高等数学(下)知识点总结归纳

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高等数学（下）知识点

主要公式总结

第八章空间解析几何与向量代数 1、

二次曲面

1）

椭圆锥面：2

2

222z b y a x =+ 2）

3）

4）

5）

6）

（二） 1、

法向量：n

2、

3、

两平面的夹角：),,(1111

C B A n =，),,(2222C B A n =

，

⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；⇔

∏∏21//2

1

2121C C B B A A ==

4、

点

),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：

（三） 空间直线及其方程 1、

一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A

2、

对称式（点向式）方程：

p z z n y y m x x 0

00-=-=-

方向向量：),,(p n m s =

，过点),,(000z y x

3、

两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =

，

⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔

21//L L 2

1

2121p p n n m m ==

4、

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

2、 微分法

1）

复合函数求导：链式法则

若

(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则

z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y

∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用

1）

求函数),(y x f z =的极值解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0

y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令

),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，

① 若

AC ② 若AC ③ 若AC 2、 1）

曲线⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧Γ:z y x 2） 曲面

:∑（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积

1、 定义：

∑⎰⎰=→∆=n

k k k k

D

f y x f 1

),(lim d ),(σηξσλ

2、 计算： 1）

直角坐标

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，

21()

()

(,)d d d (,)d b

x a

x D

f x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰

⎰

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，21()()(,)d d d (,)d d y c y D

f x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰

2） 极坐标

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，

21()

(

)

(,)d d (cos ,sin )d D

f x y x y d f β

ρθαρθ

θρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰

（二） 三重积分

1、 定义：

∑⎰⎰⎰

=→Ω

∆=n

k k

k k k

v f v z y x f 1

),,(lim

d ),,(ζηξ

λ

2、 计算： 1）

⎰⎰⎰

Ω

x f ,(⎰⎰⎰

Ω

x f (2）

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧===z

z y x ρρ3）

（三） 应用曲面

z S :（一） 1、 2、

设

,(y x f 在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为),

(ψ⎪⎩⎨

=t y ，其中在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则

（二） 对坐标的曲线积分 1、

定义：设L 为

xoy 面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在L 上有界，定义

∑⎰

=→∆=n

k k

k k L

x P x y x P 1

),(lim d ),(ηξλ，

∑⎰=→∆=n

k k

k k

L

y Q y y x Q 1

),(lim d ),(ηξλ

.

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向量形式：⎰⎰

+=⋅L

L

y y x Q x y x P r F d ),(d ),(d

2、

计算：

设),(,),

(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为

):(),

(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨

⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2

2≠'+'t t ψϕ，则 3、

两类曲线积分之间的关系：

设平面有向曲线弧为

⎪⎩⎪⎨⎧==)

()

( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，

cos α=

则

L

P ⎰

（三） 1、

则有

⎰⎰D 2、G 则

x Q ∂∂（四） 1、 设

∑定义⎰⎰

∑

2、

:z =∑，xy ，则

（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：

设

∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义

1(,,)d d lim (,,)()n

i i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑

→==∆∑⎰⎰

同理，

1

(,,)d d lim (,,)()n

i i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑

→==∆∑⎰⎰

；0

1

(,,)d d lim (,,)()n

i i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑

→==∆∑⎰⎰