旋转变换与反射变换

旋转变换和反射变换

学习目标

1.理解线性变换、矩阵、单位矩阵、零矩阵的概念；

2.掌握旋转变换的矩阵表示和其几何意义。

教学重点：

旋转变换的矩阵表示和其几何意义。

教学过程

探究：

将直角坐标系中所有点绕原点逆时针方向旋转一个角度，若平面内的店P(x,y)经过旋转变换后变成点),(y x p '''，那么如何用P 点的坐标（x,y ）表示),y x p '''的坐标（.

P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的像。

其结果为''x x y y ⎧=-⎨=-⎩，也可以表示为''00x x y y x y

⎧=-+⋅⎨=⋅-⎩。 问题1. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到),(///y x p ,试完成以下任务①写出象/p ；

②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.

事实上，在平面直角坐标XOY 内，很多几何变换都具有下列形式：

dy

cx y by

ax x +=+=// ，其中d c b a ,,,均为常数。我们把形如上式的几何变换叫做线性变换。该式叫做这个线性变换的坐标变换公式。 ),(///y x p 是P （x,y ）在这个线性变换作用下的像。

我们引进正方形数表a b c d ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦，那么上述线性变换可由a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦唯一确定，反之，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

也可以由上述线性变换唯一确定。 像这样，由4个数d c b a ,,,排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

称为二阶矩阵，数d c b a ,,,称为矩阵的元素。 元素全为0的二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000称为零矩阵，简记作0.

矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1001称为二阶单位矩阵，记为2E 。

问题2.把问题2中的旋转30o 改为旋转α

知识应用

设矩阵A=1001-⎡⎤⎢

⎥⎣⎦，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的像。