第一节 不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质

一．原函数与不定积分的概念

1.原函数的概念

引例 设x x f cos )(=',求)(x f . 解 因为x x cos )(sin =',所以c x x f +=sin )(.

此时称x sin 为x cos 的一个原函数.

定义 如果在区间I 上,可导函数)(x F 的导函数为)(x f ,即I x ∈∀,有 )()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)

则称)(x F 为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的一个原函数.

如x arctan 是211x +的原函数;211x +是)1ln(2x x ++的原函数.

什么样的函数具有原函数呢?有

定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即

如果函数)(x f 在区间I 上连续,则在区间I 上存在可导函数)(x F ,使得对I x ∈∀,有 )()(x f x F ='

即)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数.

其证明见289P . 注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,即)(x f 若有原函数,则)(x f 有无限多个原函数.

(2)设)(x F 和)(x Φ都是)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F =C x +Φ)(.事实上 0)()()()(])()([=-=Φ'-'='Φ-x f x f x x F x x F

所以)(x F C x =Φ-)(,即)(x F =C x +Φ)(.

2.不定积分的概念 定义 在区间I 上, )(x f 的原函数的全体,称为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的不定积分,记作

⎰dx x f )(.

其中:‘⎰’——积分符号; )(x f ——被积函数;dx x f )(—被积表达式;x ——积分变量.

显然,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则 ⎰dx x f )(C x F +=)(.

因此,求)(x f 的不定积分归结于求)(x f 的一个原函数)(x F .

如x arctan 是211x +的一个原函数,所以 ⎰+=+C x dx x arctan 112. 又如211

x +是)1ln(2x x ++的一个原函数,则

=+⎰dx x 211

C x x +++)1ln(2.

例1 求⎰dx x 1.

解 当),0(+∞∈x 时,x x 1)(ln =

',所以C x dx x +=⎰ln 1. 当)0,(-∞∈x 时, x x 1])[ln(='-,所以C x dx x +-=⎰)ln(1. 综上,有 C x dx x +=⎰ln 1.

例2 设,2cos )(sin x x f ='求)(x f .

解 ,c o s 21)(s i n 2x x f -='故221)(t t f -='.因为 2321)3

2(t t t -='- 所以33

2t t -是221t -的一个原函数,故 ⎰+-=-C t t dt t 323

2)21( 即

)(x f =C x x +-332. 例3 设曲线过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.

解 设曲线方程为)(x f y =,则

x dx

dy 2=. 所以C x y +=2.又2|1==x y ,所以C +=12,从而1=C .故所求曲线方程为12+=x y .

3.不定积分与微分的关系

(1)⎰=dx x f dx x f d )()( 或⎰=')(])([x f dx x f ; (2)⎰+=C x F x dF )()( 或⎰

+='C x F dx x F )()(. 即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.

二.基本积分表

1.⎰+=C kx kdx (k 是常数);

2.⎰++=+C x dx x 11

1μμμ (1-≠μ); 3. C x dx x +=⎰ln 1; 4. ⎰+=+C x dx x arctan 112; 5.⎰

+=-C x dx x arcsin 112; 6.⎰

+=C x xdx sin cos ;

7.⎰+=C x xdx cos sin ; 8.⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 122; 9.⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 122;

10.⎰+=C x xdx x sec tan sec ;

11.⎰

+-=C x xdx x csc cot csc ; 12.⎰+=C e dx e x x ; 13.⎰+=C a a dx a x x ln ; 14.⎰

+=C chx shxdx ;

15.⎰

+=C shx chxdx .

例4 ⎰⎰+==C x dx x dx x x 2725272.

三.不定积分的性质

性质1 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 是常数).

例5 求dx x

x ⎰-23

)1(. 解 原式⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=dx x

dx x dx xdx dx x x x 221133)133( C x

x x x +++-=1ln 3322. 例6 ⎰⎰++=+==C e C e e dx e dx e x

x x x x x 1

2ln 2)2ln()2()2(2. 例7 ⎰⎰⎰++=+++=+++dx x x dx x x x x dx x x x x )111()

1()1()1(122222 ⎰⎰++=++=C x x dx x dx x arctan ln 1112

. 例8 ⎰⎰⎰++-=++-=+dx x

x dx x x dx x x )111(11)1(1222424 C x x x ++-=arctan 3

13.

例9 ⎰⎰+-=-=C x x dx x xdx tan )1(sec tan 22.

例10 ⎰⎰⎰+-=-=-=C x x dx x dx x dx x )sin (21)cos 1(212cos 12sin

2. 例11 ⎰⎰⎰+-====C x xdx dx x dx x x cot 4csc 4sin 142cos 2sin 1222

2.

例12 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x dx x x )sec (csc sin cos sin cos sin cos 122222222

C x x +-=cot tan .