江苏省2021-2022学年高二上学期数学开学考试(一)全解全析

2020-2021学年度高二数开学分班考试

数学·全解全析

1．A

【解析】因为|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为120︒，

所以a a +

211

cos120=111=22

a b a a b ⎛⎫=+⨯︒+⨯⨯- ⎪⎝⎭. 故选：A 2．A

【解析】2

212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=--

=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣

⎦， 因为()()()sin 2sin2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数， 周期22

T π

π=

=， 所以此函数最小正周期为π的奇函数， 故选：A.

3．C

【解析】因为3cos 5α=

，0,2πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，故4

sin 5

α， 所以7sin sin cos cos sin 4442510πππααα⎛⎫+=+=⨯=

⎪⎝⎭

. 故选：C.

4．A 【解析】sin sin

3

()sin cos

cos sin

sin()3

3

3

cos cos

3

x

f x x x x x π

π

π

π

π

=

=-=-

，

所以为了得到函数sin y x =的图象，只需要把函数()πsin 3f x x ⎛

⎫

=- ⎪⎝

⎭

的图象上所有的点向左平移

π

3

个单位长度， 故选：A ．

5．C 【解析】（1）sin 2sin105sin 1,3

a B A

b ︒

=

=<又∵a b <,∴A 为锐角，故A 有唯一解，∴满足（1）中的条件的三角形有唯一解；

（2）sin 2sin 35sin 1,3

a B A

b ︒

=

=<又∵a b <,∴A B <,∴A 为锐角，故A 有唯一解，∴满足（2）中的条件的三角形有唯一解；

（3）sin 3sin 903

sin 1,22b A B B a ︒=

==>∴无解，∴满足（3）中的条件的三角形无解； （4）sin 3sin 35sin 1,2

a B A

b ︒

==<又∵a b >,∴A B >,∴A 为锐角或钝角，故A 有两解，∴满足（4）中的条件的三角形有两解； 故选：C. 【名师点评】

由两边一对角判定三角形的解的个数，利用正弦定理求得这两边中另一边的对角的正弦，若正弦值大于1，则无解；若正弦值等于1，则只有一解；若正弦值小于1，要结合大边对大角进行判定解的个数.

6．A 【解析】如图示：AB =30，A =30°，∠DBC =45°，旗杆为CD ，设CD =h ，

在直角三角形ACD 中，tan =

CD A AC 3CD

AC

所以=3AC CD ， 在直角三角形BCD 中，tan =

CD BC DBC ∠，即1=CD

BC

所以=BC CD ， 由题意可得：303h h +=，解得：15153h =+ 即旗杆的高度为(15153m +. 故选：A

7．D 【解析】因为12i z i +=

，化简得()2

12122i i i z i i i

++===-，故2z i =+，所以22215z =+=

故选：D 8．A

【解析】

如图所示，设正方体的棱长为3，

取CD 的三等分点H ，则//GH FB ，所以延迟GF 与HB 交于点P ，

连接PE 并延长，交于AB 和CD 延长线于,N Q ，连接QG 交1D D 于点M ，过点G 作

//GZ EN 交11B C 于点Z .

平面EFG 截正方体所得截面即为ENFZGM , 设AN x =， 易知

2

3

PB BF PH GH ==,所以

23BN PB QH PH ==，12AN AE QD ED ==, 所以2,21QD x QH x ==+，

32

123

x x -=+，解得1x =，所以点N 与1M 重合， 111

2,

2

D G D M QD QD MD ===，所以点M 与1P 重合， 因为//GZ EN ，所以点G 与1N 重合. 故选：A. 9．ACD

【解析】对于选项A ：由二倍角正弦公式可得1

2sin 75cos 75sin1502

==，故选项A 正确；

对于选项B ：由二倍角余弦公式2

ππ3

12sin cos 1262

-==

，故选项B 不正确；

对于选项C ：由两角和的余弦公式()cos 45cos15sin 45sin15cos 4515

-=+

1

cos 602

==

；故选项C 正确； 对于选项D ：由两角差的正切公式可得：

()

()tan 77tan 32111

tan 7732tan 45222

21tan 77tan 32

-=

-==+⋅故选项D 正确. 故选：ACD 10．AC

【解析】B 中DA 与BC 共线，D 中OD 与OB 共线，A 、C 中两向量不共线， 故选：AC. 11．AD

【解析】解：∵1,6

AB AC B π

===

，

由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ∴2320BC BC -+=， ∴1BC =，或2BC =，

∴由ABC ∆的面积公式1

sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅得ABC S ∆=或ABC S ∆=， 故选：AD ． 【名师点评】

本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 12．BCD

【解析】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1

AG ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→

=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有1

1////NF AG D E ，故过1D ，E ，

F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时1D N ==

，

EF =1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；