上海市七宝中学2022-2023学年高二上学期开学考数学试题(含答案)
沪教版高二上学期开学摸底数学试题与答案
沪教版高二上学期开学摸底数学试题考试范围：高一下学期全部内容+高二上学期衔接内容一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分)1．若tan 2θ=，则cot2θ=．2．设复数3i1iz -=+，则复数z 的虚部为.3．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调增区间为4．已知复数32i +是实系数二次方程20x bx c ++=的一根，则b =.5．已知向量()1a x ，=，()2,2b =- ，若a b ⊥ ，则实数x =.6．已知向量()3,4a =- ，()1,2b = ，则b 在a方向上的投影向量为.7．若A 、B 、C 三点共线，对任意一点O ，有()1sin 2OA x OB OC x =⋅+∈R成立，则x =.8．在△ABC 中，222a cb ac +=-，则角B 的大小是；若b =则△ABC 的面积的最大值是.9．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了(30)t t <分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则t =．10．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是．11．平面向量1e 与2e 是单位向量，夹角为60︒，那么，向量1e 、2e 构成平面的一个基．若12a xe ye =+，则将有序实数对,x y 〈〉称为向量a的在这个基下的斜坐标，表示为,a x y =〈〉．设1,1a =〈-〉，2,b 0=〈〉，则⋅=a b ．12．如果四边形ABCD 是矩形，SD ⊥平面ABCD ，D 是垂足，那么图中互相垂直的平面的组数是．二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分）13．若对任意实数x 都有3sin 4cos 5sin()x x x ϕ-=+，则角ϕ的终边在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知向量(),1a λ=r ，()2,3b = ，若a 与b的夹角θ是锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．322,,233⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．322,,233⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．若点M 、直线l 、平面α，则下列命题中正确的是（）A ．若M l ∈，l 不在平面α上，则M α∉；B ．若M l ∉，l α⊂，则M α∉；C ．若M l ∈，M α∈，则l α⊂；D ．若M l ∉，M α∉，则M l α∉ ．16．要得到函数π2cos 12y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 3x y =的图象上所有的点（）A ．横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），再向右平行移动π12个单位长度B ．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动π12个单位长度C ．横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），再向左平行移动5π12个单位长度D ．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动5π12个单位长度三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)17．复数范围内解下列方程(1)23320x x ++=；(2)3210x x x +++=.18．已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,1a b c b =，且满足2cos cos cos a B C c B =+．(1)若a =ABC V 的面积S ；(2)求2a c +的最大值，并求其取得最大值时cos C 的值．19．如图，四面体ABCD 中，AB BC =，AD DC =，E 是AC 的中点，且5BD =，4BE =，3DE =，求证：(1)平面ABC ⊥平面ADC ；(2)平面ABC ⊥平面B ；(3)平面B ⊥平面ADC ．20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，1==PA AB ，AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P 的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE AF ⊥；(3)求三棱锥P AEF -体积的最大值．21．2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD 是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD 连接，经测量已知223.AB BC CD AD ====，(1)若120C ∠=︒，求此花卉布展区域总面积；(2)求证：3cos cos A C -为一个定值；(3)在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c .若()231,1a b b a c +-==3a b -的取值范围。
2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练高二数学上学期开学摸底考试卷含详解
高二数学上学期开学摸底考试卷（沪教版2020）（满分150分，完卷时间120分钟）测试范围：必修二+必修三前两章 考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、填空题1．若复数z 满足()2z i z =-（i 为虚数单位），则z =______.2．已知向量6a =，e 为单位向量，当向量a 、e 的夹角等于45°时，则向量a 在向量e 上的数量投影是________．3．若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为_______．4．空间四边形ABCD 中，AB CD =且AB 与CD 所成角为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为__________．5．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是_________．6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若C ＝105°，a ＝42，A ＝45°，则b ＝_______7．如图，A O B '''是用斜二测画法得到的AOB 的直观图，其中2O A ''=，3O B ''=，则AB 的长度为______.8．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=，1cos 2β=，则()cos αβ-=______9．已知向量()3,6a =，()3,4b =-，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为______.10．关于z 的实系数一元二次方程20z bz c ++=的一根为1，则c =__________．11．在ABC 中，34AC BC ==，，三角形的面积等于AB 的长为___________.12．给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直； ④若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行； 其中所有错误命题的序号为________.二、单选题13．为了得到函数()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，需对函数()sin g x x =的图像所作的变换可以为（ ）A ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移12π个单位 B ．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移12π个单位 C ．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向左平移4π个单位 D ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移4π个单位 14．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ） A ．sin y x =B ．sin y x =C ．tan y x =D ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．已知l 、m 、n 是空间三条直线，则下列命题正确的是 A ．若l // m ，l // n ，则m // n B ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则m // nC ．若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB // lD ．若三条直线l 、m 、n 两两相交，则直线l 、m 、n 共面16．已知1e ，2e 是平面向量的一个基底，设非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，给出下列两个命题：①1221//a b x y x y ⇔=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=，则（ ） A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对三、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若p =8，求1x 、2x ；18．在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，且满足:::1:2AE EB CF FA CP PB ===（如图1），将AEF 沿EF 折起到1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连接1A B ，1A P （如图2）(1)求证：1A E ⊥平面BEP ；(2)求二面角1B A P F --的余弦值．19．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2,2m a b =，()cos ,cos n B A =且满足cos cm n C⋅=. （1）求C ；（2）若3c =，求当函数()cos24cos sin f B B C B =-取最小值时ABC 的周长； （3）求sin sin A B 的取值范围．20．已知函数()1sin 224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()0f 的值； (2)求()f x 的最小正周期； (3)求()f x 的单调减区间.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，已知PD ⊥平面ABCD ，且PD AD =，E 为PC 中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)证明：平面PCD ⊥平面PBC ．高二数学上学期开学摸底考试卷（沪教版2020）（满分150分，完卷时间120分钟）测试范围：必修二+必修三前两章 考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、填空题1．若复数z 满足()2z i z =-（i 为虚数单位），则z =______.【分析】计算出z 再计算模长即可.【详解】()222(1)21iz i z z i iz i z i z i =-⇒=-⇒+=⇒=+.故21i z i ===+【点睛】本题主要考查了复数的运算以及模长运算,属于基础题型.2．已知向量6a =，e 为单位向量，当向量a 、e 的夹角等于45°时，则向量a 在向量e 上的数量投影是________．【答案】【分析】根据向量在向量上投影的数量公式求解.【详解】向量a 在向量e 上的数量投影是||cos ,e 6cos 45a a →→→⋅<>=⨯︒=故答案为：3．若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为_______． 【答案】16π【详解】由题意可得，圆柱的高为h=4，不妨设底面圆半径为r,所以24r π=，22216()4V r h ππππ=⋅=⋅⋅=.答案：16π4．空间四边形ABCD 中，AB CD =且AB 与CD 所成角为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为__________． 【答案】30或60︒【分析】设BD 的中点为H ，连接,EH FH ，利用等腰三角形可求EF 与AB 所成角的大小.【详解】设BD 的中点为H ，连接,EH FH ，因为,BE EC BH HD ==，故1//,2EH CD EH CD =， 同理//FH AB ，1//,2FH AB FH AB =， 故EHF ∠或其补角为AB 与CD 所成角，而AB 与CD 所成角为60︒， 故60EHF ∠=︒或120EHF ∠=︒，若60EHF ∠=︒，因为AB CD =，故EH FH =，故EHF 为等边三角形， 故60EFH ∠=︒，因为//FH AB ，故EF 与AB 所成角即为EFH ∠或其补角，故EF 与AB 所成角为60︒， 若120EHF ∠=︒，则EHF 为等腰三角形，故30EFH ∠=︒，因为//FH AB ，故EF 与AB 所成角即为EFH ∠或其补角，故EF 与AB 所成角为30， 故答案为：30或60︒.5．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是_________．【答案】612【分析】作出图形，找出直线OP 与平面OAB 所成的角θ，证出PA ⊥平面PBH ，得出PA PH ⊥，得出点P 的轨迹就是平面α内以线段AH 为直径的圆(A 点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.【详解】如图，过点B 作BH OA ⊥，交OA 的延长线于点H ，连接PH ，OP ，取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF OA ⊥，垂足为F ，平面OAB ⊥平面α，且平面OAB 平面OA α=，BH ⊂平面OAB ，PF α⊂，BH α∴⊥，PF ⊥平面OAB ，OP ∴在平面OAB 上的射影就是直线OA ，故AOP ∠就是直线OP 与平面OAB 所成的角θ，即AOP θ∠=，AP α⊂，AP BH ∴⊥，又PA PB ⊥，PB BH B =，PB ，BH ⊂平面PBH ， PA ∴⊥平面PBH ，PH ⊂平面PBH ，PA PH ∴⊥，故点P 的轨迹就是平面α内以线段AH 为直径的圆(A 点除外)， OA AB =，且120OAB ∠=，60BAH ∴∠=，设(0)OA a a =>，则AB a ，从而cos602aAH AB =⋅=， 124aPE AH ∴==，如图， 当且仅当PE OP ⊥，即OP 是圆E 的切线时，角θ有最大值，tan θ有最大值，tan θ取得最大值为：a PE OP ===．6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若C ＝105°，a ＝A ＝45°，则b ＝_______【答案】4【分析】由题意可得π6B =，结合sin sin a bA B=运算求解． 【详解】由题意可得π6B =根据正弦定理：sin sin a bA B =，则sin 4sin a B b A== 故答案为：4．7．如图，A O B '''是用斜二测画法得到的AOB 的直观图，其中2O A ''=，3O B ''=，则AB 的长度为______.【答案】210【分析】在原图形中作出AB ，然后由勾股定理计算． 【详解】如图，在原图形中，2OA =，6OB =，AB ==故答案为：8．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=，1cos 2β=，则()cos αβ-=______【分析】根据角度范围，利用同角三角函数关系式，先确定cos α，sin β的值，在用两角余弦和差公式求解即可.【详解】解：α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α，1cos 2β=3cos ,sin 5αβ∴===314cos()cos cos sin sin 525αβαβαβ∴-=⋅+⋅=⨯+=.9．已知向量()3,6a =，()3,4b =-，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为______.【答案】912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】首先求出a b ⋅，再根据平面向量投影的定义cos ||ba b θ⋅计算即可． 【详解】解：向量(3,6)a =，(3,4)b =-，所以92415a b ⋅=-=-，(235b =+，则a 在b 方向上的投影的坐标为151912cos (3,4),5555||||||b a b b a b b b θ⋅-⎛⎫⋅=⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为：912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．关于z 的实系数一元二次方程20z bz c ++=的一根为1，则c =__________． 【答案】4【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现得另一根为1，再由根与系数关系得结论．【详解】由题意方程另一根为1，所以(14c ==． 故答案为：4．11．在ABC 中，34AC BC ==，，三角形的面积等于AB 的长为___________.【分析】由面积公式求出sin C ，即可得到C ，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：因为3AC =，4BC =且三角形的面积等于所以11sin 34sin 22ABCSab C C ==⨯⨯⨯=，所以sin C = 因为()0,C π∈，所以3C π=或23C π=，当3C π=时，由余弦定理22212cos 916234132c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c ；当23C π=时，由余弦定理22212cos 916234372c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =12．给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直； ④若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行； 其中所有错误命题的序号为________. 【答案】①③【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能相交、可能平行、也可能异面，①错； 垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，③错； 垂直于同一平面的两条直线平行，④正确． 故答案为：①③．二、单选题13．为了得到函数()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，需对函数()sin g x x =的图像所作的变换可以为（ ）A ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移12π个单位 B ．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移12π个单位 C ．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向左平移4π个单位 D ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移4π个单位 【答案】B【分析】根据图像变换逐项计算后可得正确的选项.【详解】对于A ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移12π个单位，所得图像的解析式为11sin sin 312336y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故A 错误；对于B ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移12π个单位，所得图像的解析式为sin 3sin 3124y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向左平移4π个单位,所得图像的解析式为3sin 3sin 344y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移4π个单位，所得图像的解析式为11sin sin 34312y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误；故选：B.14．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ） A ．sin y x = B ．sin y x =C ．tan y x =D ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A ，sin y x =定义域为R ，()sin sin x x -=-，sin y x ∴=为奇函数，A 错误； 对于B ，sin y x =定义域为R ，()sin sin sin x x x -=-=，sin y x ∴=为偶函数，B 正确； 对于C ，tan y x =定义域为(),22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，即定义域关于原点对称，()tan tan x x -=-，tan y x ∴=为奇函数，C 错误；对于D ，cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭定义域为R ，()sin sin x x -=-，cos 2y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为奇函数，D错误. 故选：B.15．已知l 、m 、n 是空间三条直线，则下列命题正确的是 A ．若l // m ，l // n ，则m // n B ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则m // nC ．若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB // lD ．若三条直线l 、m 、n 两两相交，则直线l 、m 、n 共面 【答案】A【详解】分析：由公理4可判断A ，利用空间直线之间的位置关系可判断B ，C ，D 的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A 正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m 与n 相交或异面，故B 错误；若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB∥l或AB 与l 异面，故C 错误； 若三条直线l ，m ，n 两两相交，且不共点，则直线l ，m ，n 共面，故D 错误．故选A ． 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．16．已知1e ，2e 是平面向量的一个基底，设非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，给出下列两个命题：①1221//a b x y x y ⇔=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=，则（ ） A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对【答案】C【分析】根据题意，结合向量的共线定理与向量的数量积的计算公式，即可求解.【详解】由题意可知，1e ，2e 都不为零向量，对于①，因//a b ，所以λa b ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，消去λ，得1221x y x y =，故①正确； 对于②，由a b ⊥，得()()111221220a b x e y e x e y e ⋅=++=，即()221211*********x x e y y e x y x y e e +++⋅=，因1e ，2e 的夹角与模长都未知，所以12120x x y y +=不一定成立，故②错.故选：C.三、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ． （1）若p =8，求1x 、2x ；（2）若134i x =+，求p 的值．【答案】（1）143x i =+，243x i =-；（2）6p ．【分析】（1）利用求根公式即可求解.（2）将134i x =+代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，2100360p ∆=-=-<，∴86432i x i ±====±， ∴143x i =+，243x i =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以1832440p p -=-=，解得6p ．18．在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，且满足:::1:2AE EB CF FA CP PB ===（如图1），将AEF 沿EF 折起到1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连接1A B ，1A P （如图2）(1)求证：1A E ⊥平面BEP ；(2)求二面角1B A P F --的余弦值．【答案】(1)证明见解析，(2)78- 【分析】（1）在图1中，由余弦定理求出EF ，根据勾股定理即可得EF AE ⊥，进而在图2中，可得1A E EF ⊥，又平面1A EF ⊥平面BEP ，从而根据面面垂直的性质定理即可证明1A E ⊥平面BEP ；（2）以EB 、EF 、1EA 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出面1FA P 与面1BA P 的一个法向量，然后利用向量法即可求解二面角1B A P F --的余弦值.(1)证明：由题意，在图1中1AE =，2AF =，又60A ∠=︒，所以由余弦定理可得EF =所以222AE EF AF +=，所以EF AE ⊥，所以在图2中，1A E EF ⊥，因为二面角1A EF B --为直二面角，即平面1A EF ⊥平面BEP ，又平面1A EF平面BEP EF =，1A E ⊂平面1A EF ， 所以1A E ⊥平面BEP ；(2)解：分别以EB 、EF 、1EA 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则(0E ，0，0)，(2B ，0，0)，(1P 0)，1(0A ，0，1)，()F ，1(0,3,1),(1,0,0)A P F F =-=-，1(2,0,1),(1,3,0)BA BP =-=-，设面1FA P 的法向量为(,,)m x y z =，则1300m A F y z m PF x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(0m =，1， 设面1BA P 的法向量为(,,)n x y z =，则1200n BA x z n BP x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(3n =，1，，117cos ,8m nm n m n ⋅⨯∴<>===， 由图可知二面角1B A P F --为钝二面角，所以二面角1B A P F --的余弦值为78-． 19．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2,2m a b =，()cos ,cos n B A =且满足cos c m n C⋅=. （1）求C ；（2）若3c =，求当函数()cos24cos sin f B B C B =-取最小值时ABC 的周长； （3）求sin sin A B 的取值范围．【答案】（1）3π；（2）3+3）30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）先由题中条件，得到2cos 2cos cos c a B b A C +=，再由正弦定理将该式变形整理，求出cos C ，即可得出角C ；（2）先将()f B 化简整理，得到()2132sin 22f B B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，确定其取最小值时，2B π=，进而可求出各边长，得到三角形的周长；（3）先由（1）得到23B A π=-，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将所求式子化为2sin sin sin sin 3A B A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围.【详解】（1）由题意可得2cos 2cos cos c m n a B b A C ⋅=+=， 根据正弦定理可得sin 2sin cos 2sin cos cos C A B B A C +=，则()sin 2sin cos C A B C +=， 所以sin 2sin cos C C C =，又C 为三角形内角，所以()0,C π∈，因此1cos 2C =，所以3C π=； （2）因为()2213cos 24cos sin 12sin 2sin 2sin 22f B B C B B B B ⎛⎫=-=--=-++ ⎪⎝⎭， 由3C π=可得203B π<<，因此0sin 1B <≤；所以当且仅当sin 1B =时，()2132sin 22f B B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭取得最小值，此时2B π=；因为3c =，所以sin c b C==cos a b C ==则ABC 的周长为3a b c ++=+（3）因为3C π=，所以23B A π=-，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此21sin sin sin sin sin sin 32A B A A A A A π⎫⎛⎫=-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭()211112sin 21cos 2sin 24244264A A A A A π⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 因此1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以113sin 20,2644A π⎛⎫⎛⎤-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 即sin sin A B 的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】思路点睛：求解三角形的相关问题时，一般先利用正弦定理或余弦定理将题中条件进行转化，求出所需角或边；再结合题中条件，进行求解；有时也会利用三角函数的性质或基本不等式求解最值或范围问题.20．已知函数()1sin 224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R . (1)求()0f 的值；(2)求()f x 的最小正周期；(3)求()f x 的单调减区间.【答案】(2)π；(3)588k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈） 【分析】（1）直接代入计算；（2）结合正弦函数的周期求解；（3）由正弦函数的单调性求解．(1)1(0)sin 24f π==； (2)22T ππ==； (3)3222242k x k πππππ+≤+≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以减区间是588k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，已知PD ⊥平面ABCD ，且PD AD =，E 为PC 中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)证明：平面PCD ⊥平面PBC ．【分析】（1）设AC 与BD 交于O 点，连结EO ，易证//OE PA ，再利用线面平行的判断定理即可证得答案；（2）利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判断定理即可.(1)连接AC 交BD 于O ，连接OE因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点，因为在PAC △中，E 是PC 的中点，所以//OE PA ，因为OE ⊂平面,EDB PA ⊄平面EDB ，所以//PA 平面EDB(2)侧棱PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以DC BC ⊥，因为PD 与DC 为平面PCD 内两条相交直线，所以BC ⊥平面PCD ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PDC ⊥平面PBC .。
2022-2023学年上海市实验学校高二上学期开学考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市实验学校高二上学期开学考数学试题一、单选题 1．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i - 对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.2．设n 为正整数，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．反之不能推出，可以举出反例．【详解】解：“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．充分性成立；反之不能推出，例如0n a =，数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但数列不是等比数列，即必要性不成立；故“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的充分非必要条件 故选：A ．3．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是 A ．1322a a a +≥ B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >【答案】B【详解】设{an }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据基本不等式可知B 选项正确．4．2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O A ､，两动点B Q ､，且||||1,OA OB OA ==绕点O 逆时针旋转到OB 所形成的角记为θ，设函数()()()4sign cos sin5f θθθθπθπ=⋅⋅--≤≤，其中()10sign 00,10x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩令()f ρθ=，作OQ OB ρ=，随着θ的变化，就得到了点Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q 的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用排除法和向量的共线及向量的垂直的应用分析判断. 【详解】先考虑与OA 共线的蝴蝶身方向，令θπ=，则()()4sign cos sin54f ππππ=⋅⋅-=-，所以44OQ OB OA =-=，令θπ=-，则()()()()4sign cos sin 54f ππππ-=⋅-⋅---=，所以44OQ OB OA ==-， 所以排除AC ，先考虑与OA 垂直的蝴蝶身方向， 令2πθ=，则54sign cos sin12222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以OQ OB =-，所以排除D ， 故选：B二、填空题5．已知向量(5,3),(1,)a b x ==-，且//a b ，则实数x ＝________． 【答案】35【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程，即可解决此题． 【详解】解：向量(5,3)a =，(1,)b x =-，且//a b ，53(1)0x ∴-⨯-=，解得35x =-．故答案为：35． 6．若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 【答案】2【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现的性质得出另一根，然后由韦达定理得结论． 【详解】因为1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，所以1i -也是方程的根，所以(1i)(1i)2c =+-=．故答案为：2．7．已知向量(5,3),(1,2)a b ==-，则a 在b 上的投影向量的坐标为________． 【答案】12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可． 【详解】解：向量(5,3)a =，(1,2)b =-， ∴a 在b 上的投影向量的坐标为：11(15||||5a b b b b b ⋅⋅=⋅=-，122)(,)55=-．故答案为：1(5-，2)5．8．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 【答案】63-【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值. 【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以66(12)6312S --==--，故答案是63-. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且22225791116a a d a a ++=+，则{}n a 的前15项和15S =___________.【答案】15【分析】由已知，根据22225791116a a d a a ++=+，可通过化简得到951174a a a a +++=，借助等差数列的性质可以求解出1152a a +=，然后代入等差数列前n 项和公式即可完成求解.【详解】由已知，在等差数列{}n a 中，22225791116a a d a a ++=+，所以22229511716a a a a d -+-=，所以959511711795117()()()()4()4()16a a a a a a a a d a a d a a d -++-+=+++=， 因为0d ≠，所以951174a a a a +++=，由等差数列的性质可知，97511115a a a a a a +=+=+，所以1152a a +=， 所以1151515()1521522a a S +⨯===. 故答案为：15.10．设||2,||3,|3|6a b a b ==-=，则向量a 与b 的夹角为___________.【答案】1arccos 4【分析】利用向量的夹角公式直接求得. 【详解】因为||2,||3,|3|6a b a b ==-=，所以222|3|9636a b a a b b -=-⋅+=，即946936a b ⨯-⋅+=， 所以32a b ⋅=，即323cos ,2a b ⨯⨯=，所以,1cos 4a b =.因为[],0,a b π∈，所以1,arccos 4a b =.故答案为：1arccos 4.11．复数sin1cos1i -的辐角主值是______． 【答案】312π+【分析】根据题意，结合复数的三角形式即可求解. 【详解】由3cos 1sin12π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 1cos12π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 得33sin1cos1cos 1isin 122i ππ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此复数sin1cos1i -的辐角主值为312π+. 故答案为：312π+. 12．在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C=()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．13．在矩形ABCD 中，1,AC AE BD =⊥，垂足为E ，则()()AD AE CB CA ⋅⋅的最大值是___________. 【答案】427【分析】设,0,)90(CAB θθ∠=∈︒︒,将()()AD AE CB CA ⋅⋅用θ表示,再利用基本不等式即可得到最大值. 【详解】如图：设,0,)90(CAB θθ∠=∈︒︒,则由1,AC AE BD =⊥,得：cos ,sin AB AD θθ==，cos sin AE θθ=.所以()()()32222222211sin 2cos sin 4sin cos sin sin 2cos sin 22327AD AE CB CA θθθθθθθθθ⎛⎫++⋅⋅==⨯⨯≤=⎪⎝⎭（当且仅当22sin 2cos θθ=,即tan θ=时,等号成立）.故答案为：427. 14．设()f x 是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满足()()()421f n f n n +-≤+，()()()()1265,1505f n f n n f +-≥+-=-，则()2023289f 的值为.___________.【答案】3535【分析】根据(4)()2(1)f n f n n +-≤+，得出(12)()6(5)f n f n n +-≤+，从而求出(12)()f n f n +-和(4)()f n f n +-的值，再计算(2023)f 的值即可． 【详解】解：因为(4)()2(1)f n f n n +-≤+，所以(12)()(12)(8)(8)(4)(4)()f n f n f n f n f n f n f n f n +-=+-+++-+++-2(9)2(5)2(1)6(5)n n n n ≤+++++=+，又因为(12)()6(5)f n f n n +-≥+，所以(12)()6(5)f n f n n +-=+， 所以(4)()2(1)f n f n n +-=+，所以()(2023)[(2023)(2019)][(2019)(2015)]...[3(1)](1)f f f f f f f f =-+-++--+-505(20204)2202022016...20(1)250550520232f ⨯+=⨯+⨯++⨯+-=⨯-=⨯，所以(2023)50520233535289289f ⨯==． 故答案为：3535．三、解答题15．已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． （1）若a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值． 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取到最大值3； 5π6x =时，()f x 取到最小值-【分析】（1）根据a b ，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值． （2）根据()f x a b =⋅求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x 的值．【详解】解：（1）∵向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． 由a b ，可得：3sinx =，即tanx = ∵x ∈[0，π] ∴56x π=．（2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝⎭∵x ∈[0，π]， ∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当2233x ππ+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；当2332x ππ+=，即56x π=时()min f x =-【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16．设复数i z b a =+（其中a ，b R ∈），1i z z k =+，2i z z k =⋅（其中k ∈R ）． （1）设12a b ==，若12=z z ，求出实数k 的值； （2）若复数z 满足条件：存在实数k ，使得1z 与2z 是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数z 的模的取值范围． 【答案】（1）1-；（2）()0,1.【分析】(1)用k 表示出复数12,z z ，再根据给定条件列式计算即可； (2)利用实系数一元二次方程的两个虚根的关系列式分类讨论即可求解.【详解】（1）11i 22z =+，11111i i i 2222z k k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，21111i i 2222z k i k k ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因12=z z ，即22221111()()()()2222k k k ++=+，解得1k =-，所以实数k 的值为1-；(2)()1i z a b k =++，2i z bk ak =+，因1z 与2z 是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，则1z ，2z 互为共轭复数，即a bkb k ak =⎧⎨+=-⎩， 若0b =时，则有0a k ==，此时1z ，2z 为零，不合题意， 若0b ≠时，则ak b =，a a b a b b+=-⋅，整理得22b a a =--，由20b >，得()1,0a ∈- 而222z a b a =+=-，即20||1z <<，0||1z <<， 所以复数z 的模的取值范围是()0,1.17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且171,28a S ==，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][0.90,lg991⎡⎤==⎣⎦. (1)求111101b b b ､､；(2)求数列{}n b 的前2022项和. 【答案】(1)1111010,1,2===b b b (2)4959【分析】（1）根据等差数列前n 项和公式，结合条件即可得到{}n a 的通项公式，再根据[]lg n n b a =即可得到结果.（2）由（1）中结果即可求得{}n b 中的各项，加起来即可求得结果. 【详解】(1)因为n S 为公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和， 且171,28a S ==所以4728a =，解得44a =，则公差41141a a d -==-， 所以n a n =，由于[]lg n n b a =，所以[][]111111lg 0,lg 1b a b a ====，[]101101lg 2b a ==(2)由于1290b b b ===， 101112991b b b b =====， 1001011029992b b b b ====10001001100299993b b b b ====，所以数列{}n b 的前2022项和，()()()()2022128101199100101999100010012022T b b b b b b b b b b b b =+++++++++++0909002102334959=++⨯+⨯=18．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n na n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证.【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k-==， 设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =再由错位相减法即可得证.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”.（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n N ∈成立.【答案】（1）证明见解析；（2）1d =-；（3）证明见解析．【详解】（1）首先112a S ==，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,{2,2,n n n a n -==≥，所以对任意的*n N ∈，2n n S =是数列{}n a 中的1n +项，因此数列{}n a 是“H 数列”．（2）由题意1(1)n a n d =+-，(1)2n n n S n d -=+，数列{}n a 是“H 数列”，则存在*k N ∈，使(1)1(1)2n n n d k d -+=+-，1(1)12n n n k d --=++，由于(1)*2n n N -∈，又*k N ∈，则1n Z d-∈对一切正整数n 都成立，所以1d =-． （3）首先，若n d bn =（b 是常数），则数列{}n d 前n 项和为(1)2n n n S b -=是数列{}n d 中的第(1)2n n -项，因此{}n d 是“H 数列”，对任意的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-（d 是公差），设1n b na =，1()(1)n c d a n =--，则n n n a b c =+，而数列{}n b ，{}n c 都是“H 数列”，证毕．【解析】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．20．称一个复数数列{zn }为“有趣的”，若|z 1|=1，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=.求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{zn }及任意正整数m ，均有12mz z z C +++.【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数m 进行分类讨论，结合数列的极限，即可求得结果.【详解】考虑有趣的复数数列{zn }.归纳可知zn ≠0(n ∈N +).由条件得()2114210n n n n z z n z z +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，解得)1n n z n z ++=∈N .因此1112n n nn z z z z ++===， 故()1111122n n n z z n +--=⋅=∈N ①进而有)11111N 2n n n n n n z z z z n z +++-+=⋅+==∈ ② 记()12m m T z z z m +=+++∈N .当m =2s (s ∈N +)时，利用②可得122122smk kk T z z z z -=+-+∑2122kk k z z ∞-=>+∑2k ∞===.当m =2s +1(s∈N +)时，由①、②可知2121221112s k k s k s k s z z z ∞∞+-=+=+===+∑∑，故12212212smk ks k Tz z z z z -+=⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭∑2122k k k z z ∞-=>-+∑当m =1时，111T z ==>以上表明C =满足要求. 另一方面，当)12211,k k z z z k ++===∈N 时，易验证知{zn }为有趣的数列.此时()2112211lim lim ss k k s s k T z z z ++→∞→∞==++∑1lim 1ss k →∞==+413==这表明C 综上，所求的C 【点睛】本题考查新定义问题，涉及数列的极限、数列的新定义，复数的运算，属综合困难题.。
上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷
上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷一、填空题1．直线l 过点()1,2，法向量为()1,2n =r，则l 的一般式方程为. 2．已知集合{}31,|03,2A xB x x x N x ⎧⎫=<-=<<∈⎨⎬-⎩⎭，则A B =I . 3．已知i 为虚数单位，3i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚根，则p q +=. 4．若2510a b ==，则11a b+=5．已知直线:30l x y +-=，点(3,)M m 到直线l m =6．若将直线y ＝3x －3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为． 7．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是13，则sin cos αα+=．8．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是．9．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 10．如图，1==u u u r u u u r OA OB ，2π,3OA OB =u u u r u u u r ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，则CA CBu u u r u u u r g 的取值范围是.11．已知函数()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，41223416x x x x x ⋅++⋅的取值范围是.. 12．设定义域为[]12,x x 的函数()y f x =的图象为C ，图象的两个端点分别为A 、B ，点O 为坐标原点，点()(),M x f x 是C 上任意一点，向量()()1122,,,OA O x y x y B ==u u u r u u u r，且满足()()12101x x x λλλ=+-<<，又设向量()1ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，现定义函数()y f x =在[]12,x x 上“可在标准k 下线性近似”是指MN k ≤u u u u r恒成立，其中0k >为常数.给出下列结论：①A 、B 、N 三点共线；②直线MN 的法向量可以为()1,0a =r；③函数25y x =在[]0,1上“可在标准1下线性近似”；④函数1y x x =-在[]1,2上“可在标准k 下线性近似”，则32k ≥其中所有正确结论的序号为.二、单选题13．已知非零平面向量a r ，b r ，那么“a b μ=r r”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知i 为虚数单位，复数z 满足1i z z +=-，则i z +的最小值为（ ）AB ．12C ．13D ．015．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，k 为常数且,2k k ∈≥N ，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列，则120k a a a ⋅=L L 是12210k S S S -⋅=L L 的充分非必要条件，②若{}n a 是等比数列，则10k k a a ++=是120k S S S ⋅=L L 的充要条件，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①、②都是真命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①、②都是假命题16．若存在常数a ，b ，使得函数()y f x =对定义域内的任意x 值均有()()22f x f a x b +-=，则()y f x =关于点(),a b 对称，函数()y f x =称为“准奇函数”.现有“准奇函数”()y g x =，对于任意x ∈R ，都有()()4g x g x +-=，则函数()()sin 21h x x x g x =++-在区间[]2024,2024-上的最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式：(2)若272n a n b -=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →+∞. 18．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC 边上的高AD 所在直线的方程为220x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，点B 的坐标为()1,3.(1)求直线BC 的方程；(2)求直线AC 的方程及点C 的坐标.19．如图，某城市为升级沿河直线绿道AB 的沿途风景，计划在以AB 为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林CDEF （C ，D 在AB 上，E ，F 在半圆上，O 为圆心），已知AB 全长160m .(1)求枫叶林CDEF 面积的最大值；(2)为方便游客休憩打卡，计划在AB 的另一侧修建观景木质栈道A G B --，已知AG 段每米的造价为a 元，BG 段每米的造价是AG 段的两倍，π3AGB ∠=，求修建观景木质栈道A G B --所需的费用最多为多少元（结果用a 表示）.20．已知函数21()2x x f x a+=+为奇函数．(1)求实数a 的值；(2)求关于x 的不等式()3f x >的解集；(3)设函数22()log log 24x xg x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．21．已知直线:0l ax by c ++=和点00(,)P x y ，点P 到直线l 的有向距离(,)d P l 用如下方法规定：若0b ≠，(,)d P l =，若0b =，0(,)ax cd P l a+=． (1)已知直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，求原点O 到直线12,l l 的有向距离12(,),(,)d O l d O l ；(2)已知点(2,1)A 和点(3,1)B -，是否存在通过点A 的直线3l ，使得3(,)2d B l =？如果存在，求出所有这样的直线3l ，如果不存在，说明理由；(3)设直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，问是否存在实数0t >，使得对任意的参数α都有：点12(,0),(,0)F t F t -到4l 的有向距离()()1424,,,d F l d F l 满足()()1424,,1d F l d F l ⋅=？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如果不存在，请说明理由．。
2023_2024学年上海市高二上册开学考试数学试题(附答案)
.
z a 2i
2．若复数 2 i 是纯虚数，则实数 a
．
3．已知 a、b R ，且 a2 9b2 1，则 ab 的最大值是
.
24
4．若一个等腰三角形顶角的正弦值为 25 ，则其底角的余弦值为
.
5．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇
5 1 形制作而成，设扇形的面积为 S1 ，圆面中剩余部分的面积为 S2 ，当 S1 与 S2 的比值为 2 时，
)
，
0
，
[0, ] 2，
f
(x)
f
(x) 的最大值为
1.
（1）求 的值；
（2）若函数 f (x) 在[1, 2] 内没有对称轴，求 的取值范围；
（3）若函数 f (x) 满足 f (x) f (x 12) 恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存 在至少两个零点，求 的最小值.
1．0,1, 2
ba
2 ba
2 0
b ba b ba 3
则
，
sin 1 cos2 5
所以 为锐角，则
3.
画出图象如下图所示，
由图可知，
a
的最小值为
b
sin
3
5 3
5 .
故5
6 9． 6
【分析】设正方形边长为 a ，四面体 A EFG 外接球半径为 r，由 GA ， GE ， GF 两两垂直，
20．已知函数
f
x
2x
a 2x
，a
为实常数.
(1)若函数 f x为奇函数，求 a 的值；
(2)若 x [0,1] 时 f (x) 的最小值为 2，求 a 的值；
高二数学开学考(含答案)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高二开学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B2．已知f(α)＝sin π－α·cos 2π－αcos －π－α·tan π－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12C ．32D ．－32答案：A3．函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：A4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案：B5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327答案：D6.已知函数f(x)＝1＋cos 2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x ＋asin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15 D ．±10答案：C7．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m n 的值为( )A ．2B ．12C ．3D ．13答案：B 8．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －3，y －1，若a 与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3答案：C9.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD→|＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案：D10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36 答案：B11.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B ．18C.14D ．12答案：B12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235C ．1735D ．1答案：C二、填空题（每小题5分，共20分）13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2mm ＋5，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，则tan x ＝________.答案：－3414．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 答案：－5π615．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|.→|＝________.则|AM答案：216．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：球与性别有关．(请用百分数表示)附表：答案：三、解答题17（本小题10分）．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)解法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 解法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g(x)的最大值．解：(1)由题意知，f(x)＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f(x)的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤πx 3－π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x≤6k＋52，k ∈Z ，所以y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g(x)的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f(x)的最大值．当x ∈[3,4]时， π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32， f(x)∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g(x)的最大值为12.20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m⊥n ， ∴ m·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴ tan x ＝sin xcos x＝1.(2)由题意知，|m|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝1， |n|＝sin 2x ＋cos 2x ＝1，m·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4. 而m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，∴ x ＝5π12.21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：②已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2.(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图②)； (2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取24 24＋16×5＝3(人)，记为a，b，c，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取1624＋16×5＝2(人)，记为A，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况．设“此2人来自不同群体”为事件M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，∴P(M)＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是35.22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b ，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个． 所以P(z ＝4)＝216＝18.(2)∵Δ＝b 2＋4c>0恒成立， ∴方程必有两根．∴①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0， 即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0， 即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。
七宝中学高二开学考(2019.03)
10. [0, 4] 3
11. ①②④
12. x2 ( y m 1)2 4 (m 3)
（2）当 k 2 时，求 | AP BP | 的取值范围.
19. 从数列{an} 中取出部分项组成的数列称为数列{an} 的“子数列”. （1）若等差数列{an} 的公差 d 0 ，其子数列{akn } 恰为等比数列，其中 k1 1， k2 5 ， k3 17 ，求 k1 k2 kn ；
为 2 的直线 l 交双曲线 L 的左支于点 P ，若直线 PF2 l ，则双曲线 L 的渐近线方程是
8. 已知 Sn 为数列{an} 的前 n 项和， a1 2 ， a2 4 ，平面内三个不共线的向量 OA 、 OB 、
OC 满足 OC (1 an )OA (an1 an1)OB （ n 2 ， n N* ），若点 A 、 B 、 C 在同一直
实数 m的值；
（2）设复数 满足条件 | 3 | (1)n | 3 | 3a (1)n a（其中 n N* ，常数 a ( 3 ,3) ）， 2
当 n 为奇数时，动点 P(x, y) 的轨迹为 C1 ，当 n 为偶数时，动点 P(x, y) 的轨迹为 C2 ，且两
条曲线都经过点 D(2, 2) ，求轨迹 C1 与 C2 的方程； （3）在（2）的条件下，定点 B(x0 ,0) （ x0 0 ）与轨迹 C2 上任一点 A 的最小距离不小于
线上，则 S2019
9. 已知平面向量 a 、 b 、 c 满足 a b ，且{| a |,| b |,| c |} {1, 2, 4} ，则 | a b c |的最大
值是
x 2y 5 0
10. 若{(x, y) | 3 x 0
{( x,
y)
|
2023-2024学年上海市高二上册开学考数学模拟试题(含解析)
f (x) logc (cx t)(c 0, c 1) 是“优美函数”，则 t 的取值范围是___________. 【正确答案】 (0, 1 )
4 【分析】判断函数的单调性，根据“优美函数”的定义可列出方程组，结合一元二次方程的根 的范围列出不等式，即可求得答案. 【详解】若 c 1，则函数 y cx t 为 R 上增函数， y logc x 为 (0, ) 上的增函数，
【正确答案】B
【分析】（1）利用辅助角公式将 sin cos
2sin
4
可判断（1）；
（2）根据函数 y＝sinx 图象的对称轴方程可判断（2）；
（3）根据余弦函数的性质可求出 y＝cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）
的正误；
（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．
f
(x 1) x 1
0
的解集为___________.
【正确答案】3, 1
先由定义域为 R 的奇函数 f x 在区间 (0, ) 上为严格减函数，且 f 2 0 ，画出 f x 的草
图，结合图像对
f
(x 1) x 1
0
进行等价转化，解不等式即可.
【详解】 f x 是定义域为 R 的奇函数，且在区间 (0, ) 上为严格减函数，有 f 2 0 ，
的取值范围为
3π 8
,
π 16
.
故答案为.
3π 8
,π 16
9．已知 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin A 2sin C, a2 c2 ac b2 ，
2022-2023学年上海市七宝中学高二上学期开学考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市七宝中学高二上学期开学考数学试题一、单选题1．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列说法错误的是（ ）A ．AB 与AC 不是共线向量 B ．与AB 同向的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 和BCD ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】C【分析】根据向量共线定理可判断A ；根据单位向量的概念可判断B ；由向量夹角的余弦公式可判断C ；根据法向量的特征可判断D. 【详解】对于A ，()2,1,0AB =，()1,2,1AC =-，由于210121≠≠-， 所以AB 与AC 不是共线向量，故A 正确；对于B ，()2,1,0AB =，25ABAB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，()2,1,0AB =，()3,1,1BC =-，co s 5,AB BC AB BC AB BC⋅=-==⋅C 错误；对于D ，()2,1,0AB =，()1,2,1AC =-，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-++=⎩，取1x =，得()1,2,5n =-，故D 正确，故选：C.2．已知直二面角l αβ--，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且直线a 与直线l 不垂直，直线b 与直线l 不垂直，则以下判断正确的是（ ） A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ．a 与b 可能垂直，也可能平行 C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行 【答案】C【分析】利用空间中两直线的位置关系求解．【详解】解：l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，∴当//a l ，且//b l 时，由平行公理得//a b ，即a ，b 可能平行，故A 与D 错误；当a ，b 垂直时，则a 与b 在α内的射影垂直，由于二面角是直二面角，b 在α内的射影即为l ，则可证得a l ⊥，与已知矛盾，a ∴与b 不可能垂直，有可能平行．故选：C ．3．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的体积是（ ）A B C D 【答案】C【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，设三条侧棱长分别为,,a b c ，则123111222S S S ab bc ac =⋅⋅，所以abc ，所以三棱锥的体积111326V a bc =⋅==故选：C4．已知两个平面,αβ和三条直线,,m a b ,若m αβ=,a α⊂且,a m b β⊥⊂,设α和β所成的一个二面角的大小为1θ,直线a 和平面β所成的角的大小为2θ,直线,a b 所成的角的大小为3θ,则（ ） A ．123θθθ=≥ B ．312θθθ≥= C ．1323,θθθθ≥≥ D ．1232,θθθθ≥≥【答案】D【分析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案. 【详解】如图,在平行六面体中,1190,90A AD A AB ∠=∠> 不妨设面11AA D D 为α,面ABCD 为β,BC b =.则AD m =,1AA a = 此时,由图可知,12390,90,90θθθ><=.只有C 选项符合. 故选:D.【点睛】本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系.二、填空题5．已知向量(3,5,1)a =，(2,2,3)b =，(4,1,3)c =--，则向量234a b c -+的坐标为___________． 【答案】(16,0,19)-【详解】∵(3,5,1)a =，(2,2,3)b =，(4,1,3)c =--， ∴2342(3,5,1)3(2,2,3)4(4,1,3)(16,0,19)a b c -+=-+--=-．6．一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________． 【答案】16【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可. 【详解】由题可得该正四棱柱的体积为22416⨯⨯=. 故答案为：16.7．()1,1,3a =-，()1,4,2b =--，()1,5,c x =，若a ，b ，c 三向量共面，则实数x =_________. 【答案】5【分析】根据空间向量共面列出方程组，求出5x =.【详解】()1,1,3a =-，()1,4,2b =--，()1,5,c x =，若a ，b ，c 三向量共面， 设c ma nb =+，即()()()()1,5,,,3,4,2,4,32x m m m n n n m n n m m n =-+--=---，所以15432m nn m x m n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得:325m n x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以5x =.故答案为：58．如果平面α外有两点A B 、到平面α的距离相等，则直线AB 和平面α的位置关系为___________. 【答案】平行或相交【分析】若AB 、在平面α的同侧，可判断直线AB 和平面α平行；若A B 、在平面α的两侧，可判断直线AB 和平面α相交；【详解】若AB 、在平面α的同侧，因为平面α外有两点A B 、到平面α的距离相等，所以直线AB 和平面α平行；若A B 、在平面α的两侧，因为平面α外有两点A B 、到平面α的距离相等，所以直线AB 和平面α相交；综上所述:直线AB 和平面α的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交9．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________. 【答案】3:2【分析】设球的半径为R ，计算出圆柱和球的表面积，即可得解.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的表面积2212π2π26πS R R R R =+⋅=，球的表面积224πS R =，所以12:3:2S S =.故答案为：3:2.10．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为_________.10【分析】以AB 、AD 、1AA 为基底表示出1AC ，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】解：因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，所以()2211AC AB AD AA =++212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅222111922cos 6002cos c s 0o 6B AD AA AD AB AA AD AA AB A ︒︒︒=+++⋅+⋅+⋅111142122121022=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以110AC =.故答案为：1011．已知四面体ABCD 中，E 、F 、G 分别为BC 、AD 、BD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3，则FGE ∠=_________.【答案】π3或2π3【分析】根据//AB FG ，//CD GE ，结合异面直线夹角的定义求解即可.【详解】如图，因为E 、F 、G 分别为BC 、AD 、BD 的中点，故//AB FG ，//CD GE ，故AB 与CD 所成的角即FG 与GE 所成的角为π3，且与FGE ∠相等或者互补，故FGE ∠=π3或2π3.故答案为：π3或2π312．圆锥P O -轴截面的顶角为34π，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为_________. 【答案】(]0,2【分析】设,PA PB 为圆锥的任意两条母线，APB θ∠=，则有30,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，然后利用三角形的面积公式表示出PABS，从而可求出其范围.【详解】设,PA PB 为圆锥的任意两条母线，APB θ∠=，则由题意得30,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2PA PB ==，1sin 2sin 2PAB S PA PB APB θ=⋅∠=，因为30,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2sin (0,2]θ∈，所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为(]0,2， 故答案为：(]0,213．四面体OABC 的所有棱长都等于2，E ，F ，G 分别为OA ，OC ，BC 中点，则GE GF ⋅=___________.【答案】120.5【分析】取定空间的一个基底，用基底表示GE ，GF ，再计算空间向量数量积作答. 【详解】四面体OABC 的所有棱长都等于2，则此四面体是正四面体，,,OA OB OC 不共面，221OA OB OC OB ⋅=⋅=⨯=，因E ，F ，G 分别为OA ，OC ，BC 中点，则1111122222GE GC CO OE BC OC OA OA OB OC =++=-+=--，12GF OB =-， 所以2111()()442OA OB OC OB OA OB OB GE GF OC OB -++⋅=-⋅⋅==++⋅.故答案为：1214．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________． 【答案】1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k =设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5. 取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1. 故答案为：1.15．正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π，且直线l 与直线1BC 所成角为π4，则满足条件的直线l 的条数为_________. 【答案】2【分析】作出辅助线，得到1DD 为轴的圆锥母线（母线与1DD 成60︒）是直线l 的运动轨迹，1D A 为轴的圆锥母线（母线与1D A 成45︒）是直线l 的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线l 的条数.【详解】设立方体的棱长为1，过1D 作直线l ， 若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π， 即l 与平面ABCD 所成角为6π，1DD 为轴的圆锥母线（母线与1DD 成60︒）是直线l 的运动轨迹，连接1D A ，由题意得11D A BC ∥，直线l 与直线1BC 所成角为π4，直线l 与直线1D A 所成角为π4.此时1D A 为轴的圆锥母线（母线与1D A 成45︒）是直线l 的运动轨迹， 两个圆锥相交得到两条交线. 故答案为：216．已知四边形ABCD 为矩形，AB =2AD =4，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 折起，得到四棱锥A 1﹣DMBC ，设A 1C 的中点为N ，在翻折过程中，得到如下有三个命题:①BN ∥平面A 1DM ；②三棱锥N ﹣DMC 22；③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM ⊥A 1C .其中正确命题的序号为_____. 【答案】①②【分析】分别延长DM ，CB 交于H ，连接A 1H ，可证B 为CH 的中点，因此有BN ∥A 1H ，可得①为正确；要使三棱锥N ﹣DMC 的体积最大，只需N 到平面DMBC 的距离最大，当平面A 1DM ⊥平面DMBC 时满足，22，②正确；DM =CM =2，CD =4， 可得DM ⊥MC ，若DM ⊥A 1C ，可证DM ⊥A 1M ，与已知DM 为斜边矛盾，③错误. 【详解】对于①，分别延长DM ，CB 交于H ，连接A 1H ，如图所示; 由已知得1122BM AB CD ==，可得B 为CH 的中点， 可得BN 为△A 1CH 的中位线，可得BN ∥A 1H ， BN ⊄平面A 1DM ，A 1H ⊂平面A 1DM ， 可得BN ∥平面A 1DM ∴①正确； 对于②，当平面A 1DM ⊥平面DMBC 时， A 1到平面DMBC 2 此时N 到平面DMBC 2△DMC 的面积为12⨯2×4=4，可得三棱锥N ﹣DMC 的最大体积为13⨯422223⨯=， ∴②正确；对于③，若DM ⊥A 1C ，又DM =CM =2，CD =4， 可得DM ⊥MC ，则DM ⊥平面A 1CM ，即有DM ⊥A 1M ， 这与DM 为斜边矛盾，∴③错误； 综上，以上正确命题的序号为①②. 故答案为:①②.【点睛】本题以图形翻折为背景，考查空间平行、垂直的判定和体积的最值，要注意翻折前后不变量合理地运用，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，M 为AB 的中点．(1)证明：1//BC 平面1ACM ； (2)求点1B 到平面1ACM 的距离． 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接1AC 交AC 于点N ，连接MN ，则由三角形中位线定理可得1//BC MN ，然后由线面平行的判定定理可证得结论， （2）由1111C A B M B A CM V V --=，利用等体积法求解【详解】(1)连接1AC 交AC 于点N ，则N 为1AC 中点，连接MN ， ∵M 为AB 中点，∴1//BC MN ，∵1BC ⊄平面1ACM ，MN ⊂平面1ACM ， ∴1BC //平面1ACM ， (2)∵AC AB ⊥，1AC AA ⊥，∴AC ⊥平面11A B M ，∴11114222323C A B M V -=⨯⨯⨯⨯=，∵在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，M 为AB 的中点．∴1CM A M ==1AC = ∵N 为1AC 中点， ∴1MN AC ⊥，∴MN =∴112A CMS=⨯=设点1B 到平面1ACM 的距离为h ，由1111C A B M B A CM V V --=得1114333A CMS h ⋅==，解得h =．18．如图，S为圆锥的顶点，O为底面圆心，点A，B在底面圆周上，且60∠=︒，AOB点C，D分别为SB，OB的中点．()1求证：AC OB⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC与平面SOA所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()221.【解析】()1利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理即可证明；()2建立空间直角坐标系，结合向量的数量积运算求出直线AC与平面SOA所成的角的正弦值．【详解】解：()1由题意，得SO⊥底面圆O，点C，D分别为SB，OB的中点，∴//CD SO，CD⊥底面圆O，OB在底面圆O上，∴OB CD⊥．AOB∠=︒，∴AOB为正三角形，60⊥，又因为D为OB的中点，∴OB AD=，且AD⊂平面ACD，C D⊂平面ACD，又因为AD CD D∴OB⊥平面ACD，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -， 故()3,0,2AC =-，()3,1,4AS =--，()3,1,0OA =， 设平面SOA 的法向量为(),,n x y z =，由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得34030x y z x y ⎧--+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，得()1,3,0n =-为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则300321sin cos ,14133427n ACn AC n AC θ⋅-++=〈〉====+⨯+⋅， 即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114． 【点睛】本题考查线线垂直的判定，以及线面所成角的正弦值的求法，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.19．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2m 2的正四棱锥形有盖容器（如下图）．设容器高为h m,盖子边长为a m,（1）求a 关于h 的解析式；（2）设容器的容积为V m 3,则当h 为何值时，V 最大？ 并求出V 的最大值（求解本题时，不计容器厚度）.【答案】（1）21(0)1a h h =>+；（2）311?6h m V V m =当时，有最大值，且的最大值为. 【详解】试题分析：（1）先用正四棱锥的高h 和底面边长a 把正四棱锥的表面积表示出来，然后化简得结果；（2）由（1）结果列出体积V 关于h 的表达式，先利用重要不等式求1V的最小值，即可得V 得最大值. 试题解析：（1）由题意知侧面三角形的高为24a h +， 2221142,(0)241a a a h a h h ∴+⨯⨯⨯+=∴=>+. （2）由（1）知2211···331h V a h h ==+，则21113=3()6h h V h h+=⨯+≥，当且仅当，1V有最小值，即311?6h m V V m =当时，有最大值，且的最大值为. 【解析】1、正四棱锥的表面积；2、正四棱锥的体积；3、重要不等式.20．如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --余弦值的10Q 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明见解析30(3)Q 存在且Q 为线段PA 的中点【分析】（1）证明出BD ⊥平面PAG ，进而证明面面垂直；（2）找到当PG ⊥平面MNDB 时，四棱锥P MNDB -体积最大，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ∠，求出PG =BG =PB PBG ∠的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点Q 的位置【详解】(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明如下：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)由题意知，四边形MNDB 为等腰梯形，且4DB =，2MN =，1O G =所以等腰梯形MNDB 的面积()242S +==要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB 的距离最大即可， ∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB此时四棱锥P MNDB -体积的最大值为133V =⨯， 直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ∠，连接BG ，在直角三角形PBG 中，PG =BG =，由勾股定理得：PBsin PG PBG PB ∠==． (3)假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(3P ，由（2）知，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ， AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =，设AQ AP λ=（01λ≤≤）， ∵(33,0,3AP =-，()333AQ λλ=-，故)()3313λλ-， ∴()0,2,0NM =，)()331,1,3QM λλ=--，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅=，20n QM ⋅=，即)222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设二面角Q MN P --的平面角为θ， 则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅===+-，解得：12λ=， 故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．21．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CR x AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 5的线段上. 【答案】（1）TD a b c =-+；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）利用向量加减法的几何意义有CD BA TA TB ==-，TD TC CD =+，即可求TD ；（2）假设四面体T ABC -的最长棱为AB ，只需以,A B 为顶点的其它两组棱中AT AC AB +>或TB BC AB +>即得证至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）由//MN 平面α，令TM TB λ=结合向量共面定理有NM yQP zQR =+，即得一元二次方程在x ∈R 有解，求λ5即得证. 【详解】（1）∵CD BA TA TB ==-，而TD TC CD =+，∴TD TC TA TB a b c =+-=-+，所以TD a b c =-+.（2）不妨设AB 是四面体最长的棱，则在ABT ，ABC 中，AT TB AB +>，AC CB AB +>，∴2AT TB AC CB AB +++>，即()()2AT AC TB BC AB +++>，故AT AC +，TB BC +至少有一个大于AB ，不妨设AT AC AB +>，∴AT ，AC ，AB 构成三角形.（3）设TA a =，TB b =，TC c =，由（1）知TD a b c =-+. 又AP TQ CR x AD TA CT===，有TQ xa =，()1TR x c =-，()()AP xAD x TC TB x c b ==-=-， ∴()TP AP AT x c b a a xc xb =-=-+=+-， ()1QP TP TQ a xc xb xa x a xc xb =-=+--=-+-，()()11QR TR TQ x c xa xa x c =-=--=-+-，设TM TB b λλ==，又11112222TN TC TD a b c =+=-+ ∴11112222NM TM TN b a b c a b c λλ⎛⎫=-=-+-=-++- ⎪⎝⎭ 因为//NM 平面PQR ，所以存在实数y ，z 使得：NM yQP zQR =+， ∴()()111122a b c y x a yxb yxc zxa z x c λ⎛⎫-++-=--+-+- ⎪⎝⎭()()y xy zx a yxb yx z xz c =---++- ∴12121y xy zx yx yx z xz λ⎧--=-⎪⎪⎪-=+⎨⎪+-=-⎪⎪⎩，消元：()()24143210x x λλλ+-+++=在x ∈R 有解. 当14λ=-时，1202x -+=，即14x =； 当14λ≠-时，()()()243441210λλλ∆=+-++≥，解得λ≤≤综上，有λ≤≤. 所以对所有满足条件的平面α，点M的线段上. 【点睛】思路点睛： 1、利用向量线性运算的几何意义，结合几何图形表示向量；2、利用三角形的性质：两边之和大于第三边(其中假设第三边为最长边)，即可证是否可组成三角形；3、令TM TBλ=，根据线面平行，结合向量共面定理得到参数λ的方程，进而求范围并即可.。
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2022-2023年七宝中学高二上开学考一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 已知向量()3,5,1a =，()2,2,3b =，()4,1,3c =--，则向量234a b c -+的坐标为_________.2. 一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为_________.3. ()1,1,3a =-，()1,4,2b =--，()1,5,c x =，若a ，b ，c 三向量共面，则实数x =_________.4. 如果平面α外有两点A 、B 到平面α的距离相等，则直线AB 与平面α的位置关系为_________.5. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________.6. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为_________.7. 已知四面体ABCD 中，E 、F 、G 分别为BC 、AD 、BD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则FGE ∠=_________. 8. 圆锥P O -轴截面的顶角为34π，母线长为2，则过任意两条母线的截面面积的取值范围为_________.9. 四面体OABC ，E 、F 、G 分别为OA 、OC 、BC 中点，则GE GF ⋅=_________.10. 设空间向量i 、j 、k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意x 、y ，a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________.11. 正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π，且直线l 与直线1BC 所成角为4π，则满足条件的直线l 的条数为_________. 12. 已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，M 为AB 的中点，将ADM △沿DM 折起，得到四棱锥1A DMBC -，设1A C 的中点为N ，在翻折过程中，得到如下有三个命题：①BN ∥平面1A DM ；②三棱锥N DMC -；③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥.其中正确命题的序号为_________. 二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列说法错误的是（ ）A. AB 与AC 不是共线向量B. 与AB 同向的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C. AB 和BCD. 平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-14. 已知直二面角l αβ--，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且直线a 与直线l 不垂直，直线b 与直线l 不垂直，则以下判断正确的是（ ） A. a 与b 可能垂直，但不可能平行 B. a 与b 可能垂直，也可能平行 C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行15. 三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的体积是（ ）A.B.C.D.16. 已知两个平面α、β和三条直线m 、a 、b ，若m αβ=，a α⊂且a m ⊥，b β⊂，设α和β所成的一个二面角的大小为1θ，直线a 和平面β所成的角的大小为2θ，直线a 、b 所成的角的大小为3θ，则（ ） A. 123θθθ=≥B. 312θθθ≥=C. 13θθ≥，23θθ≥D. 12θθ≥，32θθ≥三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，M 为AB 的中点.（1）证明：1BC ∥平面1ACM ； （2）求点1B 到平面1ACM 的距离. 18. 如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A 、B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C 、D 分别为SB 、OB 的中点.（1）求证：AC OB ⊥；（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值.19. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米.（1）求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值（求解本题时，不计容器的厚度）.20. 如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1ACBD O =，ACMN G =.沿MN 将CMN △翻折到PMN △的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -.（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；（2）当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --余弦值的绝对值为10？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.21. 已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD 、TA 、TC 分别交于点P 、Q 、R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线MN ∥平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明：四面体TABC 中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明：对所有满足条件的平面α，点M都落在某一条长为2的线段上.2022-2023年七宝中学高二上开学考参考答案一、填空题1.【解析】向量()()()()23423,5,132,2,344,1,316,0,19a b c -+=-+--=-.2.【解析】由于该四棱柱为正四棱柱，所以底面为边长为2的正方形， 所以22416V =⨯⨯=.3.【解析】()1,1,3a =-，()1,4,2b =--，()1,5,c x =，若a ，b ，c 三向量共面，设c ma nb =+， 即()()()()1,5,,,3,4,2,4,32x m m m n n n m n n m m n =-+--=---，所以15432m n n m x m n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得325m n x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以5x =.4.【解析】①当A 、B 两点在平面α的同侧时，由于A 、B 到α的距离相等， 所以直线AB 与平面α平行；②当A ，B 两点在平面α的两侧时，并且AB 的中点C 在平面α内时，A 、B 到α的距离相等，此时直线AB 与平面α相交，综上所述，直线与平面平行或直线与平面相交.5.【解析】设球的半径为R ，则圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=，球的表面积224S R π=，所以12:3:2S S =.6.【解析】()()222111AC AB BC CC AB AD AA =++=++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅114212cos60212cos6010=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯=︒⨯，所以1AC =7.【答案】3π或23π8.【答案】(]0,29.【解析】因为四面体OABC ，所以四面体OABC 是正四面体，OA ，OB ，OC 不共面，如图，2cos601OA OB OC OB ⋅=⋅=⨯︒=，因为E 、F 、G 分别为OA 、OC 、BC 中点， 所以1122GE GC CO OE BC OC OA =++=-+111222OA OB OC =--， 12GF OB =-，所以()14GE GF OA OB OC OB ⋅=-++⋅()21142OA OB OB OC OB =-⋅++⋅=.10.【解析】以i ，j 方向为x 、y 轴，垂直下i ，j 方向为z 轴，建立空间真角坐标系， 则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k =， 设(),,a r s t =，则()a xi y j r x --=-当r x =，s y =时，a xi y j --的最小值是2，所以2t =±， 取(),,2a x y =，则()3,,5a k x y +=，所以23a k x +=+，因为x ，y 是任意值，所以3a k +的最小值为5， 取(),,2a x y =-，则()3,,1a k x y +=，所以23a k x +=+因为x ，y 是任意值，所以3a k +的最小值为1.11.【解析】设立方体的棱长为1，过1D 作直线l ， 若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π， 即l 与平面ABCD 所成角为6π， 1DD 为轴的圆锥母线（母线与1DD 成60︒）是直线l 的运动轨迹，连接1D A ，由题意得11D A BC ∥，直线l 与直线1BC 所成角为4π， 直线l 与直线1D A 所成角为4π. 此时1D A 为轴的圆锥母线（母线与1D A 成45︒）是直线l 的运动轨迹， 两个圆锥相交得到两条交线.12.【解析】对于①，分别延长DM 、CB 交于H ，连接1A H ，如图所示： 由M 为中点，12BM CD =，得B 为CH 的中点， 得BN 为1ACH △的中位线，得1BN A H ∥， BN ⊄平面1A DM ，1A H ⊂平面1A DM ，得BN ∥平面1A DM ，①正确；对于②，当平面1A DM ⊥平面DMBC 时，1A 到平面DMBC此时N 到平面DMBC 的距离最大，且为2， DMC △的面积为12442⨯⨯=，得三棱锥N DMC -的最大体积为14323⨯⨯=，②正确； 对于③，若1DM AC ⊥，又2DM CM ==，4CD =，得DM MC ⊥， 则DM ⊥平面1ACM ，即有1DM A M ⊥，这与DM 为斜边矛盾，③错误； 综上，以上正确命题的序号为①②.二、选择题13.【解析】对于A ，()2,1,0AB =，()1,2,1AC =-，所以AB 与AC 不是共线向量，故A 正确； 对于B ，()2,1,0AB =，255ABAB ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，()2,1,0AB =，()3,1,1BC =-，co s 5,AB BC AB BC AB BC⋅===⋅C 错误；对于D ，()2,1,0AB =，()1,2,1AC =-，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得()1,2,5n =-，故D 正确， 故选C.14.【解析】直二面角l αβ--，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上， 直线a 与直线l 不垂直，直线b 与直线l 不垂直，当直线a ∥直线l ，直线b ∥直线l 时，a b ∥，排除选项AD ；当直线a ⊥直线b 时，则直线a ⊥直线l ，与直线a 与直线l 不垂直相矛盾， 所以a 与b 不可能垂直，排除B.故选C.15.【解析】设三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两相互垂直，设PA a =，PB b =，PC c =，则这个三棱锥的体积11326abcV abc =⨯=， 三个侧面的面积分别为1S 、2S 、3S ，112S ab =，212S bc =，312S ac =，所以21231()8S S S abc =，abc =，这个三棱锥的体积为V =，故选C.16.【解析】由直线与平面所成角的定义得1θ、2θ、3θ这三个角中，2θ是最小的角， 所以12θθ≥，32θθ≥.故选D. 三、解答题17.【解析】（1）连接1AC 交AC 于点N ，则N 为1AC 中点，连接MN ， 在直二棱柱111ABC A B C -中，M 为AB 的中点，所以1BC MN ∥， 因为1BC ⊄平面1ACM ，MN ⊂平面1ACM ，所以1BC ∥平面1ACM ；（2）因为AC AB ⊥，1AC AA ⊥ ，所以AC ⊥平面11A B M ， 所以11114222323C A B M V -=⨯⨯⨯⨯=，设点1B 到平面1ACM 的距离为h ， 由1111C A B M B A CM V V --=，得111143323A CM S h h ⋅=⋅⋅=△，解得3h =. 18.【解析】（1）因为OA OB =，60AOB ∠=︒，所以AOB △是等边三角形， 因为D 是OB 的中点，所以AD OB ⊥，因为C 、D 分别是SB 、OB 的中点，所以CD SO ∥， 因为SO ⊥平面AOB ，所以SO OB ⊥，所以CD OB ⊥， 又CDAD D =，所以OB ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD ，所以AC OB ⊥.（2）因为SO ⊥平面AOB ，SO CD ∥，所以CD ⊥平面AOB ，以D 为原点，DA 、DB 、DC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则)A，()0,1,0O -，()0,1,4S -，()0,0,2C ，所以()2AC =-，()3,1,0OA =，()0,0,4OS =，设平面SAO 的法向量为(),,n x y z =，则n OA n OS⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即040y z +==⎪⎩，令1x =，得()1,3,0n =-，所以cos ,142n AC n AC n AC⋅-===-⨯设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则21sin cos ,14n AC θ==， 故直线AC 与平面SOA . 19.【解析】（1）设h '为正四棱锥的斜高，由题意得2222142214a h a h a h ⎧'+⋅=⎪⎪⎨⎪'+=⎪⎩，解得0)a h =>；（2）()221(0)331hV ha h h ==>+，易得113V h h =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为12h h +≥=，所以16V ≤，当且仅当1h h=，即1h =时取等号， 故当1h =米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米. 20.【解析】（1）在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明如下：因为点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，所以BD MN ∥且PMN △是等边三角形， 因为G 是MN 的中点，所以MN PG ⊥，因为菱形ABCD 的对角线互相垂直，所以BD AC ⊥，所以MN AC ⊥， 因为ACPG G =，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）由题意得四边形MNDB 为等腰梯形，且4DB =，2MN =，1OG ， 所以等腰梯形MNDB的面积S ==要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到面MNDB 的距离最大即可， 所以当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB此时四棱锥P MNDB -体积的最大值为133V =⨯=， 直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ∠， 连接BG ，在直角三角形PBG △中，PG =BG =，sin 10PG PBG PB ∠===. （3）假设符合题意的点Q 存在，以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(P ， 由（2）得AG PG ⊥，又AG MN ⊥， 且MNPG G =，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，所以AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =，设()01AQ AP λλ=≤≤，因为(AP =-，()AQ =-，)()1Q λ-，所以()0,2,0NM =，)()31,1,QM λ=-.设平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅=，20n QM ⋅=，即2222201)0y x y z λ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21z =，所以()21,0,1,0,3(1)3(1)3(1)n λλλλλ⎛⎫==-⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设二面角Q MN P --的平面角为θ，则11c os n n n n λθ==⋅=，解得12λ=. 故符合题意的点P 存在且P 为线段PA 的中点.21.【解析】（1）因为TA TC TB TD +=+，所以TD a b c =-+； （2）不妨设AB 是四面体最长的棱，则在ABT △，ABC △中，AT TB AB +>，AC CB AB +>，所以2AT TB AC CB AB +++>，所以()()2AT AC TB BC AB +++>， 所以AT AC +，TB BC +至少有一个大于AB ，不妨设AT AC AB +>， 所以AT 、AC 、AB 能构成三角形；（3）设TA a =，TB b =，TC c =，由（1）得TD a b c =-+， 因为AP TQ CRx AD TA CT===，所以TQ xa =，()1TR x c =-， 因为AP xAD =，所以()()1TP x a x a c b a xc xb =-++-=+-，()1QP a xc xb xa x a xc xb =+--=-+-，()()11QR x c xa xa x c =--=-+-，设TM TB b λλ==，因为11112222TN TC TD a b c =+=-+，11112222NM b a c b a b c λλ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭， 因为NM ∥平面PQR ，所以存在实数y 、z 使得NM yQP zQR =+， 所以()()111122a b c y x a yxb yxc zxa z x c λ⎛⎫++-=--+-+- ⎪⎝⎭ ()()y xy zx a yxb yx z xz c =---++-， 所以12121y xy zx yx yx z xz λ⎧--=-⎪⎪⎪-=+⎨⎪+-=-⎪⎪⎩，消元得2(41)(43)210x x λλλ+-+++=， 当14λ=-时，1202x -+=，解得14x =， 当14λ≠-时，2(43)4(41)(21)0λλλ∆=+-++≥，解得44λ-≤≤，综上，λ≤≤， 故对所有满足条件的平面α，点M的线段上.。