数值分析考试复习总结汇总
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第一章
1 误差
相对误差和绝对误差得概念 例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:
建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差
选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差
6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于
x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.
解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤
-≤a x x E . x a
x x E r -=
)(, 221018
1
10921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）
)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.
|11||)(|a x f E ---==()25
.0210113
2
1⨯⋅≤
-+---a
x x a =310-
33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □
2有效数字
基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:
2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
例题:
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1） ;1||,
11211<<+--+x x
x
x 对
（2） ;1,11>>-
-+
x x
x x
x 对
（3）
1||,0,cos 1<<≠-x x x
x
对.
解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )
11(2x x x x x
-++.
(3) x
x
x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □ 第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））
∑==n
i i i n x l y x p 0)()(
插值基函数（因子）可简洁表示为
)
()()
()
()()(0
i n i n n
i
j j j i j i x x x x x x x x x l ωω'-=
--=∏
≠= 其中: ()∏∏≠==-='-=
n
i
j j j i i n
n
j j
n x x x x
x x 00
)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )
()()
()()(0101
10101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式
)
)(())(())(())(())(()
)(()(1202102210120120102102x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----⨯
+----⨯
+----⨯
= 牛顿（Newton ）插值公式
由差商的引入，知
（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为
)()()(0101x x c x f x p -+=
其中
],[)
()(100
1011x x f x x x f x f c =--=
⇒ )](,[)()(01001x x x x f x f x p -+=
（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为
))(()()(10212x x x x c x p x p --+=
其中
],,[)
()()()(2100
20
10112122x x x f x x x x x f x f x x x f x f c =----
--=
⇒ ))(](,,[)()(1021012x x x x x x x f x p x p --+=
))(](,,[)](,[)(102100100x x x x x x x f x x x x f x f --+-+=
重点是分段插值: 例题:
1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：
（1）
（2）
解(2)：
方法一. 由 Lagrange 插值公式
)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅= 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令
)()21()(3B Ax x x x L +-=
由 23)1(3-=-L ， 21
)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □
15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .
解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h
设 1+≤≤i i x x x ，则： i
i i
i i i i i h x x x x x f x x x x x f x f --+--⋅=++++1111)()()(
h ih
x h i h h i x h i -++-+-⋅
=2
2))1(()1()( 100
)1(10)
12(+-
+=i i x i 误差估计： ))1(()(!
2|)()(|max
)1(h i x ih x f x f x f h
i x ix h +--''≤
-+≤≤. □
第三章
最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：
1. 连续意义下