济南大学高等数学C一8常微分方程疑难解答

习题10-1 微分方程的基本概念

4. 若已知kt

Q Ce =满足微分方程

d 0.03,d Q

Q t

=-那么C 和k 的取之情况应如何？ 解：显然，若0C =，则对任意常数k ，Q 满足所给的微分方程。若0,C ≠由kt

Q Ce =满足

所给微分方程可得

0.03,kt kt Cke Ce =-

从而0.03.k =-

5. 若cos y t ω=是微分方程22d 90d y

y t

+=的解，求ω的值。

解：由cos y t ω=是所给微分方程的解可得2

cos 9cos 0,t t ωωω-+=因此可得 3.ω=±

8. 验证由22

x xy y C -+=所确定的函数为微分方程(2)2x y y x y '-=-的解。

解：在方程2

2

x xy y C -+=两端对x 求导，得

2()20x y xy yy ''-++=即(2)2x y y x y '-=-。

故所给的方程所确定的函数为微分方程的解。 10. 某商品的销售量x 是价格P 的函数，如果要使该商品的销售收入在价格变化的情况下保持不变，则销售量x 对于价格P 的函数关系满足什么样的微分方程？在这种情况下，该商品的需求量相对价格P 的弹性是多少？

解：由题意得销售收入()()R P P x P C =⋅=(常数)，在上式两端对P 求导，得到()x P 所满足的微分方程，

()()0.x P Px P '+= 即

d ()()

,d x P x P P P

=-且 d 1.d Ex P x P x

EP x P x P

=⋅=-⋅=- 习题 10-2 一阶微分方程 1. 求解下列微分方程：

(3) y '= (4) ln d ln d 0.y x x x y y += 解：(3) 分离变量并两端积分，得

d .x x =⎰

故21arcsin ,2y x C =

+即21sin .2y x C ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

(4) 方程两边同时乘以1

,xy

得

ln ln d 0,x y

x x y

+= 两端积分，得2

2

ln ln .x y C +=

2. 求下列齐次方程的通解：

(1) 0;xy y '-= (2)

d (ln ln );d y y

y x x x

=-

(3) 22()d d 0;x y x xy y +-= (4) 332

()d 3d 0;x y x xy y +-= (5) cos

d cos d 0;y y x y x x y x x

⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (6) (12)d 21d 0.x x

y

y

x e x e y y ⎛⎫

++-

= ⎪⎝⎭

解：(1)

将原方程变形为y y x '=+令,y u x =则d d ,

,d d y u y xu u x x x ==+于是原方程化为

d d u

u x

u x

+=+

分离变量并积分，得

d ,x x

=⎰

即

ln(ln ln ,u x C =+

即.u Cx =将y u x

=

代入上式并整理，得通解2.y Cx += (2) 提示：将原方程写成

d ln ,d y y y x x x =再令;y u x

= (3) 提示：原方程可变形为d d 0x y x y y x ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

后令;y u x =

(4) 提示：原方程可变形为221d d 0,3x y x y y x ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

后令;y u x =

(5) 提示：原方程可变形为1cos d cos d 0,y

y y x y x

x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭后令;y u x =

(6) 原方程可写成

d (12)210,d x x

y y x

x e e y y ⎛⎫

++-= ⎪⎝

⎭

令,x

u y

=

即,x yu =有 d d ,d d x u u y y y

=+ 则原方程变为

d (12)2(1)0,d u u

u u y e e u y ⎛⎫+++-= ⎪⎝

⎭

整理并分离变量，得

12d d 0,2u u

e y

u u e y

++=+ 即

d(2)d 0,2u u

u e y

u e y

++=+

积分得ln(2)ln ln ,u

u e y C ++=即(2).u

y u e C +=将x

u y

=代入上式，通解2.x

y x ye C +=

3. 求下列一阶线性微分方程的通解：

(5) d 32;d ρ

ρθ

+= (6) ln d (ln )d 0;y y x x y y +-= (7) 2

d (6)20.d y y x y x

-+= 解：(5)

3d 3d 3d 3333222d 2d d .3

3

e e C e e C e e C Ce θθθθθθθρθθθ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

⎰⎰⎰ (6) 将原方程变形为d 11

,d ln x x y y y y

+=则

d d ln ln d ln(ln )ln 21d 1 d 1ln d ln 11 ln ,

ln 2y y y y y y

y

y y y x e e y C y e e y C y y

y C y y y C y --⎛⎫⎰⎰=+ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎛⎫

⎰=+ ⎪

⎪⎝⎭

⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰ 即

2112ln ln (2).x y y C C C =+=

(7) 原方程不是关于y 的线性方程，将它变形为d 3,d 2

x y

x y y -=-则是关于x '和x 的线性方

程，于是

33

d d 31d ,22y y y y y x

e C e y y C y -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎰ 即

32

1.2

x Cy y =+

4. 求解下列微分方程满足所给初始条件特解：

(1) 2

sin ln ,;x y x y y y e π='== (2) 2d 2d 0,1;x x y y x y =+==

(3) 0cos d (1)sin d 0,;4

x x

x e y x e y y y π

=++==

(4) 220(3)d 2d 0,1;x y x y xy x y =-+== (5) 1

,2;x x y

y y y x ='=+= (6)

0d tan sec ,0.d x y

y x x y x

=-== 解：(1) 提示：分离变量，得d d ;ln sin y x

y y x

=

(2) 提示：用分离变量法