南开数学专业考研真题

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2008年南开大学数学分析考研试题及解答

南开大学2008年数学分析考研试题.一．计算题1．求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+。

2．求和()()∑∞=-+-1121n n n n 。

3．已知()()()1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4．设2ln 261txdt e π=-⎰，则x =？5．设区域()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求Dx y dxdy -⎰⎰。

二．设61-≥x 61+=+n n x x ，(1,2,)n = ，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。

三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，使得()0=ξf .四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分()af x dx +∞⎰收敛，求证()0lim =+∞→x f x 。

五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤，其中10<<m ，任取实数0a ，1ln ()n n a f a -=，(1,2,)n = ，证明级数11||n n n a a ∞-=-∑收敛。

六．证明函数项级数()1nxn f x ne∞-==∑，（1）在()+∞,0上收敛，但不一致收敛；（2）和函数()x f 在()+∞,0上任意次可导。

七．作变换xy u =，x v =，w xz y =-，将方程2222z z yyyx∂∂+=∂∂变换为w 关于自变量(),u v 方程。

八．求由曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分的体积之比。

九、设()f x 是(0,)+∞上具有二阶连续导数的正函数，且()0f x '≤，(0,)x ∈+∞，()f x ''在(0,)+∞上有界，则lim ()0x f x →+∞'=。

南开大学2000年和2001年数学分析考研试题及解答

南开大学2000年数学分析考研试题.1. 设()()()()()()()22sin ,,0,0,0,0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，证明(),f x y 在点()0,0处连续，但不可微.2. 设()f u 具有连续的导函数，且()lim 0u f u A →+∞'=>，，(){}222,:,,0D x y x y R x y =+≤≥，()0R >，（1）证明 ()lim u f u →+∞=+∞；（2）求()22R DdI f x y dxdy '=+⎰⎰；（3）求2limRR I R →+∞.3.（1）叙述()f x 于区间I 上一致连续的定义；（2）设()f x ，()g x 都于区间I 上一致连续且有界，证明()()()F x f x g x =也于I 上一致连续，4.设函数列(){}n f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a ，使得当x I ∈时，总有()n n f x a ≤，证明()f x 于I 上有界.5.设0n a >，()1,2,n =L ，1nn k k S a ==∑，证明（1）若1nn na S ∞=∑收敛，则1n n a ∞=∑也收敛.（2)如果1λ>，1nn na S λ∞=∑收敛，问1n n a ∞=∑是否也收敛？说明理由.6.设(),f x t 于[)[],,a c d +∞⨯上连续，(),af x t dx +∞⎰于[),c d 上一致收敛，证明(),af x d dx +∞⎰收敛.南开大学2000年数学分析考研试题解答1.解：()0,00f =，()22,x y xyf x y x y+⋅≤+ ()222212x y x y x y +⋅+≤+()12x y ≤+， ()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=，于是(),f x y 在点()0,0处连续.显然()0,00x f =，()0,00y f =，0→时，,0,00,0f x y f x f y ⎡⎤∆∆-∆+∆sin x y x y ∆+∆∆⋅∆=的极限不存在，所以(),f x y 在点()0,0处不可微. 2.（1）证明由()lim 0u f u A →+∞'=>，存在0M >，当u M ≥时，有()2A f u '≥， ()()()()f u f u f M f M =-+ ()()()f u M f M ξ'=-+ ()()2Au M f M ≥-+，由此，可知()lim u f u →+∞=+∞；（2）解 ()22R DI f x y dxdy '=+⎰⎰()220Rd f r rdr πθ'=⎰⎰()()21022f R f π⎡⎤=⋅-⎣⎦；（3）解 ()()2220lim lim 4R R R f R f I R R π→+∞→+∞-=()22lim 42R f R R Rπ→+∞'⋅=()2lim 44R f R A ππ→+∞'==.3、简略。

南开大学2002年数学分析考研试题及解答

6.设于，( 为实数)上连续，且，，
证明：于上有最大值，问于上是否必有最小值？
说明理由.
7.证明于上连续.
南开大学2002年数学分析考研试题解答
1.解采用柱坐标变换
.
2.解设，
利用高斯公式，
.
3.证明由，及条件，利用Abel判别法，即得结论.
4、设是一个点集，是的一个极限点（可以是有限点，或）。
如果在上一致收敛于，且，；
则收敛，收敛，且。
证明证明方法是完全仿照分析中的三段论不等式证法。设，；由在上一致收敛，得，对 , ,当时,不等式
,对，都成立;在上式中令，取极限，得，于是得是基本列，从而收敛，设 ;
由在一致收敛于，及，得，对 , ,使得不等式
南开大学2002年数学分析考研试题
1.计算三重积分，其中为由及所围成.
2.设为抛物面位于，之间的部分，取外侧，
求 .
3.设收敛，，证明收敛.
4.设于内一致收敛，且，，证明收敛.
5.设于区间上一致连续，，，且收敛，
证明也收敛，问若将于区间上一致连续改为于区间上连续，上述结论是否仍成立？说明理由.
在上未必达到最小值，
例如，，
尽管在上连续，，但在上达不到最小值.
7.证明因为
，
所以，在上连续，
对每一个，存在，
当，时，
，
而收敛，关于一致收敛，
在上连续，
所以在上连续，在处连续，
由的任意性，在上连续.
, ,对成立;
再由，存在的邻域 (当为有限时,指的是去心邻域;当为无限时,指的无穷远邻域)，当时，便有；

南开大学2006年数分考研试题

南开大学 2006 年数分考研试题t tx 2dx1. 求极限 limsint4.t 01 1 1 1x 1x 2x 3x nnu n n 12. 设 u2222，试证x ix 1x 2x 3 x n x i2 u .i 1x 1n 1 x 2n 1 x 3n 1x n n 13. 设 f x 在 0,2 上有界可积，2 x dx 0 ，求证存在 a0,1 ,fa 1x dx0 .使得 a f4. 若幂级数a n x n 在 1,1 内收敛于 f x ，设 0x n1,1 ，满足 lim x n 0 和n 0nf x n 0 ， n 1,2，则 f x0 ，对所有 x1,1 .5. 设函数 f x 在 ,有任意阶导数，且导数数列 f n在,一致收敛x 于x ，1，求证xe x .6. 设 f x, y, z 在球 x, y, z : x 2y 2 z 2 1 上连续，令B rx, y, z : x 2 y 2 z 2 r 2 ， S r x, y, z : x 2 y 2 z 2r 2 , r 0 ，求证df x, y, z dxdydzf x, y, z dS , r0,1 .dr B rS r7. 设 f x, y, z 在全空间上具有连续的偏导数，且关于 x, y, z 都是周期的，即对任意点 x, y, z ，成立 f x1, y, z f x, y 1, z f x, y, z 1f x, y, z ，则对任意实数 , ,，有 ff f dxdydz 0 ，xyz这里0,10,1 0,1 是单位方体 .x8. 设 A 为三阶实对称方阵，定义函数 h x, y, zx, y, z A y ，z求证 h x, y, z 在条件 x 2 y 2 z 2 1 下的最大值为矩阵 A 的最大特征值 .9. （1）设数列 a n 0 ，满足 a n 0 ， n，定义集合 Pka i : k Z , i N ,Z 为整数集， N 为自然数集，求证对任何实数 b ，存在数列 b kP ，使得 lim b k b ；k(2) 试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期 .10. 设x 是,1 x dx 0上的周期连续函数，周期为 1，且，令 a n1 nx dx ， n 1,2,a n 2 收敛 .e x ，求证级数n1南开大学 2006 年数学分析考研试题解答1、解当 t 0 时，令 tx 2 y ， dx2 1 dy ，ytt31sin ydy2 yt原式limt 4tt3sin ysin t 322 dy33tlim ylim2 t97t 0t2t9t22lim sin t 3 1 .t 0 3t 33当 t 0 时，同理tsin tx 2dxlim 01t 43t 0tsin tx 2 dx 故 lim1 .4t 0t32、证明将行列式按第一列展开u A 11x 1A21x 1n 1 A n1 ，所以 x 1 ux 1A21n 1 x 1n 1 A n1 ，x 1同理将行列式按第i 列展开，得x i u xiA2i n 1 x i n 1 A ni， i 1,2, , n ，x in u于是xi x i x1 A21x2A22xnA2ni 12 x12 A31 x22 A32 x n2 A3nn 1 x1n 1 A n1 x2n 1 A n 2 x n n 1 A nnu 2u n 1 u n n 12u .3、证明构造函数F x x 1 t dt ，x 0,1 ，fxF 0 F 1 1 2 2f t dt f t dt f t dt 0 ，0 1 0由 f x 在 0,2 上有界可积，知 F x 在 0,1 上连续，存在F 0 F 10,1 ，使得F 0 ，21即f x dx 0 .4、证明设 g n x f n x ，由于 f n一致收敛于x ，xlim f n x lim f n 1 x x ，n n则有 g n x 一致收敛于x ，g n x 一致收敛于x ，于是x x ，x Ce x，又因为0 1，故x e x .5、证明令 x t sin cos ， y t sin sin ， z t cos0 t r ， 0 ， 0 2 ，则df x, y, z dxdydzdr B rd r 2 f t sin cos ,t sin sin ,t cos t2 sin ddt ddr 00 02d f r sin cos , r sin sin , r cos r 2 sin d ，0 0在 S r 中： x r sin cos ， y r sin sin ， z r cos ， 0 ， 0 2 ，dS EG F 2 d d r 2 sin d d ，f x, y, z dS 2 d f r sin cos , r sin sin , r cos r 2 sin d .0 0S r故结论得证 .6、证明由偏导数连续，fdxdydzx同理fdxdydzyfdxdydzf x 1,y, z f x, y, z dydz0 ，Dy zf x, y 1,z f x, y, z dxdz0 ，Dxzf x, y, z 1 f x, y, z dydz0 ，Dx y故有 f f fdxdydz 0 .x y z7、证明由幂级数的收敛性知 f x 连续，于是 f 0 lim f x n 0 ，n由幂级数的性质 f k x 都在1,1 上连续， k 1,2,由 f x 0 ， n 1,2, ，存在n在 x n与0之间，n使得 f n 0 ，显然有lim n 0 ，n 0 ，f 0 lim f n 0 ，n n由 f n 0 ， n 1,2, ，存在n在n与 0 之间，使得f n 0 ，显然有 lim n 0 ，n 0 ，f 0 lim f n 0 ，n n同理这样继续下去，可得k0 0 ， k 0,1,2,3,，f由于 f x 已展开成收敛的幂级数f xa n x n ，n 0所以 a nf n 0 0 ， n0,1,2,3,，n!故 f x0 ， x 1,1 .8、设 A 为 n 阶实对称方阵，定义函数 f xx T Ax ，其中 x x 1 , x 2 ,T, x n ，n1求证： f x 在条件22A下的最大值和最小值分别为矩阵的最大特征xx i1i 1值和最小特征值 .证明因为Sx R n : x1 是有界闭集， f x 在 S 上连续，所以 f x 在 S 上存在最大值和最小值 .设 x 0 S ，使得 f x 0max f xM ，x Sy 0 S ，使得 f y 0min f xm ，x S则对任意的实数 t ， hR n 都有， fx 0 th M ，x 0 th12xthTM ，x 0A x 0 ththx 0Tth M x 0 th 2th A x 0 ，x 0T Ax 0 2th T Ax 0 t 2 h T Ah Mx 0T x 0 2Mth T x 0 t 2 h T h ，2th T Ax 0 t 2h T Ah 2Mth T x 0 t 2 h T h ，对 t 0 时，有 2h T Ax 0 th T Ah 2Mh T x 0 th T h ，令 t0 ，得 h T Ax 0 Mh T x 0 ，对于 t 0 时，有 2h T Ax 0 th T Ah 2Mh T x 0 th T h ，令 t0 ，得 h T Ax 0 Mh T x 0 ，故有 h T Ax 0 Mh T x 0 ，（任意 h R n ）从而 Ax 0 Mx 0 ， M 是 A 的特征值，同理可证 m 也是 A 的特征值，设为 A 的特征值，对应的特征向量为R n ，1，A，T A ，于是 m M ，所以 M 是 A 的最大特征值， m 是 A 的最小特征值 .8、证明因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交阵 T ，1使得TAT0 20 , 1, 2, 3为实数，3于是10 x h x, y, zx, y, z T 020 T y ，3z令 x, y, z Tx 1, y 1 , z 1 ，则 x, y, z x 1, y 1 , z 1 T ，x x 1又因为 y T y 1 ,zz 1x222所以 1 x y z x yzyz x 1x 1 , y 1 , z 1 T Ty 1z 1x 12 y 12 z 12 ，即 x 12 y 12 z 12 1 ，h x, y, z1x 22 y 23 z 2 ，1 1 1不妨设 123，则有1 x12 y12 z12 h x, y, z 3 x12 y12 z12，显然 h x, y, z 有最大值3 .9、证明（ 1）对任意固定实数 b ，存在b a，使得 b b1a1 , b1 1 a1 ， b 为整数，1 1 1将闭区间进一步缩小，存在ka i，使得 b ka i , k 1 a i b1a1, b1 1 a1，记 ka i为 b n2 a n2，一直进行下去，得到一列闭区间套，使得b bn k an k, bn k1 an kbn k 1an k 1, bn k 11 an k 1，因为 lim a n 0 ，n所以 a n的任何子列比收敛于零，则 lim b n 1 a n b nk a n lim a n 0 ，k k k k k k利用闭区间套定理，存在b n k a n k , b n k 1 a n k，使得 lim b n a n ，k k k由是唯一公共点，知 b .令 b n a nk b k P ，则有lim b k b .k k（2）（ a）因为集合 f 的正周期有下界0，有确界存在定理， inf f的正周期T0存在，（b）现证明 T0inf f的周期，根据下确界的性质，存在T n inf f的正周期，n1,2,，使得 lim T n T0，n对任意 x R ，由f x 得连续性，得f x T0lim f x T n lim f x f x ，n n所以 T0是f的周期 .（c）因为 T n 0 ，lim T n T0，n所以 T 0 0 ，若 T 00 ，则 lim T n 0 ，n于是 f 得周期网点（指等于周期整数倍的点）在实数轴 R 上稠密，从而，任意 xR ，存在 x n， y n 是有一些周期网点所组成的序列， lim x nx ，n由此 f xlim fx nlim f 0x nf 0 ，nn即 f x f 0 （为常数），矛盾，故 T 00 ，结论得证 .10、证明设xx t dt ，由于t 是周期为 1 的连续函数，且1 0 ，0 t dt易知 x 亦是周期为 1 的连续函数，且xx ，0 0 ， n 0 ，n 1,2,1a nf x nx dx1du1dxf uuf xxnnnnnnn1 nnx fxfx1x 1dxnnn nnx 1 1fnx dx ，n na nfx 1x1dx maxxfx 1 1dxnnn nnx 1n n nmaxx11 t dt1 ，fK0 x 1n 0n其中 K 为常数， K maxx1 t dt ，f0 x 10 a n 2 K 2 12 ，而 K 212 收敛，n n 1n所以a n 2 收敛 .n 1。

南开大学(已有09试题)

南开大学陈省身数学研究所数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年数学物理主意2003——2023年年数学科学学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002第 1 页/共22 页微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000数学物理主意2003——2023年年物理科学学院材料化学2023年年材料物理2004——2023年年热力学统计物理2003——2004统计物理1999——2000理论力学1999——2000，2003——2004固体物理（基础部分）2004——2023年年大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004晶体物理2004激光物理2003——2004光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年光物理学2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年电动光学1999晶体管原理1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年量子物理概论2003——2004细胞生物学1999——2000高等数学1999——2000高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年电磁学2003——2023年年电力电子学基础2003——2004经典物理学2023年年普通生物化学2003——2023年年生物物理学2003——2023年年数学物理主意2003——2023年年泰达生物技术学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）微生物学1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年信息技术科学学院高等数学1999——2000第 3 页/共22 页高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年信号与系统1999——2023年年控制原理1999——2000自动控制2023年年自动控制原理2003——2004现代控制论基础1999——2000，2003——2004综合基础课（光学、电路与系统、通信与信息系统、信号与信息系统、物理电子学、微电子学与固体电子学、光学工程专业）1999——2000，2002——2023年年编译原理1998数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000软件基础1999——2000计算机软硬件基础2023年年C语言与数据结构2004计算机原理1999——2000，2003综合基础课（模拟电路、数字电路、计算机原理）1999——2000大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004晶体管原理2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004通信原理2003——2023年年物理学2023年年运筹学2003——2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年环境科学与工程学院水污染控制工程2004——2023年年安全学导论2004——2023年年环境监测1999——2000，2002——2023年年环境经济学2003——2023年年环境微生物学1999——2000环境生物学2003——2023年年环境学导论2004——2023年年环境管理1999——2000，2003——2023年年动物生理学1999——2000环境化学1999——2000，2002，2023年年环境化学与分析化学2003——2004（注：2004年试卷缺页，惟独“环境化学”内容）环境质量评价1999——2000环境工程1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000环境科学概论1999——2000，2002——2003化学学院综合化学2023年年——2023年年无机化学1999——2000，2003——2023年年分析化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年有机化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年物理化学2000，2003，2023年年——2023年年第 5 页/共22 页药物化学2004——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000固体物理（基础部分）2004——2023年年普通生物化学2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004生命科学学院微生物学1999——2000，2003——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）遗传学1999——2000，2003，2023年年真菌学1999——2000普通植物生理学1999——2000，2003——2023年年植物学1999——2000，2003动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年分子遗传学1999——2000植物生理学2000，2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004植物解剖学2023年年普通生态学1999——2000，2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年普通微生物学2003——2023年年普通物理1999——2000，2003——2004数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000医学院病理学2004——2023年年人体解剖学2004——2023年年生理学2004——2023年年生物化学（医）2004——2023年年药理学2004——2023年年汉语言文化学院汉语2023年年古代汉语2002现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2002——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 语言学理论2023年年文学院文学基础2023年年中国古代文学2023年年人文社科基础2004——2023年年世界文学2023年年综合考试（文学）1999——2000文学综合1999——2000文艺理论1999——2000，2004——2023年年文艺评论2004——2023年年文艺写作2023年年文艺评论写作1999——2000中国文学史1998——2002第7 页/共22 页中国文学批评史1998——2001古代汉语2002现代汉语与古代汉语2003——2023年年古典文学文献学2004——2023年年语言学概论2023年年现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2003——2004语言理论基础（文学院）2003——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 汉语基础知识2004汉语知识2004中国文学史2003——2023年年人文地理学1999——2000传扬学2003传扬学原理2004——2023年年绘画基础与创作2004——2023年年美学原理2003——2023年年书法技法2003——2004书法史论2003——2004新闻学原理2004——2023年年艺术史论2004——2023年年艺术与设计史论2003——2023年年中外美术史论2003——2023年年专业设计（环境设计）2003专业设计（设计艺术学、环境设计专业）2004专业设计（设计艺术学、视觉设计）2023年年历史学院古代汉语2003——2023年年古代文献2003——2004古典文献学2004——2023年年拉丁美洲史2003——2004历史地理2004——2023年年历史文献学2004——2023年年历史学基础理论2023年年美国史2003——2004美国学综论2023年年明清史2003——2004史学史2023年年世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年世界上古中古史2003——2023年年世界通史2003——2023年年文物博物馆学2003——2023年年中国古代史2003——2023年年中国近现代史2003——2023年年中国史学史与史学理论2003——2004中国思想史2003——2023年年中国通史1994——1997，2003——2023年年中国文献学基础2003——2004中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年哲学系马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年宗教学概论2004——2023年年伦理学原理2004——2023年年美学概论2023年年第9 页/共22 页欧美哲学通史2003——2023年年西方哲学通史2023年年形式逻辑2003——2023年年中国哲学史2023年年中外哲学史2003——2023年年外国语学院二外日语2001——2023年年二外德语2001——2023年年二外法语2001——2023年年二外俄语2003——2023年年专业英语2000——2003，2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）（注：2023年年答案惟独英美文学部分，2023年年答案有英美文学部分和语言学部分）基础英语1997，2000——2023年年（1997，2004——2023年年，2023年年有答案）语言学基础2023年年（2023年年有答案）翻译2004（2004有答案）双语翻译与文学2004英美文学2004（2004有答案）语言学2004——2023年年（2004——2023年年有答案）二外英语2001，2003——2023年年，2023年年基础日语2001，2003——2023年年专业日语2001，2003——2023年年基础俄语2004——2023年年法学院刑法学2023年年法学综合（含法理学、宪法、民法、刑法、刑诉、民诉）2000——2023年年（2023年年试题有答案）民法与商法2003——2023年年，2023年年民法（民商法专业）2002民法（经济法专业）2002民法2000——2001（法理学）法学理论2023年年法学理论2003法制史（含中国法制史、外国法制史）2003——2023年年，2023年年国际法学（含国际经济法、国际公法、国际私法）2003——2023年年，2023年年国际经济法概论2000经济法与商法2003——2023年年，2023年年经济法1999诉讼法学（含行政诉讼法、刑事诉讼法、民事诉讼法）2004——2023年年，2023年年宪法学、行政法与行政诉讼法2003——2023年年，2023年年（2004有答案）环境法2023年年周恩来政府管理学院行政管理学2003——2023年年政策原理与政策分析2003——2023年年（2004有答案）国际关系史1999——2000，2003——2023年年国际关系学2003——2023年年国际关系概论1999——2000外交学概论与当代中国外交2004——2023年年外国政治制度史1999——2000政治学原理1999——2023年年中国政治制度史1999——2000中国通史1994——1997第11 页/共22 页中外政治思想史2003——2023年年中国政治思想史1999——2000，2002西方政治思想史1999——2000中外经济地理1999——2000世界近现代历史2002社会保障学2004——2023年年社会学理论2023年年社会学概论1995——2001，2003——2004社会调查主意与社会统计1995——2023年年社会工作2001环境学与环境法2004——2023年年西方经济学流派2004——2023年年（2004——2023年年有答案）心理学主意2004——2023年年（2004有答案）心理学基础2004——2023年年（2004有答案）马克思主义教诲学院马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年科学社会主义原理2004——2023年年专业综合基础理论（科学社会主义与国际共产主义运动理论专业）2004——2023年年思想政治教诲原理2003——2023年年中共党史2003——2023年年中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年中外哲学史2003——2023年年经济学院微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年第13 页/共22 页有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000综合基础课（保险）1999——2000金融学基础（联考）2002——2023年年（2002——2023年年有答案）商学院会计学综合2023年年——2023年年会计学综合考试1999——2000，2003——2023年年（2000，2003——2023年年有答案）财务管理1999——2000财务管理与管理会计1999——2000（1999——2000有答案）公司治理2023年年技术经济学2003——2023年年市场学1999——2000管理综合（含管理学、微观经济学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）（注：2023年年——2023年年的答案惟独管理学部分的答案，无微观经济学部分的答案）管理学概论2002信息系统技术1999——2000管理信息系统2003——2023年年旅游管理1999旅游学综合（旅游概论和旅游经济学）2001——2023年年旅游学概论1997企业人力资源开辟与管理1999——2000（1999——2000有答案）人文地理学1999——2000中外经济地理1999——2000计算机应用（设计程序、数据库系统）2004——2023年年编辑学2001出版学2001网络技术基础2001档案管理学2004——2023年年档案学概论2004——2023年年目录学（含目录学概论、中西文工具书）2003——2004文献目录学2023年年情报学（含情报学概论、科技文献检索、计算机情报检索）2003情报学（含情报学概论、信息检索）2004第15 页/共22 页情报学综合2023年年图书馆学理论2003——2023年年高等教诲研究所高等教诲原理2003——2023年年（2023年年有答案）经济学原理2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）高等教诲管理学2003——2023年年教诲社会学2004——2023年年教诲学原理2004——2023年年（2004有答案）普通心理学2003——2023年年（2004有答案）中国高等教诲史2003——2023年年经济与社会发展研究院专业综合（含微观经济学、区域经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）专业综合（宏观经济学、产业经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第17 页/共22 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页/共22 页中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000。

南开大学2000-2016数学分析考研试题汇总

取
07
83
且
4
当α
∞ an = S n = +∞ 时， ∑ α ∑ an 发散； = 0 ，且 nlim →∞ n =1 S n n =1
0
n 所以 ∑ α 发散； n =1 S n
(
w
w
∞
a
w
N an an S N ≥ = α ∑ 因为 ∑ α α S1 n =1 S n n =1 S1
.
，
k
N
A'
收集整理：我欲封天
07
A"
0
83
4
Q
由条件得 f ( x, u ) 在 [ A' , A' ' ] × [α , β ] 上一致连续，从而 lim f ( x, u ) = f ( x, β ) ，
u →β
且关于 x ∈ [ A′, A′′] 是一致收敛的；或者说在
∫
A'
A′′
A′
f ( x, u )dx 在 [α , β ] 上连续，
f ( x, u )dx 在 [α , β ) 上一致收敛，
所以 ∀ε > 0, ∃A0 (ε ) > 0 ，当 A' , A" > A0 (ε ) 时， ∀u ∈ [α , β ) ，有又由 f ( x, u ) 在 [ a, +∞ ) × [α , β ] 中连续，
5
∫ f (x, u )dx < ε ，
发
w然
n
= +∞ 时，
comÐO›
方法一
n+ p
研
式成立，于是 {∑ 方法二因为
N
k =2

南开考研数学真题试卷

南开考研数学真题试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(x) \)的最小值。

A. 0B. -1C. -4D. 32. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则\( L \)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在3. 已知\( a, b \)为正整数，且\( a + b = 10 \)，求\( a^2 + b^2 \)的最小值。

...（此处省略其他选择题）二、填空题（每空4分，共20分）4. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值为\( \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{2} x^2 dx \)的值为______。

5. 设等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第5项的值。

...（此处省略其他填空题）三、解答题（共40分）6. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \cdots + n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

7. 解不等式\( |x - 2| + |x + 3| \geq 5 \)。

...（此处省略其他解答题）注意事项：- 请仔细审题，确保理解题目要求。

- 选择题请在答题卡上正确填涂选项。

- 填空题请直接在题干后的横线上填写答案。

- 解答题请在答题纸上清晰、规范地书写解答过程。

结束语：希望本试卷能够为各位考生提供一定的参考和帮助。

考研之路充满挑战，但只要坚持不懈，定能取得理想的成绩。

祝各位考生考试顺利！请注意，以上内容仅为示例，真实的南开考研数学真题试卷会由南开大学根据当年的考试大纲和要求来制定。

考生应以官方发布的真题为准进行复习和准备。

南开大学陈省身数学研究所《802量子力学》(数学所)历年考研真题专业课考试试题

【6】质量为m的粒子在宽度为L的一维无限深势阱中运动，基态能是：______
A． B． C． D．
【7】质量为m的粒子在宽度为一维无限深势阱中运动，基态波函数是：______
A． B． C． D．
【8】对一维无限深势阱问题，解定态薛定谔方程，解出能量本征值是，对应的本征函数是，以下哪个波函数表示的是所谓“定态”：______
2006年南开大学量子力学考研真题
2005年南开大学量子力学考研真题
2004年南开大学量子力学考研真题
2003年南开大学量子力学考研真题
2002年南开大学量子力学考研真题
2001年南开大学量子力学考研真题
2000年南开大学量子力学考研真题
1999年南开大学量子力学考研真题
2．在量子力学中，力学量用______描述。力学量算符必为______ 算符，以保证其______为实数。两个力学量同时具有确定值得条件是两个力学量算符______。
3．全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的关系。例如光子和介子，其自旋为的______倍，波函数对两个粒子交换总是对称的，被称为______；而电子、质子以及中子，它们的自旋是
目录
第一部分南开大学量子力学（数学所）考研真题 2007年南开大学705量子力学导论考研真题一、填空题（每空2分，共20分）二、证明题（每题5分，共15分）三、（10分）四、（10分）五、（15分）六、（20分）七、（25分）八、（25分）九、（10分） 2006年南开大学量子力学考研真题 2005年南开大学量子力学考研真题 2004年南开大学量子力学考研真题 2003年南开大学量子力学考研真题 2002年南开大学量子力学考研真题 2001年南开大学量子力学考研真题

南开大学数学系考研真题

2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有nn n n nn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足：（1）极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nx x x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l++⎰)(22与积分路径无关解；令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。

（此题应感谢小毒物提供思路）五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba ab a-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

南开大学基础数学考研资料考研试题

天津考研网独家推出的南开大学基础数学考研资料，是有多名一线的南开大学基础数学的大学老师以及过去在南开大学基础数学研究生考试中获得高分的考生共同编写整理的一套专业的考研资料。

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南开大学基础数学专业2014年期不在指定参考书目，以前指定的两本书是远远不够的。

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南开大学701数学分析2014年考研专业课真题试卷

。
六、(20分·)求证 : (1) 苎凵丝在 (0,+∞)不一致收敛;
客
￡号竺在3;cD,连
;乒
七、(20分 )已知r←)在【O,+∞ )二阶可导。
(1)设 Ⅱm r←)〓 1, ⒒m/″←)=0,求证: Ⅱm/′Cjr)〓 0。
⒓)试构造一个函数/【jr),使得 lim/←)〓 1,但 Ⅱm/′←)不存在。
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南开大学 zO14年硕士研究生入学考试试题
学院:012数学科学学院、011陈省身数学研究所、010组合中心考试科目:701数学分析专业:数学学科下除数理经济外的各专业、统计学学科下各专业
豳 R谑膨馅箨鸵咖
止,筝创龆叻脚
一、 (1① 分 )求极限:Ⅱ里(蛎 -1)sh″ h刀。
二、(10分 )求证: /(苈 ,`)〓
十三’
是二二维王上自勺j连续函数。
{e^〃 ∶
∶[∶
Fl面
=、 (20分 )设 0(3(臼 c)0。求点(0,0,c)到曲面子=丢 +若:的最/l、距离。
四、(zO分
)设
曰,D,c)0,∑
是单位球面
`+/+'〓
1,取外侧。求曲面积分:
吒
五、(20分 )计算: 晷黠