动能定理的综合应用

普遍定理的综合应用举例

例13-7 图13.1所示滚轮重3P ，半径为2r ，对质心的回转半径为C ρ，半径为1r 的轴颈沿AB 作无滑动滚动。滑轮重2P ，半径为r ，回转半径为ρ，物块重1P 。求：（1）物块的加速度；（2）EF 段绳的张力；（3）D 处约束力。

解：（1）系统在任意位置的动能 设 1()T C =常量

2

2

22223312221

11112222C C C P P v P P T v v g g g g r ρωρ=+++

式中112

,C r v

v v r r r ω==+，代入上式

2

222331

212222121212()()C P P P P r T v g g r g r r g r r ρρ⎡⎤=+++⎢⎥++⎣⎦

令222

33

121

222

1212()()

C P P P P r M g g g g r r r r r ρρ=+++++（当量质量或折合质量）， 则 221

2

T Mv =

由动能定理2112T T W -=，有

2111

2

Mv T Ps -= 两边对时间t 求导数，得

1Mva Pv =

所以重块的加速度为

1

1

22

2

11232

2

12()C P P a g M

r P P P r r r ρρ

=

=++++

（2）假想将EF 段绳子剪断，以滑轮与重物为研究对象，如图13.所示。由动量矩定理

221

1T d d P P rv Pr F r t g g ρω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

图

13.1

图13.19

绳子张力为

221T 12

P P F P a g g r

ρ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （3）以滚轮为分析对象，受力图如图13.2所示。由质心运动定理，有

3

T N 30C P a F F

g

F P

⎧=-⎪⎨⎪=-⎩

得：

331T T 12

C P P r

F F a F a g g r r =-=-+

N 3F P =

例13-8 如图13.3所示，三个均质轮B 、C 、D 具有相同的质量m 和相同的半径R ，绳重不计，系统从静止释放。设轮D 做纯滚动，绳与轮B 、C 之间无相对滑动。绳的倾斜段与斜面平行。试求：在重力作用下，质量为m 的物体A 下落h 时轮D 中心的速度和加速度，并求绳DE 段的拉力？

解：（1） 取整体为研究对象，根据动能定理有 10T =，

222222

2111111222222

A B B B C C D D D T mv mv J J mv J ωωω=

+++++ 其中 21

2

B C D J J J mR === D C D v R ωω==，2D B v R

ω= 2

D

A B B v v v R ω===， 外力作功为

122sin 2(1sin )W mgh mgh mg h mgh αα=+-⋅⋅=-

又

2112T T W -=⇒

2

212(1sin )16

D mv mgh α=- ————（a ） 所以

图

13.2

图13.3

D v =

对（a ）式两边对时间t 求导数，其中

d d 2D A v h

v t ==,d d D D v a t

=, 所以

8(1sin )21

D g

a α=

- （2）再取D 轮为研究对象，受力运动分析如图：O 点为D 轮的瞬心，根据转动微分方程有

(sin )o D DE J T mg R αα=-

其中D D a R α=，221

2

o J mR mR =+ 所以

(43sin )7

DE

mg

T α=+

图13.4

动力学习题课

一、在图示机构中，均质轮C 作纯滚动，半径为r ，重为G ，轮B 的内径为r ，

外径为R ，对其中心轴的回转半径为ρ，重为P 。物A 重为W ，斜面倾角30α=︒，绳子的倾斜段与斜面平行，系统从静止开始运动，试求：（1）物块A 下落S 时轮C 中心的速度，加速度，（2）绳子AD 段的张力。

解：（1）取整体为研究对象，由动能定理，10T =，

222

22112222C C C B B A G W T J v J v g g

ωω=

+++ 其中：C C v r ω=

，c A B v v r R ω==2

2C G J r g

=，2B P J G ρ= 所以 222

2221(322)4C R T G P W v g r r ρ=++

外力做功

12sin W W S G l α=⋅-⋅， 其中 r

l S R

=

由动能定理 2112T T W -=⇒ 222221(322)(sin )4C R r

G P W v W G S g r r R

ρα++=-⋅ ——

（a ）

)

C v =对（a ）式两边求导数有：

22221(322)(sin )2C C dv R r ds

G P W v W G g r r dt R dt

ρα++=-⋅ 其中 21()2C C C d v v dv =，A C ds R

v v dt r ==，C C dv a dt

= 所以 222

2(s i n )

322C g r W R G r a G r P W R

αρ-=++， 又因为 A C R a a r =⇒ 2222(s i n )322A g R W R G r a G r P W R

αρ-=++