电磁场与电磁波静电场分析

解法一：导体球是等势体。
r a 时： U
v E
0
r a 时：
20 r12ddr(r2ddr)0 cr1c2
Q
|rr aU0
c2 0 c1 Ua
aU
r
Ev(e v r re v r rse v i n )(ar U )
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈球对称。
则：点B（x、y、z）的电位为：
(x,y,z)(xA、 yA、 zA)E vgdlv (x、 y、 z)
二、电位参考点 须选定电位参考点，空间中各点电位方可唯一确定。
电位参考点选择原则：
1）电位参考点电位一般为0；
2）应使电位表达式有意义；
3）一个问题，只能有一个电位参考点
4）当电荷分布在有限区域时，参考点一般选择无穷
uv
E 在任意方向 l 上的投影：
E l
l
vv
d E lg d l E g d l
v
E
B
电场空间两点A、B间的电位差为：
A
Bvv Avv BAAE g d lBE g d l
电场空间两点A、B间的电压就是两点间的电位差：
UBABAB AE vgdlv
若任意选取A点 (xA、yA、zA)作为电位参考点，设 A 0
一、电位函数与电位差
1、电位函数
v
E
(
0 )
0
引入电位函数
：
v
E
说明： 1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；
2) “－”表示电场指向电位减小最快的方向； 3) 在直角坐标系中
E v xevx yevy zevz
其中： x y
uv 分别表示 E 在X、Y、Z
z
三个方向上的投影
y
r
a
s r'dr'd'
x
40 R
R(z2r'2)1/2
2 a
2 a
d d'
0 0
0
0
4s0(z2 r 'd rr '2 ')1 /2
s ( z2 a2 z) 20
v
E
evz z2s0
(
z2a2
z)
s 20
(1
s
(1
20
z z2
a2
uv )ez
z uv z2 a2 )ez
Ev(rv)gdlv
0
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。
静电场的源：电荷
三、利用高斯定理求解静电场
Ñ SE v(rv)gdS v1 0V(rv)dVQ 0
❖关键：高斯面的选择。
❖高斯面的选择原则： 1）高斯面为闭合面；
2）场点位于高斯面上； v 3）在整个或分段高斯面上，E 的幅值为常值（包括为0）。
方向平行或垂直于高斯面
❖用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分
布的电荷系统。
四、例题 例题一
例题二
例题三
例题四
例题一
求电荷密度为 S 的无限大面电荷在空间中产生的电场。
分析：电场方向垂直表面。在 v nv 平行电荷面的面上大小相等。 E 解：取如图所示高斯面。
S
z
nv
y
Ñ 由EE 高v1 S(斯Erv v2定)(g rve sv 律0)zgS ，d Sv有E v 2Q(rE0v v)g ( e v zs)S 2sEv2 0ev 0zesvg 0 zSnv (z(z 0x)0)
点电荷在空间中产生的电位
2、无限长线电荷的电位
v E
EvP22ll0 r0e(vlrnrQlnrP)
P' P
Q
电位参考点不能位于无穷远点。
取r=1柱面为电位参考面，即 rQ 1 得：
P
l 20
ln rP
无限长线电荷的电位
3、分布电荷体系在空间中产生的电位
体电荷： (rv)410 面电荷： (rv)410
E ( rv) g4
r2
8 15 0
0a 3
uv E
(
rv
)
2 0a 3 15 0r 2
uuv er
uv D(
rv
)
0
uv E
(
rv
)
2 0a 3 15r2
uuv er
在球内区域：ra
Q
r 0
(r)4r'2dr'
r 0
0(1ra'22)4r'2dr'
40(r33
r5 )
5a2
ÑS Ev(rv)gdSv
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外 空间，电场强度为：
EvU 4a Q 0E v rg 2devrv r 4Q 0(1 r) a4Q 0a
Q40aU
v E
aU r2
evr
rE vg drvra rU 2drar U
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。
分析：电场方向垂直于球面。
r
a
电场大小只与r有关。
解：1) 取如图所示高斯面。
r
在球外区域：ra
Ñ Ev(rv)gdSv Q
EvS(rv)g(4r2evr)0 Q0
v E
Q
40r2
evr
在球内区域：ra
Ñ
Q V
3Q
4 a3
Ev(rv)gdSv Q'
S
0
Ev(rv)g(4r2
evr)
4r3
3
0
E v3 r0e vr 4Q r0a3e vr
线 式电 中荷：：R(rv rv)rv4'10
(rv')dVc VsR (rv')dSc Sl(R rv')dVc
lR
若参考点在无穷远处，c=0。
引入电位函数的意义：简化电场的求解！
v
E
四、例题 例题一 例题二
例题一 求电偶极子pv qlv在空间中产生的电位和电场。
分析：电偶极子定义
P (r , , )
Q
0
E (rv)g4 r 2
4 0 0
r3 (
3
r5 5a2 )
uv E(
rv)
0 0
(r 3
r 3 uuv 5a 2 )er
uv D
( rv)
0
uEv( rv)
0
(
r 3
r3 5a 2
)
uuv er
讨论：1） 0
2）面电荷密度为 的均匀无限大带电平面
3）无限长带电圆柱面或体
第二节 电位函数
0(1
r2 a2
)
分布于一个半径为
a的球形区域内，其中 0 为常数。试计算球内外的电场强度
分析：电场方向垂直球面。 电场大小只与r有关。
解：1) 取如图所示高斯面。
v (r)
r
a
在球外区域：ra
ÑS Ev(rv)gdSv
Q
0
r
Q
v
(r)dV
V
a 0
0(1ra'22
)4r'2
dr'
1850a3
40R3 u vv
u v
P4 1 0Ñ s' p R g nd s' 4 1 0' R 'g P d '
v n
比较电位函数的定义式，可得极化电荷的面密度、 体密度：
u v v
u v
s p P g n p g P
v
说明：若媒质均匀极化（ P 与空间位置无关），则介质
无体极化电荷。
均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。
2）解为球坐标系下的表达形式。
v gE
g( g(
Q
4 0r 2
Qr
40a3
evr evr
) )
(r a) (r a)
0 (r a)
1 r2
r
(r2
Qr
40a3
)
(r a)
v gE
3）
0
3Q
40a3
0
v E
Q
40
Q
4 0a3
(1) r
rv
0
例题四：电荷按体密度
v
(r)
解：在驻极体内v：
的球形驻极体中的
z
v P
ev r
PgP0
驻极体在表面上：
SP Pvgn) P0evzgevr
P0 cos
O
e v z e v rc o s e v sin
例题三
求Dz：在介线20质性nC 中均/的匀m电媒2，场质极强中化度，强已E度v 知和P 电v 电 位位e v 移x 9 移矢 矢e v 量y 量2 Dv1 Dv 的e v z。z 分1 5 量n C 为/m 2
远处
(x,y,z)
vv Egdl
(x、 y、 z)
三、电位的求解
(x,y,z)(xA、 yA、 zA)E vgdlv (x、 y、 z)
1、点电荷的电位
v E
q
40r 2
evr
vQ
E
P’
v
l
q
P
q
40
(1 rP
1) rQ
O
Q点为电位参考点。
P
若电位参考点在无穷远处，即 rQ 得：
(r) q 4 0r
在直角坐标系中：
2 F v e v x 2 F x e v y 2 F y e v z 2 F z
二、静电场中电位方程的建立
v
gE v
/
0
E
g/0
即：2/0
电位的泊松方程
在无源区域 0
2 0
电位的拉普拉斯方程
三、电位方程的应用 可用于求解静电场的边值问题。
例：半径为a的带电导体球，已知球体电位为U， 求空间电位分布及电场强度分布。
说明：1)极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷
2)由电荷守恒定律，极化电荷总量为零； 3)极化媒质分界面上一般存在极化电荷； 4)若极化媒质内存在自由电荷，则在自由电
荷处一般存在极化电荷。
四、例题 例题一 例题二 例题三
例题一
v
极化求电半荷径分为布a，。永已久知极：化Pv强度P0为evzP
驻极体：外场消失后，仍保持 极化状态的电介质体。
例题二
求无限长线电荷 l 在真空中产生的电场。
分析：电场方向垂直圆柱面。
电场大小只与r有关。
解：取如图所示高斯面。
由高斯定律，有
ÑS Ev(rv)gdSv
Q
0
E(rv)g(2rl)l l
0
v E
l 20r
evr
r
v E
例题三
半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。
求：（（13））Ev (rvE)v(rv)（2）gEv(rv)
z 0 z0
例题三：证明导体表面的电荷面密度 s 与导体外的
电位函数有如下关系：
sD0n0En
uv
解：电荷分布于导体表面，导体内 E 0 是一个等位体
在导体表面作一个柱形闭合面，如图所示：
uuv v
Ñ D0gds Q sgs
v
S D0
n)
n)
D0ngs s gs
s
D0n
0En
0
n
h 0 n)
第三节 泊松方程 拉普拉斯方程
一、拉普拉斯运算 1、标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu2u
式中：“ 2 ”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中： 2ux2u2 y2u2 z2u2
柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。
2、矢量场的拉普拉斯运算
vv
v
2 F ( g F ) ( F )
q l4 c o s0e v r r(r 1 2) 4 q le v 0 r3 (c o s)
4ql0r3(2cosevrsinev)
例题二
求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和
电场强度。
解：在面电荷上取一面元 d s
如图所示。
z P(0,0, z)
dr
v
R
d dq 4 0 R
2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。
3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。
在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用 于边值问题的求解。
第四节 介质的极化 电位移矢量
一、极化与极化强度矢量 1、极化
2、极化强度矢量
v
用极化强度矢量 P 表示电介质被极化的程度。
v
Plim V0
Ñ S uDuVv0g(uDruvgv0)uD(gurdvv0)(Svrv)dVV(rv)(rvV)dV(rv)dV
( rv )
静电场高斯定理微分形式
说明：电场散度仅与电荷分布相关，其大小 (rv)
二、真空中静电场的旋度 环路定律
B
vv
ÑCEgdl 0
RB q
静电场守恒定律
l
RA
斯托克斯公式
先求解空间电位，再求电场 q
r
解：取无限远处为电位参考点。 v
P rv
r4vql0v(r1
1) r
l
r
O q
rr2l22rlcos
1
1
r r
1
l2 r2
2 l r
cos
1 l r r2
cos
(r? l)
P
q
40
l cos
r2
uv v Q pql
uv v
P
pgr
4 0r 3
v
E
( re vr e v r rse v i n)
一、真空中静电场的高斯 散度定理
uv uv 静电场分析的基本量：E 、D
Ñ Su D uv 0(rv)gdSvQ 静电场高斯定理积分形式
uuv uv
式中： D0 0 E
S为高斯面，是一闭合曲面， Q为高斯面所围的电荷总量。
物理意义：穿过任意闭合面S的电通量只与闭合面内所 围电荷量有关。
若电荷是以体密度 分布，则：
A
uv v
sEgds0
Ev(rv)0
物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周， 静电力做功为零——静电场为保守场。（电力线不构成闭合 回路）
小结：真空中静电场的基本方程
微分形式
积分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式
uv gD0
(rv)
(rv)
Ev(rv)
uv
0
uv
D0 0E
Ñ S
uv D0
(rv)gdSv
Q
ÑC
第 3 章 静电场分析
v ❖静电场：恒定不变的电场。即： E 0
t
❖以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、 恒定电场的特性和求解方法。
❖主要内容：
➢静电场的基本方程(真空中和媒质中） ➢静电场的辅助函数——电位函数 ➢静电场的边界条件 ➢恒定电场分析 ➢静电场的能量方程
第一节 真空中静电场的基本方程
pvi V
Npvav
式中：pv i 表示i个分子极矩
N表示分子密度
物理意义：表示单位体积内电偶极矩矢量和。
说明：
vv P e 0 Ee : 媒 质 极 化 系 数
二、极化电荷（束缚电荷）
uv P d ' 在真空中一点产生的电位为
uv uv
dP
pgR
40R3
d
'
uv uv
P
'
pgR d '