随机向量的联合分布函数
第二章随机向量总结
fY ( y) f 2 ( y) f ( x, y)dx
事实上, (1)f1(x)≥0, (2) 若a<b,则
b
P{a<X<b}= P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= dx f ( x, y )dy
返回
例2.1.2.设随机变量Y~N（0，1），令
0, | Y | 1
0, | Y | 2
X 1 1,
|Y
|
, 1
X
2
1,
| Y | 2
求（X1，X2）的联合概率分布。
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) =-2Φ(2)=0.0455
i
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
分布表如下:
返回
Y X
y1 y2 y j
p. i.
x1 p11 p12 p1 j p1. x2 p21 p22 p2 j p2.
xi pi1 pi2 pij pi.
返回
二维联合概率分布区域图: Y
2
1
P(X≤1,Y≤1}
-1
0
P{X≥0,Y≤1}
1
X
返回
3、边缘概率分布
(1) 定义:随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关
于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。
联合分布函数
解:F (, ) A[B ][C ] 1
2
2
F ( ,
y)
A[B
][C
arctg(
y )]
0
2
3
F ( x, ) A[B arctg( x )][C ] 0
2
2
1
BC 2
A2
P{0 X 2,0 Y 3} F (0,0) F (2,3) F (0,3) F (2,0) 1 16
概率与统计
第十讲 二维随机变量
开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页
2.4 二维随机变量
一、 多维随机变量 1.定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一
个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为 n维随机变量。
others
y1
1x
1
P{ X
Y}
0
dx 1 dy
0
2
1x
例3.
设
Ae(2x3 y) , x 0, y 0
(X,Y ) ~ f (x, y)
0, 其 它
求：(1)常数A；(2) F(1,1)；
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6
2、联合密度f(x, y)的性质(p78)
(1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2;
(2)归一性： f (x, y)dxdy 1; － －
反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是 某个二维连续型随机变量的密度函数。
此外，f (x, y)还有下述性质
概率论与数理统计-东北师范大学考试及答案
《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布； 错2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；错 3．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 错4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 错 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；错6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 对7．B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 对 8．已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ； 错9．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X ++=μ是μ的无偏估计量； 错10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。
对 二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDX3．是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,,0,1)(其他b x a a b x f4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =73.0 ；5．设随机变量X 的概率分布为则a 6．设随机变量X 的概率分布为7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)(==Y E a X E ，则)(XY E8．设1θ 与2θ 是未知参数θθ满足)()(21θθ D D <，则称1θ 比2θ有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σμN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0μμ=：H 00)(σμ-X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α（10<<α），则犯第一类错误的概三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
随机过程参考题
2014-2015随机过程参考题一.判断题1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11n nk k k k E X E X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∏∏． （ ）3．若12(,,)n F x x x 是随机向量1=,,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是单调不减的． （ ） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布． （ ）7．复合P o i s s o n 过程一定是计数过程． （ ） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（ ） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ） 12．对独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11n nk k k k Var X Var X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∏． （ ）13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。
（ ）14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过程． （ ） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（ ） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数． （ ） 19．马尔科夫链具有无后效性． （ ） 20．Poisson 过程是更新过程． （ ） 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。
高等数学3.2 分布律
解 由题设已知 X = i , Y = j的取值情况是 :
i = 1, 2, 3, 4, j 取不大于 i 的正整数, 且
P X = xi , Y = y j = P X = xi P Y = y j X = xi
11 = , 4 i i =1, 2 , 3 , 4; j i
j
Y j
同理 P
=P Y =y
j
P =
i
j
ij
,j = 1,2,
Y 通常称 Pi X (i =联合分布
布律 Pi j 的边缘分布 . 在联合分布律表中, Pi X 是联合 分布的行和, PjY 是联合分布的列和 .
例3.1设随机变量X在1,2,3,4 中等可能地取一个值, 另一个随机变量Y在1～X 中等可能地取一整数值. 试求 (X , Y)的联合分布律.
第三章 随机变量的联合概率分布
3. 2 分布律
一、定义3.3: 若二维随机向量(X , Y)只取有限个或可列个数 , 则称(X , Y)为二维离散型随机向量 . 注 (X , Y)为二维离散型随机向量 X , Y 均为离散型随机变量 当且仅当
二、定义3.4: 设随机向量(X , Y)的所有可能取值为 (xi , yj) (i , j =1 , 2, …) , 若已知
(1) pi j 0 ;
(2)
p
i j
i j
=1 .
对于二维离散型随机变量而言, 联合分布律要比
联合分布函数更直观, 更便于确定( X ,Y )在某一
区域D上取值的概率, 事实上, 有
P ( X , Y ) D =
( xi , y j )
pi j ,
同时由联合分布律还可求出联合分布函数:
北邮概率论与数理统计3.2边际分布
§3.2 边缘分布二维随机向量),(Y X 的联合分布（联合分布函数或联合分布列或联合概率密度）完整地刻画了随机变量X 和Y 作为一个整体的概率分布规律。
为应用方便，我们还需要从这个完整的信息中挖掘出某些方面的信息。
这个完整的信息中包含如下信息：（1）每个分量（或部分分量）的概率分布，即边缘分布。
（2）各分量之间的统计联系。
本章将要介绍的随机变量的独立性，及条件分布以及下一章介绍的相关系数就是用来反映和描述他们的统计联系.一．边缘分布 1.边缘分布函数设二维随机向量),(Y X 具有联合分布函数为),(y x F ，而X 和Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为)(x F X 和)(y F Y ,依次称为为),(Y X 关于X 和关于X 的边缘分布函数. 由概率的性质可得),(),(lim },{}{+∞==∞<≤=≤∆+∞→x F y x F Y x X P x X P y可见由),(Y X 的联合分布函数),(y x F 可以X 的边缘分布函数: ),()(+∞=x F x F X (1) 类似地可得),(Y X 关于Y 的边缘分布函数为),()(y F y F Y +∞= (2) 例3.2.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x这个分布称为二维指数分布，其中参数0≥λ，求边缘分布函数。
解：易得X ，Y 的边缘分布函数分别为⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(y y e y F y F y Y这两个边缘分布同为指数分布，且与参数λ无关。
这说明边缘分布确定不了联合分布。
也说明联合分布中不仅含有每个分量的信息，还含有各分量之间统计联系方面的信息。
2．边缘分布律如果),(Y X 为二维离散型随机向量，那么它的每个分量都是离散随机变量。
随机向量及其分布【概率论及数理统计PPT】
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
大学概率论第三章----随机向量
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
3_1随机向量的联合分布
x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为
0
f ( x, y )dxdy 1
所以
1
0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
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例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,
1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
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二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
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一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
第3章 第三章随机向量
3 x, 0 x 1, x y x, p ( x, y ) 2 0, 其他 .
问X, Y是否独立？ 解
x 3 2 x x d y 3 x , 0 x 1, p X ( x ) p ( x, y ) d y 2 0, 其他 .
例3 设 (X, Y) 的联合分布列如下, 问X, Y是否独立？
X Y
0 1 2
1 2 20 2 20 4 20
0 1 20 1 20 2 20
2 2 20 2 20 4 20
解
X p
易得X和Y的边缘分布律分别为：
0 1 4 1 1 4 2 2 4 Y p 1 2 5 0 1 5 2 2 5
3.4 条件分布与随机变量的独立性
e
dt
1 e 2
( x ).
pY ( y )
1 e 2
y2 2
( y ).
本节
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3.3 连续型随机向量及分布
本章
上页
下页
3.4 条件分布与随机变量的独立性
1.离散型条件分布
2.连续型条件分布
3.随机变量的独立性
本章
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3.4 条件分布与随机变量的独立性
( xi , yi )(i, j 1,2,), 且 P( X xi ,Y y j ) pij ,
则我们把它称为(X,Y)的联合分布列.
本节
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3.2 离散型随机向量及分布
联合分布列:
X
Y
x1 xi
二维随机变量及其联合分布函数
定义域为 全平面
定义2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数 F( x, y) = P{( X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)} = P{X ≤ x,Y ≤ y} (( x, y ) ∈ R 2 ) 为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随 机变量X和Y的分布函数或联合分布函数。 分布函数 F ( x, y ) 在点
E-mail: xuxin@
注
意
因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y 而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作 为一个整体来研究. 类似于一维随机变量,我们也可利用“分布 函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离 散型与连续型来加以分析.
E-mail: xuxin@
P{( X , Y ) ∈ G} =
( xi , y j )∈G
∑ P{ X = x , Y = y }
i j
F ( x, y )
E-mail: xuxin@
三、二维连续型随机变量
1、概念
定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ) 如果存在非负函数 f ( x, y )，使得对任意的X， Y均有 y x
⎧(1 − e −2 x )(1 − e − y ), x > 0, y > 0, =⎨ 其它, ⎩0,
E-mail: xuxin@
(3)求概率P{Y≤X}. 只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 区域 G={(x,y)|y≤x} 的交集D上积分. 由公式
P{( X , Y ) ∈ G} = ∫∫ f ( x , y ) dxdy .
G
得: P{Y ≤ X } =
x = 2 ∫ e−2 x dx∫ e− y dy = 2 ∫ e−2 x ⋅ (−1)e− y |0 dx 0 0 0
概率论第3章 随机向量及其分布
例3 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回 两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
设(X, Y)的联合分布律为P{X=xi , Y=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(X, Y)关于X的边缘分布律有
PX xi PX xi ,Y
P X xi , (Y y j )
j 1
P ( X xi ,Y y j )
FX1,X2,L ,Xn x1, x2,L , xn P : X1() x1, X 2 () x2,L , X n () xn
I P : n Xi () xi
i 1
定理3.1.1 设,F, P为概率空间, 随机向量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数为FX1,X2,L ,Xn ,则
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
定理3.1.2 设,F, P为概率空间, X1, X 2,L , X n
为其上的随机向量。
(1) 若X1, X 2,L
,
X
都为离散型随机变量，有分布列
n
P Xi aji ，j 1,2,L ，i 1,2,L ,n，
第6节随机向量函数的分布
例:设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 X0 1
11
p
22
试求 Z maxX ,Y的分布律.
解:Z 可能取的值为 0,1,而 P Z 0 P max X ,Y 0 P X 0,Y 0
P X 0 P Y 0 1 1 1
步骤
2.
fZ
z
FZ'
0，
z ， FZ存在
FZ不存在
y
例(和的分布):设 X ,Y 的联合概率密度为
f x, y ,求 Z X Y 的概率密度 fZ z .
z
解: FZ z P X Y z f x, ydxdy D
第 6 节.随机向量函数的分布
本节讨论已知 X ,Y 的联合分布, g x, y 为实值函数,求 Z g X ,Y
的分布,基本方法:分布函数法,即根据事件相等概率相等原则,将函数的 概率转化为随机自变量的相应概率.
一. 离散型随机向量函数的分布:
例:设 X ,Y 的联合分布律为
X+Y -2
0
1
1
3
4
X-Y 0
-2
-3
3
1
0
从而得到
(1) X+Y -2 0 1 3 4
P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
X-Y -3 -2 0 1 3
(2)
P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
例:设 X,Y 离散相互独立, X ~ P 1 ,Y ~ P 2 ,求 Z X Y 的分布律.
i 1
随机向量的知识
P{X 1,Y 0} P{X 1,Y 1} F(0,0) P{X 0,Y 0} 0.3 0.1
二维连续型随机向量及其概率密度
• 设 (X ,为Y)二维随机向量, 若存在一个非负可积的二
注 (X ,Y为) 二维离散型随机向量当且仅当 X均,为Y 离 散型随机变量.
• 联合分布律的性质： pij 0 i, j 1,2,
pij 1
i1 j 1
• 由联合分布律确定联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y} pij xi x, y j y
例 F(x2, y2 ) ?
{}
上的两个随机变量, 则称 (X为,Y二) 维随机变量或二维
随机向量。
二维随机向量的联合分布函数
设(X ,是Y )二维随机向量, 对任意实数 ,x二, y元函数
F(x, y) PX x (Y y) 记为PX x,Y y
称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数.
联合分布函数的性质
1. F(x是, y) 的x,不y 减函数，即
x1 时x2， F(x1, y) F(x2 , y) y1 时y，2 F(x, y1) F(x, y2 ) 2. 0 F(x, y) 1 F(, y) F(x,) F(,) 0 F(,) 1
3. F(x关, y)于 均x,为y 右连续，即
F(x, y) F(x 0, y), F(x, y) F(x, y 0)
（4）
例4 设随机向量 (X ,Y ) 的联合密度函数为
Ke(3x4 y) x 0, y 0
f (x, y)
0
else
10-第10讲 随机向量函数的分布
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第10讲 随机向量函数的分布
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第三章 随机向量及其分布
理解多维随机变量的定义。 理解多维随机变量的分布函数及其性质。 了解多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握多维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、随机变
FY(y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y } FX( y ) FX( y ).
将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为
1 2 y [fX( y ) fX( y )], fY(y) 0,
例如设X~N(0,1), 其概率密度为
时上述积分的被积函数不等于零.
x x=10
x=z
x=z10
O
10
20
z
z 因此 f(z)f(z x)dx, 0 z 10, 0 10 fR(z) f(z)f(z x)dx, 10 z 20, z10 0, 其它. 将f(z)的表达式代入上式得
10 x 50 , 0 x 10, f(x) 0, 其它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
解 由(5.4)式, R的概率密度为
fR(z) f(x)f(z x)dx.
易知仅当
0 x 10, 0 x 10, 即 0 z x 10, z 10 x z
i
~N(0,1) (i 1,2, ,n), 则称随机变量
χ X X X
2 2 1 2 2
2 n
服从自由度为n的c2分布, 记为c2~c2(n).
随机向量
布. 2） X , X ,, X ) ~ F ( x , x ,, x ) （ ( 1 2 n 1 2 n
Fi ( xi ) F (,, , xi , ,, ),
i 1, 2, , n
例3.1.1 设二维随机向量 X , Y 的联合分布 函数为
对于x,当y2 y1时，有F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
3 F ( x, y)关于变量 x 和 y 右连续。
o
即F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4 0 F ( ,) xlim F ( x , y ) 1.
即 P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
xi x , y j y
pij
4、边缘概率分布
p P{ X xi } P{ X x ,Y } i
X i
P{ X xi ,Y y j } pij , i 1, 2,
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0,
x
y
x
o y
x
F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个 二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。
x, y
x
记作( X , Y ) ~ F ( x, y)
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相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy
则相应的联合分布函数为 F ( x, y)
f (s,t)dsdt
- -
二、联合分布函数性质
Px1 X x2 , y1 Y y2
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 )
例3 设某种型号的晶体管的寿命（以小时计）近似地服从 正态分布N(160,202)，现从中随机地取4只，求其中没有1只 晶体管的寿命小于180小时的概率。
解 P(X1 180) P(X2 180) P(X3 180) P(X4 180)
[1 P( X1 180)]4
D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求U=|X−Y|的概率密度
函数.
y
当
y
y - xy=-ux= u
解 (X ,Y ) 的联合概率密度函数为
3
y-x= y - x= -u -u
f
(
x,
y)
1 4
,
1 x 3,1 y 3;
0,
其他
1
o
1
3
图2.2.2
定义1 称随机变量序列X1,X2, ···,X n, ···为相互独立的,如 果它们中任意m(m=2,3, ···)个随机变量都是相互独立的.
定义2 若每个X i(i=1,2, ···)的分布也相同,则称之为独立同 分布的随机变量序列.
七、离散型随机向量函数的分布 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，则 X+Y～ B(n1+n2,p) 若X,Y相互独立,X ～ P(λ1),Y ～ P(λ2),则 X+Y ～ P(λ1+λ2)
FX (x) F(x, ) P(X x,Y ) P(X x)
FY ( y) F(, y) P( X ,Y y) P(Y y)
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
特别
在f(x,y)的连续点有
2F(x, y)
f (x, y)
xy
f
(x,
y)
fX
(x) f
Y( y)
连续型
定理2(常用结论)若X与Y相互独立，则它们的连续 函数g(X )与h(Y)也相互独立。
例1 设随机变量X 和Y 相互独立,试将下表补充完整.
Y X
y1
y2
y3 pi
x1 1/24 1/8 1/12 1/4 x2 1/8 3/8 1/4 3/4
p j 1/6 1/2 1/3 1
xx
因此当 u 0 时， F(u) 0
0 u 2 时，积分区域如图阴影部分，于是有
F(u)
f ( x, y)dxdy
1 dxdy 1 [4 (2 u)2] u u2 .
|x y|u
4 |x y|u
4
4
当 u 2 时， F(u) 1.
四、 随机变量的相互独立性
定义 称随机变量X,Y相互独立,若对任意a<b,c<d有
P{a X b,c Y d} P{a X b}P{c Y d}
定理1 随 机 变 量X与Y是 相 互 独 立 的
pij pi p j (i, j) 离 散 型
或P( X xi ,Y y j ) P( X xi )P(Y y j )
第3.2节 随机向量的联合分布函数
一、联合分布函数 二、联合分布函数与边缘分布函数的关系 三、联合分布函数与边缘分布函数的关系 四、随机变量的相互独立性 五、 n个随机变量独立性的概念与性质 六、随机变量序列独立性的概念 七、离散型随机向量函数的分布 八、用分布函数法求随机变量函数的概率密度函数
一、联合分布函数
五、n个随机变量独立性的概念与性质
定义 称n个随机变量X1,X2,···,X n相互独立,若对任意a i<b i ( i=1,2, ···, n), 有
P{a1<X1<b1 , a2<X2<b2 , ···, a n<X n<b n}
特别
=P{a1<X1<b1} ·P{a2<X 2<b 2} ···P{a n<X n<b n}
a1,a2, ···,an不全为零,则
n
n
n
ai X i ~ N ( ai i , ai2 i2 )
i 1
i 1
i 1
特别, 若X1,X2, ···,Xn独立同正态分布N(μ,σ2) ,
记:X
1 n
n i 1
Xi ,
则
X ~ N(, 2 )
n
抽样基本定理(1)
八、用分布函数法求随机变量函数的概率密度函数
1
180 160 20
4
1 14
1 0.84134
0.00634.
F( x2 , y2 ) F( x1, y1 )
F ( x, y)的性质
(1) 0 ；
(3)F(, ) F(, y) F( x, ) 0.
三、联合分布函数与边缘分布函数的关系
定义 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),则称