浙教版九年级上册数学第一章：二次函数易错题——最值问题(含解析)

浙教版九年级上册数学第一章：二次函数易错题——最值问题
一、单选题
1.已知二次函数y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，(x1，0)，(x2，0)，则下列说法正确是( )
①该函数图象一定过定点(﹣1，﹣5)；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：6
5<m＜2；③当
m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2
满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：21
4<m＜11.
A. ①②③④
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
2.已知二次函数y＝﹣1
2x2+2x+3，则该函数的最大值为（）
A. ﹣2
B. 2
C. ﹣3
D. 5
3.二次函数y=-2(x+1)²-3的最大值为（）
A. -1
B. -2
C. -3
D. -4
4.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m 为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（）
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ①③④
5.把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）
A. ﹣4
B. 0
C. 2
D. 6
6.已知二次函数y=x²，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是( )
A. 当n-m=1时，b-a有最小值
B. 当n-m=1时，b-a有最大值
C. 当b-a=1时，n-m无最小值
D. 当b-a=1时，n-m有最大值
7.若关于x的方程|ax2+bx+c|=5有三个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+c有（）
A. 最小值为5
B. 最大值为5
C. 最大值为5或最小值-5
D. 最大值-5或最小值5
二、填空题
8.在平面直角坐标系中，已知A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y= x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．
9.汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是________秒.
10.已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是________．
三、综合题
11.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(−3,0)、B(1, 0)，交y轴于点N，点M抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM,点E是线段AM上方抛物线上的一动点，EF⊥AM于点F；过点E作EH⊥x 轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点，当EF取最大值时．
①.求PD+PC的最小值；
OQ的最小值．
②.如图2，Q点是y轴上一动点,请直接写出DQ+1
4
12.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y=kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k ，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
13.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线y=1
2x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、
B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(−1,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+
1
2
ON的最小值．
14.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C ，AC ，BC ．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N ．设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN 的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15.如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC=DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒.
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
16.如图，已知抛物线y= 1
x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC
3
∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
17.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,4)，抛物线y=x2−5x+ a−2的顶点为C ．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式x2−5x+a−2≤0的x的最大值为3，直接写出实数a的值．
18.为了更好地做好复课准备，某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A 型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包。

（1）求a的值。

（2）经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售。

①求y关于x的函数解析式；
②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包。

问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？
19.赣南脐橙果大形正，肉质脆嫩，风味浓甜芳香，深受大家的喜爱.某脐橙生产基地生产的礼品盒包装的脐橙每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售200箱.为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研，每降价1元，日销售量可增加20箱.
（1）求出每天销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若该生产基地每天要实现最大销售利润，每箱礼品盒包装的脐橙应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少?
20.已知抛物线y=−1
2x2+3
2
x+2，与x轴交于两点A ，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C ．
（1）求点A ，B和点C的坐标；
（2）已知P是线段BC上的一个动点．
①若PQ⊥x轴，交抛物线于点Q ，当BP+PQ取最大值时，求点P的坐标；
②求√2AP+PB的最小值．
21.已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C ，且对称轴在y轴的左侧，抛物线的顶点为P.
（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）当BC=AB时，求b的值；
（3）在（1）的条件下，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
22.在平面直角坐标系中，抛物线y=−mx2+2mx+3m（m>0）与x轴交于A、B两点（点B在A的右侧），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点.
（1）当m=1时，求顶点D的坐标
（2）若OD=OB，求m的值；
（3）设E为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B），过点E作EH⊥x轴，垂足为H，交
，求m的值.
直线BC于点F. 记线段EF的长为t，若t的最大值为9
2
23.我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为W万元.(毛利润=销售额−生产费用)
（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)
（2）求W与x之间的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大?最大毛利润是多少?
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润?
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解析】【解答】①y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3=m(x+1)2﹣2x2﹣3，
当x=﹣1时，y=﹣5，故该函数图象一定过定点(﹣1，﹣5)，符合题意；
②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且△＞0，
△=b2﹣4ac=20m﹣24＞0，解得：m >6
5，且m＜2，故m的取值范围为：6
5
<m＜2，符合题意；
③当m＞2，m－2＞0,即二次函数开口向上，对称轴x＝−b
2a ＝−2m
2(m−2)
＝−1−2
m−2
＜−1,函数的
对称轴在﹣1的左侧，则当1≤x≤2时，y随x的增加而增大，在x=2时，y取得最大值，y的最大为：4 (m－2)+4m+m－3=9m－11，故原答案错误，不符合题意；
④当m＞2，x=﹣3时，y=9(m﹣2)﹣6m+m﹣3=4m﹣21，当x=﹣2时，y=m﹣11，当﹣3＜x1＜﹣2时，则(4m﹣21)(m﹣11)＜0，解得：21
4
<m＜11；
同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：21
4
<m＜11正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】①把二次函数整理成合适的形式，再把点(﹣1，﹣5)代入即可判断正误；②由函数图象开口向下可知，二次项系数小于0，即m﹣2＜0，且根的判别式大于0，即△=b2﹣4ac=20m﹣24＞0，解不等式即可求解；③由m＞2，可知二次函数开口向上，再判断函数的对称轴的位置，再根据函数增减性即可判断；④根据开口向上的二次函数与x轴交点的特点可得关于m的不等式，解不等式即可判断.
2.【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣1
2x2+2x+3的二次项系数为﹣1
2
，
∴当x＝﹣
2
2×(−1
2
)
＝2时，函数取得最大值y＝﹣1
2
×22+2×2+3＝5
故答案为：D.
【分析】二次项系数为负值的二次函数，其图象开口向下，顶点纵坐标为函数的最大值，据此可解.
3.【答案】C
【解析】【解答】解：由二次函数的性质可知，
二次函数的图象开口向下，当x=-1时，二次函数有最大值-3
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可得到答案。

4.【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2∴b＝﹣4a，
∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点B位于（4，0）、（5，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，
即当x＝﹣1时，y＜0，也就是a﹣b+c＜0，因此②正确；
∵对称轴为x＝2，
∴x＝2时的函数值大于或等于x＝m时函数值，即，当x＝2时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
即，m（am+b）≤4a+2b，因此③不正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，
∴x＝5时，一次函数值比二次函数值大，
即25a+5b+c＜﹣5+c，
而b＝﹣4a，
∴25a﹣20a＜﹣5，解得a＜﹣1，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故答案为：C.
【分析】抛物线与y轴的交点在x轴上方及对称轴为直线x＝2，可得c＞0，b＝﹣4a，从而可得4a+b+c ＝4a﹣4a+c＝c，据此判断①即可；根据抛物线的对称性及交点B的位置，可得抛物线与x轴的另一个交
点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，由于抛物线开口向下，可得当x＝﹣1时，y＜0，据此判断②即可；根据抛物线的性质知，当x＝2时，函数值最大，可得am2+bm+c≤4a+2b+c，据此判断③即可；观察图象可知D点在x轴上方且横坐标小于5，即是当x＝5时，一次函数值比二次函数值大，即25a+5b+c＜﹣5+c，由b＝﹣4a，可求出a＜﹣1，据此判断④即可.
5.【答案】D
【解析】【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，
∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵（m﹣1）a+b+c≤0，
∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，
∵a＞0，
∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，
∴m的最大值为6，
故答案为：D.
【分析】根据关于x对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为（1，﹣4a），即可得出原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，和y＝ax2+bx+c比较即可得出b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入（m﹣1）
a+b+c≤0，即可得到m≤6.
6.【答案】B
【解析】【解答】解：①当b−a＝1时，如图1，
过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADD＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b−a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD−CD＝n−m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝AC
＝n−m，
BC
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n−m≥0，
即n−m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n−m＝1时，如图2，
过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b−a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ−HQ＝n−m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝MH
NH ＝1
b−a
，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴1b−a≥1，
∴b−a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误；
故答案为：B．
【分析】①当b−a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b−a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n−m，即tan＝n−m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n−m的范围；②当n−m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b−a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n−m＝1，而tan∠MHN的值，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论。

7.【答案】C
【解析】【解答】解：y=|ax2+bx+c|的图象如图，当y=5时，方程|ax2+bx+c|=5有三个不相等的实数根.
当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值5；
当a<0时，二次函数y=ax2+bx+c有最大值5.
故答案为：C.
【分析】先画出y=|ax2+bx+c|大致图象，然后利用直线y=5与函数图象的交点个数进行判断.
二、填空题
8.【答案】4
【解析】【解答】∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴x=−1+5
2=2,即−b
2a=
−b
2=2
,
∴b=﹣4．
y=x2−4x+1=x2−4x+4−3=(x−2)2−3．∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【分析】通过A 、B 两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n 的最小值．
9.【答案】 1.25
【解析】【解答】∵s ＝15t ﹣6t 2＝﹣6（t ﹣1.25）2+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒.
故答案为：1.25.
【分析】由题意得，先将函数解析式根据公式y=ax 2+bx+c=a(x+b 2a )2+4ac−b 24a 化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
10.【答案】 a ＜5
【解析】【解答】解：∵0≤x≤4时，y 仅在x ＝4时取得最大值，
∴﹣ 1−a 2×1 ＜ 0+42 ，
解得a ＜5．
故答案为：a ＜5．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．
三、综合题
11.【答案】 （1）解：将A （-3,0）、B （1,0）代入二次函数 y =ax 2+bx +3 得， {9a −3b +3=0a +b +3=0 解之得 {a =−1b =−2 ，∴二次函数的解析式为 y =−x 2−2x +3 ；
（2）解：①将二次函数 y =−x 2−2x +3 配方得 y =−(x +1)2+4 ，
∴M （-1,4）
设直线AM 的解析式为 y =px +q ，将 A(−3,0),M(−1,4) 代入直线可得，
{−3p +q =0−p +q =4 解得 {p =2q =6
， ∴直线AM 的解析式为 y =2x +6 ，
过E 作直线l ，平行于直线AM ，且解析式为 y =2x +m ，
∵E 在直线AM 上方的抛物线上，
∴ −3<x E <−1 ；
当直线l 与AM 距离最大时，EF 取得最大值，
∴当l 与抛物线只有一个交点时，EF 取得最大值，
将直线l 的解析式代入抛物线得 x 2+4x +m −3=0 ，
由题意可得，△= 16−4×1(m −3)=0 ，经计算得 m =7 ，将 m =7 代入二次方程可得， x 2+4x +4=0 ，
∴ x =−2 ，即E 点的横坐标为-2，将 x =−2 代入抛物线得 y =3 ，
∴ E(−2,3) ，
又∵ ED ⊥ x 轴，
∴ x D =x E =−2 ，将 x D =−2 代入直线AM ，
∴ D(−2,2) ，
∵ C(−1,0),B(1,0) ，
∴B 、C 两点关于 y 轴对称，
∴ PB =PC ，
∴ PC +PD =PB +PD ，当P 、B 、D 三点不共线时 PB +PD >BD ，
当P 、B 、D 三点共线时， PB +PD =BD ，
∴当P 、B 、D 三点共线时PC+PD 取得最小值，
在Rt △BHD 中。

DH=2，BH=3，∴BD= √DH 2+BH 2=√13 ，
∴ PC +PD 的最小值为 √13 ；
②过Q 作直线平行于x 轴，并在y 轴右侧该直线上取一点G ，使得，
QG= 14OQ ，
∴ DQ +14OQ =DQ +QG ，当 D,Q,G 三点共线时，
DQ+QG 取得最小值，设Q （0，y ），则 G(14y,y) ，
∵QG ∥ x 轴，
∴ y D =y G =y Q =2 ，
∴ y =2 ，
∴ DQ +14OQ 的最小值为 54y =52 ．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A,B 两点代入解析式即可求出．（2）利用配方法求出M 点，求出直线AM 的解析式，从而可以得出经过点E 且与直线AM 平行的直线l 解析式，再根据当直线 l 与抛物线只有一个交点时，EF 取最大值，利用根的判别式可求出E 点和D 点的坐标，再根据当P,B,D 三点共线时，PD+PC 有最小值，利用勾股定理即可求出．（3）利用添加辅助线，对线段OQ 进行转化，再根据三点共线求出最小值．
12.【答案】 （1）解：由题意可得，当x=50时，y=30；当x=70时，y=10，
代入 y =kx +b 中得：
{50k +b =3070k +b =10 ，解得： {k =−1b =80 ， ∴k=-1，b=80；
（2）解：由（1）可知，y=-x+80，
∴ w =(x −40)·y =(x −40)(−x +80)=−x 2+120x −3200=−(x −60)2+400 ，
∵y=-x+80≥0，
∴ 40≤x ≤80
∵-1＜0，
∴当x=60时，w 有最大值，此时w=400，
即最大利润为400元．
【解析】【分析】（1）将“当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件”代入一次函数 y =kx +b ，即可解答；（2）根据利润=销售量×（销售单价-进价），得到 w =−(x −60)2+400 ，再根据二次函数的性质得到利润最大为400元即可． 13.【答案】 （1）解：由题意，令 y =0 ，即 12x −2=0
∴A 的坐标为（4,0）
令 x =0 ，即 y =−2
∴B 的坐标为（0，-2）
将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线，得
{16a +4b +c =0
c =−2a −b +c =0 解得 {a =12c =−2b =−32
∴抛物线解析式为： y =12x 2−32x −2 ；
（2）解：假设存在该点P ，设其坐标为（a ， 12a 2−32a −2 ）
∵A 的坐标为（4,0），B 的坐标为（0，-2）
∴OA=4，OB=2， |AB|=√42+22=2√5 ，
∴点P 到直线 y =12x −2 的距离为
12a−(12a 2−32a−2)−2√(2)+(−1) ∵ S △PAB =S △OAB =12OA ⋅OB =4
∴ 12⋅2√512a−(12a 2−32
a−2)−2√(12)2+(−1)2=4
∴ a =2
∴存在这样的点P ，点P 的坐标为（2，-3）
（3）解：设M 坐标为 (m,12m 2−32m −2) S △MAB =12⋅2√5⋅12m−(12m 2−32
m−2)−2√(2)+(−1)=−m 2+4m
当 △MAB 的面积最大时，即 S △MAB =−m 2+4m =−(m −2)2+4
△MAB 的面积最大为4， m =2
∴M 坐标为 (2,−3)
设N 的坐标为 (0,n)
MN +12ON =√(2−0)2+(−3−n)2+12⋅|n|=√(n +3)2+4+12⋅|n|
当 n =−3 时， MN +12ON 有最小值，
其值为 72 .
【解析】【分析】（1）分别求出A 、B 坐标，然后将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式；（2）首先假设存在点P ，然后根据面积相等构建等式，看是否有解，即可得解；（3）首先设点M 坐标，根据面积最大构建二次函数求最大值得出点M 坐标，然后设点N 坐标，再次构建二次函数求最小值，即可得解．
14.【答案】 （1）解：将 A(−3,0) ， B(4,0) 代入 y =ax 2+bx +4 ，得 {9a −3b +4=016a +4b +4=0 ，解之，得 {a =−13b =13
． 所以，抛物线的表达式为 y =−13x 2+13x +4 ．
（2）解：由 y =−13x 2+13x +4 ，得 C(0,4) ．
将点 B(4,0) 、 C(0,4) 代入 y =kx +b ，得 {4k +b =0b =4 ，解之，得 {k =−1b =4 ． 所以，直线BC 的表达式为： y =−x +4 ．
由 M(m,0) ，得 P(m,−13m 2+13m +4) ， Q(m,−m +4) ．
∴ PQ =−13m 2+13m +4+m −4=−13m 2+43m
∵ OB =OC ，∴ ∠ABC =∠OCB =45° ．
∴ ∠PQN =∠BQM =45° ．
∴ PN =PQsin45°=√22(−13m 2+43m)=−√26
m 2+2√23m ． =−
√26
(m −2)2+2√23 ． ∵ −√26<0 ∴当 m =2 时，PN 有最大值，最大值为
2√23 ．
（3）解：存在，理由如下：由点 A(−3,0) ， C(0,4) ，知 AC =5 ．
①当 AC =CQ 时，过Q 作 QE ⊥y 轴于点E ，易得 CQ 2=EQ 2+CE 2=m 2+[4−(−m +4)]2=2m 2 ，
由 2m 2=25 ，得 m 1=5√22 ， m 2=−5√22
（舍） 此时，点 Q(
5√22,8−5√22) ；
②当 AC =AQ 时，则 AQ =AC =5 ．
在 Rt △AMQ 中，由勾股定理，得 [m −(−3)]2+(−m +4)2=25 ．
解之，得 m =1 或 m =0 （舍）
此时，点Q(1,3)；
③当CQ=AQ时，
由2m2=[m−(−3)]2+(−m+4)2，得m=25
2
（舍）．
综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：Q(1,3)，Q(5√2
2,8−5√2
2
)．
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．
15.【答案】（1）解：因为Rt△ABC中∠B=30°∴∠A=60°
∵∠E=30°∴∠EQC=∠AQM=60°
∴△AMQ为等边三角形
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N.
在Rt△ABC中，AC=√3,BC=AC⋅tanA=3
∴EF=BC=3
根据题意可知CF=x
∴CE=EF−CF=3−x
CQ=CE⋅tanE=√3
3
(3−x)
∴AQ=AC−CQ=√3−√3
3(3−x)=√3
3
x
∴AM=AQ=√3
3
x
而MN=AM⋅sinA=1
2
x
∴S△MAQ=1
2AQ⋅MN=1
2
×√3
3
x⋅1
2
x=√3
12
x2
（2）解：由（1）知BF=CE=3−x PF=BF⋅tanB=√3
3
(3−x)
∴S
重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=1
2
AC⋅BC−1
2
AQ⋅MN−1
2
BF⋅PF
=1
2×3×√3−√3
12
x2−1
2
(3−x)√3
3
(3−x)
=−√3
4x2+√3x=−√3
4
(x−2)2+√3
所以当x=2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3
【解析】【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF=BC=3，设CF=x，可求AQ=√3
3
x，
MN=1
2
x，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“ S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可.
16.【答案】（1）解：将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
1
3
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝1
3
x2+2x＋1；
（2）解：∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴1
3
x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，1
3
m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−( 1
3m2+2m＋1)＝−1
3
m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝1
2AC⋅EF＋1
2
AC⋅PF
＝1
2AC⋅(EF＋PF)＝1
2
AC⋅EP
＝1
2×6(− 1
3
m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6<m<0，
∴当m＝−9
2时，四边形AECP的面积最大值是81
4
，此时P( −9
2
，−5
4
)；
（3）解：∵y＝1
3x2+2x＋1＝1
3
(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝y F−y p＝3，CF＝x F−x C＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝9√2，AC＝6，CP＝3√2，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝3√2:9√2，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6) :9√2＝3√2:6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
【解析】【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，1
3
m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
17.【答案】（1）解：依据题意，将得点B的坐标(6,4)代入抛物线得：
4=36−30+a−2，
解得a=0．
此时，y=x2−5x−2．
所以顶点C的坐标为(5
2,−33
4
)．
（2）解：当抛物线过A(0,4)时，a=6，此时，y=x2−5x+4．当抛物线过B(6,4)时，a=0，此时，y=x2−5x−2．
结合下面图象可知，a的取值范围是0⩽a<6．
（3）解：抛物线 y =x 2−5x +a −2 的对称轴为 x =52 ，抛物线开口向上，当 x >52 时， y 越来越大，则 x 2−5x +a −2≤0 的x 的最大值为3，可知，当 x =3 时，不等式有最大值且最大值为0，则 x 2−5x +a −2=0 ，代入得 32−5×3+a −2=0 ，解得 a =8 ．
则实数 a 的值为8．
【解析】【分析】（1）将B 点坐标代入抛物线即可求出 a 的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A 点和B 点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的 a 值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB 有交点时 a 的范围；（3）抛物线 y =
x 2−5x +a −2 的对称轴为 x =52 ，抛物线开口向上，当 x >52 时， y 越来越大，则 x 2−5x +a −
2≤0 的x 的最大值为3，可知，当 x =3 时， x 2−5x +a −2=0 ，代入即可求出 a 的值． 18.【答案】 （1）解：根据题意可得： 180a−4−180a
=12 解得a 1=10，a 2=-6，经检验a 1=10，a 2=-6是原方程的解，但a 2=-6不符合题意，舍去。

∴a=10
（2）解：①根据图像信息得：
当0<x≤30时，y=10---4发
当30<x≤50时，y 与x 之间满足一次函数关系，设函数表达式为y=kx+b 。

取点（30，10），（50，8）代入得 {30k +b =1050k +b =8 ，解得 {k =−0.1b =13 ∴y=-0.1x+13
当x>50时，y=8
②设A 型口罩购买x 包，则B 型口罩为（100-x ）包，购买两种口罩的总金额为W 元
（Ⅰ）当∵30≤x≤50，W=x （-0.1x+13）+6（100-x ）=-0.1x²
+7x+600， =-0.1（x-35）²+722.5，当x=35时，W 取最大值722.5，当x=50时，
W 取最小值700元，，当30≤x≤50时，700≤W≤722.5
（Ⅱ）当50<x≤60时，由题意得，W=8x+6（100-x ）=2x+600，W 随x 的增大而增大，
∴700<W≤720
综上：当购买A 型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元
【解析】【分析】 (1)包数=总价
每包单价 ， 根据 180元钱购买的A 型口罩比B 型口罩少12包列方程即可得到答案；
(2)① 根据图像信息，当0<x≤30时，y=10 ； 当30<x≤50时，y 与x 之间满足一次函数关系，在图像上取两个点，根据待定系数法即可求出解析式； 当x>50时，y=8 ；
② 由①可知， 当30≤x≤50 时，购买口罩的总金额 =x （-0.1x+13）+6（100-x ）= =-0.1（x-35）²+722.5 ，根据二次函数的性质，在对称轴的位置取得最大值， 当x=50时取最小值 ； 当50<x≤60时， W=8x+6（100-x ）=2x+600 ，根据一次函数的性质，在x=50时取最小值，在当x=60时取最大值 ，再比较两段的最值即可得到答案.
19.【答案】 （1）解：由题意得 y =200+20(50−x)=−20x +1200 ，
∴y 与x 之间的函数关系式为 y =−20x +1200
（2）解：设每天销售利润为w 元，
据题意，得 w =(x −30)y =(x −30)(−20x +1200) ，
整理得 w =−20x 2+1800x −36000=−20(x −45)2+4500 ，
∴当 x =45 时，销售利润最大，此时 w =4500 元.
答：当每箱礼品盒包装的脐橙定价为45元时，每天可实现的最大利润为4500元.
【解析】【分析】（1）通过理解题意，找出题目中所给出的函数关系，列出二次函数关系式；（2）通过二次函数最值的求法求最值解决问题.
20.【答案】 （1）令 y =0 ，则 −12x 2+32x +2=0 ，解得 x 1=−1 ， x 2=4 ．
∴A 点坐标为 (−1,0) ，B 点坐标为 (4,0) ．
令 x =0 ，则 y =2 ．
∴C 点坐标为 (0,2) ．
（2）①设： l BC :y =mx +n ，将 B(4,0) ， C(0,2) 分别代入得， {0=4m +n 2=n ，解得 {m =−12n =2 ，故 l BC :y =−12x +2 ． 可设 P(t,−12t +2) ， 0≤t ≤4 ，则 Q(t,−12t 2+32t +2) ，且Q 在P 上方．
所以 PQ =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+2t ．
又 BP =√(4−t)2+(−12t +2)2=√52
(4−t) ． 故 BP +PQ =√52(4−t)+(−12t 2+2t)=−12t 2+(2−√52)t +2√5 ．
当 t =2−√52 时取得最大值，此时 P(2−√52,1+√54) ．
②如图，延长 AC 至点D ，使得 CD =CB ，连接 BD ，作 DE ⊥y 轴于点E ，过点P 作 PH ⊥BD 于点H ．
由 AC 2=12+22=5 ， BC 2=22+42=20 ， AB 2=(−1−4)2=25 ，
所以 AC 2+BC 2=AB 2 ， ∠ACB =90° ．
则 △BDC 是等腰直角三角形， ∠CBD =45° ．
√2AP +PB =√2(AP +PBsin45°)=√2(AP +PH) ，由垂线段最短可知，当 A ， P ， H 共线时 (AP +PH) 取得最小值．
∵ ∠BCD =∠DEC =∠COB =90° ，
∵ ∠DCE +∠BCO =∠BCO +∠CBO =90° ，
∴ ∠DCE =∠CBO ．
∴ △CDE ≌△BCO ．
∴ DE =CO =2 ， CE =BO =4 ．
可得点D 的坐标为 (2,6) ．
∴ BD =√(2−4)2+(6−0)2=2√10 ，
S △ABD =12
AB ⋅y D =12BD ⋅AH ，代入可得 12×5×6=12×2√10⋅AH ， 解得 AH =3√102 ，故有 √2AP +PB =√2(AP +PH)≥√2AH =3√5 ．
所以 √2AP +PB 的最小值为 3√5 ．
【解析】【分析】（1）令 y =0 ，代入抛物线解析式即可求出A 、B 的坐标，令 x =0 从而得出C 点
坐标；（Ⅱ）①设 l BC :y =mx +n 代入B 、C 坐标即可得出直线解析式，设 P(t,−12t +2) ， 0≤t ≤
4 ，则 Q(t,−12t 2+32t +2) ，且Q 在P 上方，分别表示出PQ ，BP 即可得出PQ+BP 的表达式，对表达
式进行配方即可得出结果，②如图，延长 AC 至点D ， 使得 CD =CB ，连接 BD ，作 DE ⊥y 轴于点E ， 过点P 作 PH ⊥BD 于点H ， 可证的 △BDC 是等腰直角三角形，由垂线段最短可知，当 A ， P ， H 共线时 (AP +PH) 取得最小值，根据题目已知条件得出D 点坐标，表示出 S △ABD =12AB ⋅y D =12BD ⋅AH 即可得出结果． 21.【答案】 （1）∵ b =2 ，∴抛物线为 y =x 2+2x +c ，
∴将点 (1,0) 代入 y =x 2+2x +c ，得 1+2+c =0 ，∴ c =−3 ，
∴抛物线的解析式为 y =x 2+2x −3=(x +1)2−4 ，
∴顶点坐标为 (−1,−4) .
（2）由已知将点 (1,0) 代入 y =x 2+bx +c ，得 1+b +c =0 ，∴ c =−b −1 ，
∵对称轴在y 轴的左侧，∴ −b 2<0 ，
∴ b >0 ，∴ OC =b +1 ；
设B 点坐标为 (t,0) ，则 t+12=−b 2 ∴ t =−b −1 ，
∴ OC =OB ， △OBC 是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得 BC =√2(b +1) ，
又∵ AB =1−t =2+b ，
∴ √2(b +1)=2+b ，
解得 b =√2 .
（3）DM +DN 为定值，如图所示:
∵抛物线 y =x 2+2x −3 的对称轴为：直线 x =−1
∴ D(−1,0) ， x M =x N =−1
设 Q(t,t 2+2t −3)(−3<t <1)
设直线 AQ 解析式为 y =dx +e
∴ {d +e =0dt +e =t 2+2t −3 ，解得： {d =t +3e =−t −3 ∴直线 AQ:y =(t +3)x −t −3
当 x =−1 时， y M =−t −3−t −3=−2t −6
∴ DM =0−(−2t −6)=2t +6
设直线 BQ 解析式为 y =mx +n
∴ {−3m +n −0mt +n =t 2+2t −3 解得： {m =t −1n =3t −3 ∴直线 BQ:y =(t −1)x +3t −3
当 x =−1 时， y N =−t +1+3t −3=2t −2
∴ DN =0−(2t −2)=−2t +2
∴ DM +DN =2t +6+(−2t +2)=8 ，为定值.
【解析】【分析】（1）将 b =2 ，A 坐标 (1,0) 代入抛物线解析式即可；（2）设B 点坐标为 (t,0) ，可证明 △OBC 是等腰直角三角形，通过勾股定理即可求得 BC 长度，即 AB 的长，从而求得b 的值.（3）设 Q(t,t 2+2t −3)(−3<t <1) ，求得直线 AQ:y =(t +3)x −t −3 ，直线 BQ:y =(t −1)x +3t −3 ，用含t 的代数式表示 DM +DN 即可求解.
22.【答案】 （1）解：∵ m =1 ，∴ y =−x 2+2x +3 .
由 y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4 ,
∴顶点D （1，4）.
（2）解：当 y =0 时,有 −mx 2+2mx +3m =0 ,即 x 2−2x −3=0 ,
解得 x 1=−1 , x 2=3 .
∴A （ −1 ， 0 ）,B （ 3 ， 0 ）.
∴OB =3.
∵ y =−mx 2+2mx +3m =−m(x −1)2+4m .
∴D （ 1 ， 4m ）.
根据勾股定理，有 OD 2=12+(4m)2 .
∵OD=OB ，∴ 12+(4m)2=32 .
解得 m 1=√22 , m 2=−√22 （舍）,
∴ m =
√22 .
（3）解：设经过点B ，C 的直线为 y =kx +b .
把点B （ 3 ， 0 ），C （ 0 ， 3m ）代入,得 y =−mx +3m .
设点E （ x ， y ）在抛物线 y =−mx 2+2mx +3m （ m >0 ）上,
有 y =−mx 2+2mx +3m ,点F （ x ， −mx +3m ）.
∵A （ −1 ， 0 ），B （ 3 ， 0 ），点E 在点A ，B 间的抛物线上.
∴线段EF 的长有两种情况:
①当 0≤x ≤3 时,
∴EF=t= −mx 2+2mx +3m −(−mx +3m)=−mx 2+3mx . ∵ t =−mx 2+3mx =−m(x −32)2+94m , −m <0 ,
∴ t 有最大值.
即当 x =32 时，t 的最大值是 94m .
②当 −1≤x <0 时,
∴EF=t= −mx +3m −(−mx 2+2mx +3m)=mx 2−3mx . ∵ t =mx 2−3mx =m(x −32)2−94m ， m >0
∴当 x <32 时， t 随 x 的增大而减小.
∴当 x =−1 时， t 的值最大，最大值是 4m .
∵ m >0 ，∴ 94m <4m .
∵当 −1≤x ≤3 时， t 的最大值是 92 .
∴ 4m =92 .即 m =98 .
【解析】【分析】（1）把 m =1 代入解析式可求出解析式,再把解析式化为顶点式即可求得结果.（2）令y=0可得出 x 1=−1 , x 2=3 ,即可得到A,B 的坐标,再把一般式化为顶点式可得到顶点坐标D,根据勾股定理可得 OD 2=12+(4m)2 ,再根据OD = OB 列出等式即可求出结果.（3）设经过点B ， C 的直线为 y =kx +b 把点代入可得到 y =−mx +3m ,再设点E （ x ， y ）在抛物线 y =−mx 2+2mx +3m （ m >0 ）上,可得点F （ x ， −mx +3m ）, 根据A （ −1 ， 0 ），B （ 3 ， 0 ），点E 在点A ， B 间的抛物线上,知道线段EF 的长有两种情况,分别是当 0≤x ≤3 时和当 −1≤x <0 时,即可求出结果.
23.【答案】 （1）图①可得函数经过点(100，1000)，
设抛物线的解析式为y=ax²
(a0) 将点(100，1000)代入得：1000=10000a ，
解得：a= 110
故y 与x 之间的关系式为y= 110 x 2
图②可得：函数经过点(0，30)、(100，20)，
设z=kx+b ，则 {100k +b =20b =30 解得： {k =−110b =30 故z 与x 之间的关系式为z= −110 x+30
（2）W=zx-y= −110 x 230x −110 x 2= −15 x 2+30x= −15 (x 2-150x)= −15 (x-75)²
+1125 ∵ −15 <0
∴当a=75时，W 有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；
（3）令y=360，得 110 x²
=360， 解得：x=±60(负值舍去)，
由图象可知，当0<y≤360时，0<z≤60，
(x-75)²+1125的性质可知，
由W= −1
5
当0<x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x=60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元
【解析】【分析】（1）观察图象，利用待定系数求函数解析式；
（2）根据（1）中的表达式及毛利润的计算公式可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求最值；
（3）首先确定出x的取值范围，再利用二次函数的增减性解决问题.。