等腰三角形题型总结
专题1.1 等腰三角形的性质与判定【十大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.1 等腰三角形的判定与性质【十大题型】【北师大版】【题型1 根据等边对等角求角度】 (1)【题型2 根据等边对等角证明】 (2)【题型3 根据三线合一求解】 (4)【题型4 根据三线合一证明】 (5)【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】 (6)【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】 (7)【题型7 根据等角对等边证明边相等】 (9)【题型8 根据等角对等边求边长】 (10)【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】 (12)【题型10 等腰三角形的判定与性质的综合运用】 (13)【知识点等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1根据等边对等角求角度】【例1】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC 按顺时针方向旋转40°得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′度数为（）A．110°B．105°C．100°D．95°【变式1-1】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=50°，则∠C的度数为．【变式1-2】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A75°B65°C75°D85°【变式1-3】（2023春·海南海口·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE=∠AED，连接DE．(1)如图①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度数．(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度数．(3)当点D在直线BC上运动时（不与点B、C重合），试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【题型2根据等边对等角证明】【例2】（2023春·湖南·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，点D在AB边上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．(1)求证△DCE≌△CBF；DB．(2)若AB=AC，求证DE=12【变式2-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．【变式2-2】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD 上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求证：∠DBC=∠DCB．【变式2-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为线段CB∠ABC=180°．延长线上一点，连接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于点E、F，且∠ADC+32(1)猜想∠DAC与∠ACD的数量关系，并证明；(2)求证AD=DC+EC．【题型3根据三线合一求解】【例3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC=．【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，边AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，交AD于点F．若∠C=66°，则∠AFE的度数为（）A．48°B．62°C．72°D．82°【变式3-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，当ΔPCD的周长取最小值4时，则AC=．【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC 边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M，点F为边AB上一点，连接CF，∠ACF=∠CBG．(1)若∠FCM=18°，则∠BGC的度数为______；(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．【题型4根据三线合一证明】【例4】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，DE//AC(1)求证：EB=ED．(2)求证：AE=DE．【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)AC⊥BD．【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别在直线AB、AC上运动，且始终保持AE=CF．(1)如图①，若点E、F分别在线段AB、AC上，DE与DF相等且DE与DF垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E、F分别在线段AB、CA的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【变式4-3】（2023春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D为AB 中点，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，点F为CE上一点，BF始终垂直于CE，交直线CD 于点G．(1)点E在线段AD上运动（如图1），当CG=AE时，求证：BG=CE；(2)若点E运动到线段BD上（如图2），当CG=AE时，试猜想BG、CE的数量关系是否发生变化，请写出你的结论并加以证明；(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图3），求证：△BCE≌△CAM．【题型5根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦东新·八年级校联考期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 个等腰三角形．【变式5-1】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺规作图作出射线BD交AC于点D，则图中等腰三角形共有个．【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．(1)求证：AD=BE；(2)如图2，若点E是AB的中点，连接DE、CD，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形．【题型6根据等角对等边证明等腰三角形】【例6】（2023春·重庆江北·八年级校考期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于点G．(1)求证：△GEF为等腰三角形；(2)求证：AF+BD=AB．【变式6-1】（2023春·吉林松原·八年级统考期中）如图，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．(1)求证：△PGH是等腰三角形；(2)若∠1=116°，求∠GPD的度数．【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，四边形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，过点D 作∠CDE=∠CAB，DE与C交于点D，与AC交于点H．(1)求证：△CHD为等腰三角形；(2)若E为BC中点，猜想AH，HD与EH三者的数量关系．并证明之【变式6-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．【题型7根据等角对等边证明边相等】【例7】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．(1)求证：AB=BD；(2)设BD与AE交于点F，求证：CE=BF+EF．【变式7-1】（2023春·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．【变式7-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，CA=CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G．(1)求证：CG=CE；(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠D的度数；(3)求证：∠D=2∠AEF．【变式7-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：在锐角△ABC中，AD为BC边上的高，∠ABD＝2∠CAD．(1)如图1，求证：AB＝BC；(2)如图2，点E为AB上一点，且BE＝CD，连接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求证∠ABC＝45°；(3)如图3，在（2）的条件下，过B作BF⊥AC于点F，BF交AD于点G，连接CG，若S△CDG＝2，求△ABG 的面积．【题型8根据等角对等边求边长】【例8】（2023春·山东聊城·八年级校考期末）如图，AD为△ABC的角平分线．(1)如图1 ，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=8，AC=5．求BE的长．(2)如图2 ，若∠C=2∠B，点E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的长；（用含a、b的式子表示）【变式8-1】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校联考期中）如图，上午8时，一艘船从A 处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A,B两点望灯塔C，测得∠NAC=35°,∠NBC=70°，则B处到灯塔C的距离为（）A．45海里B．30海里C．20海里D．15海里【变式8-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，则重叠部分（阴影）的面积是．【变式8-3】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周长为22，则DB的长为( )A．6B．7C．8D．9【题型9求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】【例9】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）题目：“如图，已知∠AOB=30∘，点M，N在边OA上，OM=x，MN=2，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围。
专题01 等腰三角形的性质与判定(十六大题型+跟踪训练)(解析版)
专题01等腰三角形的性质与判定（十六大题型+跟踪训练）题型1：等腰三角形的定义1．用刻度尺测量得出下图（）是等腰三角形．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分别量取各三角形的三边长，然后根据等腰三角形两腰相等，进行判断即可．【解析】解：A 中三边长分别为：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求；B 中三边长分别为：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求；C 中三边长分别为：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求；D 中三边长分别为：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形两腰相等．2．在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是（）A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】由等腰三角形的定义：有两边相等的三角形，即可判断．【解析】解：在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形，关键是掌握等腰三角形的定义．3．以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（）A ．2，2，4B ．6，3，6C ．4，4，5D ．1，1，1【答案】A【分析】根据三角形三边关系和等腰三角形的判定对所给的四个选项逐一判断、解析即可．【解析】解：A ．∵224+=，∴以2，2，4为边不能组成三角形，更不可能组成等腰三角形，故此选项符合题意；B．∵以6，3，6为边能组成三角形，且有两边相等，∴以6，3，6为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；C．∵以4，4，5为边能组成三角形，且有两边相等，∴以4，4，5为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；D．∵以1，1，1为边能组成三角形，且有两边相等，∴以1，1，1为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的判定等知识点及其应用问题．牢固掌握三角形的三边关系、等腰三角形的判定是解题的关键．4．等腰三角形两边长分别是2cm和3cm，则周长是（）A．7cm B．8cm C．7cm或8cm D．条件不足，无法求出【答案】C【分析】分两种情况讨论：①底边为3cm时；②底边为2cm时，分别求解即可得到答案．【解析】解：分两种情况讨论：①底边为3cm时，等腰三角形的周长为3227cm++=；②底边为2cm时，等腰三角形的周长为2338cm++=，∴等腰三角形的周长为7cm或8cm，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．5．已知等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为4cm，则它周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行分类讨论，即可得到答案．当AD AC+与BC+即115 22x x x⎛⎫+-+⎪⎝⎭解得：8x=，8，8，5能够组成三角形；当BC BD+与AD+∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴9044A ABD ∠︒-=︒=∠，∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴904644DAB ∠︒=︒-，【分析】根据轴对称的性质，得到ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果．【解析】解：由题意可得：ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，∴AB AC =，∴ABC 的周长2AB AC BC AB BC =++=+，故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出ABC 是等腰三角形．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若5cm AB =，则DBE 的周长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和性质可得DE CD =，CAD EAD ∠=∠，推出CDA EDA ∠=∠，可得AC AE =，证明再根据等腰直角三角形的性质求出AC BC AE ==，然后求出DBE 的周长AB =，代入数据即可得解．【解析】解：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，DE CD ∴=，CAD EAD ∠=∠，CDA EDA ∴∠=∠，AC AE ∴=，又AC BC = ，AC BC AE ∴==，DBE ∴△的周长DE BD EB CD BD EB BC EB AE EB AB =++=++=+=+=，5cm AB = ，DBE ∴△的周长5cm =．故选：A ．A ．80︒B 【答案】C 【分析】根据等边对等角可得【解析】解：∵AB AC =∴B C ∠=∠，∵80B ∠=︒，∴80C ∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒∴20A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180°．16．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠C =35°，则∠B 的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC 的度数，然后求得∠BDA 的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B 的度数．【解析】解：∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠C =35°，∴∠DAC =35°，∴∠BDA =∠C +∠DAC =70°，∵AB =AD ，∴∠BDA =∠B =70°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．17．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 在BC 上，且BD BA =，则CAD ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．22.5︒D ．21︒【答案】C 【分析】利用ABC 是等腰直角三角形先求出B ∠，再利用BDA △是等腰三角形求出BAD ∠，最后利用直【答案】50︒/50度【分析】首先根据垂直平分线的性质得到据角的和差计算求解即可．∵80ACB ∠=︒∴803050BCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．如图，直线a ∥b ，AB AC =，140 ∠=，则∠BAC 的度数是（）A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】A 【分析】根据直线a ∥b ，140 ∠=，可知140ACB ∠=∠= ，由AB AC =，可得40ACB ABC ∠=∠= ，利用平行的性质即可求出∠BAC 的值．【解析】解：由题意得，∵直线a ∥b ，140 ∠=，∴140ACB ∠=∠= ，∵AB AC =，∴40ACB ABC ∠=∠= ，∴()180118080100BAC ABC ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟练利用平行线进行角度转化时解题的关键．22．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF 的度数．【解析】解：∵BC =BD =DA ，∴∠C =∠BDC ，∠ABD =∠BAD ，∵∠ABD =∠C +∠BDC ，∠ECF =27°，∴∠ADF =∠C +∠BAD =3∠ECF =81°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分BC ，若6428CDE A ∠=︒∠=︒，，则ABD ∠的度数为（）A ．100︒B ．128︒C ．108︒D ．98︒【答案】A 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解析】解：∵DE 垂直平分BC ，∴BD =DC ，∴∠BDE =∠CDE =64°，∴∠ADB =180°-64°-64°=52°，∵∠A =28°，∴∠ABD =180°-28°-52°=100°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．24．如图，已知D 为ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若70B ∠=︒，则BDF ∠等于（）键．题型5：等边对等角的解答证明26．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 都在边BC 上，且BE CD =，求证：AD AE =．【答案】见详解【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明()SAS ABE ACD ≌△△，从而得AD AE =．【解析】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABE 和ACD 中，AB AC B C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACD ≌△△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．27．如图，,∥DE AB AE 平分DAB ∠，点C 在线段AE 上，AC BC AD ==，求证：AE AB =．【答案】见解析【分析】根据平行和角平分线得出AD DE =，再证△ADE ≌△ACB 即可．【解析】证明：∵AE 平分DAB ∠，∴DAE CAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴E BAE ∠=∠，∵AC BC =，∴B BAE ∠=∠，∴E B ∠=∠,在△ADE 和△ACB 中，E B DAE CAB AD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ACB ，∴AE AB =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12∠=∠，AD DE =．（1）求证：ABD △≌DCE △；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：B C ∠=∠，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得5AB DC ==，3CE BD ==，由图形中各边的关系计算即可得出．【解析】（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD 和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅ ；（2）解：∵ABD DCE ≅ ，∴5AB DC ==，3CE BD ==，∵5AB AC ==，∴532AE AB CE =-=-=．【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．29．如图，在ABC 中，AB AC =，延长BC 至D ，使得BD AC =，连接AD ，再延长AB 至E ，使得BE CD =，连接DE ．求证：≌BED CDA △△．【答案】见详解【分析】先证明,EBD ACD ∠=∠再根据SAS 判定证明即可．【解析】解：∵在ABC 中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，180,180,EBD ABC ACD ACB ∠=︒-∠∠=︒-∠ ,EBD ACD ∴∠=∠BE CD = ，BD AC =，(SAS)BED CDA ≌．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．题型6：等腰三角形的“三线合一”30．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解．【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．33．下列说法错误的是（）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质依次判断．【解析】解：A 、等腰三角形两腰上的高相等，故正确；B 、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确；C 、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误；故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．34．已知点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且PB PC =，则下列命题为假命题的是（）A ．若点P 在边BC 上，则AB AC=B ．若点P 在ABC 内部，则AB AC=C ．若点P 在ABC 外部，则AB AC=D ．若AB AC =，则点P 可能在边BC 上，可能在ABC 内部，也可能在ABC 外部【答案】C【分析】选项A 根据等腰三角形的性质判断；当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，先证明Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，再证明(AAS)ABP ACP ≌可判断选项B ；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，可判断选项D ；选项C 有两种情况，具体见详解．【解析】∵点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，∴点P 在BAC ∠的角平分线所在的直线上，即BAP CAP ∠=∠，如图1，当点P 在边BC 上时，即P 为BC 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得到AB AC =，故选项A 是真命题；如图2，当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，,PE PF PB PC == ，Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，得到EBP FCP ∠=∠，∵BAP CAP ∠=∠，AP AP =，(AAS)ABP ACP ∴ ≌，AB AC ∴=；故选项B 是真命题；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，故选项D 是真命题；当点P 在ABC 外部时，如图3所示，AB 与AC 不一定相等，故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．本题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．题型7：等腰三角形的“三线合一”有关的最值问题35．如图，在ABC 中，AB AC =，=4BC ，面积是10；AB 的垂直平分线ED 分别交AC ，AB 边于E 、D 两点，若点F 为BC 边的中点，点P 为线段ED 上一动点，则PBF △周长的最小值为（）A ．7B ．9C ．10D ．14【答案】A 【分析】连接AP ，根据线段垂直平分线性质得AP BP =，PBF △周长==BP PF BF AP PF BF AF BF ++++≥+，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF ，BF ，即可得出答案．【解析】解：如图所示．连接AP ，∵DE 是AB 的垂直平分线，A．①②③【答案】D【分析】根据三线合一得到A．8cm B．【答案】B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得【答案】见解析【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，由等腰三角形的性质得出2BAC BAM ∠=∠，D E ∠=∠，由三角形外角的性质得出2BAC D ∠=∠，即可推出BAM D ∠=∠，最后根据平行线的判定和性质即可证明DE BC ⊥．【解析】证明：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ．AB AC = ，2BAC BAM ∠∠∴=，AD AE = ，D E ∴∠=∠，2BAC D E D ∠∠∠∠∴=+=，22BAC BAM D ∠∠∠∴==，BAM D ∠∠∴=，DE AM ∴∥，AM BC ⊥ ，DE BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线，构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．42．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)50︒【分析】（1）连接CE ，根据中垂线的性质得到,AE CE BE CE ==，即可得到AE BE =；（2）利用等边对等角，求出ABC ∠的度数，三线合一，求出BAE ∠的度数，等边对等角得到ABE ∠的度数，利用EBD ABD ABE ∠=∠-∠，即可得解．【解析】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，∵AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，∴AD 为BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 上，∴BE CE =，又∵线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，∴AE CE =，∴AE BE =；（2）∵AB AC =，40BAC ∠︒=，【答案】见解析【分析】作EF AC ⊥于点F EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，A．3【答案】A【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．∠=【解析】解：∵B【解析】解：如图，在AB 上截取BE BC =，连接DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，在CBD △和EBD △中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBD △≌EBD △()SAS ，∴CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，∴2CDE CDB ∠=∠，∵2C CDB ∠=∠，∴CDE DEB C ∠=∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴AD AE =，∴ABC 的周长＝27AD AE BE BC CD AB AB CD ++++=++=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．题型11：等角对等边证明等腰三角形的解答证明48．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．【答案】见解析【分析】首先依据平行线的性质证明2B ∠=∠，1C ∠=∠，然后结合角平分线的定义可证明B C ∠=∠，故此可证明ABC 为等腰三角形．【解析】证明：∵AE BC ∥，∴2B ∠=∠，1C∠=∠∵AE 平分DAB ∠，∴12∠=∠∴B C∠=∠即ABC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．49．如图，在ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)过点D 作∥DE AC 交AB 于点E ，求证：AED △是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SSS 证明三角形全等即可；（2）证明EAD ADE ∠=∠即可证明AE DE =，进而得到AED △是等腰三角形．【解析】（1）证明：在ABD △和ACD 中，AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD ACD ≌；（2）证明：∵ABD ACD △≌△，∴∠=∠DAB DAC ，∵∥DE AC ，∴ADE DAC ∠=∠，∴EAD EDA ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △是等腰三角形．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．50．已知ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2B C ∠=∠．(1)如图1，求证：AB BD AC +=；(2)如图2，延长CB 至点E ，使BE AB =，连接AE ，若36C ∠=︒，直接写出图中所有的等腰三角形（ABC 和ADE V 除外）．【答案】(1)证明见解析(2)ABE 是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，ADC △是等腰三角形，ABD △是等腰三角形；【分析】（1）如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，证明()SAS ABD AED ≌△△得到BD ED B AED ==，∠∠，根据三角形外角的性质结合已知条件证明EDC C ∠=∠，得到ED EC BD ==，即可证明AC AE CE AB BD =+=+；（2）根据等腰三角形的判定条件结合三角形内角和定理进行推理即可．【解析】（1）证明：如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD EAD ∠=∠，又∵AB AE AD AD ==，，∴()SAS ABD AED ≌△△，∴BD ED B AED ==，∠∠，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED C EDC ∠=∠+∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC BD ==，∴AC AE CE AB BD =+=+；（2）解：∵BE AB =，∴BEA BAE ∠=∠，ABE 是等腰三角形，∵BEA BAE ABC +=∠∠∠，∴2ABC BEA =∠∠，又∵272ABE C ==︒∠∠，∴36BEA BAE C ===︒∠∠∠，∴AE AC =，即ACE △是等腰三角形，∵18072BAC C ABC =︒--=︒∠∠∠，AD 平分BAC ∠，∴36BAD CAD ∠=∠=︒，∴36DAC C ∠=∠=︒，∴72ADB C DAC =+=︒∠∠∠，ADC △是等腰三角形，∴72ADB ABD ∠∠==︒，∴ABD △是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，灵活运用所学知识是解题的关键．题型12：等角对等边证明边长相等、求边长51．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC=B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵B C ∠=∠，∴AB AC =，故A 选项正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，12B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABE ACD ≌，∴BE CD =，BAE CAD ∠=∠，∵BE CD =，∴BE DE CD DE -=-，∴BD CE =，故B 选项、C 选项正确，D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．52．如图，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若12AB =，7DE =，则AE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到ABD EDB ∠=∠，则7BE DE ==，即可求出答案．【解析】解：∵在ABC 中，BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ∥，∴CBD EDB ∠=∠，∴ABD EDB ∠=∠，∴7BE DE ==，∴1275AE AB BE =-=-=；故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．53．如图，点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，点Q 是OA 上一点，且PQ OB ∥，若2PQ =，则线段OQ 的长是（）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．2【答案】D 【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出QPO QOP ∠=∠，据此即可求解．【解析】解：∵点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，∴QOP POB ∠=∠，∵PQ OB ∥，∴QPO POB ∠=∠，∴QPO QOP ∠=∠，∴2OQ PQ ==，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键．54．如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥．若8DE =，5AD =，则AB 的长为（）A ．13B ．12C ．10D ．9【答案】A 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明DBE DEB ∠=∠，得到8DE DB ==，则13AB AD BD =+=．【解析】解：∵BE 平分ABC ∠，∴DBE CBE ∠=∠，∵DE BC ∥，∴DEB CBE ∠=∠，∴DBE DEB ∠=∠，∴8DE DB ==，∴8513AB AD BD =+=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，证明DBE DEB ∠=∠是解题的关键．55．如图，在ABC 中，45AB AC ==，，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB AC ，于M ，N ，则AMN 的周长为（）A ．8B ．9C ．10D ．不确定【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和MN BC ∥可以得出MB ME =，NC NE =，继而可以得出AMN 的周长AB AC =+，从而可以得出答案．【解析】解：∵MN BC ∥，∴∠∠=MEB EBC ．∵BE 平分ABC ∠，∴MBE EBC =∠∠，∴MEB MBE ∠=∠．∴MB ME =．同理，NC NE =，∴9AMN C AM ME EN AN AB AC =+++=+=△．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，利用角平分线及平行线的性质得出MEB MBE ∠=∠是解题的关键.56．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC==B ．,EF EC AE FC ≠=C ．,EF EC AE FC=≠D ．,EF EC AE FC≠≠【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，则EF EC =，由于D CED ∠≠∠，则CE CD ≠，则AE CF ≠，由此即可得到答案．【解析】解：∵ABC DEF ≌△△，∴ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，∴EF EC =，∵4035D CED ∠=︒≠∠=︒，∴CE CD ≠，∴AE CF ≠，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．57．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．【答案】(1)53︒(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得CAD ∠；（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD 是BAC ∠的角平分线即可得到DAC F ∠=∠，从而证得AE FE =．【解析】（1）解：AB AC = ，AD BC ⊥，37B C ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，9053CAD C ∴∠=︒-∠=︒；（2）证明：E F A B ∥ ，BAF F ∴∠=∠，AB AC = ，AD BC ⊥，AD ∴是BAC ∠的角平分线，BAF DAC ∴∠=∠，DAC F ∴∠=∠，AE FE ∴=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．58．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且GDF ADF ∠=∠．连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系，并说明理由．【答案】EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见解析【分析】证明()AAS ADE BFE ≌△△，得出DE EF =，证明GDF BFE ∠=∠，得出GD GF =，根据垂直平分线的判定得出GE 垂直平分DF ，即可得出答案．【解析】解：EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见如下：∵AD BC ∥，∴ADE BFE ∠=∠，E 是AB 的中点，AE BE ∴=，又∵FEB DEA ∠=∠，∴()AAS ADE BFE ≌△△，DE EF ∴=，∵GDF ADF ∠=∠，ADE BFE ∠=∠，∴GDF BFE ∠=∠，GD GF ∴=，DE EF = ，∴GE 垂直平分DF ，∴EG DF ⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，得出ADE BFE V V ≌．题型13：直线上与已知两点组成等腰三角形的点59．如图，ABC ，点P 为直线AC 上的一个动点，若使得ABP 是等腰三角形．则符合条件的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解析】解：作AB 垂直平分线与AC 的交点，可得22P A P B =，以A 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有两个交点，13P A AB P A ==，以B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有一个交点，4P B AB =，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．60．如图，线段AB 的一个端点B 在直线m 上，直线m 上存在点C ，使ABC 为等腰三角形，这样的点C 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，据此可得答案．【解析】解：如图所示，以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，∴直线m 上存在4个点C ，使ABC 为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．61．如图，直线a b ，相交于点O ，150∠=︒，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O A B 、、为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】分别以点O A B 、、为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可；【解析】解：当OA OB =时；以点O 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；当OA AB =时；以点A 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个；当OB AB =时；作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个；∴满足条件的B点总共有4个；故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．题型14：等腰三角形有关的尺规作图62．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；②已知等腰三角形的底边和腰；③已知等腰三角形的底边和一底角．A．①②③B．②①③C．③①②D．②③①【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．故选：B ．【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键．63．如图（1），锐角ABC 中，AB BC AC >>，要用尺规作图的方法在AB 边上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（）A ．甲、乙、丙都正确B ．甲、丙正确，乙错误C ．甲、乙正确，丙错误D ．只有甲正确【答案】A【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．【解析】解：甲图：以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交AB 于点D ，∴AD AC =，∴ACD 为等腰三角形，乙图：作AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，∴AD DC =，∴ACD 为等腰三角形，丙图：∵所作的A DCA ∠=∠，∴AD DC =，∴ADC △是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A ．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．64．已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画 MN，交OB 于点C ．②以D 为圆心，DO 长为半径画 GH， GH 与OB 交于点E ，连接DC 并延长，使DC 的延长【答案】见解析【分析】以AB为腰和底两种情况作图即可．【解析】如图，以AB为腰，AO为对称轴；如图，以AB为底作等腰三角形，CM为对称轴；【点睛】本题考查利用网格作图，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．66．图1，图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：=；(1)在图1中，连接MA，MB，使MA MB==．(2)在图2中，连接MA，MB，MC，使MA MB MC【答案】(1)见解析(2)见解析=；【分析】（1）根据勾股定理得MA MB==．（2）连接AC，取AC中点M，MA MB MC【解析】（1）解：如图1正确画图．（2）如图2正确画图．【点睛】本题主要考查尺规作图，熟练根据题意作出符合题意的图形是解题的关键．67．如图，在每个小正方形的边长均为方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为底的等腰ABC(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰DEF直接写出DC的长度．【答案】(1)图见解析；(2)图见解析，22DC ．（2）如图所示，DEF 即为所求；CD =【点睛】本题考查的是作图：应用与设计作图，根据题意找出符合条件的点是解题的关键．题型16：等腰三角形的性质和判定综合题68．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB 90EDF ∠=︒，下列结论：①BED AFD △≌△积，则1211142S S S ≤≤；④EF AD =；所有正确的结论是（。
等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm ，则第三边的长为cm ．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm ，则底边为4cm ，则第三边的长为8cm ，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm ，则底边为8cm ，则第三边的长为4cm ，448+=，故不能组成三角形．故答案为：8．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为3cm 和8cm ，则周长是cm ．【答案】19【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为3cm 和8cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3cm ，底边是8cm 时：338+<，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm ，腰长是8cm 时，388+>，能构成三角形，则其周长()38819cm =++=．故答案为：19．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若()2450a b -+-=，则以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为．【答案】13或14【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a ，b 的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案．【详解】解：∵()2450a b -+-=，且()240a -≥，50b -≥，∴40a -=，50b -=，解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE ∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ⊥，90BAD ∠=︒∴EBA BAE BAE ∠+∠=∠+EBA CAD BAE ∠=∠∠=，【答案】10【详解】解：AB 5BD CD ∴==，210BC BD ∴==，故答案为：10．2．两个同样大小的含(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，题型04根据等腰三角形三线合一进行证明(1)若106BAC DAE ∠∠=︒，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1180ADE AED ∠=∠=︒∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =∠=∠=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ⊥，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD⊥连接AC AD，∵AB AE ABC AED BC ED=∠=∠=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ⊥．2．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形∠，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BC是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C ∠=∠，即可证明ABC 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，∵AD 平分CAE ∠，∴EAD CAD ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x ∠=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到13BEC x ABC =-∠∠，A =∠【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ．(1)若40C ∠=︒，求BAD ∠的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC 的周长，AEF △的周长为15，求ABC 的周长．【详解】（1）解：AB AC = ，C ABC ∴∠=∠，∵40C ∠=︒，∴40ABC ∠=︒，AB AC = ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90BDA ∴∠=︒，∴90904050BAD ABC ︒︒︒︒∠=-∠=-=；（2）证明：BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠，∴EBF FEB ∠=∠，BF EF ∴=，BEF ∴ 是等腰三角形；（3）解：AEF 的周长为15，15AE AF EF ∴++=，BF EF = ，15AE AF BF ∴++=，即15AE AB +=，BE 平分ABC 的周长，=15AE AB BC CE ∴++=，ABC ∴ 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(2)若6,3,4AD BE EF ===，求线段AB 的长．(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80︒，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．20︒或100︒【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80︒，∴等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B ∠=︒，则CAD ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（）A ．40B ∠=︒，80C ∠=︒B ．123A BC ∠∠∠=::::C ．2A B C∠=∠+∠D ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，A ．16【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．先得出ABD ACF ∠=∠，进而得到AF 长，求出AB 出即可．【详解】CE BD ⊥ ，90BEF ∴∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90CAF ∴∠=︒，90FAC BAD ∴∠=∠=︒ABD ACF ∴∠=∠．在ABD △和ACF △中【答案】10︒，80︒，140︒或20︒【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，+∵BAC ∠是ABP 的一个外角，∴20BAC APB ABP ∠=∠+∠=︒，∵AB AP =，∵AB AP=，20BAP∠=︒，∴180802BAPABP APB︒-∠∠=∠==︒；当BA BP=时，如图：∵BA BP=，∴20BAP BPA∠=∠=︒，∴180140ABP BAP BPA∠=︒-∠-∠=︒；当PA PB=时，如图：∵PA PB=，∴20BAP ABP∠=∠=︒；综上所述：当ABP是等腰三角形时，故答案为：10︒，80︒，140︒或20︒．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．【答案】(1)三角形的三边分别为3cm9cm9cm、、(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ⊥Q ，AD AC =，AE ∴平分CAD ∠，CAE DAE ∴∠=∠，在CAE V 和DAE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAE DAE ∴ ≌，CE DE ∴=，90ADE ACE ∠=∠=︒，设BE x =，则8CE DE x ==-，由勾股定理可得：222DE BD BE +=，()22284x x ∴-+=，解得：5x =，5BE ∴=．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，ED AB ∥，分别交BC 、AC 于点D 、E ，点F 在BC 的延长线上，且CF DE =，(1)求证：CEF △是等腰三角形；(2)连接AD ，当AD BC ⊥，8BC =，CEF △的周长为16时，求DEF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．（1）利用等腰三角形的性质得到B ACB ∠=∠，然后推出EDC ECD ∠=∠，DE EC =，结合已知条件，得到结论．当AD BC ⊥时，AB AC =，∴142BD CD BC ===， DEF 的周长DE DF EF =++，∴DEF 的周长CE EF CD =+++15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）的平分线，DF AB 交AE 的延长线于(1)若120BAC ∠=︒，求BAD ∠(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE ∠=∠，求【答案】(1)见解析(2)108BAC ∠=︒【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C ∠=∠，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =∠∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C ∠=∠∠=∠，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD ∠，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC ∠=∠∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（3）当ACD 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒∴100ACB ACD BCD ∠=∠+=︒∠；当ACD 是等腰三角形，DA AC =时，如图，则65ACD ADC ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒，∴5065115ACB ∠=︒+︒=︒；当ACD 是等腰三角形，CD AC =的情况不存在；当BCD △是等腰三角形，DC BD =时，如图，则1803ACD BCD B ︒-∠=∠=∠=∴2603ACB ACD BCD ∠=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD ∠=∠，设BDC BCD x ∠=∠=，则B ∠=则1802ACD B x ∠=∠=︒-，由题意得，180250x x ︒-+︒=，解得，2303x ︒=，∴8018023ACD x ︒∠=︒-=，∴3103ACB ︒∠=，综上所述：ACB ∠的度数为100。
初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总
初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。
并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。
题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。
求证：PA^2=AB^2-PBPC。
证明：作高AD。
则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。
变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。
（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。
求证：PA^2=AB^2+PBPC。
（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。
等腰三角形的性质与判定__题型
等腰三角形的性质与判定 题型等腰三角形的性质性质1.等腰三角形的两底角相等，两腰相等；性质2.等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定判定1.两边相等的三角形是等腰三角形判定2.两角相等的三角形是等腰三角形题型一：等腰三角形的角度问题例1. 若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是（ ）A. 65°，65°B. 50°，80°C. 50°，50°D. 65°，65°或50°，80°例2. 若等腰三角形中的其中一角为120°，则它的三个角的度数分别是 。
例3. 已知一个等腰三角形的一个外角是135°，则它的底角为 。
例4. 已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的7倍，则它的三个角度数分别是 。
例5. 已知一个等腰三角形的两个角分别是（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。
题型二：等腰三角形的边长问题例1. 一个三角形的三边分别为4，x ，7，那么x 的取值范围是（ ）A. 3<x<11B. 4<x<7C. x>3D. -3<x<7例2. 等腰三角形有两边长是3cm 和4cm ，则这个等腰三角形的周长为 。
例3. 等腰三角形有两边长是4cm 和9cm ，则这个三角形的周长是（ ）A. 17cmB. 22cmC. 18cmD. 17cm 或22cm例4. 已知三角形的三边长分别为7，x ，13，若x 为整数，那么这样的等腰三角 形的周长为 。
例5. 已知一个等腰三角形的三边长分别为x ，2x ，5x-3，求这个三角形的周长例6. 已知等腰三角形的底边BC=6，且3=-BC AC ,那个腰AC 的长为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 9或者3题型三：无图需分情况讨论例1. 等腰三角形的一个角是70°，则一腰上的高与另一腰的顶角为（ ）A. 20°B. 20°或50°C. 50°D. 70°例2. 若等腰三角形的底边长15，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是 8，则腰长是（ ）A. 7B. 23C. 7或者23D. 以上都不对例3. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°则该等腰三角形底角的度数是（ ）题型四：性质判定的综合应用（期中试卷21，22,23讲解）。
等腰三角形的判定定理(2个知识点+12大题型+18道强化训练)(学生) 24-25学年八年级数学上册
第04讲等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称“等角对等边”）总结：【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为11cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．27cmC ．21cmD ．21cm 或27cm【即学即练2】如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BD =，DE AB ^于点E ，若4BC =，BDC D 的周长为10，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4知识点02：等边三角形的判定1、判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（ ）①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．正三角形题型01 格点中画等腰三角形1．如图，在33´的网格中，以AB 为一边，点P 在格点处，使ABP V 为等腰三角形的点P 有（ ）个A ．2个B ．5个C．3个D ．1个2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A 、B 分别在格点处，若C 也是图中的格点，且使得ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点C 有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是网格中的两个格点，如果C 也是网格中的格点，且使ABC V 为等腰三角形，那么符合条件的点C 有 个．4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有 个．5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．(1)在图1中画一个以AB 为直角边且面积为3的直角三角形．(2)在图2中画一个以AC 为腰的等腰三角形．题型02 找出图中的等腰三角形1．如图，在ABC V 中，AB AC =，72B Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，DE AC ∥交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图，已知线段AB 的端点B 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使ABC V 是等腰三角形，这样的点能找（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在ABC V 中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，连接PA PB PC 、、，则图中有 个等腰三角形．4．如图，已知ABC V 中，37AB BC ==，，在ABC V 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．题型03 根据等角对等边证明等腰三角形1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）A ．40°，70°B ．30°，90°C ．60°，50°D ．40°，20°2．在ABC V 中，36A Ð=°，72B Ð=°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．在ABC V 中，90A Ð=°，当B Ð= 度时，ABC V 是等腰三角形．5．如图，在ABC V 中，60,40,BAC C ABC Ð=°Ð=°Ð的平分线BD 交AC 于点D ．判断BCD △是否为等腰三角形?请说明理由．题型04 根据等角对等边证明边相等1．如图，在ABC V 中，6BC =，边AB 的垂直平分线交BC 于M ，点N 在MC 上，连接AM ，AN ，C NAC Ð=Ð，则MAN △的周长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．122．在ABC V 中，AD 平分235BAC B ADB AB CD ÐÐ=Ð==，，，，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若8BM CN +=，则线段MN 的长为 ．4．如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN V 的周长为 ．5．如图，ABC V 中，CA CB =，点D 在BC 的延长线上，连接AD AE ，平分CAD Ð交CD 于点E ，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ，与AC 相交于点G ．．(1)求证：CG CE =；(2)若30B Ð=°，40CAD Ð=°，求AEF Ð和D Ð的度数；(3)求证：2D AEF Ð=Ð．题型05 根据等角对等边求边长1．如图，在ABC V 中，B C Ð=Ð，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC V 中，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，6AD =，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若AED △的周长为16，则边AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．163．如图，在ABC V 中，12AB =，9AC =，沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若12ADE C Ð=Ð，则BD 的长是 ．4．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，12BC =，点D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一动点，将CDE V 沿DE 折叠得到C DE ¢V ，连接BC ¢，当BEC ¢△是直角三角形时，BE 的长为 ．5．如图，100,40203BAC B D AB Ð=°Ð=°Ð=°=，，，求CD 的长．题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．点A ，B 在直线l 同侧，若点C 是直线l 上的点，且ABC V 是等腰三角形，则这样的点C 最多有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3,4)，点P 是坐标轴上的一点，使OAP V 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．如图，点O 在直线l 上，点A 在直线l 外.若直线l 上有一点P 使得APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 位置有 个.4．如图，已知Rt ABC △中，90,30Ð=°Ð=°C A .在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB V 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 个.5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点B ，点C 在直线EF 上，ΔABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形．（1）在图中画出ΔABC（2）已知40BAF Ð=°，求BCAÐ题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．已知ABC V 中，AB AC =．108A Ð=°，在平面内找一点P ，使得PAB V ，PAC V ，PBC V 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）个A ．4B ．6C ．8D ．102．已知：如图ABC V 中，=60B а，80C Ð=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD V 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在ABC V 中，25,100B A Ð=°Ð=°，点P 在ABC V 的三边上运动，当PAC V 成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．4．如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = s时，POQ △是等腰三角形？5．如图，在ABC V 中，AB AC BC ==，ABC V 所在的平面上有一点P （如图中所画的点1P ），使PAB V ，PBC △， PAC V 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个（包括点1P ）？在图中画出来．题型08 作等腰三角形（尺规作图）1．如图，已知直线m n P ，线段AC 分别与直线m ，n 相交于点B 、点C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若70A Ð=°，则a 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°2．如图，已知直线l 及直线l 外一点P ，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是 ．4．如图，直线a b ，相交于点O ，150а＝，点A 是直线上的一个定点，点B 在直线b 上运动，若以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB Ð的度数是 ．5．已知：线段a ，h ，求作等腰ABC V ，使底边BC a =，高AD h =，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．题型09 等腰三角形的性质和判定1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC EF ^，垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为166AC =，，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，16AB AC ==，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作AB AC ，的平行线，交AC 于点F ，交AB 于点D ，则四边形ADEF 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．83．如图，在ABC V 中，BD 和CD 分别是ABC Ð和ACB Ð的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若，BE CF ==34，则EF 的长为 ．4．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，30C Ð=°，作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若3AD =，则DE 的长为 ．5．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于点F ．(1)证明：BA BC =；(2)求证：AFC V 为等腰三角形．题型10 三角形边角的不等关系1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．7或82．如图，ABC V 中，5,9,10,AB AC BC EF ===垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A ．10B ．14C ．15D ．193．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ．4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .5．已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC V 的周长并判断ABC V 的形状.题型11 等边三角形的判定1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（ ）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð3．在ABC V 中，B C Ð=Ð，若添加一个条件使ABC V 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）4．已知a ，b ，c 为ABC V 三边的长，当222222ab a b c bc +=++时，则ABC V 的形状是 ．5．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，B D Ð=Ð，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD Ð=Ð；(2)若60E Ð=°，CE 平分BCD Ð，请判断BCE V 的形状并说明理由．题型12 等边三角形的判定和性质1．如图，30AOB Ð=°，点P 在AOB Ð的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA OB 、的对称点，连接CD 交OA OB 、分别于点E ，F ；若PEF !的周长的为9，则线段OP =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A ．75°B ．15°C ．30°或150°D ．15°或75°3．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð内部的一个定点，且1OP =，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则PEF !周长的最小值等于 ．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点Q 是AC 的中点，若动点P 以2cm /秒的速度从点A 出发沿A B A ®®方向运动设运动时间为t 秒，连接PQ ，当APQ △是等腰三角形时，则t 的值为 秒．5．如图，D 是等边ABC V 外的一点，3BC =，DB DC =，120BDC Ð=°，点E 、F 分别在AB 和AC 上．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线(2)若ED 平分BEF Ð，①证明：FD 平分EFC Ð；②求AEF △的周长．1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，AB AC =，45BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，交AD 于点F ，若10AF =，则BD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm4．如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB Ð，BD CD ^，A ABD Ð=Ð，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55．如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD Ð=Ð=°．连接AC BD 、交于点M ，连接OM ．下列结论：①BOM COM Ð=Ð；②AC BD =；③OM 平分AMD ∠；④144AOD Ð=°，⑤MOC MOD V V ≌其中正确的结论个数有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在四边形OAPB 中，120AOB Ð=°，OP 平分AOB Ð，且2OP =，若点M 、N 分别在直线OA OB 、上，且PMN V 为等边三角形，则满足上述条件的PMN V 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，ABC V 中，BO 、CO 分别平分ABC Ð和ACB Ð，过点O 平行于BC 的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，已知9cm AB =，8cm AC =，ADE V 的周长为 ．8．如图，60AOB Ð=°，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t = s 时，MON △是等腰三角形．9．已知，在ABC V 中，AB AC =，BD AC ^于点D ，AE BC ^于点E ，若50BAC Ð=°，则DCO Ð= °．10．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的中线，点E 在AC 上，且AE AD =，连接DE ，若20CDE Ð=°，则B Ð的度数为 °．11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC V 中，36,A B Ð=°Ð为钝角，则使得ABC V 是特异三角形所有可能的B Ð的度数为 ．12．已知在ABC V 中，40A Ð=°，D 为边AC 上一点，ABD △和BCD △都是等腰三角形，则C Ð的度数可能是 ．13．如图，在ABC V 中，AB AC D =，是BC 边上一点，以AD 为边在AD 右侧作ADE V ，使AE AD =，连接108CE BAC DAE Ð=Ð=°，(1)求证：BAD CAE V V ≌；(2)若DE DC =，求CDE Ð的度数．14．如图，点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AD AE =，BD CE =．(1)求证：AB AC =．(2)若108,2180BAC DAE BAC Ð=°Ð+Ð=°，直接写出图中除ABC V 与ADE V 外所有等腰三角形．15．如图，在等边ABC V 中，点D 在边BC 上，过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ．(1)求F Ð的度数；(2)求证：DC CF =．16．如图，已知ABC V 中，D 为BC 上一点，AB AD =，E 为ABC V 外部一点，满足AC AE =，连结DE ，与AC 交于点O ，且CAE BAD Ð=Ð．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若25BAD Ð=°，求EDC Ð的度数．17．如图，已知在ABC V 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3厘米/秒如果点P 在线段BC 上以3厘米每秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？18．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACE B D Ð=Ð=Ð=°，AC CE =，B 、C 、D 三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BD 的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4BC =，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC Ð=Ð=Ð=°，AC BC =，ACD V 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为______2km ．。
(完整版)等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形专题基本知识总结：1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可）2、性质：①等边对等角②三线合一3、判定：等角对等边常见题型：1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？mn • •A B变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？2、三线合一的性质应用（知二即知三）应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥应用二：证垂直平分例3：已知，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF DE 、分别是ABD ∆和ACD ∆的高。
求证：AD 垂直平分EF .例4：已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD .应用三：逆命题：知二即知等腰①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.例5：如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB.例6：已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
全面的等腰三角形题型分类+答案
等腰三角形题型归纳：类型一：涉及到顶角和底角的问题1、若等腰三角形底角为72°，则顶角为( D)。
A.108°B.72°C.54°D.36°2、若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为50°或80°.3、(1)若等腰三角形的一个外角是40°，则这个等腰三角形的底角为____20°_______.(2)在等腰三角形中，两个内角度数的比为1:4，则它的顶角为___20°或120°_____.中，∠A=2∠B，当∠C=____45°或72°____时，它是一个等腰三角形.4、在ABC5、已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为75°度.6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D)。
A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°类型二：有关等腰三角形的周长的问题1、若等腰三角形的两边长分别为8cm和5cm，则它的周长为___18cm或21cm__.2、等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为( C ).A．20cm B．10cm C．10cm或4cm D．4cm3、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm，则它的周长为___10或11_____.4、若一个等腰三角形的周长是20cm,一边长是5cm,则另两边的长是__7.5cm，7.5cm________.5、已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的三边长.解:在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，设AB=x ，BC=y ，①当AB+AD=12时，x+ 1/2x=12 ，y+ 1/2x=15 ，解得x=8，y=11；腰是8cm ，底是11cm ； ②当AB+AD=15时，则x+ 1/2x=15，y+ 1/2x=12 ，解得x=10，y=7，腰是10cm ，底是7cm.6、如果等腰三角形的周长为25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2，则这个等腰三角形的底边长为多少？类型三：角平分线的问题1、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为( D ). A.80 B.75 C.65 D.45ABD E第1题图2、如图，ABC △中，AB AC =，BD 是∠ABC 的平分线，且∠BDC=75o ,求∠BAC 的度数。
精品经典 轴对称与等腰三角形 重难点题型汇总140题
轴对称与等腰三角形重难点题型汇总最短路程问题在直线上找一点P,使PA+PB最小在直线上找一P,使PBPA-最小在直线上找一P,使PBPA-最大在OA、OB上分别找一点C、D,使△PCD周长最小并求出∠CPD的度数.在平面内找一点P,使P到OA、OB距离相等,同时到C、D两点距离相等。
分别在OA、OB上找出一点D、C,当PD+CD最小时,若∠AOB=480,∠PCD的度数为BD平分∠ABC,△ABC面积为12,AB=5,在BC、BD上分别找一点M、N，求CN+MN最小值.△ABC中AB=AC,D为BC中点,△ABC面积为24,BC=6,直线l垂直平分AC,P为l上动点,求△PCD周长最小值.正方形ABCD,面积为16,以AB为边在内部作等边三角形ABE,连接对角线AC.P为AC上一动点,求PD+PE最小值.等腰三角形等腰三角形性质与判定性质: 判定: 等边三角形300角问题：在坐标系中找等腰三角形问题1.已知点A坐标为(2a+3,3a+9)在第二象限，且a为整数.根据要求完成下列各题：(1)a= ；A点坐标为；(2)A点关于x轴对称的点坐标为；A点关于y轴对称的点坐标为； A点关于原点对称的点坐标为；(3)A点关于直线x=2对称的点坐标为；A点关于直线x=-2对称的点坐标为；A点关于直线y=-3对称的点坐标为；(4)连接OA,将OA绕点O旋转900，则旋转后A点对应坐标为；2.如图,∠ABC 内有一点P,(1)在BA、BC 边上各取一点P1、P2，使△PP1P2 的周长最小;(尺规作图)(2)若∠ABC=300，连接BP1，BP2，P1P2，判断△BP1P1形状并说明理由.3.如图所,MP和 NQ 分别垂直平分 AB和 AC．(1)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数;(2)若∠PAQ=250，求∠BAC的度数。
4.如图，已知Rt △ABC,∠ACB=900，AD 平分∠BAC 与BC 交于D 点，M 、N 分别在线段AD 、AC 上的动点，连接MN 、MC,当MN+MC 最小时，画出M 、N 的位置.5.如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是________；若∠AOB=320，则∠EPF=6.如图,在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =48cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长。
题型技巧练：1_1_1 等腰三角形(原卷版)
【变式1-5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．
（1）求证：∠ABD＝∠ADC；
（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；
（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．
题型二等腰三角形的性质（周长问题）
解题技巧提炼
掌握等腰三角形的性质：
1).等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2).等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
【变式1-1】等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（）
A． B． 或 C． 或 D．
【变式2-4】一个等腰三角形的周长为28cm．
（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；
（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．
【变式2-5】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
【例题2】如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为．
解题技巧提炼
掌握等腰三角形的性质：
1).等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2).等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
A．1B．2C．3D．4
解题技巧提炼
凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
等腰三角形动点问题分类讨论题型
等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。
比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。
像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。
比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。
假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。
想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。
要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。
在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。
像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。
等腰三角形经典题型
等腰三角形经典题型等腰三角形是一种具有特定属性的三角形，其中两边相等，并且两个底角也相等。
以下是一些有关等腰三角形的经典题型。
1.判断类型给出一个三角形，如何判断它是否为等腰三角形？这需要检查三角形是否有两条相等的边。
2.边的比例问题如果一个等腰三角形的底边长为5，腰长为3，那么它的周长是多少？这涉及到计算等腰三角形的周长，可以通过相加三条边长得出。
3.角度的计算如果一个等腰三角形的底角为30°，那么它的顶角是多少度？这涉及到计算等腰三角形的角度，可以通过三角形的内角和性质计算。
4.周长的计算如果一个等腰三角形的两边长分别为6和8，那么它的周长是多少？这涉及到计算等腰三角形的周长，可以通过相加三条边长得出。
5.面积的计算如果一个等腰三角形的底边长为10，高为8，那么它的面积是多少？这涉及到计算三角形的面积，可以通过底乘高再除以2得出。
6.实际应用题在实际生活中，等腰三角形有哪些应用？例如，等腰三角形可以用于桥梁的设计中，通过等腰三角形的稳定性来提高桥梁的安全性。
7.动态问题随着时间的推移，等腰三角形会发生哪些变化？例如，如果一个等腰三角形的底边长不断变长，那么它的角度会如何变化？8.折叠问题如果把一个等腰三角形折叠起来，会发生哪些变化？例如，折叠后两边的角度会相等吗？9.辅助线问题在解决等腰三角形的问题时，常常需要添加辅助线。
如何添加辅助线来解决问题？例如，通过作底边的中垂线来证明两边的相等。
10.三角形不等式在等腰三角形中，有些不等式是成立的。
例如，如果有两条边长分别为a 和b，那么a+b>第三边。
这些不等式可以用于解决一些问题。
11.分类讨论在解决等腰三角形的问题时，常常需要对不同的情况进行分类讨论。
例如，当等腰三角形的顶角大于90°时，它会有哪些特点？12.代数与几何的结合在解决等腰三角形的问题时，常常需要结合代数和几何的知识。
例如，通过代数的计算来证明两边的相等。
(完整版)全等等腰三角形题型归纳(经典完整)
(完整版)全等等腰三角形题型归纳(经典完整)本文将对全等等腰三角形题型进行归纳和总结，帮助读者更好地理解和解决此类题目。
全等等腰三角形是指两个三角形的两边长度相等且对应的夹角也相等。
1. 理解全等等腰三角形全等等腰三角形的特点是两边长度相等且对应的夹角也相等。
在解题时，我们可以利用以下几个性质：- 两边相等的三角形的对应角必然相等，也就是如果两个等腰三角形的两条边长度相等，那么它们的对应夹角必然相等。
- 如果两个等腰三角形的两个对应角相等，那么它们的两边必然相等。
2. 全等等腰三角形的题型2.1. 给定等腰三角形的两边长度，求对应夹角的值在这种题型中，已知等腰三角形的两条边长度，需要求出对应的夹角。
解题步骤如下：1. 利用性质1，由于等腰三角形的两边相等，则对应的夹角也相等。
2. 利用三角函数（如正弦、余弦、正切等）求出对应夹角的值。
2.2. 给定等腰三角形的一个对应角，求两边的长度在这种题型中，已知等腰三角形的一个对应角的值，需要求出两边的长度。
解题步骤如下：1. 利用性质2，由于等腰三角形的两个对应角相等，则两边的长度相等。
2. 利用三角函数求出两边的长度。
3. 示例题3.1. 示例一：已知等腰三角形的两边长度分别为5cm，求对应夹角的值。
解题步骤如下：- 根据性质1，两边相等，则对应夹角相等。
- 使用三角函数，求出对应夹角的值。
3.2. 示例二：已知等腰三角形的一个对应角的值为45°，求两边的长度。
解题步骤如下：- 根据性质2，两个对应角相等，则两边的长度相等。
- 使用三角函数，求出两边的长度。
4. 总结本文对全等等腰三角形题型进行了归纳和总结，并给出了相应的解题步骤和示例题。
通过掌握全等等腰三角形的性质和解题方法，读者将能够更好地解决此类题型。
北师大版八年级数学下册等腰三角形知识点整理及重点题型梳理
八年级数学等腰三角形知识点整理及重点题型梳理一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。
常见题：已知两边长和第三边，求周长。
例题：两条边长分别为3和4，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
二、 等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知AB=AC ，∠B=∠C 等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。
注意：只有等腰三角形才有三线合一。
[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=DC=AD ，求：△ABC 各角的度数．D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4. [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）． 练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等21EDABDCAB的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？(1)EDCA B (2)分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 二、例题例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()AB AE ABC AED BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ）∴AC=AD （全等三角形的对应边相等） 又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）EDCABF ∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合） 三、练习 （一）、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和7cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．18cm 或15cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．40° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图1，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°E DCABHFG如图1答案:1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 如图2 （二）、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．12．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 答案:6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里 （三）、解答题15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB16．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB17．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF答案:15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． ABDC AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD ．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．D C AEBDCA二、练习（一）、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形DA B F21EDCAB4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B（二）、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．答案：6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm （三）、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ， •求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA答案：10．60°或120°11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ． 又∵BC=AC ，CE=CD ， ∴△BCE ≌△ACD ； ②证明△BCF ≌△ACH ； ③△CFH 是等边三角形．13．连接CE ，先证明△BCE ≌△ACE 得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE 得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目： 求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. （2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。
等腰三角形题型汇编(全)
题型一：等腰三角形有关角的计算1、锐角△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，DE⊥AB于E，延长ED交BC的延长线于点F．(1)当∠A=40°时，求∠F的度数；(2)设∠F为x度，∠FDC为y度，试确定y与x之间的函数关系式．2、在△ABC中，已知AB=AC,BD⊥AC于D,∠DBC=35°，求∠BAC的度数。
3、一个等腰三角形的一腰上的高于另一腰成35度角，则此等腰三角形的顶角是多少？题型二：等腰三角形有关边的计算1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，求这个等腰三角形的周长。
2 、 一个等腰三角形的周长为20cm 。
从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm 。
求等腰三角形的腰长。
题型三：等腰三角形的性质与判定1、如图,已知AB=AC,BD=CD,AE 平分∠CAF,试判断AE 与AD 的位置关系,并说明理由。
2、在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，又BD 平分∠ABC 。
求证：AE=21BD3、如图，△BDA 、△HDC 都是等腰直角三角形，且D 在BC 上，BH 的延长线与 AC 交于点E ，请你判断线段AC 与BH 有什么关系？并说明理由.题型四：角平分线和线段垂直平分线的应用 1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线．求证：(1)∠EAD=∠EDA ．(2)DF ∥AC ．(3)∠EAC=∠B ．2、如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，AE 延长线与BC 的延长线相交于F (1)试说明AF=BD ；(2)请问BD 是∠ABC 的平分线吗？如果是，请说明理由；3、已知，如图∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何，并证明你的结论．4、已知，如图∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC．求证：BM=CM题型五：对称在一次函数中的应用1、求与一次函数y=2x-1的图像关于x轴对称的直线的函数解析式2、不作函数y=－2x＋1与y=2x＋1的图像，试判断它们的图像关于哪一个坐标轴对称。
《等腰三角形》证明题题型归类训练(十二种题型)
《等腰三角形》证明题题型归类训练(十二种题型)等腰三角形证明题题型归类训练（十二种题型）1. 等腰三角形的定义题型题目：定义等腰三角形并给出一个例子。
解析：等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
例如，三角形ABC中AB=AC，那么三角形ABC就是一个等腰三角形。
2. 根据等腰三角形的性质题型题目：已知三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，角A=40°，求角B和角C的度数。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为角A=40°，所以角B=角C=(180°-40°)/2=70°。
3. 等腰三角形的边长关系题型题目：在等腰三角形ABC中，AB=5cm，AC=5cm，BC=8cm，求角B和角C的度数。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为BC=8cm，所以角B和角C是等角，可以使用余弦定理来求解。
根据余弦定理，设角B和角C的度数为x°，则BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(x°)8² = 5² + 5² - 2 * 5 * 5 * cos(x°)64 = 50 - 50 * cos(x°)50 * cos(x°) = -14cos(x°) = -14/50x ≈ 120°所以角B和角C的度数约为120°。
4. 等腰三角形的高题型题目：在等腰三角形ABC中，AB=5cm，AC=5cm，BC=8cm，求高的长度。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为BC=8cm，所以角B和角C是等角，可以使用正弦定理来求解。
根据正弦定理，设等腰三角形ABC的高为h，角B和角C的度数为x°，则h/sin(x°) = BC/sin(90°)h/sin(x°) = 8/sin(90°)h/sin(x°) = 8/1h/sin(x°) = 8所以等腰三角形ABC的高的长度为8cm。
2.4 等腰三角形的判定定理(8大题型提分练)(原卷版)_1
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
2．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．
3．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③
2．（2023秋•邹城市校级期末）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
A．不存在的B．10°C．12°D．15°
7．（2023春•富平县期末）如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数．
题型五 等边三角形的判定
A．4个B．5个C．6个D．7个
题型二 等腰三角形的判定证明题
解题技巧提炼
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称：等角对等边）
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
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培优教育 专 用 教 案
B
C
A
D 等腰三角形典型题练
方程思想
1． 如图，在△ABC 中，D 在BC 上， 若AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠ABC 的度数为 ．
2．如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BC=BD=BE ，则图中的等腰三角形共有 个。
3．如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点D 、E 分别在AC 和AB 上，且AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°． 4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：
如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2
为第1根小棒. 数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ=_________度；
②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…） 求出此时a 2，a 3
的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.
活动二： 如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1. 数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ的式子表示） （4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.
A 1
A 2 A
B C
图乙
A 3 A 4
1θ 2θ
3θ θ
A 1 A 2 A
B C
A 3 A 4
A 5 A 6 a 1 a 2
a 3
图甲 θ E
D
C B
A
2
角平分线＋平行线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。
如图1（1）中，若AD 平分∠BAC ，AD//EC ，则∆ACE 是等腰三角形；如图1（2）中，若AD 平分∠BAC ，DE//AC ，则∆ADE 是等腰三角形；如图1（3）中，若AD 平分∠BAC ，CE//AB ，则∆ACE 是等腰三角形；如图1（4）中，若AD 平分∠BAC ，EF//AD ，则∆AGE 是等腰三角形。
例1.如下左图在∆ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF BC ⊥，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F 。
求证：AE ＝AP
例2. 如中图，在∆ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE//AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E 。
试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的理由。
训练题：1、如上右图，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且
DE CD EF AC ==，，求证：EF//AB
2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。
求证：△DIE 的周长等于BC 。
3、如图3：已知在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE —CF 。
1 3 A
B
C D
E I
图（2）
2 4 3
2
1 F E D
M
C B A
3
4、如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，B D ⊥AD ，DE ∥AC 。
求证：AE=BE 。
5、如图，BF=AC ，BD=DC ，证明：AE=EF 。
F
E D C
B A
角平分线＋垂线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。
如左图中，若AD 平分∠BAC ，AD DC ⊥，则∆AEC 是等腰三角形。
例 3.如上右图，在等腰Rt ABC ∆中，AB ＝AC ，∠=BAC 90
，BF 平分∠ABC ，
CD BD ⊥，交BF 的延长线于D 。
求证：BF ＝2CD
作倍角的平分线→等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。
如左图中，若∠=∠ABC C 2，作BD 平分∠ABC ，则∆DBC 是等腰三角形。
例4. 如右图，在∆ABC 中，∠=∠ACB B 2，BC ＝2AC 。
求证：∠=A 90
B
E C D A
4
A B
C
D
P
E
等腰三角形的个数
1. 如图所示，在长方形ABCD 的对称轴l 上找点P ，使得△P AB 、
△PBC 、△PDC 、△P AD 均为等腰三角形，则满足条件的 点P 有__________个。
2．如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，BC =43，点E 是折线
段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
其他题型
1．如图，在ΔABC 中，高AD 、BE 交于H 点，若BH ＝AC ， 则∠ABC ＝______．
2．如图，△ABC 中，若∠B ＝∠C ，BD ＝CE ， CD ＝BF ，则∠EDF ＝ （ ） A ．90°－∠A B ．A ∠-
21
90o C ．180°－2∠A
D ．A ∠-2
1
45o
3. 如图，钝角三角形纸片ABC 中，∠BAC=110°，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ．若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF= _________
4. 如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD⊥BE，垂足为D 。
求证：∠2=∠1+∠C
l D
C
B
A。