浅谈解析几何中的函数思想

浅谈解析几何中的函数思想

解析几何是高中数学的重点，也是难点。直线与圆锥曲线相交时的定值和最值问题是山东高考考查解析几何的主要形式。笔者通过对山东高考圆锥曲线题目研究并结合课堂教学发现，可以应用函数与方程的思想指导解决此类定值和最值问题。分析近几年山东高考可知，圆锥曲线的方程通过已知条件可以确定，属于基础性问题，难点在于根据直线方程中的参数讨论相应的定值与最值问题。直线的方程可表示为带两个参数的形式。若由题目条件可以确定其中一个参数的确切值，那么问题转化为单参数问题。在完成圆锥曲线的单元教学后，就能接触到单参数问题，属于基础性题目。而在圆锥曲线的综合性题目中，已知条件不足以将其中某一参数的值确定，还要进行一步消参的过程，即将参数式整理为可应用整体代换转换为单参数的形式，或者由已知条件推导出直线方程中两参数之间的一个等式关系，转换为单参数问题。以上述单一参数作为自变量，从函数的思想出发来理解，将定值问题看做常值函数问题，最值问题看为函数的值域问题，可使解题的思路更加清晰，进行联立整理化简时目标更加明确。

1.

定值问题

无论定值问题还是最值问题，解题步骤都是将直线方程与圆锥曲线方程联立化简，应用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式等将所求问题中的几何量表示为以参数为自变量的函数形式。若上述函数最终化简为一个常数，则属于定值问题。

例1 椭圆E：，，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且过定点（-1,0），则为定值。

设直线为，将直线与椭圆联立，得，设为方

程两根，那么，，

例1还可以推广为一般形式：“若直线过坐标轴上一定点，且与椭圆交于两点，那么两点与椭圆在该轴上任意一顶点连线斜率乘积为定值，与椭圆在该轴上

两个顶点的连线的斜率乘积也是定值（）”；“过抛物线对称轴上一定点的

直线与椭圆交于两点，那么两点横坐标乘积和纵坐标乘积为定值”（此处证明详

见后面附录）。

1.

最值问题

若题目所求问题中的几何量表示为以参数为自变量的函数不能化简为常数时，那本题目就是一个最值问题。要想解决本问题，需要求函数的值域。那就需要根

据已知条件确定函数的定义域和单调性。

在例1的条件下，弦长，即是一个

关于m的四次比四次的形式，当然也可以令，整体代换，那么

，再令，，则

，根据二次函数的单调性，当时，PQ长度最小为，当时，PQ长度最大为4；同理，，若令，那么。则，当时，单调递增，所以单调递减，即当时，的面积最大，所以，当时，。

但有的题目的已知条件不足以将其中某一参数的值确定，还要进行一步消参的过程。有的题型整理化简后的参数式可应用整体代换将所有的参数应用一个自变量表示，有的则是根据已知条件推导出参数之间的等式关系，选取其中一个为自变量进行换元。

例2 直线与椭圆E：交于两点，O为坐标原点，，求面积的最值。

本例解题途径有两条。一种是将直线OP的斜率k作为参数（斜率不存在和

斜率为0不再单独讨论），那么，这是一个四次比四次的分式函数。由前面的叙述可知，令

，，

即转化为与二次函数有关的复合函数问题。这种想法是因为垂直带来的斜率的特殊关系才产生的，有一定的局限性。

另外一种是设直线的方程为，借助条件来寻找参数之间的等式关系。但是基本的解题步骤都是相同的，即联立两个方程得

，

根据点到直线的距离公式和弦长公式得，

，

由可知，据此可推出两参数满足，所以

。

当然，对于第二种方法，还可以利用整体代换，令，则

，

虽然在将面积表示为函数形式时未用到，但是在求函数定义域中，这个条件就不可缺少了。根据，推出，根据，得

，，

显然，所以。

三、实例赏析

下面，我们根据两个高考题实例来体会圆锥曲线问题中的函数思想，以及应用函数思想解决此问题的便宜之处。

1.

平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率为，左右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆E：，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线

交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q。

（3）求的值；（ii）求面积的最大值。

第一问很容易得出椭圆C：，椭圆E：。根据对称性可的

，当然若作为常函数来理解，所要选择的自变量是直线OP的斜率k。

第三问需要在一定的几何分析的基础上来运算，

否则会非常的麻烦。由前一问的比例可知，

，设，则

,然后联立直线方程与椭圆E：

，得，由，得，即，但是

函数的定义域是椭圆C：确定的，联立根据得定义域。

例4 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是

抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q

到抛物线C的准线的距离为。

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点

M的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的

交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。

由第（Ⅰ）问可知抛物线方程为，第（Ⅲ）问中若点M的横坐标为

，则点M，。由可得，设

，

圆，

，

于是，令

，

设，，

当时，，

即当时 .

故当时， .

四、总结

函数思想是高中数学四大思想之一，解析几何是高考的重难点，利用函数思想研究解析几何问题，是从本质上研究解析问题，从而使对圆锥曲线的复习能有的放矢。