高中数学总结归纳 感悟算法案例---求最大公约数

感悟算法案例——怎样求最大公约数

1．等值算法

等值算法在我国古代也称为更相减损术，它是用来求两个正整数的最大公约数的方法，其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则所得数就是所求的最大公约数。

2．辗转相除法（欧几里得算法）

用较大的数除以较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，则较小的数就是最大公约数。

例甲、乙、丙、丁三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？

分析：由题意，每个小瓶最多能装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数。

解析：先求147与343的最大公约数。

343-147=196，

196-147=49，

147-49=98，

98-49=49，

∴147与343的最大公约数是49。

再求49与133的最大公约数。

133-49=84，

84-49=35，

49-35=14，

35-14=21，

21-14=7，

14-7=7。

∴147，343，133的最大公约数是7。

故每瓶最多装7g。

评注：本题关键是分析清楚题意，找出三个数的最大公约数。求三个以上（含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得。

例2 用辗转相除法求228，1995的最大公约数。

分析：使用辗转相除法，我们可依据a nb r

r=

=+这个式子，反复执行，直到0为止。

解析：199********

=⨯+，

=⨯+，

228117157

=⨯+。

1713570

∴57就是228，1995的最大公约数。

评注：由该题可以看出，辗转相除法得最大公约数的步骤较少。

练习：

求84，108，132，156的最大公约数。

答案：12