随机向量的联合分布函数

1



180 160 20
4
1 14
1 0.84134
0.00634.
FX (x) F(x, ) P(X x,Y ) P(X x)
FY ( y) F(, y) P( X ,Y y) P(Y y)
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
特别
在f(x,y)的连续点有
2F(x, y)
f (x, y)
xy
D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求U=|X−Y|的概率密度
函数.
y
当
y
y - xy=-ux= u
解 (X ,Y ) 的联合概率密度函数为
3
y-x= y - x= -u -u
f
(
x,
y)

1 4
,
1 x 3,1 y 3;
0,
其他
1
o
1
3
图2.2.2

f
(x,
y)

fX
(x) f
Y( y)
连续型
定理2(常用结论)若X与Y相互独立，则它们的连续 函数g(X )与h(Y)也相互独立。
例1 设随机变量X 和Y 相互独立,试将下表补充完整.
Y X
y1
y2
y3 pi
x1 1/24 1/8 1/12 1/4 x2 1/8 3/8 1/4 3/4
p j 1/6 1/2 1/3 1
定义1 称随机变量序列X1,X2, ···,X n, ···为相互独立的,如 果它们中任意m(m=2,3, ···)个随机变量都是相互独立的.
定义2 若每个X i(i=1,2, ···)的分布也相同,则称之为独立同 分布的随机变量序列.
七、离散型随机向量函数的分布 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，则 X+Y～ B(n1+n2,p) 若X,Y相互独立,X ～ P(λ1),Y ～ P(λ2),则 X+Y ～ P(λ1+λ2)
xx
因此当 u 0 时， F(u) 0
0 u 2 时，积分区域如图阴影部分，于是有
F(u)
f ( x, y)dxdy
1 dxdy 1 [4 (2 u)2] u u2 .
|x y|u
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4 |x y|u
4
4
当 u 2 时， F(u) 1.
四、 随机变量的相互独立性
定义 称随机变量X,Y相互独立,若对任意a<b,c<d有
P{a X b,c Y d} P{a X b}P{c Y d}
定理1 随 机 变 量X与Y是 相 互 独 立 的
pij pi p j (i, j) 离 散 型
或P( X xi ,Y y j ) P( X xi )P(Y y j )
五、n个随机变量独立性的概念与性质
定义 称n个随机变量X1,X2,···,X n相互独立,若对任意a i<b i ( i=1,2, ···, n), 有
P{a1<X1<b1 , a2<X2<b2 , ···, a n<X n<b n}
特别
=P{a1<X1<b1} ·P{a2<X 2<b 2} ···P{a n<X n<b n}
a1,a2, ···,an不全为零,则
n
n
n
ai X i ~ N ( ai i , ai2 i2 )
i 1
i 1
i 1
特别, 若X1,X2, ···,Xn独立同正态分布N(μ,σ2) ,
记:X

1 n
n i 1
Xi ,
则
X ~ N(, 2 )
n
抽样基本定理(1)
八、用分布函数法求随机变量函数的概率密度函数
例3 设某种型号的晶体管的寿命（以小时计）近似地服从 正态分布N(160,202)，现从中随机地取4只，求其中没有1只 晶体管的寿命小于180小时的概率。
解 P(X1 180) P(X2 180) P(X3 180) P(X4 180)
[1 P( X1 180)]4
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy
则相应的联合分布函数为 F ( x, y)
f (s,t)dsdt
- -
二、联合分布函数性质
Px1 X x2 , y1 Y y2
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 )
F( x2 , y2 ) F( x1, y1 )
F ( x, y)的性质
(1) 0 F( x, y) 1; (2) F(, ) 1；
(3)F(, ) F(, y) F( x, ) 0.
三、联合分布函数与边缘分布函数的关系
定义 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),则称
若X1,X2独立, X1 ～ N(μ1,σ12), X2 ～ N(μ2,σ22), 则 X1+X2 ～ N(μ1+μ2,σ12+σ22)
相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
第3.2节 随机向量的联合分布函数
一、联合分布函数 二、联合分布函数与边缘分布函数的关系 三、联合分布函数与边缘分布函数的关系 四、随机变量的相互独立性 五、 n个随机变量独立性的概念与性质 六、随机变量序列独立性的概念 七、离散型随机向量函数的分布 八、用分布函数法求随机变量函数的概率密度函数
一、联合分布函数
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域