高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

1.已知曲线C上任意一点P到两定点F

1(-1,0)与F

2

(1,0)的距离之和为4．

（1）求曲线C的方程；

（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．

(ⅰ)证明：k·k

ON

为定值；

(ⅱ)是否存在实数k，使得F

1

N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．

【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F

1(-1,0)与F

2

(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的

定义可知曲线Ｃ是以两定点F

1(-1,0)和F

2

(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的

方程；

（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON

的斜率，再乘以k就可证明k·k

ON 为定值；(ⅱ）由F

1

N⊥AC，得k

AC

•k

FN

= -1，结合前边结果就可

将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.

试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F

1(-1,0)和F

2

(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，

所以，故曲线C的方程为：. 4分

（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x

1, y

1

)，C(x

2

, y

2

）(x

2

>y

2

)．

(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分

故，， 7分

所以，所以k•k

ON

=为定值. 8分

(ⅱ)若F

1N⊥AC，则k

AC

•k

FN

= -1，

因为F

1

(-1,0)，故， 10分

代入y

2=k(x

2

+4)得x

2

=-2-8k2，y

2

="2k" -8k3，而x

2

≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线

不存在． 13分

【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.

2.双曲线+=1的离心率，则的值为.

【答案】-32

【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.

3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，

求面积的最小值。

【答案】

【解析】由直线的方程和椭圆的方程易知，直线与椭圆不相交，设直线m平行于直线，则直线

m的方程可以写成4x-5y+k=0，与椭圆方程联立，求出直线方程，再求出直线m与直线间的距离，即可求△ABP面积的最小值．

试题解析：由直线的方程和椭圆的方程易知，直线与椭圆不相交，设直线平行于直线，则直线

的方程可以写成 (1)

由消去得 (2)

令方程（2）的根的判别式得

解之得或，

容易知道时，直线与椭圆的交点到直线的距离最近，此时直线的方程为

直线与直线间的距离

所以.

【考点】(1)椭圆的性质；（2）直线与圆锥曲线的应用.

4.以椭圆的一个顶点为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形，试问：（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线

方程。若不存在，说明理由。（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？

【答案】(1)存在，与；（2）存在，最多有个.

【解析】（1）这样的等腰直角三角形存在．直线y=x+1与直线y=-x+1满足题意；

（2）设出CA所在的直线方程，代入椭圆的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由

|CA|=|CB|得（k-1）[k2-（a

2

-1）k+1]=0，讨论方程根的情况，即可得出结论．

试题解析：（1）这样的等腰直角三角形存在。因为直线与直线垂直，且关于轴对称，所以直线与直线是一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。

（2）设两点分别居于轴的左，右两侧，设的斜率为，则，所在的直线方程为，代入椭圆的方程并整理得，或，的横坐标为

，，

同理可得，所以由得

，，

当时，（1）的解是无实数解；

当时，（1）的解是的解也是；当时，（1）的解除外，方程有两个不相等的正根，且都不等于，故（1）有个正根。

所以符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有个。

【考点】(1)椭圆的性质；（2）直线与圆锥曲线的应用.

5.如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F

1,F

2

,离心率e＝,M,N是直

线x＝4上的两个动点，且·＝0.

（1）求椭圆的方程；

（2）求|MN|的最小值；

（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。