第三章 信号采样与Z变换理论基础
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可以表示为
从控制系统的实际意义出发，通常取
时，
故上式可改写为：
3.1 采样过程与采样定理
3.1.2 采样定理
3.1.3 采样周期的选择
工程上常以在满足系统性能要求的前提下，尽可能选择较大 的采样周期（即较小的采样频率），以降低成本为基本准则。采 样周期的选择，在很大程度上还取决于实际控制系统的现场情况 。
由线性函数的叠加性，零阶保持器的脉冲响应函数：
对上式取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为：
G (s ) = L[ g (t )] = L[u (t )] - L[u (t - T )] = 1 - 1 e -Ts = 1 - e -Ts
h
h
ss
s
3.2.5 零阶保持器的频率特性
将
代入上式，可以得到零阶保持器的频率特性为：
例1： 解：
……
已知：y(-1)=0, x(n)= ……
故
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
例2: 解：
已知：
…… 无法给出闭式解集
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
常系数线性差分方程的一般形式
3.3 离散系统的差分方程 3.3.3 差分方程的求解
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，概念清楚比较简便
n阶前向差分定义为 n阶后向差分定义为
3.3 离散系统的差分方程
3.3.2 差分方程
差分方程由未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、 y(k+2)、… 或 y(k-1)、y(k-2)、…，以及激励u(k)及其 移位序列u(k+1)、u(k+2)、…或 u(k-1)、u(k-2)、…构 成。
第三章 信号采样与Z变 换理论基础
2020年4月23日星期四
本章内容
3.1 采样过程与采样定理 3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.3 离散系统的差分方程 3.4 z变换与z反变换 3.5 脉冲传递函数 3.6 Z平面分析
基本要求
正确理解采样过程，采样定理，信号复现和零阶保持 器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。
3.1.1信号的采样
采样过程：以一定的时间间隔对连续信号进行采样，使 连续信号转换成时间上离散的脉冲序列的过程。 实现采样过程的装置：多种多样，但不管具体是如何实 现的，其基本功能都可以用一个开关来表示，称为采样 器或采样开关。 理想采样开关：按一定的周期进行闭合采样。设采样周
期为T，每次采样时的闭合时间为。由于采样开关闭合 时间极短，一般远小于采样周期T和被控制对象的最大
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
差分方程的阶数：定义为未知序列自变量序号中最高 值和最低值之差。
前向差分方程：差分方程中的未知序列是递增方式，即
由
组成的差分方程
后向差分方程：差分方程中的未知序列是递减方式，即
由
组成的差分方程
用两种形式的差分方程描述的系统没有本质的区别， 根据具体情况来确定采用哪一种。
零阶保持器的功能
3.2.3 零阶保持器的单位脉冲响应
零阶保持器是采样系统的基本元件，为了满足系统分析 、设计的需要，必须了解零阶保持器的传递函数和频率特 性。对零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为一个高度为1 ，宽度为T的矩形波，这就是零阶保持器的单位脉冲响应 。
两个单位阶跃函数的叠加
3.2.4 零阶保持器的传递函数
3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.2.2 零阶保持器
零阶保持器的数学表达式为：
信号的采样与保持过程
3.2.2 零阶保持器
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值
一直保持到下一个采样时刻
，从而把采样信号
变成了阶梯信号 。
由于是恒值外推，处在采样区间内的值始终为常数， 其导数为零，故称作零阶保持器。
Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和 通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分 方程的主要步骤和方法。
正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系 统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。
熟练掌握Z域稳定性的判别方法。 掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法
概述wk.baidu.com
R(nT )
r(t) -
控制规律 u* (t)
u (t)
被控
y(t)
D/A
D(z)
对象
b* (t) A/D
b(t)
反馈装置
r(t) T + -
计算机控制系统简化方框图
e* (t)
D(z)
u* (t)
u(t) G (s)
G(s)
y (t )
h
T
b(t )
F(s)
等效的采样控制系统简化方框图
3.1 采样过程与采样定理
3.3 离散系统的差分方程 连续系统、离散系统的数学处理方法对比
3.3 离散系统的差分方程
1 差分的定义
假设在下图所示的采样系统中，模拟—数字转换 器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值
记为 或 ，则 的一阶前项差分定 义为：
3.3 离散系统的差分方程
3.31 差分的定义
二阶前向差分定义为：
时间常数，因此可以认为是瞬间完成。
3.1 采样过程与采样定理
3.1.1信号的采样
若时间间隔用任意数T表示，离散信号用x(kT)或x(k)表示 。其中k表示离散时间，T称为采样时间或采样周期。
3.1.1信号的采样
采样过程类似于一个脉冲调制过程。设理想的单位 脉冲序列 的数学表达式为：
采样开关对模拟信号 e(t) 进行采样后，其输出信号
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.6 一阶保持器与零阶保持器比较
1一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分 量也大。
2一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。 3一阶保持器的结构更复杂。
一阶保持器实际很少使用！！
3.2 信号复现与零阶保持器 3.2.1 信号复现
信号复现 是指将采样信号恢复为连续信号的 过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。
可将
时， 展成如下泰勒级数：
取各阶导数的近似值
由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采 样时刻的瞬时值。若展开式的右边只取前n+1项， 便得到n阶保持器的数学表达式。
从控制系统的实际意义出发，通常取
时，
故上式可改写为：
3.1 采样过程与采样定理
3.1.2 采样定理
3.1.3 采样周期的选择
工程上常以在满足系统性能要求的前提下，尽可能选择较大 的采样周期（即较小的采样频率），以降低成本为基本准则。采 样周期的选择，在很大程度上还取决于实际控制系统的现场情况 。
由线性函数的叠加性，零阶保持器的脉冲响应函数：
对上式取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为：
G (s ) = L[ g (t )] = L[u (t )] - L[u (t - T )] = 1 - 1 e -Ts = 1 - e -Ts
h
h
ss
s
3.2.5 零阶保持器的频率特性
将
代入上式，可以得到零阶保持器的频率特性为：
例1： 解：
……
已知：y(-1)=0, x(n)= ……
故
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
例2: 解：
已知：
…… 无法给出闭式解集
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
常系数线性差分方程的一般形式
3.3 离散系统的差分方程 3.3.3 差分方程的求解
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，概念清楚比较简便
n阶前向差分定义为 n阶后向差分定义为
3.3 离散系统的差分方程
3.3.2 差分方程
差分方程由未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、 y(k+2)、… 或 y(k-1)、y(k-2)、…，以及激励u(k)及其 移位序列u(k+1)、u(k+2)、…或 u(k-1)、u(k-2)、…构 成。
第三章 信号采样与Z变 换理论基础
2020年4月23日星期四
本章内容
3.1 采样过程与采样定理 3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.3 离散系统的差分方程 3.4 z变换与z反变换 3.5 脉冲传递函数 3.6 Z平面分析
基本要求
正确理解采样过程，采样定理，信号复现和零阶保持 器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。
3.1.1信号的采样
采样过程：以一定的时间间隔对连续信号进行采样，使 连续信号转换成时间上离散的脉冲序列的过程。 实现采样过程的装置：多种多样，但不管具体是如何实 现的，其基本功能都可以用一个开关来表示，称为采样 器或采样开关。 理想采样开关：按一定的周期进行闭合采样。设采样周
期为T，每次采样时的闭合时间为。由于采样开关闭合 时间极短，一般远小于采样周期T和被控制对象的最大
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
差分方程的阶数：定义为未知序列自变量序号中最高 值和最低值之差。
前向差分方程：差分方程中的未知序列是递增方式，即
由
组成的差分方程
后向差分方程：差分方程中的未知序列是递减方式，即
由
组成的差分方程
用两种形式的差分方程描述的系统没有本质的区别， 根据具体情况来确定采用哪一种。
零阶保持器的功能
3.2.3 零阶保持器的单位脉冲响应
零阶保持器是采样系统的基本元件，为了满足系统分析 、设计的需要，必须了解零阶保持器的传递函数和频率特 性。对零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为一个高度为1 ，宽度为T的矩形波，这就是零阶保持器的单位脉冲响应 。
两个单位阶跃函数的叠加
3.2.4 零阶保持器的传递函数
3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.2.2 零阶保持器
零阶保持器的数学表达式为：
信号的采样与保持过程
3.2.2 零阶保持器
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值
一直保持到下一个采样时刻
，从而把采样信号
变成了阶梯信号 。
由于是恒值外推，处在采样区间内的值始终为常数， 其导数为零，故称作零阶保持器。
Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和 通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分 方程的主要步骤和方法。
正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系 统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。
熟练掌握Z域稳定性的判别方法。 掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法
概述wk.baidu.com
R(nT )
r(t) -
控制规律 u* (t)
u (t)
被控
y(t)
D/A
D(z)
对象
b* (t) A/D
b(t)
反馈装置
r(t) T + -
计算机控制系统简化方框图
e* (t)
D(z)
u* (t)
u(t) G (s)
G(s)
y (t )
h
T
b(t )
F(s)
等效的采样控制系统简化方框图
3.1 采样过程与采样定理
3.3 离散系统的差分方程 连续系统、离散系统的数学处理方法对比
3.3 离散系统的差分方程
1 差分的定义
假设在下图所示的采样系统中，模拟—数字转换 器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值
记为 或 ，则 的一阶前项差分定 义为：
3.3 离散系统的差分方程
3.31 差分的定义
二阶前向差分定义为：
时间常数，因此可以认为是瞬间完成。
3.1 采样过程与采样定理
3.1.1信号的采样
若时间间隔用任意数T表示，离散信号用x(kT)或x(k)表示 。其中k表示离散时间，T称为采样时间或采样周期。
3.1.1信号的采样
采样过程类似于一个脉冲调制过程。设理想的单位 脉冲序列 的数学表达式为：
采样开关对模拟信号 e(t) 进行采样后，其输出信号
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.6 一阶保持器与零阶保持器比较
1一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分 量也大。
2一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。 3一阶保持器的结构更复杂。
一阶保持器实际很少使用！！
3.2 信号复现与零阶保持器 3.2.1 信号复现
信号复现 是指将采样信号恢复为连续信号的 过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。
可将
时， 展成如下泰勒级数：
取各阶导数的近似值
由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采 样时刻的瞬时值。若展开式的右边只取前n+1项， 便得到n阶保持器的数学表达式。