常用的等价无穷小量
十二个等价无穷小公式
十二个等价无穷小公式【实用版】目录1.引言：介绍无穷小量的概念2.等价无穷小公式的定义与性质3.十二个等价无穷小公式的具体内容4.实例解析：如何应用等价无穷小公式5.结论：总结等价无穷小公式的重要性和应用场景正文1.引言在微积分中，无穷小量是一个重要的概念。
无穷小量是指当自变量趋近某个值时，因变量趋近于零的量。
无穷小量的研究有助于我们理解函数在某一点的性质，以及函数的变化趋势。
等价无穷小公式是一种将复杂的无穷小量简化的方法，它有助于我们更容易地分析和计算无穷小量。
2.等价无穷小公式的定义与性质等价无穷小公式是指当自变量趋近某个值时，两个无穷小量的比值趋近于 1。
等价无穷小公式具有以下性质：（1）若函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内可导，且f"(x0)=g"(x0)，则 f(x) 与 g(x) 在 x0 处为等价无穷小。
（2）若函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内为无穷小，且它们的比值在 x0 的某邻域内为常数，则 f(x) 与 g(x) 在 x0 处为等价无穷小。
3.十二个等价无穷小公式的具体内容等价无穷小公式有很多，这里列举十二个常用的等价无穷小公式：（1）当 x 趋近 0 时，sinx 与 x 是等价无穷小。
（2）当 x 趋近 0 时，x^2 与 x^3 是等价无穷小。
（3）当 x 趋近 0 时，x^n 与 x^(n+1) 是等价无穷小（其中 n 为正整数）。
（4）当 x 趋近 0 时，e^x 与 x 是等价无穷小。
（5）当 x 趋近 0 时，e^x 与 x^2 是等价无穷小。
（6）当 x 趋近 0 时，ln(x) 与 1/x 是等价无穷小。
（7）当 x 趋近 0 时，1/x 与 1/x^2 是等价无穷小。
（8）当 x 趋近 0 时，x^(-1) 与 x^(-2) 是等价无穷小。
（9）当 x 趋近 0 时，x^(-n) 与 x^(-n-1) 是等价无穷小（其中 n 为正整数）。
等价无穷小量替换定理
§ 2-6无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1设a 、B 是某一极限过程中的两个无穷小，若Plim c （ c 为常数）a无穷小的阶与主部lim―k = C M 0则称3是关于a 的k 阶无穷小。
a重点难点突破1.关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判 断两个无穷小的关系。
注意（1）符号3 =0（ a ）与3〜a 的含义一 亠 宀 .P3 =0( a )表示3是a 的咼阶无穷小，即lim — =0 ;aP lim — =1 a（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换: 卄 / / ・右a 〜a',3〜3‘，且lim —:存在，则a无穷小量的比较表定义3 把某极限过程中的无穷小 a 作为基本无穷小，如果k3与〉 （k > 0）是同阶的无穷小，即则（1） 当c M 0时， 称在此极限过程中3与 (2) 当c = 0时， 称在此极限过程中3是 (3) 当c = 1时， 称在此极限过程中 3与 2、 无穷大的比较是同阶无穷小；的高阶无穷小，记作 3 =。
（ a ）（读作小欧a ）；(1) 如果 (2) 如果 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，Z = c 工0则称Y 与Z 是同阶无穷大量； Y Z丫 = R 时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量;limlim (3) 如果limYk = c M o （ k > 0）,则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。
3〜a 表示3与a 是等价无穷小，即 P 皆 lim — = lim—: a a定义2limx —.0 x 3x 3 x 5x 所以，当X T 0时,x - 3x 3 + x 5是x 的一阶无穷小②因为当X T 0时，sin x 〜x , tg x 〜x ,由恒等式(ii)可得2sin xtgx ’sin x tg x=o(x )，即卩 lim 2所以，当X T 0时，sin x tg x 是x 的二阶无穷小 (2)先将原式变形，再判断阶数 例2当X T 0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ② tg x - sin x解：①通过分子有理化将原式变形2x 1 X 1 - X由此看出，当X T 0时，】.1 'X - .1-X 是X 的一阶无穷小，事实上lim1XT x( ,1 x *1 - x)②通过三角函数的公式将原式变形, . sin x sin x(1 —cosx) cosxcosxP(x)是比cc(x)高阶的无穷小li P(x) 0lim ------ = 0ot (x)B(x) = 0 L (x)】(X T X 0 )a(x)与B (x)是同阶的无穷小lim B (x)=c (C 为不等于零的常数) x f a (x)a(x)与B (x)是等阶无穷小lim 0(X)=1 f a(x)a (x) ~ 0 (x)(X T X 0 )2 •关于无穷小的阶 当x T 0时，由恒等式(i) o(x n )+ o(x m )= o(x n )O v n v m(ii)o(x n ) o(x m )= o(x m+n ) m >0, n >03 •关于无穷小的替换定理 设当 X r X 。
高数无穷小量的比较
sin x ~ x , arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 2 1 − cos x ~ x , 2
α2
2
x2
ln(1 + x ) ~ x ,
x log a (1 + x) ~ , ln a
e − 1 ~ x,
x
n
a − 1 ~ x ln a
x
1 1 + x - 1 ~ x, n
β 阶无穷小. （4）若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α
例如 , 当 x → 0 时
x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x →0 x
故 时
β′ = lim α′
.
sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x
解 因为当 x → 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以
x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2
tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x
注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。
(1 + −1 例7. 求 lim . x →0 cos x − 1
解:
1 2 3 x )
例9Leabharlann (1 − cos x2)(2x − 1) lim x →0 ln(1 + x 2) ⋅ sin x 3
4、等价变量
4.等价变量法求极限
一般情况下，等价变量我们可以理解为等价无穷小量，对于无穷大量可以经过一系列变式操作来转化为无穷小量，在极限的计算中，我们经常会用到若干个等价无穷小量来对问题进行简化。
等价无穷小量指的是在两个无穷小量在极限运算过程中等价代换。
它对于极限的求解起到简便运算作用。
定义：设当时，与均为无穷小量，如果，那么称，与为当
时的等价无穷小量，记为。
接下来我们介绍一些常用或常见的等价无穷小量，之后遇到相关的题目，如果对如下等价无穷小量有足够的敏感度，那么很多看似复杂的问题便可以在短时间内解决。
常用等价无穷小量：当时，有
下面我们用例题来展示如何用等价变量法解决极限问题。
例1:证明
解：首先，由所学内容，我们知道，利用对数函数
的连续性，可以得到。
证毕。
例2:求极限
()
()2
1cos
lim
1sin
x
x
x x
e x
→
-
-
的值。
先观察一下这道题目，如果我们直接代入，则显然是得不到结果的。
接下来再看，从上述等价变量中寻找，和，则不难发现在该极限中，分子和分母各有一部分可以用可以用相应的等价无穷小量来进行替换，那么
原式=
()
()2
1cos
lim
1sin
x
x
x x
e x
→
-
-
2
2
1
1
2
lim
sin2
x
x x
x x
→
⋅
=-
-⋅。
无穷小量的比较
因此
lim e x 1 x0 x
lim y y0 ln1(y)
yl im0 1y
1 ln1(
y)
lim 1 y0ln1( y)
1 y
1 ln e
1
即有等价关系: ex1~x
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2、常用等价无穷小量:
当 x0时 ,
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx 1cosx~1x2
例： 求limtan22x. x0 1coxs
解 当 x 0 时 ,1 cx o ~ 1 x s 2 , ta 2 x ~ n 2 x . 2
原式
(2x)2 lim
x0
1 x2
8.
2
若式子的分子或分母为若干个因子的乘积，则可 对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小代换，而不会改变原式的极限．
解 lx im 0tanxx3sinx lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
证明: 当x0时, n1x1～1n x .
x 0
1x21
5
lim
2x2 9 x2 2
x 0
1 2
x
2
例
sin xsina lim
求 xa x a
解: 令uxa 则xua
当 x a时 ， u 0
原 式 ＝ limsin(ua)sina
u 0
u
2cos u 2a sin u
＝lim
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
等价无穷小公式大全
当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*xloga(1+x)~x/lna（1+x)^a-1~ax(a≠0)值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）等价无穷小的定义：设当时，和均为无穷小量。
若，则称和是等价无穷小量，记作。
例如：由于，故有。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件1.被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2.被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
定理无穷小等价替换定理设函数，，，在内有定义，且有(1)若，则；(2)若，则。
证明：(1)。
(2)。
例如：利用等价无穷小量代换求极限解：由于，而，，，故有。
注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。
如在上例中：若因有，，而推出,则得到的是错误的结果。
注：可直接等价替换的类型（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）需要满足一定条件才能替换的类型若，则（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。
公式编辑常见等价无穷小当时，注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
极限数学分析的基础概念。
它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。
极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
x趋于无穷的等价无穷小公式大全
无穷小，即趋于零的量，是微积分中非常重要的概念。
在数学分析中，我们常常遇到一些函数，当自变量趋于某个特定的值时，函数值会趋于无穷小。
而在研究这些函数的性质和极限时，无穷小的分类和等价无穷小的公式成为了不可或缺的工具。
在本篇文章中，我们将系统地介绍x趋于无穷的等价无穷小公式，并探讨其中的深度和广度。
1. 无穷小的定义让我们回顾一下无穷小的定义。
设f(x)是定义在某个区间上的函数，在x趋于无穷时，如果有极限lim(f(x))=0，那么称f(x)是x趋于无穷时的无穷小。
在实际运用中，我们常常需要研究x趋于无穷时函数表现的特点，而无穷小的概念能够帮助我们更好地理解函数的极限性质。
2. 等价无穷小的概念在研究无穷小的时候，我们经常需要比较不同函数的无穷小量级。
这时，等价无穷小的概念应运而生。
若函数f(x)与g(x)满足lim(f(x)/g(x))=1，且lim(f(x))=0，那么称f(x)与g(x)是等价无穷小。
等价无穷小的概念为我们在研究函数极限的过程中提供了更灵活的工具，使得我们能够更准确地刻画函数的渐近性质。
3. x趋于无穷的等价无穷小公式大全接下来，让我们系统地介绍x趋于无穷的等价无穷小公式。
在实际运用中，掌握这些公式能够帮助我们更快速、更准确地计算函数的极限。
下面是一些常用的x趋于无穷的等价无穷小公式：（1）当x→∞时，有sin x ≈ x，cos x ≈ 1（2）当x→∞时，有tan x ≈ x（3）当x→0时，有ln(1+x) ≈ x（4）当x→∞时，有e^x ≈ x^n (n为任意实数)（5）当x→0时，有1-cos x ≈ 1/2 x^2（6）当x→0时，有x-sin x ≈ 1/6 x^3以上是一些常用的x趋于无穷的等价无穷小公式，它们在研究函数极限和渐近性质时有着重要的应用价值。
4. 个人观点和理解对于无穷小和等价无穷小的概念，我个人认为它们在数学分析中具有非常重要的地位。
在研究函数的极限和性质时，我们常常需要借助这些概念来刻画函数的渐近行为，以便更深入地理解函数的特点。
高数重要定理(高数上下)
1.找 n；
2.确定 x0，将函数 f (x)在点 x0处展开成泰勒公式.一般题设中会
提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 x ，通常取 x 为函数值
0
0
为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中
给出的其他特殊的点.
3.将区间端点a和b分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相
加或相减.
若C = 1，称α ( x), β ( x)是等价无穷小，记为α ( x) ∼ β ( x);
（4）无穷小量的阶:
若lim
α(x) [β ( x)]k
=C
≠ 0，称α ( x)是β ( x)
的k 阶无穷小量.
宝典公式： (1) limg(x)=0, lim gf ((xx))= A，则lim f (x)=0； (2) lim f (x)=0, lim f (x)= A≠0，则limg(x)=0；
求导法则： 1．四则运算法则； 2．复合函数求导法； 3．隐函数求导法； 4．反函数求导数； 5．参数方程求导法； 6．对数求导法； 7．高阶导数.
高阶导数
1．归纳法
求一阶 y′、二阶 y′′，归纳n阶导数 y(n)． 2．公式法（莱布尼兹公式）：(uv)(n) = ∑n Cnk u(k) v(n−k).
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
x→a F ′( x)
( x→∞)
无穷小的等价代换
⽆穷⼩的等价代换定理：设有, 且则有这表明，当求两个⽆穷⼩之⽐的极限时，分⼦及分母都可以⽤等价⽆穷⼩来代替，如果⽤来代替的⽆穷⼩选的适当的话，就可以简化计算。
下⾯例举⼀些常⽤的等价⽆穷⼩：当时， 有：1. 2. 、3. 4. 使⽤范围：等价⽆穷⼩的代换必须满⾜以下两个条件之⼀1. 分⼦或分母的整体代换2. 分⼦或分母的分因式代换条件⼀举例：求解:正确的解法应为：常见的错误解法有：α∼,β∼αβlim 存在αβlim =αβlim αβx →0x ∼sin x ∼tan x ∼arcsin x ∼arctan x ∼ln(x +1)∼ln(x +)∼1+x 2e −x 1∼n x n −1+x 1nx ∼(1+x )−n 11−cos x ∼x 212a −x 1=x ln ax →0lim x 3sin x −tan x =x →0lim x 3sin x −tan x =x →0lim x 3tan x (cos x −1)=x →0lim x 3x (−x )212−211. 和差项代换，也就是常说的被代换的量作为加数或者减数时不可以代换。
实际上和差项代换并不⼀定不可⾏，只是可⾏性难以判定，通常使⽤洛必达法则来解决和差项求极限的问题2. 部分和差项代换。
条件⼆举例：条件⼆就不必举例了，只有商积式才有分因式或分因⼦，就是常说的被代换的量作为乘数或者除数时可以代换。
=x →0lim x 3sin x −tan x =x →0lim x 3x −x 0=x →0lim x 3sin x −tan x =x →0lim x 3x −tan x −31=x →0limx 3sin x −tan x =x →0lim x 3sin x −x −61。
无穷大量和无穷小量的比较
若 lim 0, 则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o( )
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
若 lim C 0, 则称 是 的同阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
2
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
例如 , 当 x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
解:
lim
x0
sin x
5x x3
lim
x0
x
5x x3
lim
x0
5x x(1 x2
)
lim 5 x0 1 x2
5
6又如 ，li源自 1x0cos x2
x
lim
x0
2
sin
2
x 2
4( 2x ) 2
1 2
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1
cos
x
～
1 2
x
2
4
例1 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
5
二、等价无穷小量的应用
高等数学常用的等价无穷小
高等数学常用的等价无穷小高等数学这门课，听起来就像是个深不可测的海洋，波涛汹涌，让人心里直打怵。
不过，今天咱们就来聊聊等价无穷小，别看名字复杂，其实它跟我们的日常生活有着说不清道不明的联系。
听起来神秘，其实也没那么可怕，咱们慢慢道来，保证让你听了之后有种“原来如此”的感觉。
1. 等价无穷小的基本概念1.1 什么是等价无穷小？好嘞，首先，咱们得搞明白等价无穷小到底是什么。
简单来说，它就是在某些条件下，两个函数的行为可以说是“亲密无间”。
就像好朋友，虽然表面上有点儿差别，但一到关键时刻就能同心协力。
这种“亲密”关系在极限中体现得尤为明显，尤其当变量接近某个值的时候。
比如，x接近0时，sin(x)和x之间的关系就显得特别有意思，简直是“情同手足”，你会发现它们的比值趋近于1。
1.2 为啥要用等价无穷小？那你可能会问，嘿，这等价无穷小有什么用呢？我告诉你，它在求极限、积分和微分的时候简直是个得力助手。
比如，在计算一些复杂极限的时候，咱们可以用更简单的等价无穷小来替代。
这样一来，问题就像是看见了曙光，迎刃而解。
就好比你在街上迷路了，突然遇到个好心人指路，立马就能找到方向，省时省力，事半功倍。
2. 常用的等价无穷小2.1 常见等价无穷小的例子说到这儿，咱们不妨列举几个常用的等价无穷小。
首先，咱们得提到的就是sin(x)和tan(x)这两个小家伙。
它们在x接近0的时候，跟x的关系可谓是形影不离，都是近似于x。
简单说，sin(x) ~ x，tan(x) ~ x，这就能让我们在复杂的运算中轻松穿梭，心里敞亮多了。
再比如，咱们再看看exponential的神奇之处。
e^x在x接近0的时候，可以用1 + x来替代，真的是妙不可言！这让很多复杂的指数函数计算变得简单明了，仿佛让那些棘手的问题都变成了小儿科。
2.2 更深入的理解当然，光知道这些等价无穷小还不够，我们得深入理解它们的性质。
等价无穷小其实是一种极限行为的体现，换句话说，它们是对变化的敏感捕捉者。