的最 （ 极） 值 问题 ；
Ｂ Ｐ＝ （ ３ ＋Ｃ Ｏ Ｓ 口 一ｍ， ４ ＋ｓ ｉ ｎ ａ ） ．因为 ＡＰ Ｂ＝ ＝ ： ９ ０ 。 ， 有
二次函数解析几何思想总结
二次函数解析几何思想总结二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是解析几何的重要组成部分。
在学习二次函数的过程中，可以通过解析几何的思想来帮助理解和应用二次函数。
首先，二次函数的图象是一个抛物线，它对应于平面直角坐标系中的一条曲线。
通过探究二次函数的图象，可以发现二次函数与解析几何中的点、直线、曲线等概念有着紧密的联系。
在解析几何中，点是一个基本的概念。
而二次函数的图象上的每个点都有一对坐标(x, y)来确定它的位置。
通过对二次函数的图象进行观察和分析，可以了解二次函数的各个特性。
比如，当二次函数的系数确定时，它的图象是如何变化的，它的开口方向是向上还是向下等。
直线是解析几何中另一个重要的概念。
在二次函数中，我们可以看到，抛物线的两个端点与曲线的顶点（也就是最低点或最高点）连线的直线方程是二次函数的一项特殊形式。
这个直线被称为二次函数的对称轴。
通过对二次函数的对称轴进行观察和分析，可以帮助我们确定图象的性质和特点。
曲线也是解析几何中的一个重要概念。
在二次函数中，抛物线的形状和位置变化与二次函数的系数有关。
比如，当二次函数的二次项系数为正时，抛物线开口向上；当二次函数的二次项系数为负时，抛物线开口向下。
通过对二次函数的各个系数进行逐一调整，可以观察到抛物线的形状和位置的变化，从而进一步理解二次函数的性质。
此外，解析几何中的一些重要定理也与二次函数有关。
比如，平面直角坐标系中的两条直线的交点的坐标可以通过联立方程的方法求得。
这个定理在解析几何中有广泛的应用，也可以应用到二次函数的图象与坐标轴的交点的求解中。
总的来说，通过解析几何的思想，可以更加深入地理解和应用二次函数。
解析几何可以帮助我们从几何的角度去观察和分析二次函数的图象，从而更好地理解二次函数的性质和特点。
同时，解析几何中的一些重要概念和定理也与二次函数有着密切的关系，通过运用这些概念和定理，可以进一步加深对二次函数的理解和应用。
最后，学习和应用二次函数需要注重理论与实践的结合。
“解析几何”中常用的数学思想方法.
“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]， 即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。
函数的数学思想总结
函数的数学思想总结函数是数学中的一个重要概念，它代表着两组数之间的一种关系。
函数的数学思想涵盖了函数的定义、分类、性质以及函数的应用等方面。
下面我将对函数的数学思想进行总结，并简要解释其重要性。
函数的定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合元素的规则。
函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数的映射规则。
函数的定义使得我们能够准确描述数学中的一些实际问题，如物理上的运动规律、经济学中的生产关系等等。
函数的分类：函数可以根据其自变量和因变量的性质进行分类。
常见的函数分类包括常值函数、线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，我们可以根据这些性质来解决具体的数学问题。
函数的性质：函数有许多重要的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
函数的性质是我们研究函数的重要基础，它们帮助我们了解函数的行为和特点，从而更好地应用函数解决问题。
函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表示。
函数的图像使得我们能够直观地了解函数的行为和变化趋势。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的性质，如函数的增减性、极值、拐点等。
函数的应用：函数在数学中具有广泛的应用。
函数可以用来描述自然界中的现象，如物体在空中的运动、人口的增长等。
函数还可以用来解决实际问题，如优化问题、最大化问题等。
函数在经济学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
函数的推广：函数的数学思想还可以推广到更高的维度。
一元函数是最基本的函数形式，它描述了两个数之间的关系。
多元函数将多个自变量映射到一个因变量，它在向量、矩阵等领域有重要应用。
函数的推广使得我们能够处理更加复杂的数学问题。
函数的重要性：函数是数学中的基本概念之一，它具有广泛的应用和重要的理论意义。
函数的数学思想使得我们能够准确地描述和解决实际问题，为其他数学理论提供了基础。
掌握函数的数学思想是学习和应用数学的关键。
几何图形中函数思想总结
几何图形中函数思想总结几何图形中的函数思想是指利用函数来描述和解决几何问题的方法和思维方式。
在几何学中，函数思想扮演着重要的角色，它能够帮助我们理解和解决各种几何问题，同时也有助于发展几何学的理论和方法。
在几何图形中，函数思想的应用可以体现在以下几个方面：1. 方程和不等式：在几何学中，我们常常需要通过方程或不等式来描述几何图形的性质和特征。
函数思想可以帮助我们将几何图形转化为符号化的表达，并通过代数方法求解和分析。
例如，通过函数方程我们可以确定一条直线的斜率和截距，从而推导出直线的性质，或者通过函数不等式我们可以确定一个区域的范围和特点。
2. 几何变换：几何变换是指对几何图形进行平移、旋转、缩放等操作。
函数思想可以帮助我们在几何变换中建立函数模型，通过函数关系来描述几何图形的位置、形状和尺寸的变化。
通过函数模型，我们可以准确地计算和预测几何图形在变换后的位置和特征。
3. 分析几何：分析几何是指利用解析方法研究几何图形的方法。
函数思想在分析几何中起到了重要的作用。
通过引入坐标系统，我们可以将几何图形转化为函数的形式，并通过函数的性质来分析几何图形的性质和关系。
例如，通过函数的导数和积分，我们可以计算曲线的切线和弧长，从而推导出曲线的性质和特点。
4. 参数方程：参数方程是指用参数表示几何图形上的点的位置坐标的方法。
函数思想可以帮助我们将参数方程转化为函数的形式，并通过函数关系来研究几何图形的性质和特征。
例如，通过参数方程我们可以描述抛物线的形状和焦点位置，或者描述椭圆的形状和离心率。
5. 平面几何和空间几何的关系：函数思想也有助于我们理解平面几何和空间几何之间的关系。
通过函数的多元拓展，我们可以将平面几何中的点、线、面等概念推广到三维空间中，并通过函数关系来研究几何图形在空间中的特征和性质。
例如，通过方程组和线性代数的方法，我们可以确定平面与平面相交的情况，并求解相交直线的方程。
总体而言，几何图形中的函数思想是一种将几何问题转化为符号化表达，并通过函数关系来研究和解决的方法。
解析几何中的数学思想
解析几何中的数学思想【摘要】解析几何是数学中重要的分支之一，其中融合了数学分析和几何学的思想。
本文首先介绍了数学分析与几何的结合，然后重点讲解了极限和导数在解析几何中的重要性以及如何利用它们解决几何问题。
接着探讨了变化率与切线问题在解析几何中的应用，以及解析几何在实际中的应用情况。
最后总结了解析几何中的数学思想对数学的重要贡献，展望了解析几何在数学研究和实际应用中的发展前景。
通过本文的介绍，读者将对解析几何中的数学思想有更深入的理解，并对其在数学领域和实际生活中的价值有更清晰的认识。
【关键词】解析几何, 数学思想, 数学分析, 几何, 极限, 导数, 变化率, 切线问题, 应用, 重要性, 发展, 贡献, 研究, 实际应用, 思想概述, 结合解析.1. 引言1.1 解析几何中的数学思想概述解析几何中的数学思想源远流长，是数学领域中的重要分支之一。
通过数学分析与几何的结合，解析几何不仅丰富了数学理论，还带来了许多重要的数学思想。
极限和导数是解析几何中极为重要的概念，它们不仅可以用于描述曲线的走向和曲率，还可以帮助我们解决各种几何问题。
利用极限和导数，我们可以求解曲线的切线方程，计算曲线的弧长和曲率半径，进而揭示曲线上各点的性质。
变化率与切线问题是解析几何中的重要内容之一，它们探讨了函数在某一点的斜率和曲线在该点的切线方程。
通过研究曲线的变化率，我们可以更深入地理解曲线的性质，并且应用于各种数学问题中。
解析几何的应用广泛而深远，既可以用于解决几何问题，又可以应用于物理、工程等各个领域。
解析几何中的数学思想不仅对数学的发展起到了重要的推动作用，也在实际应用中发挥了巨大的作用。
解析几何中的数学思想在数学研究和实际应用中都具有不可替代的地位，其重要性不可忽视。
2. 正文2.1 数学分析与几何的结合数学分析与几何的结合是解析几何中的一个重要部分，它将数学分析中的概念和方法与几何中的图形和空间结合起来，为我们提供了更深入的理解和更强大的工具来研究和解决问题。
函数的数学思想总结
函数的数学思想总结函数是数学中最基础也是最重要的概念之一。
它在数学的各个分支中都得到了广泛的应用和发展，如微积分、代数、几何等。
函数的数学思想包括了自变量、因变量、映射关系、图像等多个方面，下面我将从以下几个方面来总结函数的数学思想。
首先，函数的数学思想体现在自变量和因变量的关系上。
函数是一种映射关系，将自变量的取值通过某种规则映射到因变量的取值上。
函数的数学思想要求必须存在唯一的映射关系，即一个自变量只能对应一个因变量。
这种关系可以用函数的解析式来表示，如f(x) = x^2，表示自变量x 的平方是因变量f(x)。
函数的数学思想要求能够描述出这种映射关系，从而能够通过自变量的取值来确定因变量的取值。
其次，函数的数学思想还体现在图像上。
函数的图像是函数解析式在坐标系中的几何表示，能够直观地反映出函数自变量和因变量之间的关系。
函数的数学思想要求能够通过图像来分析和研究函数的性质，如函数的增减性、奇偶性、周期性等。
通过函数的图像，还可以通过对称关系来求解一些问题，如求函数的零点、极值点等。
再次，函数的数学思想还涉及到函数的运算。
函数的数学思想要求能够通过函数之间的运算来得到新的函数，这种运算包括函数的加减乘除、复合运算、逆运算等。
通过函数的运算，能够得到更加复杂和抽象的函数，从而能够更好地描述和研究实际问题。
函数的运算不仅仅是简单地计算，更是一种抽象和推理的思维方式。
最后，函数的数学思想还包括函数的应用。
函数是数学与实际问题联系的桥梁，能够将实际问题转化为数学问题进行研究和解决。
函数的数学思想要求能够将实际问题抽象为函数的形式，通过函数的分析和求解来得到问题的答案。
函数在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用，成为解决实际问题的重要工具。
综上所述，函数的数学思想体现在自变量和因变量的关系、图像上的几何表示、运算与推理以及应用等多个方面。
函数的数学思想是数学研究和发展的基础，也是理解和应用数学的关键。
函数思想在高中数学解题中的应用实践分析
函数思想在高中数学解题中的应用实践分析作者：马玲来源：《新教育时代·学生版》2017年第11期摘要：所谓函数思想，是指采用运动以及变化的观点，对数量关系进行研究与分析，并且在此基础上，构造一个新的函数，通过对函数图像的变化，分析问题，从而解决问题。
在函数概念认知的主要应用中，函数思想要求善于利用函数观点，函数图象，函数知识分析解决数学问题。
关键词：高中数学函数思想数学解题函数是整个高中数学所要学习的主体内容，很多数学问题都与函数问题密切相关。
通过对函数的研究，做到能够正确的认识函数的性质，可以通过对函数图像的分析而获得解题思路，所以，函数在高中数学的教学中显出很重要的地位，函数思想中最重要的是方程思想，对于方程思想而言，主要是通过对未知数设元的方法，写出已知，未知的等量关系，从而构造出相应的方程或者是方程组，再求解构建的方程或者方程组，即可以实现对未知问题的有效转化。
函数也是刻画现实世界中两个变量相互依赖的重要的数学模型，函数思想从集合角度考虑，研究的是一个非空数集到另一个非空数集之间相互一一对应的一种关系；函数思想还可以从运动角度去考虑，是利用了变化的观点去研究了客观世界中几个变量之间的相互关系，和变量之间所存在的本质规律，以及变量之间的内部特征，将实际问题有效的转化成数学问题，高度的提炼和概括了所要研究对象的数学特征，并且是用数的表现形式表示的，其带有主观意识上的指导思想。
其本质上也就是集合里所讲的一一对应思想或者是映射思想。
一、教师积极引导，建立函数思想1.教师采取灵活的教学方式高中课程相对来说比较难，并且对于函数的学习，也比较抽象，教学的时候，学生有可能会感到枯燥乏味，作为教师，再用灵活的方式，积极引导同学们在学习函数这一大板块知识的时候，建立重要的函数思想，尤其是在高中的数学教学当中，函数作为数学教学的主线，在实践中得知，函数和方程思想在高中数学解题叫傲雪的引用中，使常量教学变为变量教学。
解析几何中的数学思想(1)
解析几何中的数学思想
数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，如果在传授知识的同时引导学生利用数学思想方法去解决问题，必定会获得良好的教学效果。
一、函数思想
在函数思想中，对应是它的本质特征，自变量的变化处于主导地位，所以函数思想的实质是运用联系和变化的观点，提出数学对象之间的数量关系，并用映射给予严格的形式。
例1.在抛物线y=4x上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短。
分析：用点到直线间的距离公式建立目标函数，再运用函数性质解答。
设A(x，4x2)为所求的点，再利用函数的有关性质(如求函数最值)确定其参数的取值范围。
二、数形结合思想
数形结合思想的实质是把属性结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题。
例2.若实数x、y满足方程x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。
分析：令x-2y=b
由x2+y2-2x+4y=0可知(x-1)2+(y+2)2=5，可看成过圆上的点作斜率为1/2的平行直线系，求纵截距的范围。
利用数形结合的思想让已知条件形象生动化，大大节省了解题时间。
三、化归思想
它是通过各种变换方法，如分析法、反证法、待定系数法、构造法等，换一个角度或一种观点来考虑原问题，使原问题更易于解决。
例3.抛物线y2=x与圆(x-a)2+
y2=1有四个交点，求实数a的取值范围。
分析：因为y2=x，则x≥0。
问题可转化为关于x的二次方程有2个正根的问题，并设为x1，x2，利用韦达定理和判别式得出a的取值范围。
浅谈中学数学中的函数与方程思想
浅谈中学数学中的函数与方程思想摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议.关键词函数思想方程思想应用培养Discuss the function and equations for middleschool mathematics thoughtsAbstact This paper describes the function equation of thought and thought the concept of conversion between the two and in the conversion to note some problems.A typical example with clear thinking with functions and equations can easily solve the mathematics of inequalities, series, binomial theorem, trigonometric functions, plane vectors, analytic geometry, solid geometry, probability and statistics, derivatives, and other difficult to break through the practical problems part, and it is also used in other subject areas. Combined with middle school mathematics teaching, teachers should make students interested in teaching function and the equation of thought, and the feasibility of the recommendations given in detail.Key words function thought Equation thought Application Training目录一、前言 (5)二、正文 (6)1、函数与方程思想的概念 (6)2、函数与方程思想的应用 (7)3、如何在中学教学中培养学生函数与方程的思想 (18)三、结束语 (20)四、结论 (21)五、参考文献 (22)前言数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的一门学科，通过抽象化和逻辑推理的使用，从计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.只有通过数学思想的培养，人的数学能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.在中学数学中常用的数学思想方法主要有:函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、分类讨论的思想等.而函数与方程思想是中学数学中最基本、最重要的数学思想.应用涉及的知识点较多，应用起来具有一定的创造性，更能体现学生的能力水平，是考查创新实践能力的良好载体.俗话说得好“授之以鱼，不如授之以渔”,一个学生仅仅学习了函数与方程的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题.函数与方程思想的教学，既有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义.在我国古代数学中虽然没有明确地提出函数的概念,但函数的思想在现今发现的我国最早的数学著作《算数书》就有所体现.譬如“增减分”描述的就是正比例函数与反比例函数的单调性,虽然不够完整,但对于以常量计算为主的中国古代数学来说,这是非常难能可贵的.解析几何中的一个重要思想是将方程中的未知数看作“变数”,让方程中的未知数取不同的数值最早体现在“不定方程”的研究中.一般认为,数学史上第一个对不定方程进行广泛深入研究的是公元3世纪的古希腊数学家丢番图,而在公元前1世纪成书的中国数学典籍《九章算术》中,对不定方程就进行了比较广泛的讨论.目前函数与方程内容丰富，应用广泛.在历年高考试题中对函数与方程及其思想方法的考查遍布于代数、三角、几何以及各类题型的题目中，函数与方程的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系.而目前，人们对它的研究涉及的方面比较零散单一，只注重了其在数学方面各种题型的应用，但函数与方程思想还应用到了其它学科知识中.除此以外，随着数学教学改革的深入，教师应该在日常的教学中注重培养学生函数与方程思想这一方面的能力.正文1函数与方程思想的概念1.1函数思想即用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画．因此，函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．1.2方程思想从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．1.3函数与方程思想的相互转化很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关．而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0，可以说，函数的研究离不开方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的．方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点．例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等．方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义．在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究．对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题．函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维．1.4在运用函数与方程思想解题时应注意的问题.（1）要重视基础知识和基本技能的培养和训练,深刻理解集合、函数、反函数的有关概念.（2）要能熟练讨论函数性质(如单调性、奇偶性、周期性、极值等),掌握函数图像特征的分析(如范围、截距、凹凸性、渐近线、变化趋势等),函数图像的变换(平移变换对称变换、伸缩变换等),特别是要掌握与研究函数性质有关的数学知识(如向量的平移、函数的导数等).（3）要能将函数、方程、不等式有机结合起来,互相转化.能用集合的语言加以 表述,用参数的工具来体现运动变化,用高等数学的观点来指导问题的解决.（4）要能充分运用数学建模的思想,从数学的角度发现问题、提出问题、进行探 索与研究,培养实践能力和创新意识.（5）函数与方程思想和化归、数形结合、分类讨论、归纳、特殊化等数学思想 同样有着密不可分的关系．2函数与方程思想的应用2.1函数和方程是密切相关的，可相互转换．方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程y －f(x)＝0．它们之间的这种关系为我们解决方程与函数问题提供了思路．一方面，对于有些方程问题，可以用变量的观点，将其转化为函数问题，利用函数性质来解决；另一方面，也可将函数问题转化为方程问题，利用方程性质或通过解方程来解决．例1. 若关于x 的方程中4210x x a a +++=有实数解，求实数a 的取值范围.分析:处理此问题可以有两种方法:一是从“原方程有解”出发，进行等价转换，从而求出a 的取值范围;二是将已知方程变形转化，将a 作为t 的函数，把求a 的取值范围转化为求函数值域的问题.解法一:令2x t =，(t>O).则原方程即为210t at a +++= (*).①当方程（*）的根都在(0，+∞)上时，可得下式:()21212410010a a t t a t t a ⎧∆=-+≥⎪+=->⎨⎪=+>⎩解得2201a a a a ⎧≤-≥+⎪<⎨⎪>-⎩即-12a <≤-②当方程(*)的一个根在(o ，+∞)上，另一个根在(-∞，0〕上时，若令()21f t t at a =+++，则有()00-012a f a ≤>≤-且即 由①②可得实数a的取值范围是2a ≤-解法二:令2x t = (t>0)，则原方程即为210t at a +++=所以 ()()212121122t a t t t +=-=-+-+++≤-=-即2a ≤-评析：解法一运用方程中根与系数的关系及分类思想，求解过程较烦．而解法 二采用分离参数法，构造函数，运用均值不等式求出a 的取值范围解法简单且容易 操作．例2．已知二次函数f(x)的二次项系数为a 且不等式f(x)>-2x 的解集为(1,3),若方程f(x)+6a=0有两个相等实根，求f(x)的解析式．分析：此题若能把二次不等式的解集转化为二次函数的问题即可获解．解：f(x)>-2x 的解集为（1，3） 即f(x)+2x>0的解集为（1，3）∴f(x)+2x=a(x-1)（x-3）且a<0∴f(x)= a(x-1)(x-3)-2x= ()2243ax a x a -++ ①由()60f x a +=得()22490ax a x a -++= ②由题意方程②有两个相等实根∴△=0 即2541011,5015a a a a a a --=∴==-<∴=-代入①得()2163555f x x x =---2.2函数、方程、不等式三者之间紧密相关，可适当转化．以一元函数为例，函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，函数图像位于x 轴上方的部分对应的横坐标的取值就是不等式f(x)＞0的解， 它们之间的这种关系使得在解决实际问题是，可进行适当的转化、化归．例1.半径为1的圆o 内切于Rt △ABC,求证：ABC S ∆不小于3+a cbO BC A证明： 如图，设∠C=090,Rt △ABC 三边的长分别为a,b,c因为r=12a b c +-= 所以a+b=c+2 又因为222a b c += 所以()222a b ab c +-= 即 ()222222c c ab c +-==+ 所以a,b 为一元二次方程()22220x c x c -+++=的两实数根． 于是 2440c c ∆=--≥解得22c c ≤-≥+由c>0 得 2c ≥+ 又 112ABC S ab c ∆==+ 所以 3ABC S ∆≥+ 评析：此题若直接去求三角形的面积有难度，利用一元二次方程根与系数的 关系构造方程很容易证明．例2.已知二次函数()()21,,0f x ax bx a b R a =++∈>设方程f(x)=x 的两个实数根为1,2x x ．如果1224x x <<< 设函数f(x)的对称轴为0x x = 求证01x >-.证明：设()()()211g x f x x ax b x =-=+-+ 则()0g x =的二根为1x 和2x ． 由a>0及1224x x <<< 可得(2)0(4)0g g <⎧⎨>⎩即4+21016430a b a b -<⎧⎨+->⎩即333024b a a+-< ①342024b a a--+< ② ①+②得12b a< 12b a ->- ∴01x >- 评析：此题利用了“二次方程根的分布问题”，使问题迎刃而解．小结：设1x ，2x 是实系数二次方程()200ax bx c a ++=>的两根，根的分布对照2y ax bx c =++图象，知其等价不等式组的关系是：① 若1x 2x m <<，则()002f m b m a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩② 若12m x x << 则 ()002f m b m a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩③ 若12x m x << 则 ()0f m <④ 若 ()1212,,x x m m ∈ 则 ()()12120002f m f m b m m a ∆>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩⑤若1x ，2x 有且只有一个在()12,m m 内，则 ()()120f m f m < 2.3数列是一种特殊的函数，可运用函数与方程思想求解问题．它可以看作是自变量依次取正整数，图像为一群孤立点的函数．所以在解有关数列的问题时，应注重将其与函数有关的知识结合在一起，注重函数与方程思想方法的运用与渗透．等差数列的函数化分析：等差数列函数中 ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭．令A=2d ,B=12d a -,则n S =A 2n +Bn.当A ≠0(d ≠0)时，n S 是关于n 的二次式，即（n, n S ）在二次函数2y Ax Bx =+的图像上，因此，当d ≠0时，数列12,3,......n s s s s 图像是抛物线2y Ax Bx =+上一群孤立点．等比数列的函数化分析：由于等比数列的通项公式 11n n a a q -=可以整理为1n n a a q q=，因此等比数列{}n a 即1n a q q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中各项所表示的点(),n n kq 离散的分布在第一象限或第四象限，其中1a k q =并且这些点都在函数()x y kq x R =∈的图像上．例1.(2005年江苏卷第23题)设数列{}n a 的前n 项和为Sn,已知1a =1,2a =6,3a =11,且(5n-8) 1n S +-(5n+2) n S =An+B, n=1,2,3,…,其中A,B 为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值.(Ⅱ)证明数列{}n a 为等差数列.(Ⅲ)1>对任何正整数m 、n 都成立.解析:(Ⅰ)由1a =1, 2a =6, 3a =11,得1S =1, 2S =7, 3S =18.把n =1,2分别代入(5n-8) 1n S +- (5n+2) n S =An B +,得28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩解得, A =-20, B =-8.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,5n(1n n S S +-)-8 1n S + -2 n S =-20n-8,即5n 1n a + -8 1n S + -2 n S =-20n-8, ①又5(n+1) 2n a + -8 2n S + -2 1n S + =-20(n+1)-8. ②②-①得:5(n+1) 2n a + -5n 1n a +-82n a +-21n a +=-20,即(5n-3) 2n a + -(5n+2) 1n a + =-20. ③又(5n+2) 3n a +-(5n+7) 2n a +=-20 ④④-③得:(5n+2)( 3212n n n a a a +++-+) =0,3212n n n a a a +++-+=0∴322132........n n n n a a a a a a ++++-=-==-=5, 又21a a -=5,因此,数列{an}是首项为1,公差为5的等差数列.(Ⅲ)不妨设m ≤n,则可设左边≥= (),gm n 是关于m 的一次函数且单调递增．所以f(m,n) ≥g(1,n)=显然g(1,1)= 1>而2n ≥时，f(1,n)≥g(1,n)> ()2016554n n n -+-=)10410121104n n n -+->- 因此,1>对任何正整数m 、n 都成立.评析:试题的第一问只要简单的赋值即可得到方程组来解决;试题的第二问也是利用方程组通过消元来获解;试题的第三问通过变换,可视为自变量m 的一次函数,再利用函数的单调性将问题迎刃而解;以上三问通过运用函数与方程的思想方法都得到了解决,充分说明了函数与方程的思想方法的实用性和重要性.2.4函数f(x)＝()n ax b + (n ∈N *)与二项式定理是密切相关的．用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题，运用不定方程的解题思想也可以解决二项式定理．例1．求证0110.......k k k k m n m n m n m n C C C C C C C -++++=证明：令()()1m n f x x +=+ 显然k m n C +是()1m n x ++展开式中k x 的系数 ()()()1+x 1mn f x x =+=()()0101..........m m n n m m m n n n C C x C x C C x C x ++++++ 其中 k x 的系数为0110.......k k k m n m n m n C C C C C C -+++故0110.......k k k k m n m n m n m n C C C C C C C -++++= 评析：一般的，利用二项式定理构造函数()()()n f x a x n =+∈应用广泛，特别是在证明组合数恒等式，组合数求和，证明不等式，证明整除等问题中用得较多．例2：求 100+展开所得的关于x 的多项式中，系数为有理数的项数．解析：有理项的求法：解不定方程． 1001100r r r r T C -+⎤=⎦=()1001003210032r rr r C x --依题意有100-r ,23r z ∈ 所以r 为3和2的倍数，即为6的倍数，又因0≤r ≤100所以r=0,6……96构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列．由96=0+（n-1）6得n=17.故系数为有理数的项共有17项．评析：此题若一项一项去找较麻烦，运用不定方程思想及等差数列的性质则很容易解决．2.5函数与方程思想在三角解题中有着十分广泛的应用.在三角学习中，我们要善于根据问题的特征，合理地展开联想，巧妙地实施转化，增强运用函数与方程思想解题的意识，使解题的水平得到大幅度的提高.“数学的精神和本质在于它的思想和方法”，道理就在于此．例1.已知函数()()2cos sin 0f x x a x b a =-+>的最大值为0，最小值为-4，求a,b 的值．解：因为()()2cos sin 0f x x a x b a =-+>=2sin sin 1x a x b --++=()2sin sin 1x a x b -+++ =22sin 124a a x b ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭ ① 若2a >，则当sin 1x =-时，f(x)有最大值．当sin 1x =时，f(x)有最小值所以22221102411424a a b a a b ⎧⎛⎫--++++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-++++=- ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22a b =⎧⎨=-⎩ 不符合2a >，应舍去． ② 若02a <≤，则当sin 2a x =-时，f(x)有最大值 当sin 1x =时，f(x)有最小值所以22210411424a b a a b ⎧++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-++++=- ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22a b =⎧⎨=-⎩符合条件． 综合可得：22a b =⎧⎨=-⎩评析：将三角函数化为关于sin ,cos ,tan x x x 的简单复合函数，是三角函数性质的又一基本性质．小结：三角函数是一类特殊的函数,高考主要在三角函数的图像、性质以及结合三角变换求三角函数值等方面进行考查.判断函数单调性的问题,可以结合导数的相关知识进行解答.2.6以向量为载体且融合函数的考题频频出现.在解答向量相关问题中,如能巧妙地运用函数思想方法,常常可收到事倍功半之效.例1.31(,)22a =- 13(,22b =若存在三个实数s 、t 、k,使2()x a t k b =+- ，y sa tb =-+且x y ⊥(Ⅰ)求函数s=f(t);(Ⅱ)若s=f(t)在[1,+∞)上递增,求k 的范围.解：(Ⅰ)易知1a b == 0a b ⋅=又由x y ⊥得2()0a t k b sa tb ⎡⎤⎡⎤+--+=⎣⎦⎣⎦化简得s=f(t)= 3t kt - (Ⅱ) '2()3f t t k =-,因f(t)在[1,+∞)上递增,则当t ≥1时, '()f t ≥0恒成立.由'()f t ≥0⇔23t k -≥0⇔k ≤3t 只要k ≤(23t )min=3即可.故k ∈(],3-∞评析：①将向量间的几何关系,通过坐标运算数量化,构建函数,回归函数问题，解该题的思维取向;②该题凸现用导数研究函数、不等式的工具作用,具有思路清晰、明快简洁等特点,注重其方法领会要领,强化应用意识;③分离变量,利用函数的最值解恒成立问题,是一种重要的解题策略.2.7解析几何中的许多问题，可运用函数与方程思想求解．例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．例1.直线m: 1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线L 过点P(-2，0)和线段AB 的中点M ，求L 在y 轴上的截距b 的取值范围.剖析:b 的变化是由于k 的变化而引起的，即对于k 的任一确定的值.b 有确定的值与之对应，因此b 是k 的函数，本题即为求这个函数的值域.解：由()22111y kx x x y =+⎧≤-⎨-=⎩消去y 得: ()22122k x kx o -++= (*) 因为直线m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程(*)有两个不相等的负实数根．所以()221221224810201201k k k x x k x x k ⎧∆=+->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩解得 12k << 设M ()00,x y 则 120200221111x x k x k y kx k +⎧==⎪⎪-⎨⎪=+=⎪-⎩由P(-2，0)，M 221,11k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭,Q(0,b)三点共线，不难得出2222b k k =-++ 设()2211722248f k k k k ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，则()f k 在()12，上为减函数． 所以()()()()210f f k f f k <<≠且，()()()22001f k f k --<<<<或 所以22b <--或b>2评析:根据函数的思想建立b 与k 的函数关系，根据方程的思想，运用二次方程的理论具体求出b 的表达式，是解此题的两个关键问题.不少解析几何问题，其中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系;对于直线和曲线交点问题，经常要转化为方程问题，用方程的理论加以解决.2.8立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程（组）或建立函数表达式的方法加以解决．例1.如图所示，等腰△ABC 的底边AB=66，高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ．记BE ＝x ，V(x)表示四棱锥P －ACFE 的体积．（Ⅰ）求V(x)的表达式.（Ⅱ）当x 为何值时，V(x)取得最大值.分析：依题求出底面ACFE 的面积表达式与高，由体积公式构建出体积表达式，借助于求导来解决问题．解：（Ⅰ）∵EF ⊥AB,∴EF ⊥PE,且PE ⊥AE,EF ∩AE=E,又PE 在平面ACFE 外，∴PE ⊥平面ACFE ，∵EF ⊥AB,CD ⊥AB,6x=EF x CD EF x CD BD BD ∴=⇒==,2211322ACFE ABC BFE S S S x x ∆∆∴=-=⨯-=31,(03P ACFE ACFE V S PE x x -=⨯=<<（Ⅱ）由（Ⅰ）得2()V x '= 令()0V x '=得6x =，且 (0,6),()0x V x '∈>； (6,),()0x V x '∈+∞<故当6x =时，V(x)取得最大值．评析：对几何图形中的动态变化问题，应分析各个量在变化过程中的相互关系中找到所需要的量，构建相应的函数，转化为函数求值问题，而在立几的翻折问题中要注意折前与折后的变与不变量，这也是正确解决问题的关键所在．2.9在概率统计中，也常常通过研究相关函数的性质或方程的解的分布，从而揭示随机变量的取值规律．例1．某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，摸球袋中装有10个号码为n（0≤n ≤10，n ∈*N ）重为2921f n n n =-+克的球，摸球方案如下表试比较两种方案中奖概率的大小（说明：每个球以等可能性从袋中被摸出，假定 符合条件的顾客均参加摸奖．）解：当球的重量小于号码数时，有2921n n n -+<解得 3<n<7, 即n=4,5,6则所求概率1P =310设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，不妨设n<m ，则有2921n n -+<2921m m -+即（n-m ）(m+n-9)=0⇔m+n=9所以（n,m ）的取值为（1，8） （2，7） （3，6） （4，5）所求概率2P =2104445C = 即方案①的中奖概率大． 2.10运用函数与方程思想解决导数与函数问题函数与方程思想是最重要的一种数学思想．例1.设函数22()21(,0)f x tx t x t x R t =++-∈>(1)求f(x)的最小值h(t)(2)若h(t)<-2t+m 对()0,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围解：(1)'2所以f(x)的最小值h(t)= 31t t -+-(2)由（1）得h(t)= 31t t -+- 令g(t)=h(t)-(-2t+m)= 31t t -+-+2t-m=331t t m -+--由'2所以g(t)在（0,2）内有最大值g(1)=1-m所以h(t)<-2t+m 在（0,2）内恒成立⇔g(t)<0在（0,2）内恒成立 ⇔g(t)在（0,2）内的最大值g(1)=1-m<0 m>1所以m 的取值范围为m>1评析：由于含有字母系数m ，直接解不等式不易得解，而运用函数与方程思想，把求m 的取值范围问题转化为函数g （t ）在（0，2）内有最大值g(1)＜0，从而得解．2.11在应用题中常常通过构建函数模型或方程（组）来解决一些实际问题．例1.某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用为每 日115 元．根据经验若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出,若超过 6 元，则每超过 1 元，租不出去的自行车就增加 3 辆，为了便于计算，每辆自行车的日租金 x( 元) 只取整数并且要求出租自行车一日总收入必须高于这一日的管理费用．用 y( 元)表示出租自行车的日净收入( 即一日中出租自行车的总收入减去管理费用的所得)(1)求函数 y=f(x) 的解析式及其定义域.(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时才能使一日的净收入最多.解:(1)当x ≤6时，y=50x-115令50x-115>0 解得x>2.3因为x N ∈, 所以x ≥3所以3≤x ≤6 x N ∈当x>6时，y=〔50-3(x-6)〕x-115令〔50-3(x-6)〕x-115>0，有23681150x x -+<此不等式的整数解为2≤x ≤20 (x N ∈)所以6<x ≤20 (x N ∈)故()250115(36,)368115620,x x x N y x x x x N -≤≤∈⎧⎪=⎨-+-<≤∈⎪⎩ 定义域为｛x ︱3≤x ≤20 x N ∈ ｝(2)对于y=50x-115 (3≤x ≤6 x N ∈) 显然，当x=6时，max 185y =（元）对于()2234811368115620,33y x x x x x N ⎛⎫=-+-=--+<≤∈ ⎪⎝⎭ 当x=11时，max 270y =（元） 综上所述当每辆自行车日租金定在 11 元时，才能使一日的净收入最高．2.12函数与方程思想在其他学科领域（物理，生物等）中的应用．物理学质结构和运动基本规律的科学,要研究物质结构和运动的基本规律,需要 一些能够用来描述物质结构和运动的物理量,找出物理量与物理量之间的关系,为描述物理量与物理量之间的变化规律,通常利用数学上的函数关系．例1.10m/s 的速度在平直的公路上行驶,突然发现正前方3m 处有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做匀减速运动．(1)汽车的加速度大小若为24m s ,(2)汽车加速度大小若为28m s ,两种情况汽车能否碰上自行车?若不能碰上,求两车的最小距离．解：假设汽车能追上自行车,可得210212v t at s v t -=+ 代入数据2110342t at t -=+即 216302at t -+= 因Δ=36-6a ≥0,故当a ≤26m s 时，方程有解,即汽车能追上自行车,a >26m s 时,Δ<0,无实数解,汽车将不能追上自行车．即当224a m s =时,汽车将碰上自行车:当228a m s =时,汽车不能碰上自行车．两车的距离为:Δs = 202112s v t v t at ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=3+4t-22(104)4t t t -= -6t+3 = 2322t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+0.75 这就是一个函数,因变量Δs 随自变量t 的变化而变化,当自变量t =0.75s时,因变量Δs 最小,即汽车离自行车最近,最近距离为Δs =0.75m ．生物中细胞的分裂常常也用到指数函数的一些性质，在此不一一举例说明． 3．如何在中学教学中培养学生函数与方程的思想？现今我国的教育模式正在由应试教育向全面素质教育转变,素质教育不仅要求受教育者掌握一定的知识技能,而且还要求达到领悟数学思想、掌握数学方法、提高数学素养的目的因此,数学教学中,使学生掌握基本的数学知识与理论固然重要,但更重要的是掌握数学的基本技能,能运用基本的数学思想方法来解决各类数学问题,引导他们在解题过程中提炼数学思想方法,提高数学能力．教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识与运用新知识解决问题的能力．3.1在基础知识的教学过程中，渗透数学思想方法将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中.教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡．如等比数列前n 项和的推导过程，复习回忆等差数列的求和公式，等比数列的定义和一些性质，探究了公式推导的各种方法．方法1:教材的推导过程（错位相减法）方法2：用解方程的思路推导因为21211111111111......(......)()n n n n n s a a q a q a q a q a a q a q a q s a q ---=++++=+++=+- 所以解关于n s 的方程，可得1(1)1n n a q s q-=-3.2在小结复习的教学过程中，概括、提炼数学思想方法.由于同一问题可涉及到几种不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的基础知识中,因此,及时小结、复习以进行强化刺激,让学生在脑海中留下深刻的印象．这样有意识、有目的地结合数学基础知识,揭示、提炼概括数学思想方法,既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问题,又能很好地促使学生认识从感性到理性的飞跃．复习小结时可配合知识点和典型例题强化训练．如在高三复习课讲评例题“已知方程2--=有实数解，求实数a2sin cos0x x a的取值范围”时，首先从函数解析式的特点看，它是关于正余弦函数的三角方程,可在这时适当做变化令[]=∈-，则原题化为方程2x t tcos,1,1++-=在t t a220 []1,1t∈-的值域．本题就利用t∈-上有实数解，也可看成求函数2=--+[]1,1a t t22了转化思想、函数与方程思想，如果教师在讲解时能较好地分析，注意培养学生此方面思想，就能充分发挥该题的功能，同时提高学生的解题能力．3.3在知识运用过程中，不断巩固和深化数学思想方法.在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中,数学思想方法是处理这些问题的助手,这些问题的解决过程,也是数学思想方法反复运用的过程．因此,注意数学思想方法的运用既有条件又有可能,这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径.数学思想方法也只有在反复运用中,才能得到巩固与深化.总之,在数学的教学和学习过程中,处处蕴涵着数学思想方法．在教学过程中,教师要善于抓住有利时机,要努力向学生渗透数学思想方法,自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题,提高学生运用数学的能力．如在初中阶段，有具体的数过渡到用字母表示数，再由字母过渡到代数式、方程及简单的不等式，而后由方程、不等式过渡到函数的概念等，都需要不断渗透变量思想的教学，在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识．在前面的应用中，可以看出函数与方程思想几乎应用在各种题型中，因此教师在讲解这些题型中就要注意渗透函数与方程思想并加强巩固．数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的．因此在教学中，要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会，易于接受的．结束语。
函数思想
函数的思想方法函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。
函数是中学数学的一个重要概念，初中阶段主要学习一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数。
尽管内容不多，但函数的思想已经有所体现，仍占据着重要地位。
基础知识是否牢固，函数的思想是否基本形成，对高中阶段的进一步学习都有着相当大的影响。
函数的思想方法主要包括以下几方面：运用函数的有关性质解决函数的某些问题；以运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决；经过适当的数学变化和构造，使一个非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的性质来处理这一问题。
【知识点】1． 函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 在某个范围内每一个值，按照某个对应法则，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，函数可用y=f(x)这一符号来表示。
2． 函数的表示方法：解析法 用数学式子表示函数的方法。
列表法 通过列表给出y 与x 的对应数值来表示函数的方法。
图象法 通过函数的图象来表示函数的方法。
3． 初中阶段主要函数及其性质正比例函数 如果y=kx(k 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的正比例函数。
图象为过点(0,0)和(1,k)的一条直线。
当k>0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
反比例函数 如果xk y =(k 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的反比例函数。
图象为双曲线。
当k>0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
函数与方程的解析几何
函数与方程的解析几何一、引言解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形与代数方程之间的关系。
在解析几何中，函数与方程是两个核心概念。
函数是数学中的基本概念，它描述了一种映射关系，将自变量映射到因变量上。
而方程则是描述了一个等式关系，其中包含了未知数和已知数之间的关系。
本文将探讨函数与方程在解析几何中的应用。
二、函数的解析几何1. 直线的方程在解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
我们可以使用函数的概念来描述直线的方程。
一条直线可以用斜率和截距来表示。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点位置。
设直线的斜率为k，截距为b，直线上任意一点的坐标为(x, y)，则直线的方程可以表示为：y = kx + b这个方程称为直线的斜截式方程。
通过斜截式方程，我们可以轻松地确定直线在坐标系中的位置和倾斜程度。
2. 圆的方程圆是解析几何中的另一个重要图形。
圆的方程可以通过函数的概念来表示。
设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，圆上任意一点的坐标为(x, y)，则圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程称为圆的标准方程。
通过标准方程，我们可以轻松地确定圆的位置和半径大小。
3. 曲线的方程除了直线和圆，解析几何中还涉及到各种曲线。
曲线的方程可以通过函数的概念来表示。
不同的曲线有不同的方程形式，例如抛物线、椭圆、双曲线等。
以抛物线为例，设抛物线的方程为：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数。
通过抛物线的方程，我们可以确定抛物线的形状和位置。
三、方程的解析几何1. 方程组的几何解释方程组是解析几何中常见的问题形式。
方程组可以用来描述多个几何图形之间的关系。
例如，设有两个直线的方程组为：y = k₁x + b₁y = k₂x + b₂通过求解这个方程组，我们可以确定两条直线的交点坐标，从而得到它们的几何关系。
如何从几何和代数两个角度理解函数的性质
如何从几何和代数两个角度理解函数的性质函数是数学中一个非常重要的概念，几何和代数是两个理解函数性质的角度。
几何角度主要关注函数的图像和几何特征，而代数角度则关注函数的代数表达式和运算性质。
通过这两个角度，我们可以更全面地理解函数的性质。
一、几何角度理解函数性质在几何角度上，函数的性质主要体现在图像上。
通过观察函数的图像，我们可以获得它的一些重要性质。
1. 图像的形状：函数的图像可以是直线、曲线或其他形状。
直线函数具有恒定的斜率，而曲线函数则可能具有不同的弯曲程度。
2. 图像的增减性：函数图像是上升的还是下降的，可以体现函数的增减性。
上升函数表示函数随着自变量增大而增大，下降函数则相反。
3. 图像的凸凹性：函数图像的凸凹性可以通过曲率来判断。
凸函数在凸的一侧下凹，凹函数则相反。
4. 零点和极值点：函数的零点是函数图像与x轴的交点，对应于函数取到零值的自变量值。
极值点是函数图像上的极大值或极小值点，对应于函数取到最大或最小值的自变量值。
通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数的增减性、凸凹性以及零点和极值点等重要性质。
二、代数角度理解函数性质在代数角度上，函数的性质主要通过代数表达式和运算性质来描述。
1. 函数的表达式：函数可以用各种代数表达式来表示，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
不同的函数表达式反映了函数的不同特点和性质。
2. 函数的定义域和值域：函数的定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是指函数的因变量的取值范围。
定义域和值域的确定可以帮助我们了解函数的取值范围和可行性。
3. 函数的运算性质：函数可以进行各种运算，如加法、减法、乘法和除法等。
这些运算可以帮助我们得到新的函数，并了解函数之间的关系。
4. 反函数：函数的反函数是指将自变量和因变量对调的函数。
反函数与原函数具有一一对应的关系，在一些问题的求解中具有重要作用。
通过观察函数的代数表达式和运算性质，我们可以推导出函数的一些重要性质，并用代数关系来描述函数之间的性质。
解析几何中常用的数学思想方法.
“解析几何”中常用的数学思想方法苏州实验中学 徐贻林数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]， 即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。
解析几何中的数学思想
教学实践2014-03解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。
首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。
一、数形结合思想解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。
例1（2012年福建理19题）如图椭圆E ∶x2a2+y2b2（a >b >0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ∶y =kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，试探究在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
评析：本题是一道循规蹈矩的解析几何题，对于问题（2）在探求“数”与“形”之间的联系时，若发现只需判断∠PMQ 为直角即证明MP ，MQ 即可将问题化繁为简.然而，在平时如果能注意结合探究教学，不难得出如下结论：已知F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆C ∶x2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左右焦点，点P （x 0，y 0）为椭圆上的一个动点，过点P 作椭圆的切线e 1与过右焦点F 2作与焦半径PF 2垂直的直线l 2交于点Q ，则点Q 的轨迹即为椭圆的左准线x =a2c，那么，由此进行必要的合情推理，是可以猜想出所求的点M 应该是右焦点，设为M （x 0，0），这样就大大减少了计算量。
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浅谈解析几何中的函数思想
解析几何是高中数学的重点，也是难点。
直线与圆锥曲线相交时的定值和最值问题是山东高考考查解析几何的主要形式。
笔者通过对山东高考圆锥曲线题目研究并结合课堂教学发现，可以应用函数与方程的思想指导解决此类定值和最值问题。
分析近几年山东高考可知，圆锥曲线的方程通过已知条件可以确定，属于基础性问题，难点在于根据直线方程中的参数讨论相应的定值与最值问题。
直线的方程可表示为带两个参数的形式。
若由题目条件可以确定其中一个参数的确切值，那么问题转化为单参数问题。
在完成圆锥曲线的单元教学后，就能接触到单参数问题，属于基础性题目。
而在圆锥曲线的综合性题目中，已知条件不足以将其中某一参数的值确定，还要进行一步消参的过程，即将参数式整理为可应用整体代换转换为单参数的形式，或者由已知条件推导出直线方程中两参数之间的一个等式关系，转换为单参数问题。
以上述单一参数作为自变量，从函数的思想出发来理解，将定值问题看做常值函数问题，最值问题看为函数的值域问题，可使解题的思路更加清晰，进行联立整理化简时目标更加明确。
1.
定值问题
无论定值问题还是最值问题，解题步骤都是将直线方程与圆锥曲线方程联立化简，应用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式等将所求问题中的几何量表示为以参数为自变量的函数形式。
若上述函数最终化简为一个常数，则属于定值问题。
例1 椭圆E：，，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且过定点（-1,0），则为定值。
设直线为，将直线与椭圆联立，得，设为方
程两根，那么，，
例1还可以推广为一般形式：“若直线过坐标轴上一定点，且与椭圆交于两点，那么两点与椭圆在该轴上任意一顶点连线斜率乘积为定值，与椭圆在该轴上
两个顶点的连线的斜率乘积也是定值（）”；“过抛物线对称轴上一定点的
直线与椭圆交于两点，那么两点横坐标乘积和纵坐标乘积为定值”（此处证明详
见后面附录）。
1.
最值问题
若题目所求问题中的几何量表示为以参数为自变量的函数不能化简为常数时，那本题目就是一个最值问题。
要想解决本问题，需要求函数的值域。
那就需要根
据已知条件确定函数的定义域和单调性。
在例1的条件下，弦长，即是一个
关于m的四次比四次的形式，当然也可以令，整体代换，那么
，再令，，则
，根据二次函数的单调性，当时，PQ长度最小为，当时，PQ长度最大为4；同理，，若令，那么。
则，当时，单调递增，所以单调递减，即当时，的面积最大，所以，当时，。
但有的题目的已知条件不足以将其中某一参数的值确定，还要进行一步消参的过程。
有的题型整理化简后的参数式可应用整体代换将所有的参数应用一个自变量表示，有的则是根据已知条件推导出参数之间的等式关系，选取其中一个为自变量进行换元。
例2 直线与椭圆E：交于两点，O为坐标原点，，求面积的最值。
本例解题途径有两条。
一种是将直线OP的斜率k作为参数（斜率不存在和
斜率为0不再单独讨论），那么，这是一个四次比四次的分式函数。
由前面的叙述可知，令
，，
即转化为与二次函数有关的复合函数问题。
这种想法是因为垂直带来的斜率的特殊关系才产生的，有一定的局限性。
另外一种是设直线的方程为，借助条件来寻找参数之间的等式关系。
但是基本的解题步骤都是相同的，即联立两个方程得
，
根据点到直线的距离公式和弦长公式得，
，
由可知，据此可推出两参数满足，所以。
当然，对于第二种方法，还可以利用整体代换，令，则
，
虽然在将面积表示为函数形式时未用到，但是在求函数定义域中，这个条件就不可缺少了。
根据，推出，根据，得
，，
显然，所以。
三、实例赏析
下面，我们根据两个高考题实例来体会圆锥曲线问题中的函数思想，以及应用函数思想解决此问题的便宜之处。
1.
平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率为，左右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆E：，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线
交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q。
（3）求的值；（ii）求面积的最大值。
第一问很容易得出椭圆C：，椭圆E：。
根据对称性可的
，当然若作为常函数来理解，所要选择的自变量是直线OP的斜率k。
第三问需要在一定的几何分析的基础上来运算，
否则会非常的麻烦。
由前一问的比例可知，
，设，则
,然后联立直线方程与椭圆E：
，得，由，得，即，但是
函数的定义域是椭圆C：确定的，联立根据得定义域。
例4 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是
抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q
到抛物线C的准线的距离为。
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点
M的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的
交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。
由第（Ⅰ）问可知抛物线方程为，第（Ⅲ）问中若点M的横坐标为
，则点M，。
由可得，设
，
圆，
，
于是，令
，
设，，
当时，，
即当时 .
故当时， .
四、总结
函数思想是高中数学四大思想之一，解析几何是高考的重难点，利用函数思想研究解析几何问题，是从本质上研究解析问题，从而使对圆锥曲线的复习能有的放矢。