钟面上的行程问题

钟面上的行程问题
钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：⑴研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；⑵研究有关时间误差的问题．
在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．
时钟问题—钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。

关键问题：
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。

分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即0.5度。

基础练习题：
1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？
2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？
3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？
4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？
5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？
参考答案详解：
1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？
解析：分针：1格/分时针：(1/12) 格/分
3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，
用追及问题的处理方法解：15格/(1-1/12)格/分=16+4/11分钟
所以下午3点16又4/11分时，时针和分针第一次重合PS:这类题目也可以用度数方法解
2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？
解析：分针：6度/分时针0.5度/分
当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24*60=1440分
所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次
3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？
解析：分针：6度/分时针0.5度/分
5点零8分，时针成角：5*30+8*0.5=154度
分针成角：8*6=48度
所以夹角是154-48=106度
4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？
解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。

此时，时针领先分针20格。

时，分两针成直角，
必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。

因此，在相同时间内，分针将比
时针多走 (20-15)格或(20+15)格。

(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5又5/11分
(20+15)/(1-1/12)=38又2/11分,即4点38又2/11分
5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”
的两边？
解析：设经过X分，0.5*X=270-6*X ,解得X=540/13分
所以答案是9点过41又7/13分。

二：时钟问题一般指研究钟表表面时针和分针关系的问题。

常见的时钟问题为：求某一时刻时针与分针的夹角，包括两针重合，两针垂直，两针成直线等特殊类型。

钟面基本常识：
⑴钟面的一周按“小时”分为12大格，对应有1到12这十二个数字，时针每小时走1大格，分针每小时走12大格。

所以时针的速度是分针的1／12。

⑵钟面一圈按“分”分为60小格，分针每分钟走1小格，每小时走60小格；时针每小时走5小格，每分钟走（5÷60=）1／12小格。

⑶钟表上分针、时针、秒针的转速各不相同，但各自的转速是固定的：
分针每小时转动360度；
分针每分钟转动：360度÷60=6度（一小格）。

时针每小时转动：360度÷12=30度（一大格）；
时针每分钟转动：30度÷60=0.5度。

【题目】：
钟表的分针每小时走一圈，而时针才从一个数字移动到另一个数字，如果从中午12点开始，在12个小时里分针和时针重叠几次？
【解析】：
解法一：
观察钟面，寻找规律：分针依次在1点多、2点多、3点多……11点多时，分别和时针重叠1次，12个小时里共重叠11次。

解法二：
分针和时针从一次重叠到下一次重叠，分针要比时针多转一圈60小格，需要时间：60÷（1－1/12）=六十五又十一分之五（分）。

所以12小时会重叠：12×60÷六十五又十一分之五≈11（次）【题目】：
玲玲家的闹钟每小时慢4分钟。

有一天早上8：30把钟拨准；玩了一段时间后，打开收音机正好报12：00。

你算算她家的闹钟这时指在几时几分上的？
【解析】：
12时－8时30分=3时30分
闹钟每小时慢4分钟，30分钟慢2分钟，共慢了：4×3＋2=14（分）。

12时－14分=11时46分
所以闹钟这时指在11时46分上。

【题目】：
下午，小华没有听清电台所报的时间，便看了一眼挂钟，发现时针与分针构成直角。

没有超过20分钟，她又看了一下挂钟，发现时针与分针完全重合在一起。

问：电台报时的时刻是几时整？
【解析】：
下午电台整时报时，只有下午3时整或晚上9时整钟面上时针和分针构成直角。

从3时整开始，到时针与分针完全重合，分针最少要比时针要多转900，15小格，需要时间：15÷（1－1/12）=十六又十一分之四（分）。

从9时整开始，到时针与分针完全重合，分针最少要比时针
要多转，45小格，需要时间：45÷（1－1/12）=四十九又十一分之一（分）。

因为不超过20分钟，所以电台报时的时刻是下午3时整（或15时整）。

【题目】：
李叔叔下午3点钟要到工厂上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12：10就停了。

他上足发条忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟。

夜里11：00下班，李叔叔马上回到家里，一看钟才9：00。

假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少分钟？
【解析】：
李叔叔下午3点差10分到工厂，晚上11点下班，在单位停留时间为：
11时－（3时－10分）=8时10分
李叔叔上班临走时钟面是12时10分，回来是9时整，间隔时间为：
9时－10分=8时50分
李叔叔在上班路上耽搁时间为：
（8时50分－8时10分）÷2=20（分）
时钟上足发条的时间为：3时－10分－20分=2时30分
所以时钟停走的时间为：2时30分－10分=2时20分=140分。

【题目】：
由于温度急剧变化的影响，张伯伯发现他的手表在傍晚快了30秒，可是到了次日清晨，手表又慢了20秒。

这样，他的表实际每天快10秒钟。

假定12月1日早晨，这块表显示的时间正确，那么经过多少天，这块表总共快5分钟？
【解析】：
①这块表最后一天快了30秒后，因为不用等到第二天，不会慢回去。

所以在之前的几天里，这块表一共快了：5分－30秒=4分30秒=270秒。

这块表要快5分钟，经过总天数最少为：270÷10＋1=28（天）。

即至少到12月28日傍晚，这块表共快5分钟。

②5分钟÷10秒=30（天）
因为每经过一天到第二天早上手表快10秒，所以这块表经过30天，到第31天的早上，即12月31日早晨，也正好快5分钟。