栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透随着城市化进程的加快，绿化工作变得日益重要。
绿化工作中，栽树是一个重要的环节。
但是，如何在繁忙的城市中，科学地安排树的位置和数量，使得树能够得到充分的生长空间和光照条件，又同时不影响城市生活和交通呢？这就需要我们运用数学建模的方法，对栽树问题进行分析和求解。
首先要考虑的是城市的空间规划。
在城市中，道路、广场、公园等地都需要有施工规划，这就需要根据城市的空间规划来确定树的种植位置。
针对当前已有的道路、广场、公园等地，可以通过测量和分析，确定能够栽种树的建筑物间隔、道路宽度、交通状况等条件。
建立数学模型，进而进行模拟实验，以此确定适宜栽种树木的位置和数量。
其次，要考虑影响树木生长的因素。
这些因素包括土壤、光照、气温、湿度、风速等。
建立树木种植区域的空间模型，分析区域内这些因素的分布和变化规律，进而评估树木生长的潜力。
通过对数量、大小、面积等变量的测量，建立基本方程，进一步利用数学模型模拟实验，以此验证方程的合理性。
然后，通过对空间因素进行分析，建立适合不同种类树木的空间模型，具体论述每种树木的生长空间、光照条件等需求，并借助相关的数学工具和技术推导出树木的生长模型，这些模型可用于计算和预测树木的生长。
最后，要考虑无法量化的因素。
这些因素包括社会意义、生态环保、美学价值等。
建立综合模型，考虑上述的所有方面，综合评估每个种植区域的适宜性，确保满足城市建设要求的同时，也考虑到美化环境、促进城市生态平衡和增加市民幸福感等因素。
针对每个因素，建立具体的模型，并加权计算，进而进行决策。
总之，栽树问题中的数学建模是一项综合性、操作性强的工作，需要考虑许多因素，如空间规划、空间因素、树木生长、社会价值等。
只有通过多种数学模型的建立和计算，才能准确地评估每个种植区域的栽种效果，使得城市建设能够更加和谐、美丽、可持续。
建立数学模型,渗透数学思想 ——《植树问题》教学反思
建立数学模型，渗透数学思想——《植树问题》教学反思《植树问题》是人教版义务教育教科书五年级数学上册第七单元数学广角的内容。
这一内容主要涉及到的知识点有：两头都栽、两头都不栽、一端栽一端不栽这三种情況。
这节课的重点是教学两端都不栽的植树问题，主要目标是向学生渗透复杂问题从简单入手，体会重要的数学思想方法——化繁为简思想、模型思想，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利。
奇妙运用数形结合的思想，使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学。
一、重视数学模型的建立过程学习数学的目的是为了应用数学，在应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。
建立数学模型的过程是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理地数学结构的过程。
因此，我在教学中设计了“形成猜想——化繁为简——合作交流——发现规律——梳理方法——应用规律”的教学流程，意在让学生经历“猜想——验证——建立数学模型——应用”这一过程，从而建立“植树问题”各种情况的模型。
二、注重数学思想方法的渗透1、在教学中，我向让学生回忆了例1的研究方法——化繁为简，接着直接用例题导入，引导学生用画图的方法模拟实际栽树，由于例题的数据比较大，在模拟画图时出现了问题，数字太大，不可能全部都画下来或者是比较麻烦，这时候根据例1的研究方法和课前的回忆，让学生感受复杂问题简单化的研究方法，渗透化繁为简的数学思想。
接着让学生选择一个合适的数据来画图研究得出结果。
2、在抽象中明晰“一一对应”思想课堂教学中，让学生把植的树和间隔通过连一连的方式感知一一对应现象，抓住蕴含在教材中的一一对应思想，有效统领种种纷繁复杂的现象，使学生真正感知了间隔数和棵数的排列特点，扫清了思维上的障碍，层层推进认识的完善和引申。
三、注重探究精神和能力的培养教学中，我鼓励学生用画图的方法来验证自己猜想的合理性。
让学生自己选择合适的数据进行研究，然后进行小组合作，把各自的研究结果汇总起来，发现规律。
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题是指在一定的地块上进行树木种植，以达到某种目标的问题。
这个问题可以在数学中进行建模，来帮助我们更好地理解和解决这个问题。
我们需要确定栽树问题的目标。
栽树的目标可以是最大化种植的树木数量，最大化树木的生长速度，或是最小化树木的死亡数量。
根据不同的目标，我们可以采用不同的数学模型来解决问题。
我们需要确定影响树木生长和死亡的因素。
这些因素可以包括：土壤的质量、阳光的照射、水分的供应、空气质量等等。
我们可以对这些因素进行量化，从而得到数学模型的输入变量。
接下来，我们可以设定一组规则来描述树木的生长和死亡过程。
我们可以假设树木生长速度与土壤质量和阳光照射量成正比，死亡率与水分供应和空气质量成反比。
这些规则可以表示为数学方程，从而得到数学模型的输出变量。
在建立数学模型之后，我们可以使用优化算法来求解这个问题。
优化算法可以帮助我们找到使目标函数最大或最小的参数值，从而使得树木生长的最佳效果。
常用的优化算法有线性规划、整数规划、遗传算法等。
我们可以根据数学模型的结果来制定栽树策略。
如果树木生长速度是目标，我们可以根据土壤质量和阳光照射量来选择最佳的地块；如果树木生存率是目标，我们可以根据水分供应和空气质量来制定最佳的灌溉和通风策略。
栽树问题可以通过数学建模来进行渗透，从而帮助我们更好地理解和解决这个问题。
通过量化影响树木生长和死亡的因素，建立数学模型，并使用优化算法求解，我们可以制定最佳的栽树策略，从而达到我们的目标。
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透栽树问题是一个数学问题，其目标是在给定的区域内栽种最多的树木，使得这些树木之间的最小距离最大化。
数学建模在栽树问题中发挥着重要的作用。
建立数学模型可以帮助我们理清问题的关键因素，并找到最佳的解决方案。
在处理栽树问题时，首先需要明确问题的目标。
栽树问题的目标是栽种尽可能多的树木，因此我们需要找到一种方法来确定每棵树之间的最小距离。
我们需要将问题的约束条件转化为数学表达式。
在栽树问题中，约束条件通常包括树木之间的最小距离、给定区域的大小和形状，以及可能的障碍物。
将这些约束条件转化为数学表达式可以帮助我们量化它们，并在求解过程中进行比较和优化。
树木之间的最小距离可以使用欧几里得距离来表示。
给定区域的大小和形状可以通过数学公式或几何图形来表示。
障碍物可以通过将区域划分为多个子区域，并标记哪些子区域是可用的来表示。
通过将这些约束条件转化为数学表达式，我们可以将栽树问题转化为一个优化问题。
优化问题的目标是找到一种最佳的栽树方案，使得栽种的树木数量最大化。
解决这个优化问题可以使用各种数学方法和算法，如线性规划、整数规划、遗传算法等。
我们可以使用计算机程序来实现这个数学模型，并对给定的约束条件进行求解。
计算机程序可以根据数学模型提供的约束条件和目标函数，自动搜索最佳的解决方案。
通过不断调整模型参数和算法，我们可以逐步优化解决方案，得到最满意的结果。
栽树问题中的数学建模是一个复杂而具有挑战性的任务。
它需要考虑到各种因素，如最小距离、区域限制、障碍物等。
通过合理的抽象和建模，我们可以将这个问题简化为一个优化问题，并找到最佳的解决方案。
数学建模在栽树问题中的应用，可以帮助我们理清问题的关键因素，并找到最佳的栽树方案。
通过将问题的约束条件转化为数学表达式，我们可以量化和比较这些条件，并使用各种数学方法和算法进行求解。
通过计算机程序的实现和优化，我们可以得到最满意的结果。
在问题解决中渗透建模思想——以“植树问题”教学为例
在问题解决中渗透建模思想——以“植树问题”教学为例摘要：数学与生活的紧密联系要求学生在解决问题时，形成一种“建模”思想，以便更好地解决实际问题。
因此，应重视学生模型思想意识的渗透与建模能力的培养。
本文以“植树问题”这一教学案例为例，让学生充分经历与感受建模的过程，提升学生的数学学习能力。
关键词：小学数学模型思想植树问题《数学课程标准》2011年版指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
培养学生的模型思想，必须从生活原型或问题的背景出发，让学生经历观察、操作、分析、验证等，用数学语言或数学符号表达出数学模型，再运用数学模型解决一些实际问题。
植树问题是一类数学问题的统称，历来也是学生理解的难点。
本课教学，让学生充分经历数学建模的过程，帮助学生形成一定的模型思想，逐步感知植树问题下的模型思想的体现。
一、生活引入，感知模型。
弗赖登塔尔认为：数学化的对象应是学生熟悉的现实，而不是成人熟悉的现实。
因此，可以结合学生的生活实际，选择学生熟悉的素材，将学生所熟悉的生活实例作为植树问题的背景模型。
【片段一】1.师：同学们，如果你用数学的眼光观察生活，你会发现生活中处处有数学。
伸出一支手，五指张开，你看到了数字几？生1：5个手指。
生2：4个空隙（对着自己的手指数间隔1、2、3、4）。
师：这个空隙在数学上叫作间隔。
师：5个手指头几个间隔？4个手指头呢？3个、2个呢？2.师：这节课我们就一起来学习跟间隔有关的问题：植树问题。
这样的情境导入，来源于学生的生活，富有生活性，亲近易懂，直奔主题。
学生直观地看出：手指的个数和间隔数之间相差1。
为学习新知做好铺垫，使学生初步感受到生活中处处有数学，感受到真实、亲切、有趣的数学模型，感知数学模型的存在。
二、提炼信息，抽象模型。
植树问题，其数学本质是点与段的一一对应问题。
引导学生从数学信息中，抽象出“树”是植在“段”所对应的“点”上。
学生理解了这一点，就为构建点段关系的“植树问题”模型奠定了基础。
【原创】注重模型思想的渗透 培养探究精神和能力 ----《植树问题》案例与反思
注重模型思想的渗透培养探究精神和能力----《植树问题》案例与反思教学设计理念：无论是“植树问题”，还是“路灯问题”、“排队问题”、“爬楼问题”，抑或“锯木问题”、“车站问题”等等，都有着相同的数学结构，其本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。
在实际教学中，要设法帮助学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，帮助学生建构普遍的数学模式，以提升学生的思维水平。
片段一：1.手指中的间隔。
请同学们伸出一只手，你看到了几？（齐：5）这是5个（手指头），5个手指之间有几个空隙？师：像这样一小段一小段的的“空隙”，数学上称为“间隔”。
（板书）追问（）个手指头之间有（）个间隔。
你发现手指头的个数与间隔数有怎样的关系？（手指头个数=间隔数＋1）2.座位中的间隔。
3.站队中的间隔问题。
师：我们在做操站队的时候，有没有间隔？如有10个同学站成一列，他们之间有几个间隔？如果每个间隔的长度都是2米，想想看，从第一个到最后一个总共长几米？（指名回答）4.引入课题师：看来，在这些间隔现象中确实存在一些数学问题，与间隔相关的问题，在数学上统称为“植树问题”，这节课就让我们一起来研究植树问题。
(板书课题)师：好，我们就先来讲一件植树的事，请看大屏幕……片段二：利用画图与“一一对应”的方法研究植树问题的三种情况。
1．（投影例题）同学们在一条长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。
师：请同学们想一想，在这条小路的一边栽树，你认为可以栽几棵比较合适？你觉得还可以栽几棵呢？谁还有不同的想法（指生说）好，请同学们用画图的方法把你头脑中的想法表示出来。
2.展示汇报。
（哪位同学来给大家展示一下，把你的栽法给大家介绍一下？）a. 栽5棵b.栽4棵c.栽3棵（请3名同学分别将各自的种法画在黑板上。
）3.对比分析，寻找规律。
利用“数学建模”教学“植树问题”
４×器＋（丢） 一 一２６３ ￣￣，所
姐 姐 所 织 一 ５＋… ＋ １ （每天 比头天少织 同样 多）
以，大正方形的边长是鲁。
大正方 形边 长 为 阴影 部分 的 （长 ＋ 宽），长 ＝宽 ＋１／２，
所以阴影部分的长一（百２３十 １）÷２
妹妹所 织一１＋…＋５ （每天 比头天多织 同样多 ） 两 人所 织 一 ６＋ … ＋ ６ （姐少织多少 ，妹就多织多少 。） 可知两人共 织布 ：
利 用 “数 学 建 模 ＂教 学 “植 树 问题 ＂
口 南 宁 市 天桃 实验 学校 陈 海 婷
【关 键 词 】教 学 建模 植 树 问题 Ｉ［Ｏ 图 分 类 号 】Ｇ 【文献 标 识 码】Ａ 【文 章 编 号 １０４５０— ９８８９（２０１２）０４Ａ
— — ００６６——０２
从数学 角度 讲 ，数 学 建模 是 舍 去 无 关 紧要 的东西 ，保 留其数学 关 系，形成 数 学结 构 。利 用 数 学 建 模 教 学 “植 树 问 题 ”，我 们 进 行 了 如 下 尝 试 。
一 口１十 ｒＯ＋ ｄ＋ ２ｄ＋ … ＋ （ 一 １） 一 枷 １＋ ５ 其 中 ｓ 一Ｏ＋ｄ－ｔ－２ｄ＋…＋（ 一１） ，
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数 列 ｝各 项 为 ：ｎ１，口１十 ｄ，口】十２ｄ， Ａ ，ｎ１＋ （ｎ－ １）ｄ
由题意知Ｓ 。一１０， 一１０，ｄ 专
Ｓｌ０＝ Ｏ＋ ＋ ２ｄ－Ｉ－３ｄ＋ … ＋ ９ｄ＝ Ｏ＋
例 ４．（古埃 及草 片文 书 ）把 １Ｏ斗 大 麦依次 分给 １Ｏ个人 ，使 每相邻 两个人 所
问 织 几 何 ？
解 ：这是一个 等差 数列求 和问题 ，等
小步子推进数学建模的有效策略——《植树问题》教学实践与思考
口张卫星f缘起】<数学课程标准>强调。
从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。
因此，在小学阶段渗透数学建模思想已显得越来越重要。
数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，在作了一些必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具，并通过数学语言提炼、表达出来的一个数学结构，如数学公式、数学概念、解题方法及某类知识的特征等等。
那么，如何在日常数学教学中渗透建模思想呢?带着这样的问题，我们进行了苦苦的探索。
“植树问题”属于经典的奥数教学内容，具有较高的思维含量和较强的探究空间，也是能够渗透数学建模思想的一种非常有效的载体。
教师在教学这一内容时往往更多地关注植树规律的获得，而恰恰相反，对植树规律获取的过程即建模过程可能比掌握规律教例反思本身来得更重要。
我校应璐鲒老师在执教这一内容时较好地阐释了数学建模的策略——小步子建模，保证学生有充分的时间和空间参与建模的全过程。
【教学范本及评析】一、创设原型1．教学“间隔”的含义师：同学们，我们都有一双手，手里面藏着有趣的数学知识，你想了解吗?请举起你的右手并五指张开。
师：在张开的五指中，你还看到了什么?(空隙或叉)师：数学中我们把这个“空隙”或“叉“叫做“间隔”。
(板书)师：数一数一只手中有几个间隔。
(4个)这个4，数学上称做“间隔数”。
(板书)2．列举生活中的“间隔”师：生活中的“间隔”到处可见，你能举几个例子吗?(两棵树之间、两个同学之间、两个铃声之间……)是6米。
(2)有一块周长是42米的长方形草坪，长是互米，宽是，，米。
(3)观察下图，分别写出面积l s、周长C与图上有关边的等式关系。
)，互教师引导学生写出：(1)6x=90，(2)(z竹)i：2--42，(3)S=xy-a x(P6)，G=(茗竹)x2。
对于第(3)题，教师利用多媒体演示，帮助学生理解列式的方法，并引导学生质疑以上所写出的等式都是方程。
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透栽树问题是一类常见的数学建模问题，在许多领域中都有应用，包括城市规划、农业、环境科学等。
这个问题的主要目标是确定在一定的条件下，应该在给定的区域内种植多少棵树才能使得整个区域得到最大的益处。
在栽树问题中，我们需要考虑以下几个重要因素：1. 区域大小和形状：需要确定栽树区域的大小和形状。
通常情况下，栽树区域是一个矩形或者多边形的形状。
2. 树的生长条件：不同的树种对生长条件有不同的要求，包括阳光、水分、土壤质量等。
需要综合考虑这些因素来确定适合栽种的树种。
应该考虑到树木的生长速度和抗风等特性。
3. 区域的特殊需求：有些栽树区域可能有特殊的需求，比如需要种植具有防风、防砂功能的树种。
这些需求也需要考虑在内。
4. 经济因素：栽树的成本也是一个需要考虑的因素。
种植更多的树木可能需要更多的人力和物力成本，因此需要权衡树木数量和经济效益。
根据以上的因素，可以建立一个数学模型来解决栽树问题。
一个简单的模型可以如下所示：假设给定一个栽树区域的长度为L，宽度为W。
假设每棵树的占据的面积为A，树木种类为N。
我们的目标是在给定的区域内放置尽可能多的树木，以最大化整个区域的益处。
在这个模型中，可以引入一些变量来表示问题的不同方面：1. X：表示该区域可以容纳的最大树木数量。
2. Y：表示在给定的条件下，实际种植的树木数量。
3. C：表示栽树的总成本。
4. P：表示栽树所带来的整体益处。
根据以上变量，可以建立以下的数学模型：1. 目标函数：最大化益处P。
2. 约束条件：a. 区域的面积约束：L * W >= Y * A即栽树区域的面积需要大于等于实际种植的树木占据的面积。
b. 树木种类约束：N >= Y即树木种类的数量需要大于等于实际种植的树木数量。
c. 经济约束：C <= B即栽树的总成本需要小于等于给定的经济预算B。
通过对目标函数和约束条件进行数学建模，可以使用优化算法来求解该模型，得到最优的栽树方案。
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题是数学建模中的一类经典问题，也是一个涉及到渗透现象的问题。
栽树问题的基本情境是，一个人想要在一片土地上栽一排树，要求树之间的间距相等，而且树的根部不能插入土壤之外。
问题的目标是确定树的根部需要插入土壤的深度。
这个问题可以用数学建模的方法进行分析。
可以将土地看作是由无数个小方格组成的网格，每个小方格表示一个单位的土地。
树根部插入土壤的深度可以用一个变量来表示，假设为h。
根据问题的要求，可以得到以下几条规则：
1. 根部插入土壤的深度h必须为一个整数，且h>0。
2. 根部插入土壤的深度h不能超过土地的最大高度，否则树的根部会插入土壤之外。
3. 根部插入土壤的深度h必须满足树之间的间距相等的条件。
根据这些规则，可以得到以下的数学模型：假设土地的宽度为w，根部插入土壤的深度为h，树之间的间距为d。
则根据第3条规则，可以得到d=w+h。
根据第2条规则，可以得到h≤w。
根据第1条规则，可以得到h为正整数。
接下来，需要确定树的根部插入土壤的最大深度。
根据第2条规则，最大深度为hmax=w-1。
由于h必须满足h≤w，所以最大深度为hmax=w。
所以，可以得到树的根部需要插入土壤的深度范围为1≤h≤w。
这个结果可以帮助我们在实际情境中确定树的根部插入土壤的深度，从而根据树根的插入深度，可以计算出树的数量。
这个结果也可以为栽树问题的进一步研究提供一个基础。
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透栽树问题是一个经典的优化问题，在数学建模中通过数学方法来解决这个问题被称为数学建模渗透。
栽树问题的目标是找到一种最优的树木配置方案，使得树木的存活率最高。
通常，我们可以从以下几个方面进行建模和分析：1. 空间分布建模：树木的空间分布是根据地形和土壤条件来进行规划的。
可以通过收集地理空间数据和土壤数据，并进行空间分析和插值，得到不同地点的土壤质量和适合生长的树木类型。
可以使用空间统计方法，如克里金插值法或高斯过程插值法，来预测整个研究区域的土壤质量和适合生长的树木类型的分布情况。
2. 树木生长模型：树木的生长过程是由一系列生物和非生物因素共同作用的结果。
使用数学方法建立树木生长模型，可以根据不同的环境因素（如光照、温度、湿度等）和树木的生物特性（如物种、年龄等）来预测树木的生长速率。
常见的树木生长模型包括冯诺依曼生长模型和基本生长模型等。
3. 目标函数建模：树木存活率通常用树木的死亡率来衡量。
建立目标函数来衡量树木配置方案的好坏，可以将树木的死亡率作为目标函数的一部分，并考虑到其他因素，如树木的投资成本、维护成本等。
树木的死亡率通常是由环境因素和树木属性决定的，可以通过追踪树木的生长过程和监测环境因素，来更新目标函数。
4. 约束条件建模：树木配置方案通常有一些约束条件。
树木之间应该保持一定的距离，以防止根系之间的竞争；不同树种可能有不同的空间要求，需要进行分类约束；树木的总数限制等。
根据具体情况，可以制定相应的约束条件，并在建模中加以考虑，以确保解的可行性。
5. 求解算法：栽树问题通常是一个组合优化问题，往往难以直接求解。
可以使用一些优化算法，如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等，在搜索空间中寻找最优的树木配置方案。
这些算法可以根据目标函数和约束条件，通过不断迭代和优化，逐步优化树木的配置方案。
栽树问题中的数学建模渗透是通过数学方法来分析和解决树木配置问题。
通过空间分布建模、树木生长模型、目标函数建模、约束条件建模和求解算法等方面的建模和分析，可以得到一个最优的树木配置方案，从而达到提高树木的存活率和减少资源浪费的目的。
小学数学教学中渗透模型思想的实践研究——以“植树问题”为例
小学数学教学中渗透模型思想的实践研究——以“植树问题”为例内容提要：问题解决是与学生生活实际联系最为紧密的数学技能之一，模型思想的建立有助于提高学生的问题解决能力，作为此次修订《课程标准（2011年版）》新增的核心概念，模型思想已经成为一种基本的数学思想与目标、内容紧密关联，可见，帮助学生经历建模的过程、感悟模型思想，对于如今的数学教学非常重要，本文以“植树问题”为例，为教师提供关于数学建模的教学策略。
主题词：模型思想植树问题一、问题提出“植树问题”是人教版数学四年级下册“数学广角”中的内容，主要是在问题解决的过程中感悟“植树问题”的模型，很多教师虽然知道“植树问题”重要的思想是“数学模型思想”，但是在教学中却很难跳出具体的数学问题，仍旧是强调类型、重视方法，学生没有领悟其中的模型思想，“只见树木，不见森林”。
由此，引发了我们的思考：1.“植树问题”的本质是什么？2.学生在学习时的问题和困惑有哪些？3.在“植树问题”教学中使用什么样的教学策略帮助学生实现深刻理解？二、概念界定（一）模型思想所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。
《数学课程标准》中指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
（二）植树问题植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线不同、植树的要求不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。
“植树模型”是一种典型的数学模型，借助点段关系来进行问题的解决。
因此，感受点段“一一对应”的关系是建立“植树模型”的前提。
三、研究过程（一）把握“植树问题”的本质植树问题本质上是“点段模型”，将“点段模型”深入到学生的头脑中，是本课的关键。
点与段的问题一直是学生理解的困难点，为了整体把握点段模型，我对人教版教材1-6册关于“点段模型”的内容进行梳理、分析，例如测量、认识钟面、平移问题等。
植树问题渗透的数学思想
植树问题渗透的数学思想小学数学教学体系贯穿着两条主线：数学知识和数学思想方法。
数学知识是一条明线，直接呈现在教材上；而数学思想方法则是一条暗线，隐藏在知识的背后。
“数学广角”中的“植树问题”，承载了基本的数学思想方法──“化繁为简”“数形结合”“一一对应”和“数学建模”等，使学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型（点段关系），然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
1．在困顿中感悟“化归”的思想人们在面对数学问题时，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。
在教学例1中，教师引导学生对“100米一共要栽多少棵树”进行验证，在画图时引发困惑，数字太大，不可能全部画下来，或是太麻烦、太浪费时间了。
在学生有所体验的基础上，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生选择短距离（20米），用画图的方式得出结果。
在这个过程中，学生通过猜想、实验、推理、交流等活动，既培养了数学思想能力，学会了一些解决问题的方法，又逐步形成实事求是的科学态度和精神。
2．在探究中渗透“数形结合”的思想数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。
数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想。
本册的“数学广角──植树问题”把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。
教师可以组织学生在课堂上“模拟植树”。
用“___”代表一段路，用“∣”代表一棵树，画“∣”就表示种了一棵树。
关于在20米长的路可以栽多少棵树的问题，让学生自己动手画一画。
学生根据图示，很容易发现规律。
再从个别的、简单的几个例子出发，逐步过渡到复杂的、更一般的情境中，是数学中常用的推理方法。
“植树问题”课堂教学中数学思想的渗透
“植树问题”课堂教学中数学思想的渗透“植树问题”原是小学数学竞赛教学中一章重要内容，一般在小学三年级竞赛教材中出现。
新的人教版课程教材把它放到了四年级下册的“数学广角”中让所有的学生学习。
苏教版教材在四年级上册的“找规律”中也有出现。
以前是少数脑子好的学生才学的内容，现在要求“全民”普及，大部分学生会不会相当吃力呢？植树问题之所以难，主要是因为植树问题的模型比较多(如新课标人教版课本安排的三个例题代表了三种情况：两端都种、两端都不种、只种一端等)。
一般的教法是帮助学生一一建立这几个模型，再让学生记忆这些建好的模型，最后用模型去解决“路的两边都种”，或变式练习如“知道棵数和间距求总长”等的一些问题，学生就会在大脑中试图将模型与实际问题进行联系，由于联系不畅，容易混淆，导致错误不断。
因为这个联系过程并不会比建一个模型的过程容易多少。
既然植树问题的模型这么多，而运用模型解决问题时，又存在着与实际难以联系，学生的错误较多等事实，我们是不是该灵活处理教材呢？课堂上，常常发现有许多学生搞不清楚树的棵树与间隔数的问题。
为什么呢?难道真的是学生记忆力差，上课不听讲那么简单吗?很多老师在讲这部分知识的时候重点放在区分三种情况：两端都种(棵树=间隔数+1)；封闭图形中的植树问题,即一端栽，一端不栽(棵树=间隔数)；两端不种(棵树= 间隔数一1)。
三种情况很清晰，但是学生还是搞不清楚到底该加“1”呢，还是该减“I”或者不加不减呢?其实我们自己问一问我们成人，自己在做这种题目的时候是不是按哪种题型对应哪种情况套用“公式”呢?你肯定会说不是。
翻开人教版小学数学四年级下册教材“数学广角”一章的教学建议，它是这样写的：“⋯本册主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题⋯⋯”其实植树问题的建模过程并不复杂，只要通过画线段图或观看课件或动手操作，就能得出模型。
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题是一个经典的计算机科学问题，也是一个常见的数学建模问题。
它涉及到的
数学知识包括图论、数论、概率论等多个方面，可以提高数学建模的实际应用能力，拓宽
数学思维的广度和深度。
栽树问题的数学建模中，最基本的思想是将树看做一个图，然后通过一些运算和算法
来计算树的特征。
下面将具体涉及栽树问题中的数学建模渗透：
1、图论思想
将一棵树看做一个有向无环图，可以应用图论中的许多经典算法和理论。
例如，可以
使用深度优先搜索或广度优先搜索来遍历整棵树，计算树的深度、叶子节点数、节点数量
等信息；使用最小生成树算法来计算树的最小花费等等。
在栽树问题中，涉及到了很多和数学有关的问题。
例如，一棵根节点为1，总节点数
为n的满二叉树的节点平均深度可以通过数论知识得到，为(2n-2)/(n+1)。
利用这个公式，可以通过简单的计算得到树的深度。
栽树问题中还涉及到一个概率问题，即如何在随机的位置放置节点，使得树的深度最小。
可以通过概率论知识将概率转化为期望，然后得到期望树的深度
4、最优化思想
在栽树问题中，寻找最优解是非常重要的。
可以通过运用最优化算法来实现。
例如，
可以应用线性规划、非线性规划、动态规划等最优化算法，找到最优的树形结构和排列方式，使得树的深度最小化。
上述是栽树问题中的一些数学建模思想和方法。
事实上，这些思想和方法经常在数学
建模中得到广泛应用。
通过应用数学知识和算法，可以更好地解决实际问题，拓宽数学知
识的应用范围，也能够培养创新思维和问题解决能力。
渗透化归思想——“植树问题”教学设计
渗透化归思想——“植树问题”教学设计在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利。
通过“植树问题”内容的教学，不仅向学生渗透了数学思想方法，而且借助内容的教学发展学生的思维，提高学生的数学思维能力。
【教学内容】四年级下册“植树问题”【教学目标】通过动手实践，合作探究，让学生在做数学的过程中经历由现实问题到数学建模，理解并掌握植树棵数与间隔数之间的关系。
通过学生自主实验、探究、交流、发现规律，培养学生动手操作、合作交流的能力，以及针对不同问题的特点灵活解决问题的能力。
【教学重难点】理解植树问题中棵树与间隔数之间的关系；会应用植树问题的模型灵活解决一些相关的实际问题。
【教具准备】多媒体课件和未完成的表格。
【教学过程】一、感知间隔，明确课题师：同学们，请看这两幅图片（课件展示）。
如果让你选择，你愿意住在哪个环境里？（学生交流汇报）近年来，沙尘暴、雾霾天气增多，为了让我们有一个健康的生活环境，请多多植树。
（板书课题：植树问题）【设计意图：通过两幅图片的对比，让学生清晰、直观地感受到人类需要的是山清水秀的环境。
这不仅是环保教育，更是让生知晓植树的必要性，从而引出课题。
】师：同学们，张开手，五个手指人人有，手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅。
在数学上，我们把这个空叫“间隔”（板书：间隔。
提醒学生完整表述：5个手指有4个间隔，也可以说4个间隔在5个手指之间）师：不仅手指间有间隔，生活中的“间隔”也随处可见，你能举几个例子吗？（生汇报）老师也找到了一些生活中的间隔，我们一起来欣赏一下。
（课件民大会堂了，真想拍几张照片，请听拍照声“咔嚓、咔嚓”，原来声音与声音之间也有——间隔。
师：数学中我们把与间隔有关的问题统称为“植树问题”。
【设计意图：“间隔”是植树问题中出现的一个词。
在生活中找间隔，从身边的事物去感知间隔，更能让学生容易接受。
如何渗透数学建模思想
如何渗透数学建模思想概要：学生原有的认知结构遇到一种新知识的输入而产生一种不平衡状态，这时新知识不能被学生原有的认知结构同化，就引起学生原有的认知结构的改造，即“顺化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡。
笔者通过此环节的变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解，深化数学模型运用。
现实生活是数学的源泉，数学问题是现实生活化的结果。
有意义的学习一定要把数学内容倣在真实的且有趣的情境中。
《植树问题》例1是整个单元的学习起点，其中出现了许多新的数学名词，如“间隔”“间隔长”等，这对于初次接触的学生来说，理解它的含义具有一定的难度。
教学中，我尝试借用生活情境导入，以学生熟悉的生活情境作为原始模型研究课堂实录：师课件出示四幅图片，让学生欣赏。
师：请仔细观察，这些图片有什么共同的特点？生：……师：对！这里每相邻两根电线杆之间、每两个桥墩之间、每两棵树之间、每两根旗杆之间都有一个“间隔”。
这些物体都是按照一定的间隔有规律排列的。
师：生活中，像这样按照一定的间隔进行排列的例子还有很多，你能说说看吗？生：小结过渡：你们知道的可真多！像这样，相邻两棵树之间有一个“间隔”，我们把相邻两棵树之间的间隔的长度叫做“间隔长”。
笔者从欣赏“图片”入手，通过学生熟悉的生活情境作为原始模型研究，让学生理解“间隔、间隔长”，扫除学习的障碍，并且起到规范学生語言的作用，为新课的学习作铺垫；同时，让学生体会数学从生活中来，数学也将服务于生活的道理，感受数学的价值。
一、认知同化，构建数学模型学生的认知结构是在掌握知识过程中形成和发展的，是学生原有认知结构与新知识相互作用的结果。
在这一过程中，学生原有的认知结构遇到一种新的知识的输入而产生一种不平衡的状态，通过学生的认知活动使其原有的知识结构与新知识发生作用，这时新的知识被学生原有的认知结构所吸收，即“同化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡——建立起新的数学模型。
而《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
植树问题中数学思想的渗透
植树问题中数学思想的渗透楚雄市环城小学数学组新课标实施，数学教材进行了相应的改革，数学思想方法的重要性更为彰显。
每册教材通过“数学广角”来进一步渗透数学学习的思想、方法，加强学生综合运用知识的能力，逐步提高解决问题的能力。
在职树问题的教学中，解题不是主要的教学目的，主要的任务是向学生渗透数学思想。
在教学两端都栽的情况下，出示例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。
一共需要多少棵树苗？首先让学生画图，通过画图，学生就会知道6棵树之间有5个间隔，7棵树之间有6个间隔，你能想象一下10棵树之间、20棵树之间有多少个间隔吗？……根据上面的分析，你发现植树棵数与间隔数之间有什么规律？两端都栽学生根据图，很容易发现规律，从个别的、简单的几个例子出发，逐步过渡到复杂的、更一般的情境中，是数学中常用的推理方法。
当学生发现了两端都栽的规律后，我大胆改编题目。
把例1中两端都栽改为一端不栽或两端都不栽，各应买多少棵树苗？首先我让学生猜测“两端不种”的规律和猜测“只栽一端“的规律。
猜测是一种培养学生推理能力的好方法。
学生已经发现了“两端要种”的规律，这时候老师提出如果两端不种，棵数和段数又会有怎样的规律呢？有了前面的学习基础，学生的思维非常活跃，想表达的欲望也很强烈。
所以这时候让学生进行猜测是很有必要的，接下来，我让学生用学过的方法验证猜测，学生马上采取画线段图来解决问题，在教学中渗透了迁移类推的数学思想。
两端都不栽只栽一端最后，抽取出其中的数学模型：在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。
①如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数+1。
②如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=段数。
③如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=段数－1。
在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。
在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。
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栽树问题中的数学建模渗透
栽树问题是数学建模中的一个典型问题，此题可以通过一系列数学公式和方程进行建
模和求解。
在问题的求解中，数学建模渗透到了许多方面，其中包括数学基础的方法和理论、数值计算、优化算法等等。
数学建模的方法和理论
数学建模是通过数学的方法和理论，对实际问题进行描述、分析、建模和求解的过程。
因此，对于栽树问题的解决，要充分运用数学基础的方法和理论。
例如，对于树高、枝干
分支等指标的分析，需要利用数学的几何、计算、统计等知识，对原始数据进行处理。
同时，在建模中，也需要使用各种数学模型。
例如，对于树木的生长模型，可以采用
反馈模型。
模型包含生长率和养分供应两个基本要素，养分供应和光照强度等环境因素会
影响生长率，并进一步影响树高、分支形态等指标。
数值计算的应用
针对栽树问题，通过数值计算来对树木进行生长模拟，从而得到不同生长年限的树高、树冠等各种数据。
在数值计算过程中，需要结合光照、温度等实际环境要素来进行计算。
另外，通过计算机图形学技术对生长数据进行可视化展示，使得用户能够动态地观察
树木的生长过程。
这种展示方式形象生动，更直观地展现了生长过程，方便用户直观理解
和比较。
优化算法的运用
在栽树问题中，可以通过优化算法来实现树木生长过程的优化。
优化方法可以将此问
题看作一个目标函数的优化问题，通过对求解过程的不断迭代，使得目标函数值不断收敛
到最佳解。
例如，在选择栽培策略时，可以采用遗传算法等优化方法，从而得到更好的栽
培方案。
总之，数学建模渗透到了栽树问题的方方面面，在实际的解决过程中，使用了各种数
学工具，如几何、计算、统计、优化算法等等。
这些工具的应用，帮助我们更好地理解和
处理栽树问题。