平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |

成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |

(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b |

，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b |

成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

[答案] (1)C (2)D

[易错提醒]

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

突破点(二) 平面向量的线性运算

1．向量的线性运算：加法、减法、数乘

2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .

平面向量的线性运算

[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )

A.13b ＋23c

B.53c －23b

C.23b －13c

D.23b ＋13

c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋29

AC ，则实数m 的值是________．

[解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC ＝23

(b －c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选D.

(2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29

AC ＝m AB ＋23AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13

. [答案] (1)D (2)13

[方法技巧]

1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．

平面向量共线定理的应用

[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．

(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．

(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．

[解] (1)证明：因为AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ，所以AB ，BD 共线． 又AB 与BD 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．

(2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线，所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，

即⎩

⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用

(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．

突破点(三) 平面向量基本定理

平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

基底的概念 [例1] 如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )

A ．e 1与e 1＋e 2

B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2

C ．e 1＋e 2与e 1－e 2

D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1

[解析] 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩

⎪⎨⎪⎧

1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ，1＝－λ

无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案] D

[易错提醒]

某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量． 平面向量基本定理的应用

[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的

中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ＝( )

A.12a ＋12b

B.13a ＋23b

C.27a ＋47b

D.47a ＋27

b [解析] 如图，连接BP ，则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①

AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②

①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB ，③

又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝⎛⎭⎫a －12

AP ，④ 将④代入③，得2AP ＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎫a －12

AP ， 解得AP ＝27a ＋47

b .[答案] C