四川省德阳市2016届高考数学一诊试卷 理(含解析)

2016年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．（0，1]2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件4．已知等比数列{a n}中，若a4=10，a8=，那么a6=（）A．﹣5 B．5 C．±5D．255．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．4806．执行图中的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y 的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．28．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．169．半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．[﹣1，﹣1+]C．[﹣，] D．[﹣， +]10．对于任意实数a，b，定义max{a，b}=，已知在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足当0≤x≤2时，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2] B．[﹣eln2，0）∪（0，eln2]C．[﹣2，0）∪（0，2] D．[﹣e，﹣2）∪（2，e]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在的展开式中的系数等于．12．已知甲、两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m+n= ．13．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是．14．已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为．15．已知函数f（x）=•，g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；④若∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是：≤a≤．其中所有正确结论的序号为．三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2分别是等差数列{b n}的第2项和第4项，数列{b n}的前n项和为T n，求证：1≤＜2．17．已知A、B、C、D是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（﹣，0），B为y轴的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴方向上的投影为．（1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移得到函数g（x）的图象，已知g（α）=，α∈（﹣，0），求g（α+）的值．18．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．19．已知函数f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；（2）是否存在常数m，使得函数f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．20．在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2，设∠ACB=θ，点C到AD的距离为h．（1）当θ=15°，求h的值；（2）求AB+BC的最大值．（3）若△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，求S△ABC．21．已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）在[，]有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g （x1）﹣g（x2）的取值范围．2016年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出函数y=lgx的定义域确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞），∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴A∩B=（0，1]．故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【专题】阅读型．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＞b，取a=2，b=﹣3，推不出a2＞b2，若 a2＞b2，比如（﹣3）2．＞22，推不出a＞b．所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不不要条件．故选D【点评】在本题解决中用到了不等式的基本性质，及举特例的方法．属于基础题．4．已知等比数列{a n}中，若a4=10，a8=，那么a6=（）A．﹣5 B．5 C．±5D．25【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出a6．【解答】解：∵等比数列{a n}中，若a4=10，a8=，∴，解得或，∴a6==（﹣20）（﹣）4=﹣5，（舍）或=20×（）4=5．故选：B．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．480【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；排列组合．【分析】先从5个个部门任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案【解答】解：先从5个个部门任选三个，有C53=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有C53•C42•A33=360，故答案为：360．【点评】本题考查了分步计数原理，如何分步是关键，属于基础题6．执行图中的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5时，退出循环，输出S的值为7．【解答】解：每次循环的结果分别为：n=0，S=0；n=1，S=1；n=2，S=1+1=2；n=3，S=2+1=3；n=4，S=3+2=5；n=5，S=5+2=7，这时n＞4，输出S=7．故选：D．【点评】本题考查程序框图的运算和对不超过x的最大整数[x]的理解．要得到该程序运行后输出的S的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件n＞4？调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序，本题属于基本知识的考查．7．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y 的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．16【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△AB C中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．9．半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．[﹣1，﹣1+] C．[﹣，] D．[﹣，+]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，则•=（1﹣cosθ，1﹣sinθ）•（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+））=cosθcos（θ+）+sinθsin（θ+）﹣（cos（θ+）+sin（θ+））=cos﹣sin（θ+）=﹣sin（θ+），当sin（θ+）=1，即θ=时，取得最小值﹣；当sin（θ+）=﹣1，即θ=时，取得最大值+．即有•的取值范围是[﹣， +]．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．10．对于任意实数a，b，定义max{a，b}=，已知在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足当0≤x≤2时，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2] B．[﹣eln2，0）∪（0，eln2]C．[﹣2，0）∪（0，2] D．[﹣e，﹣2）∪（2，e]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】新定义；数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出当0≤x≤2时，函数f（x）的解析式，然后根据偶函数的性质求出函数在[﹣2，2]上解析式，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的相交问题，结合导数的几何意义求出切线斜率进行求解即可．【解答】解：当1≤x≤2时，2x﹣1＞2﹣x，此时f（x）=2x﹣1，当0≤x≤1时，2x﹣1＜2﹣x，此时f（x）=2﹣x，即f（x）=，若﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，此时f（﹣x）=2﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，﹣2≤x≤﹣1．若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x，﹣1≤x≤0．作出函数f（x）的图象如图：由f（x）﹣mx+1=0得f（x）=mx﹣1，设g（x）=mx﹣1，则当m=0时，f（x）与g（x）没有交点，此时不满足条件．当m＞0时，当x=1，f（1）=1，当x=2时，f（2）=3，当直线经过A（1，1）时，此时m﹣1=1，则m=2，此时g（x）=2x﹣1，g（2）=3，即直线g（x）=2x﹣1经过A，C点，此时两个曲线有两个交点，满足条件，当直线y=mx﹣1与f（x）=2x﹣1相切时，设切点为（k，n），则f′（k）=2k ln2，且2k﹣1=n，则切线方程为y﹣n=2k ln2（x﹣k），即y=（2k ln2）x﹣k2k ln2+2k﹣1，即2k ln2=m，且﹣k2k ln2+2k﹣1=﹣1，即2k ln2=m，且﹣k2k ln2+2k=0，2k ln2=m，且﹣kln2+1=0，即kln2=1，解得k==log2e，则m==eln2，此时直线和f（x）只有一个交点，若时两个曲线有两个交点，则eln2＜m≤2，根据偶函数的对称性知当m＜0时，﹣2≤m＜eln2，综上m的取值范围是[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]，故选：A【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数与方程之间的关系转化两个函数的交点问题，借助导数求出切线的斜率是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在的展开式中的系数等于﹣20 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣1得到系数．【解答】解：展开式的通项T r+1=（﹣1）r22r﹣5C5r x5﹣2r令5﹣2r=﹣1得r=3故展开式中的系数等于﹣2C53=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．12．已知甲、两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m+n= 11 ．【考点】茎叶图．【专题】计算题；图表型；方程思想；概率与统计．【分析】根据两组数据的中位数相等，可得m值，进而求出n值，可得答案．【解答】解：∵两组数据的中位数相同，∴m==3，又∵平均数也相同，∴n=8，∴m+n=11，故答案为：11．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，中位数和平均数，方程思想，难度不大，属于基础题．13．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=b2，∴5=8﹣b2，解得．故答案为．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．14．已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为18 ．【考点】函数的图象．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】将两个交点代入函数y=﹣k|x﹣a|+b方程，得到方程组，将两个方程相减；据绝对值的意义及k的范围得到k，a满足的等式；同样的过程得到k，c满足的等式，两式联立求出a+c的值，再求出b+d，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象交于两点（2，5），（8，3），∴5=﹣k|2﹣a|+b ①3=﹣k|8﹣a|+b ②5=k|2﹣c|+d ③3=k|8﹣c|+d ④①﹣②得2=﹣k|2﹣a|+k|8﹣a|⑤③﹣④得2=k|2﹣c|﹣k|8﹣c|⑥⑤=⑥得|8﹣a|+|8﹣c|=|2﹣c|+|2﹣a|即|8﹣a|﹣|2﹣a|+|8﹣c|﹣|2﹣c|=0设f（x）=|8﹣x|﹣|2﹣x|，则f（a）+f（c）=0，画出函数f（x）的图象，如图，其关于点A（5，0）成中心对称，故点a与点c关于点A（5，0）成中心对称，∴（a+c）=5，∴a+c=10，又∵函数y=﹣k|x﹣a|+b的对称轴为x=a，函数y=k|x﹣c|+d的对称轴为x=c，∴2＜a＜8，2＜c＜8②+③：8=﹣k（8﹣a）+b+k（c﹣2）+d，∴b+d=8，∴a+b+c+d=18故答案为：18．【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值的意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．已知函数f（x）=•，g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；④若∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是：≤a≤．其中所有正确结论的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；函数的值域；函数恒成立问题；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知，求出函数f（x）的值域可判断①；分析函数g（x）在[0，1]上的单调性，可判断②；判断方程f（x）=g（x）在区间[0，1]上解的个数，可判断③；分析出满足：∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立时实数a的取值范围，可判断④．【解答】解：当x≥1时，函数f（x）=•=，f′（x）=，1≤x≤3时，f′（x）≥0，x≥3时，f′（x）≤0，故当x=3时，f（x）取极大值，故此时f（x）∈[0，]，当x≤1时，函数f（x）=•=，f′（x）=﹣1≤x≤1时，f′（x）≤0，x≤﹣1时，f′（x）≥0，故当x=﹣1时，f（x）取极大值，故此时f（x）∈[0，]，综上可得：函数f（x）的值域为[0，]；故①正确；当x∈[0，1]时， x+π∈[π，]，此时函数g（x）为增函数，故②正确；x∈[0，1]时，f（x）=，f′（x）=＜0，故f（x）为减函数，由f（0）=，f（1）=0，可得f（x）∈[0，]，而g（0）=﹣3a+2，g（1）=a+2，故g（x）∈[﹣3a+2， a+2]，当a+2≥0，即a≤时，方程f（x）=g（x）有解，当a+2＜，即a＞时，方程f（x）=g（x）无解，故③错误；若∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则a+2≥0，且﹣3a+2≤；解得：≤a≤．故④正确；故答案为：①②④，故答案为：①②④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的值域，函数恒成立问题，方程的根，函数的单调性，难度中档．三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2分别是等差数列{b n}的第2项和第4项，数列{b n}的前n项和为T n，求证：1≤＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列的通项公式及其“裂项求和”、不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵a n+1=S n+2，n∈N*．∴当n≥2时，a n=S n﹣1+2，可得a n+1﹣a n=a n，化为a n+1=2a n．又a2=a1+2，满足a2=2a1，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．（2）证明：设等差数列{b n}的公差为d，∵b2=a1=2，b4=a2=4，∴4﹣2=2d，解得d=1．∴b n=b2+（n﹣2）×1=n．∴T n=，∴ ==2．∴=2+…+=．∵1≤＜2．∴1≤＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知A、B、C、D是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（﹣，0），B为y轴的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴方向上的投影为．（1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移得到函数g（x）的图象，已知g（α）=，α∈（﹣，0），求g（α+）的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据函数想性质得出最大值点的横坐标为，A（﹣，0），得出周期T=π，T=，即可ω，运用A（﹣，0），sin（﹣+φ）=0，得出φ=kπ+，k∈z，即可求解函数解析式，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z即可解得单调递减区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），结合角的范围可求cos2α，sin2α，利用两角和的余弦函数公式即可求值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵如图所示，A（﹣，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，∴根据对称性得出：最大值点的横坐标为，∴=+，T=π，∵T=，∴ω=2，∵A（﹣，0）在函数图象上，∴sin（﹣+φ）=0，解得：﹣ +φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，∴φ=，故可得函数f（x）的解析式为：y=sin（2x+）．∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z即可解得单调递减区间为：[kπ，k]，k∈Z．（2）∵由题意可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x．∴g（α）=cos2α=，∵α∈（﹣，0），∴2α∈（﹣，0），可得sin2α=﹣，∴g（α+）=cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=﹣（﹣）×=．【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，运用特殊点求解参变量的值，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】．（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此得ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而能求出ξ的分布列和期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：800×0.38=304（人）．（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：Eξ==．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和等可能事件概率计算公式的合理运用．19．已知函数f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；（2）是否存在常数m，使得函数f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程，再判断方程是否有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）证明：由f（x）=ax3+bx2+cx﹣b得f（﹣x）=﹣ax3+bx2﹣cx﹣b，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax3+bx2+cx﹣b﹣ax3+bx2﹣cx﹣b=0得到关于x的方程2bx2﹣2b=0，b≠0时，x=±1当b=0，x∈R等式恒成立，所以函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；（2）∵f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3∴f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是 4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：，解得，化简得≤m≤2．【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题．20．在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2，设∠ACB=θ，点C到AD的距离为h．（1）当θ=15°，求h的值；（2）求AB+BC的最大值．（3）若△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，求S△ABC．【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（1）在△ACD中使用正弦定理求出CD，则h=CDsin∠ADC；（2）在△ACD中使用正弦定理求出AC，在△ABC中使用正弦定理用θ表示出AB，BC，将问题转化为三角函数的最值问题求解；（3）△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合可知四点共圆，从而求出∠ACB和∠BAC，使用正弦定理解出各边，带入面积公式．【解答】解：（1）∠BAC=180°﹣120°﹣15°=45°，∠CAD=90°﹣∠BAC=45°，∴∠ADC=75°．在△ACD中，由正弦定理得：，∴CD==2．∴h=CD•sin∠ADC=2•sin75°=+1．（2）∠BAC=60°﹣θ，∴∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°﹣θ．在△ACD中，∵，∴，解得AC=4cosθ．在△ABC中，∵，∴．解得AB=，BC=4cos2θ﹣，∴AB+BC=4cos2θ+=2cos2θ+sin2θ+2=sin（2θ+φ）+2．∴当sin（2θ+φ）=1时，AB+BC取得最大值+2．（3）∵△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，∴A，B，C，D四点共圆．∴∠BCD=90°，∠ACB=∠BAC=∠D=30°，在△ABC中，∵，∴AB=BC=2，∴S△ABC==．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．21．已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）在[，]有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g （x1）﹣g（x2）的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，当a=1 时，求出f′（x），判断函数的单调性，求解函数的最小值即可．（Ⅱ）化简求解f′（x）=，通过（1）当﹣2＜a≤0时，（2）当a=﹣2时，（3）当a＜﹣2时，分别求解函数的单调性即可．（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a恒成立，转化方程为f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1构造g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数，利用导数求解函数的最小值，导函数的符号，判断证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），…当a=1 时，f′（x）==…∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0．∴f（x）在x=2时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）=﹣2ln2…（Ⅱ）∵f′（x）=x﹣+（a﹣2）==…∴（1）当﹣2＜a≤0时，若x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（﹣a，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．（2）当a=﹣2时，x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数；（3）当a＜﹣2时，x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（2，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数…（Ⅲ）证明：假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a恒成立，不妨设0＜x1＜x2，只要＞a，即：f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1令g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数又函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2x．考查函数g′（x）=x﹣﹣2）==…要使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a≥0，即a≤﹣，…故存在实数a∈（﹣∞，﹣]时，对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a恒成立，…【点评】本题考查函数的导数的是的单调性综合应用以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。