线性化理论

对于非线性特征明显的对象，需要先将非线性系统进行线性化，才能应用常见的线性分析方法。IAS 系统中，空气弹簧的作用力与所施加激励之间存在明显的非线性关系，而减振器作用力与施加激励也存在非线性关系，所以IAS 系统是典型的非线性系统。

精确线性化方法通过恰当的非线性状态反馈和非线性坐标变换（或动态补偿），将一个非线性系统变换成(部分或全部地)线性系统。精确线性化方法基于微分几何理论，通过对系统输入输出的解耦，实现非线性系统的线性化。在非线性系统线性化后，可引入相关的控制理论实现对减振器阻尼的切换。

在介绍精确线性化方法前，先介绍两个概念：李导数、相对阶。

设如下n 阶非线性系统

()()()

x f x g x u y h x =+⎧⎨=⎩ 其中，状态量0x X ∈，,f g 为n 维光滑向量场h 为光滑函数。n x ∈R ，系统的输入1u ∈R ，系统的输出1y ∈R 。

(1) 李导数（Lie Derivative ）

对系统（3.25）的输出方程求导数

(()())()()f g dh

dh

y x f x g x u L h x L h x u dx dx ==+=+ (0.1)

在式（3.17）中，定义()()f dh L h x f x dx ∆

=，()()g dh L h x g x dx ∆=为李导数，f L 代表()h x 沿着

系统的轨迹的导数。

(2) 相对阶（relative degree ） 定义3.2（相对阶）： 0x X ∈，如果存在0x 的邻域V 及正整数r 使（3.16）满足以下两个条件：

① ()0k g f L L h x =,x V ∀∈,01k r ≤<-；

② 1()0r g f L L h x -≠, x V ∀∈；

则称系统（3.16）的相对阶为r 。

以单输入单输出系统（SISO ）为例，说明精确线性化原理：利用系统的输出方程得到所需要的坐标变化和状态反馈，实现系统的精确线性化【徐兴大论文，89-91】。

对输出y 求导，假如在1r -次及以前不出现u ，而在r 次时方程中出现输入量u ，即

. (0.2)

如果继续对式3-18求导，则会出现u 的高阶导数，此时r 就是系统式（3.16）的相对阶数。由此可以发现，相对阶r 就是系统输入和输出之间的积分次数，更加直观地揭示其物理意义错误！未找到引用源。。假如r n =，此时可以选择如下的坐标变换()x φ

(1)()r y

y z x y φ-⎧⎪⎪==⎨⎪

⎪⎩ (0.3)

则原系统简化成如下形式

12231(,,)n n n z

z z z z f z z u =⎧⎪=⎪⎨

⎪⎪=⎩

(0.4)

对于其中的最后一式，再引入“虚拟输入量”v ，令

1(,,)()n f z z u v t = (0.5)

则原系统可以完全线性化为如下的一组积分器串联的最简形式

1223n z

z z z z v =⎧⎪=⎪⎨⎪

⎪=⎩ (0.6)

对于系统（3.22），可以按照线性系统理论来设计其输入()v t 。然后由式（3.21）可以解得原系统的精确线性化控制律为

1()(,,)n u t g z z u = (0.7)

而对于相对次数r n <的系统，可以按照类似的方法进行设计。