立体几何体积的求解方法

立体几何体积的求解方法

重要知识

立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。

求椎体体积通常有四种方法：

（1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。（2）等体积法：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。

（3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。

典型例题

方法一：直接法

例1、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．

例2、如图已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．

方法二：等体积法

例3、如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB 为正三角形．若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．

例4、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．求三棱锥P﹣ACE的体积．

方法三：割补法

例5：如图，是一个平面截长方体的剩余部分，

已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，

求几何体EFGH ABCD -的体积。

例6：四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52，

求四面体ABC S -的体积。

C C

例7、如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．若E 为PA 的中点，求三棱锥P ﹣BCE 的体积．

例8：如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.求三棱锥A-PCD 的体积