因动点产生的相似三角形问题 - 专题

因动点产生的相似三角形问题

关键词：动点、相似三角形

动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个，

定理1：两个角对应相等，两三角形相似‘AA”

定理2：两边对应成比例且夹角相等“SAS”

定理3：三边对应成比例。“SSS”

相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．

如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，

按照对应边成比例，分AB DE

AC DF

=和

AB DF

AC DE

=两种情况列方程．

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

两个直角三角形相似的判定方法

（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．

（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．

（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．

如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。

题型一般有是否存在点P，使得：

①△PDE∽△ABC

②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似

或者通过动点产生相似解决有关问题

一般以大题为主，也有出现在填空后两题。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程：

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

涉及知识点：全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。

例1、(2014·浙江湖州，24，12分)

已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P (1，1)为圆心的⊙P 与x 轴、y 轴分别相切于点M 和点N .点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF ，过点P 作PE ⊥PF 交y 轴于点E .设点F 运动的时间是t 秒(t >0)．

(1)若点E 在y 轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE ＝PF ；

(3)作点F 关于点M 的对称点F ′.经过M ，E ，F ′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连结QE .在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q ，O ，E 为顶点的三角形与以点P ，M ，F 为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 连结PM ，PN .

∵⊙P 与x 轴、y 轴分别相切于点M 和点N ， ∴PM ⊥MF ，PN ⊥ON 且PM ＝PN ， ∴∠PMF ＝∠PNE ＝90°且∠NPM ＝90°. ∵PE ⊥PF ，∴∠1＝∠2＝90°－∠3.

在△PMF 和△PNE 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，PM ＝PN ，∠PMF ＝∠PNE .

∴△PMF ≌△PNE ，∴PE ＝PF . (2)解 分两种情况：

①当t >1时，点E 在y 轴的负半轴上，如图1，

由(1)得△PMF ≌△PNE ， ∴NE ＝MF ＝t ，PN ＝PM ＝1，

∴b ＝OF ＝OM ＋MF ＝1＋t ，a ＝NE －ON ＝t －1.

∴b －a ＝1＋t －(t －1)＝2， ∴b ＝2＋a .

②当0

图1

图2

∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝OE＝ON－NE＝1－t，∴b＋a＝1＋t＋1－t＝2，

∴b＝2－a.

综上所述，当t>1时，b＝2＋a；

当0

(3)解存在，t的值是t ＝1＋17

4，t＝2，t＝2±2.

如图3，(Ⅰ)当1＜t＜2时，

∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，

∴F′(1－t，0)．

∵经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，

∴Q(1－1

2t，0)∴OQ＝1－

1

2t，

由(1)得△PMF≌△PNE，

∴NE＝MF＝t，∴OE＝t－1. 当△OEQ∽△MPF时，

∴OE

MP＝OQ

MF，∴

t－1

1＝

1－

1

2t

t，

解得，t＝1＋17

4或t＝

1－17

4(舍去)，

当△OEQ∽△MFP时，OE

MF＝OQ MP，

∴t－1

t＝

1－

1

2t

1，解得，t＝2或t＝－2(舍去)．

(Ⅱ)如图4，当t＞2时，

∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，∴F′(1－t，0)．

∵经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q(1－1

2t，0)．

∴OQ＝1

2t－1.

由(1)得△PMF≌△PNE 图3 图4