等腰三角形题型总结

培优教育 专 用 教 案

B

C

A

D 等腰三角形典型题练

方程思想

1． 如图，在△ABC 中，D 在BC 上， 若AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠ABC 的度数为 ．

2．如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BC=BD=BE ，则图中的等腰三角形共有 个。

3．如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点D 、E 分别在AC 和AB 上，且AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°． 4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：

如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2

为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ=_________度；

②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…） 求出此时a 2，a 3

的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.

活动二： 如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1. 数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ的式子表示） （4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.

A 1

A 2 A

B C

图乙

A 3 A 4

1θ 2θ

3θ θ

A 1 A 2 A

B C

A 3 A 4

A 5 A 6 a 1 a 2

a 3

图甲 θ E

D

C B

A

2

角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD 平分∠BAC ，AD//EC ，则∆ACE 是等腰三角形；如图1（2）中，若AD 平分∠BAC ，DE//AC ，则∆ADE 是等腰三角形；如图1（3）中，若AD 平分∠BAC ，CE//AB ，则∆ACE 是等腰三角形；如图1（4）中，若AD 平分∠BAC ，EF//AD ，则∆AGE 是等腰三角形。

例1.如下左图在∆ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF BC ⊥，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F 。求证：AE ＝AP

例2. 如中图，在∆ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE//AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E 。试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的理由。

训练题：1、如上右图，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且

DE CD EF AC ==，，求证：EF//AB

2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证：△DIE 的周长等于BC 。

3、如图3：已知在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE —CF 。

1 3 A

B

C D

E I

图（2）

2 4 3

2

1 F E D

M

C B A

3

4、如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，B D ⊥AD ，DE ∥AC 。求证：AE=BE 。

5、如图，BF=AC ，BD=DC ，证明：AE=EF 。

F

E D C

B A

角平分线＋垂线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如左图中，若AD 平分∠BAC ，AD DC ⊥，则∆AEC 是等腰三角形。

例 3.如上右图，在等腰Rt ABC ∆中，AB ＝AC ，∠=BAC 90

，BF 平分∠ABC ，

CD BD ⊥，交BF 的延长线于D 。求证：BF ＝2CD

作倍角的平分线→等腰三角形

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如左图中，若∠=∠ABC C 2，作BD 平分∠ABC ，则∆DBC 是等腰三角形。

例4. 如右图，在∆ABC 中，∠=∠ACB B 2，BC ＝2AC 。求证：∠=A 90

B

E C D A

4

A B

C

D

P

E

等腰三角形的个数

1. 如图所示，在长方形ABCD 的对称轴l 上找点P ，使得△P AB 、

△PBC 、△PDC 、△P AD 均为等腰三角形，则满足条件的 点P 有__________个。

2．如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，BC =43，点E 是折线

段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

其他题型

1．如图，在ΔABC 中，高AD 、BE 交于H 点，若BH ＝AC ， 则∠ABC ＝______．

2．如图，△ABC 中，若∠B ＝∠C ，BD ＝CE ， CD ＝BF ，则∠EDF ＝ （ ） A ．90°－∠A B ．A ∠-

21

90o C ．180°－2∠A

D ．A ∠-2

1

45o

3. 如图，钝角三角形纸片ABC 中，∠BAC=110°，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ．若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF= _________

4. 如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD⊥BE，垂足为D 。求证：∠2=∠1+∠C

l D

C

B

A