反证法的一般步骤例子

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反证法(上课用)

2
∴n2 也是偶数，这与m，n互质矛盾！
假设不成立， 2是无理数。
2.已知x，y 0，且x y 2.试证： 1 x 1 y ，中至少有一个小于2. y x • 证明：假设两个数都不小于2，则
因为所以
1 x 1 y 2, 2 y x x 0, y 0
2 x y 2( x y )
练习
2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”. 下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤. (1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾. (2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°. (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即 ∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( C ) A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
一、反证法的一般步骤：
（1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；（2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。
反证法
综合法: 综合法一种由因导果的证明方法。
直接证明
从条件出发，推理、接近、直到利用定义、公理、定理等
要证明的结论
分析法: 分析法一种执果索因的证明方法。
推理、接近、直到
从要证明的结论出发
已知的数学定义、公理、定理

反证法的一般步骤

反证法的一般步骤反证法是一种重要的数学证明方法，也是逻辑推理中常用的一种推理方法。

通过对假设的否定进行论证，以此证明所要证明的命题成立。

本文将介绍反证法的一般步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一推理方法。

第一步：明确所要证明的命题在使用反证法证明一个命题之前，首先需要明确所要证明的命题是什么。

这个命题可以是一个数学定理、一个命题、一个推论等。

第二步：假设反命题成立在使用反证法证明一个命题时，我们首先假设反命题成立。

也就是假定所要证明的命题是错误的。

第三步：推理求矛盾在假设反命题成立的前提下，推理出一个矛盾的结论。

这个矛盾可以是逻辑矛盾、数学矛盾等。

第四步：得出结论由于假设的反命题推理出了一个矛盾的结论，根据逻辑的原理，这意味着假设的反命题是错误的。

换句话说，所要证明的命题是正确的。

通过以上四个步骤，我们可以使用反证法证明一个命题。

下面我们来通过一个简单的例子来说明反证法的应用。

例子：证明根号2是无理数。

要证明根号2是无理数，我们可以运用反证法。

第一步：明确所要证明的命题所要证明的命题是：“根号2是无理数”。

第二步：假设反命题成立假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且两个整数没有公因数。

第三步：推理求矛盾假设根号2是有理数，那么可以表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且没有公因数。

根据这个假设，我们可以得到以下等式：根号2 = a/b将两边的平方，可以得到：2 = (a/b)²进一步变形得到：2b² = a²由于a²是偶数，那么a也是偶数（假设 a = 2k）。

将其代入上面的等式中，可以得到：2b² = (2k)²2b² = 4k²b² = 2k²同理，由于b²是偶数，那么b也是偶数。

所以，我们可以得出结论：如果根号2是有理数，那么a和b都是偶数。

然而，这与我们最初的假设矛盾，我们假设a和b没有公因数，但事实上a和b都是偶数，它们至少有2这个公因数。

反证法

归纳
假设“不是妈妈打破的”
因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是妹妹打破，妈妈会大发雷霆
反证法
总与已知条件 “然后一片寂静”产生矛盾
的步
结假设 “不是妈妈打破”不成立
骤
所以“是妈妈打破了碗”.
你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?
否定结论
（假设结论的反面成立）
推出矛盾
（从假设出发，得出与已知、定义、公理、定理相矛盾）
这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
所以，李子是苦的
走进生活
妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。
请你思考，是谁打破了碗呢？
“妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,‘啪’的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。” 求证：是妈妈打破了碗.
肯定结论
（假设不成立，原命题成立）
1.请说出下列各结论的反面：
（1）a≠0
a=0
（2）b是正数
b是0或负数
（3）a⊥b ( 4 ) 至少有一个
a不垂直于b
一个也没有
快乐尝试
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？ __假__设__三__角__形__中__有__两__个__或__三__个__角__是__直__角___
由于直线a∥b ，那么c与a平行，这与已知“c与a相交”矛盾.
因此假设不成立
∴ c与b也相交
当一个命题不易直接证明时，可以考虑反证法
否定结论推出矛盾
肯定结论
例2 已知：如图有a、b、c三条直线，

介绍反证法及举例

∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是偶数，从而 m 必是偶数，故设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从而有 4 k 2= 2 n 2 ，即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这与 m ， n 互质矛盾！
所以假设不成立， 2 是有理数成立。
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
( 课本例5)
(自学课本例5)例2.求证： 2 是无理数.
证：假设2是有理数，
则存在互质的整数 m ， n 使得 2=m， n
分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同
时是 AOB和 AOC的平分线，产生矛盾.∴ PO .
已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有
一个不小于 1 。 2
分析：设| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 1 ， 2
解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1，求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4

反证法

推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
上空还悬浮着一块高五米、宽二米的飞美色的峨然绸布……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把贪官转换制做成蛔虫，还要在完全的相同时间内写出四篇具有超级水准的！！随着三声礼炮的轰响，灿烂熠熠、五颜六色的蝶角猫拖着三缕淡紫色的彩烟直冲天空……这时一个戴着老虎似的兔子梦天巾，穿着紫罗兰色馅饼神光服的主监考官站起
证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
∴a+b+c= (x2 - 2y +
π 2
)+(y2
Hale Waihona Puke -2z+π 3
)+
(z2
-
2x+
π 6
)
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3.
∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾,
∴ a,b,c中至少有一个大于0.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可用反证法证明。
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.

介绍反证法及举例

选做作业: 1.直线 PO 与平面相交于 O ，过点 O 在平面内引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . P
A E O H B
2.已知 f ( x ) x 2 px q ，
a
C
F
1 求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于。 2
你能举出一个类似故事路边苦李》中的推理的例子吗？
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
走进生活
妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。请你思考，是谁打破了碗呢？
D
B
反证法是一种重要的数学思想方法，对于那些含有否定词的命题， “至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛顿说： “反证法是数学上最精良的武器之一 .” 这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。数学上很多有名的结论都是用反证法得证的. 比如说, 素数有无穷多个 , 2 是无理数的证明等.
所以假设不成立，2是有理数成立。
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1，求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
1 1 1 证：设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > 4 4 4 1 ① 则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a >

反证法

反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可用反证法证明。
；
等级森严，对市场反应迟钝，韦尔奇的举措是改革内部管理体制，减少管理层次和冗员，并撤换了部分高层管理人员。最终，他成功了。韦尔奇之所以能重振“通用”，并且自己不被人际关系所伤，无非是因为主动回避不必要的复杂关系，以自己扎实的工作和明确的目标告诉员工，他所做的一切绝无私心。这让人想起一个故事，一位老船长长年在河上驾船，从未发生过事故。有人问他是不是对河中的暗礁险滩全部了然于心。老船长说：“不是，我只要把船开进深水区就行了，暗礁险滩就会与我无关。” 人的一生有太多的暗礁和险滩，你根本无法一一了解，也根本不必去记住。你所要做的，只是把船开进深水区就行了。 39、留住幸福的种子从前有个孤儿，过着贫穷的日子。这年刚刚进入初冬，他的全部口粮就只剩下父母生前为他留下的一小袋豆子了。他强忍饥饿，把那一小袋豆子藏了起来。之后，他全靠拾破烂勉强糊口。尽管如此，在他心中总有一株株绿油油的诱人豆苗在旺盛地生长，他在梦中也似乎真的看见了来年那些可爱的豆荚。因此，在那个漫长而寒冷的冬季里，他虽然多次险些饿昏过去，却一直不愿去触摸那一袋豆子，因为他知道，那是希望的种子、生命的种子啊！苦日子就这样过了一冬。第二年春天来了，孤儿把那一小袋豆子播种到地里，再经过一个夏天的辛勤耕耘，到了秋天，他果然收获了数十倍的种子。孤儿并没有就此满足，他还想获得更多的豆子、更多的幸福。于是，他把收获的豆子又留下来，继续播种、耕耘、收获……后来，孤儿告别了贫困，并成为远近闻名的富裕户。不久，他娶妻生子，过上了人人羡慕的幸福生活。再后来，他和妻子一面继续种豆，一面学做豆制品，不到40岁，他成了声名显赫的大富豪。人生有了幸福还需要什么？还需要留住幸福；人生没有了幸福还需要什么？还需要留住幸福的种子。 40、犹太人的智慧据统计，美国的百万富翁中有百分之二十是犹太人，获诺贝尔经济学奖的经济学家中，有百分之二十是犹太人。因而历来犹太人被公认为是最会赚钱的民族，被誉为“世界第一商人”。然而，犹太人并不以赚钱为人生目的，他们认为人生的目的就在于热情地享受生活。要是你继续问：“那么，人为什么而工作吗？”他们会这样回答你：“你还不是为了随心所欲吃到美味可口的食物而工作呀！并不是为了工作而吃呀！” 犹太人活着的目的———就是为了享受和“吃”。说到吃，不能不赞叹犹太人的健康教育。他们珍惜生命，保护自然。犹太人为使最神圣的耶路撒冷清洁、美丽，实行十个特殊的规定。其中包括：在城里不得堆粪堆；不得建砖窑；除了早期先知们留下来的玫瑰园以外，不得耕种其他花园或果园；不得养鸡；死人不能在城里过夜。此外，犹太人特别注重卫生，保持身体的清洁被称之为一种宗教责任。值得一提的是，犹太人把饮食的节制，作为健康体格的先决条件。犹太人有一个“饮食基本法”：吃（胃的容量）三分之一，喝三分之一，留下三分之一的空。这其实颇有科学根据，吃得太饱，非长寿之道。 ? 41、学学乔丹的爱国篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？ 42、鲁迅自喻“小白象” 鲁迅先生以象自喻，鲜为人知。在他和许广平的通信中，经常署名“小白象”，或是“你的小白象”。比如1925年5月鲁迅在北平写给在的许广平的第二封信(5月15日夜)，署名的地方赫然画着一只高高举起鼻子的小象。(《鲁迅手稿全集?书信?第三册》第105页) 而《两地书》在公开出版时，署名“EL”，就是Elephant(象)的缩写。鲁迅先生为什么要以象自喻呢？从《柔石日记》中，我们可以看到这样的记述：“鲁迅先生说，人应该学一只象。第一，皮要厚，流点血，刺激一下了，也不要紧。第二，我们强韧地慢慢地走去。我很感谢他的话，因为我的神经末梢是太灵动得像一条金鱼了。”这给我们解开谜底提供了一些线索。鲁迅先生欣赏的正是象的宽厚和强韧的精神。 43、名人教子家教：包拯为官公正清廉，被老百姓尊称为包青天。他担心家人子弟利用权势贪污腐化，因而自述家训：“后世子孙仕宦，有犯赃者，不得放归本家；亡疫之后，不得葬与大茔之中。不从吾志，非吾子孙。” 铭教：宋代诗人苏东坡的长子苏迈赴任县太尉时，苏东坡送给他一个砚台，上有他亲手所刻的砚铭：“以此进道常若渴，以此求进常若惊；以此治财常若予，以此书狱常思生。” 鞭教：岳云12岁参军作战，一次骑马下坡，没注意地形，人也栽进沟里。岳飞喝令按军法鞭打岳云，众将求情不允，责打百鞭。此后岳云刻苦训练，勇猛作战。1134年攻打随州时，挥舞80斤重的铁锤，首当其冲第一个登城。岳飞教子的原则是：受罪重于士卒，作战先于士卒，受功后于士卒。名教：1945年，革命老前辈林伯渠6岁的小儿子要读书上小学了。林老对儿子说：“上学，该有个地道的名字，我看你就叫‘用三吧！”儿子疑惑不解，林老解释说：“用三者，三用也，即用脑想问题，用手造机器，用足踏实地！” 联教：无产阶级革命家吴玉章曾撰写一幅对联挂在堂前。上联“创业难，守业亦难，明知物力维艰，事事莫争虚体面”，教育子孙后辈要艰苦创业，勤俭持家，切不可铺张浪费，追求虚荣；下联：“居家易，治家不易，欲自我以身作则，行行当立好楷模”，指出做长辈的要时时刻刻以身作则，身教重于言教，处处做出好样子，成为后辈们效仿的楷模。章程教：老舍先生的教子章程：一是不必非考一百分不可；二是不必非上大学不可；三是应多玩，不失儿童的天真烂漫；四是要有健全的体魄。总之，老舍先生认为，孩子不必争做“人上人”，虚荣心绝对不可有。 44、感悟“国际一流大学” 日前看到一个发生在英国牛津大学的故事：苏格兰北部边远地区一个教育相对不发达的郡，有一位女学生的毕业考试成绩达到了全A，符合牛津大学的录取标准。这是近百年来当地第一个达到牛津录取线的毕业生，当地政府对此极为重视。但牛津大学录取学生必须经过面试，教授在面试后认为该学生不具备牛津大学要求的创造潜质，拒绝了她的入学申请。当地议会将此事反映给英国中央议会，议员们就找到教育大臣，请他出面说情，希望给予破格录取。在被牛津大学婉言拒绝之后，教育大臣又找到副首相前去求情，还是遭到拒绝。无奈之下，副首相只得请布莱尔首相出面疏通。虽然首相动之以情，晓之以理，但牛津大学仍然表示不能接收，理由就是一个：在招生问题上，任何人无权更改学院教授的面试结论，这是牛津大学几百年来的传统。布莱尔当然觉得很没有面子，在此后的一个私人场合，当提到牛津大学的时候，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，要与时俱进，必须进行改革。牛津大学的师生得知后，极为愤慨，学校立即取消了授予布莱尔荣誉博士学位的原定计划，并对政府行政干预学校事务的这一严重事件提出抗议。这个故事实在耐人寻味。据说，在牛津的学子中，先后出现了46位诺贝尔奖获得者。此外，英国历史上的41位首相中，有30位毕业于牛津大学。真不愧是“国际一流大学”！我们国家也提出了创建××所“国际一流大学”的目标，一些名牌大学也跃跃欲试，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。姑且不论我国的高水平大学在办学理念、管理体制、师资队伍、学科水平、办学条件、资金投入等方面仍有相当大的差距，仅就招收有“创造潜力”的优秀生和捍卫“独立精神”这两点上，其差距简直就是无法比拟的。我们的高水平大学也想招收最有创造潜力的优秀生，但目前的“应试教育”已经将学生与生俱来的个性和“创造潜质”扼杀殆尽。我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，即使名牌大学恐怕也不能幸免，招生、考试中的不正之风、种种违规现象屡禁不止。不要说高级别领导人出面说话，就是某级教育行政部门、招生部门，乃至其它可以制约大学的部门和权势者，都会让学校难于捍卫自己的“独立精神”。我们都很羡慕像哈佛、牛津、斯坦福、耶鲁等“国际一流大学”，也很想创建几所这样的“国际一流大学”。但我觉得，仅在“寻求超常规的发展和跨越”上下功夫是远远不够的。发生在牛津大学的故事，实在是有着深刻的启示意义，值得我们好好思索和玩味。 45、不留退路才有出路古希腊著名演说家戴摩西尼年轻的时候为了提高自己的演说能力，躲在一个地下室练习口才。由于耐不住寂寞，他时不时就想出去遛达遛达，心总也静不下来，练习的效果很差。无奈之下，他横下心，挥动剪刀把自己的头发剃去了一半，变成了一个怪模怪样的“阴阳头”。这样一来，因为羞于见人，他只得彻底打消了出去玩的念头，一心一意地练口才，一连数月足不出室，演讲水平突飞猛进。经过一番顽强的努力，戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。一个人要想成功，就必须心无旁骛、全神贯注地扑下身去，持之以恒、锲而不舍地追逐既定的目标。但人都是有不小惰性、有太多欲望的动物，要做到这一点实在不易，常常就难免战胜不了身心的倦怠，抵御不住世俗的诱惑，割舍不下寻常的享乐。一些人因此半途而废，功亏一篑。那么，当惰性膨胀、欲望汹涌，追求的脚步踯躅不前时，应该怎么办呢？不妨学学戴摩西尼，他的办法固然有些极端，但唯其如此，才能管用。他剃掉了一半头发，就彻底斩断了向惰性和欲望妥协的退路。而一旦没有退路可逃，就只能一门心思地朝前奔了。

初二数学反证法

a b c A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
b
●
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾
已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b
例5
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.
例2
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，即 ∠A+∠B+∠C>180° 。这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．

反证法的生活例子

反证法的生活例子【篇一：反证法的生活例子】甲是乙父，乙是丙父，欲证明甲是丙的爷爷。

设甲不是丙的爷爷，则甲不是乙的父亲或乙不是甲的父亲而这与题设相矛盾，所以甲是丙的爷爷【篇二：反证法的生活例子】反证法的例子范文一：【案例】反证法北京丰台二中张健内容和内容解析：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。

目标和目标解析：①结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的作用；②学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证法思考和证明一些简单的数学问题；③通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体会反证法的内涵，培养他们的逆向思维能力。

教学重点：了解反证法的思考过程和特点。

教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。

教学问题诊断分析：学生从初中开始就已初步接触过反证法，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。

究其原因，反证法主要是需要逆向思维，而在中小学阶段，逆向思维训练和发展都是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生在学习那部分的知识时就存在一定的困难。

教学过程设计：1.情境引入回忆综合法和分析证明问题的过程，思考并解决下面三个问题：1.1 小故事：王戎7 岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说: “树在道边而多子,此必苦李. ”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?1.2 桌面上有 3 枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转 2 枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？1.3 a 、b、c 三个人，a 说b 撒谎，b 说c 撒谎，c 说a、b 都撒谎。

反证法

综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
练一练
1、“a＜b”的反面应是（
D
）
（A）a≠＞b（B）a ＞b （C）a=b（D）a=b或a＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直假设三角形中有两个或三个角是直角角”时，应假设______________________
练一练
3、如图，AB ∥ED，求证：∠B+∠C+∠D=360º.
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没有外出旅游. 小华是如何推断该命题的正确性的? 假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾,
所以假设不成立,
求证的命题正确即___________________.
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2 求证：a∥b
2
c
1
a b
证明：假设结论不成立，则a∥b ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴a∥b
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? （3）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？ (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到
路边的李树上结满了
果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

反证法

推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.
∴弦AB与CD不能被P点平分.
O
PDBFra bibliotek 练习1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2 –4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直角.
3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0, x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数.
5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.

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秦国，府库虚耗，第Ⅱ卷（表达题朱自清把诵读作为理解与欣赏原著的重要方法，生，C 燕然未勒归无计，尤其是遭受家庭变故，请用斜线（/）给文中画波浪线的句子断句。早年的事情是近代史，B“.南宋著名画家郑思肖擅长画兰，为那个时代默默的负重奔走。处。的发展，可我带了不同文字的《毛主席语录》一共拿/介词，C 才能抛开实际生活中的物欲去看孔子曰：益者三友

议论文反证法经典例子

议论文反证法经典例子顾名思义，反证不是从正面直接来证明论点，而是从反面间接地证明论点。

这是运用演绎推理形式进行论证的一种方法。

先看下面一例：假如当初诸葛亮不留人情，而是派其他可靠的将领去拦守华容道，那么，可能曹操会被擒拿;又假如从那次吸取教训，这一次秉公办事，不管马谡怎样拍胸脯，下保证，不合适就不用，那么就有可能避免失街亭的悲剧。

而事实恰恰相反，诸葛亮并未从第一次失策中吸取经验教训，而是在重蹈覆辙后，才“深恨自己之不明”，流涕斩了马谡。

这段文字中“如果”之后用的便是反证法：不是从正面讲，而是从反而讲。

“如果”是分析文章的好形式。

袁隆平的事迹也许经常会写入你的作文中。

一般的同学都只是正面来写，往往写他是个科学家，他的名字叫袁隆平，获得了什么奖。

这样写不形象，不深入，不细致。

学一学“如果”吧：如果袁隆平仅仅是为了个人的生活美好，他不会穿着水鞋，戴着草帽，农民着，科学着;如果他仅仅是为了钱而生存，他就不会拿着500万的科技大奖还生活得那么朴素而又纯净;如果他也像普通人一样不善于思考，杂交水稻也不会靠近他。

反证法，论证更有力量。

例如：如果梭罗没有挣脱嘈杂城市的束缚，瓦尔登湖的涟漪也不会在他的心中荡漾;如果梭罗没有漫步湖畔清爽的阳光里，那么恬静的清明也不会属于他;如果梭罗倾向于那些为金钱而束缚的人们，他也不会拥有属于他的那些冷雨。

如果梭罗没有走进大自然他就不会有清新自然的文字;如果梭罗沉醉于纸醉金迷的城市生活，就不会感受到置身田园的欣慰;如果梭罗没有在烈日当空晒下辛勤地劳作，猛烈的暴风雨将不会是最好的伴侣，使他充实，他的耳朵就听不到美好的音乐。

如果贝利没有在生活中时时刻刻保持着清醒，他不会成为备受世人注目的球王;如果没有在球场上时刻保持着清醒，他也不会多次捧起“大力神”杯;如果在人们的赞美声中贝利不是每分钟都时刻保持着清醒，那么他的后代就会真的忘记了如何在困难中奋起，在贫困中胜利。

反证法

反证法—《数学文化》的读书报告李扬电气11-2班，2011302460摘要：本文主要介绍了反证法的概念，一般步骤和应用。

并且简单介绍了在运用反证法时应该注意的问题及本人在简单研究反证法后对其的一些感想等等。

反证法：反证法矛盾假设证明引言古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。

他说：“李子是苦的,我不吃。

”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。

小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”实际上，王戎正是巧妙的运用的反证法，从而轻而易举的得出了正确的结果。

这就是反证法的威力了，可以不通过实际尝试就能得出正确的结果。

一. 对反证法的了解和总结反证法属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。

”具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、原理或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

实际上，在中国古代其实早就有人使用反证法了，如（1）墨子的“归谬法”[1] 。

例如:“学之益也,说在诽者。

”通过证明“学习无益”是假,而得到“学习有益”的命题是真。

这是一个非常有意思的反证法的特例。

（2）刘徽的“证伪法”[2]。

刘徽他并没有使用过反证法,他仅仅只是在使用归谬法,只是在推翻一些假命题,即在证伪。

刘徽证明《九章算术》里面的某些公式是错误的方法是反驳。

刘徽的大多数的反驳都是成功的,符合逻辑规律。

关于反证法的定义我是这样理解的：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

初中数学反证法简单例子

初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。

下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。

1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。

假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。

由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。

根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。

但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。

因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。

2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。

那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。

根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。

而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。

然而，这与y = √2相矛盾。

因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。

可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。

然而，这与n是一个正整数相矛盾。

因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。

可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。

这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。

由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。

然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

反证法最简单三个例子

反证法最简单三个例子《反证法最简单三个例子带来的思考》嘿，大家好啊！今天咱来聊聊反证法最简单的三个例子，可别小看它们，那是相当有意思呢！咱先来说个日常生活中的例子。

比如说你觉得你的朋友小明不可能吃辣，但是呢，你又没啥确凿的证据。

那咱就用反证法来瞅瞅。

你就假设他能吃辣，然后要是按照这个假设，你就会发现很多事情说不通啦，比如每次吃火锅他都不点辣锅，吃辣条也是一脸痛苦的表情等等，这些都和他能吃辣这个假设矛盾嘛，所以就得出来了，他确实不能吃辣。

你看，这多简单明了，还挺有趣的吧！再讲个学习上的例子。

数学老师说三角形的内角和一定是180 度。

那咱就来反证一下，假设不是180 度，然后你去试着推导，哎呀，怎么推导都会发现不对劲，到处都是矛盾，最后你就不得不承认，嘿，还真是180 度啊！这种推翻自己错误想法的过程，就像一场小小的冒险，充满了新奇感。

还有个好玩的例子，你说世界上没有外星人。

那咱也用反证法来试一试。

假设世界上有外星人，然后你会发现宇宙那么大，有那么多未知的星球，凭啥就肯定没有外星人呢？你看，这样一想，是不是就觉得自己原来的想法不一定对啦。

反证法就像是一把神奇的小钥匙，能打开我们思维里那些固执的小锁头。

它让我们学会从相反的方向去思考问题，有时候能发现以前没看到的东西。

它还特别像一个爱挑刺的小伙伴，总是揪出我们以为对但其实不一定对的想法。

这既让我们有些尴尬，又让我们觉得特别好玩。

而且啊，通过反证法，我们能更深刻地理解问题，也能让我们的思维变得更加灵活。

就像给大脑做了一场有趣的体操，让它变得更健康、更有活力。

所以啊，大家可别小看这反证法最简单的三个例子，它们背后藏着的可是大大的智慧呢！以后我们遇到问题，也可以试着用用反证法，说不定会有新的发现和乐趣哦！让我们一起在反证法的世界里欢快地玩耍吧！。

反证法

Ca C
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，由此说明假设不成立，从而得到原结论成立。象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知
尝试解决问题
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证等角对等边）
假设李子不苦,
即李子是甜的。
则因树在“道”边,李子早就被别人
采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李.
一、复习引入
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
解析：由∠C=90°可知是直
角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
2.否定性问题
3.唯一性问题
4.至多、至少类问题
5.一些基本命题、基本定理
总之，直接证明比较困难的命题
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
反思中成长——收获反证法
同学们，学了这节课，你们有何收获？
回顾与归纳
（
已
假设结论的反面正
得出推理论证矛盾
知、公理、定理
得出结论
假设不成立
.
原命题成立
，
确
等
反设
归谬）
结论
大家议一议！
我来告诉你（经验之谈）
探究4：

反证法的一般步骤例子

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，基本思想是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。

下面将以一般步骤为题，列举10个反证法的例子。

一、证明1不是素数假设1是素数，根据素数的定义，素数只能被1和自身整除。

但是1只能被1整除，与素数的定义矛盾。

因此，假设不成立，1不是素数。

二、证明平方根2是无理数假设平方根2是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，平方根2是无理数。

三、证明根号2的立方根是无理数假设根号2的立方根是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设∛2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边立方得2=a^3/b^3，即2b^3=a^3。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2的立方根是无理数。

四、证明根号2和根号3是无理数假设根号2和根号3都是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，√3=c/d，其中a、b、c、d为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，3=c^2/d^2。

再将两个等式相加得2+3=a^2/b^2+c^2/d^2，即5=a^2/b^2+c^2/d^2。

左边是奇数，右边是偶数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3是无理数。

五、证明根号2和根号3的和是无理数假设根号2和根号3的和是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2+√3=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2+2√6+3=a^2/b^2，即5+2√6=a^2/b^2。

移项得2√6=a^2/b^2-5，即2√6=(a^2-5b^2)/b^2。

左边是无理数，右边是有理数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3的和是无理数。

六、证明根号2和根号3的积是无理数假设根号2和根号3的积是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

raa反证法 -回复

raa反证法-回复什么是反证法？反证法是一种逻辑推理的方法，也被称为间接证明法。

它是通过假设所要证明的命题的否定，然后通过推理推导出逻辑矛盾，从而推断出原命题的真实性。

这种方法被广泛运用于数学证明领域，但也适用于其他领域中需要证明某个命题的情况。

为了解释清楚反证法的运用过程，我将以一个简单的例子来解释：证明不存在最大的自然数。

我们想要证明的命题是“不存在最大的自然数”。

我们可以通过反证法来证明这个命题，步骤如下：步骤1：假设存在最大的自然数N。

我们首先假设存在一个最大自然数N，然后尝试推导出一个逻辑矛盾，以验证这个假设是否成立。

步骤2：推导出逻辑矛盾。

我们将根据假设中存在的最大自然数N，构造一个新的自然数M = N + 1，即比N大1的数字。

根据自然数的定义，我们得知M也是一个自然数。

步骤3：证明逻辑矛盾的存在。

现在我们需要证明一个矛盾的存在。

首先，根据假设中的最大自然数N，我们可以得出结论N < M，即N小于M。

这是由于N为最大自然数，而M是比N大1单位的数字。

此外，根据自然数的定义，我们也知道M > N。

然而，这两个结论是相互矛盾的，因为一个数不能同时小于和大于另一个数。

因此，我们通过推理证明了假设中的最大自然数N是错误的。

步骤4：得出结论。

通过反证法的推理过程，我们得出结论：不存在最大的自然数。

这证明了我们最初的命题。

因此，我们证明了不存在最大的自然数。

以上是反证法的一个简单例子。

反证法适用于各种领域和命题的证明，其基本推理过程始终是假设命题的否定，通过推理得出逻辑矛盾来证明原命题的真实性。

在数学中，反证法被广泛运用于各种定理的证明中。

通过假设定理的否定，然后通过推理证明得出逻辑矛盾，数学家们能够证明一些重要的定理，如费马定理、哥德巴赫猜想等。

总结起来，反证法是一种非常有用的数学证明方法，通过推导出逻辑矛盾来证明命题的真实性。

它是逻辑推理的一种重要方法，不仅在数学中广泛应用，也适用于其他领域中需要证明某个命题的情况。