古典概型与几何概型(基础复习模拟题练习)

课题：古典概型与几何概率

考纲要求：

① 理解古典概型及其概率计算公式；② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；③了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；④了解几何概型的意义. 教材复习

1.古典概型：把同时具有：“()1每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每次试验只出现其中一个结果；()2每一个结果出现的可能性相同”的两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：

基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ；②事件A 包含的基本事件的个数m ； ③由公式n

m A P =)(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的..

2.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.

基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.

几何概型的计算：()P A = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A

3.随机数：是在一定范围内随机产生的数，并且在这个范围内得到每一个数的机会相等. 随机数的一个重要应用就是用计算机产生随机数来模拟设计实验.

模拟是利用模型来研究某些现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力、物力. 典例分析：

考点一古典概型的概念

问题1．判断下列命题正确与否：

()1 掷两枚硬币，可能出现“两个正面”

，“两个反面”，“一正一反”3种结果；()2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能行相同；()3从4,3,2,1,0,1,2----中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同；

()4分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同；

()55人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同.

考点二古典概型的概率

问题2．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：()1 基本事件总数；()2事件：“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？()3“摸出2个黑球”的概率是多少？；

问题3．同时掷两个骰子，计算：()1一共有多少种不同的结果？()2其中向上的点数之和是5的结果又多少种？()3“向上的点数之和是5”的概率是多少？

问题4．将一个骰子先后抛掷三次，求向上点数之和不是6的倍数的概率. 问题5．（08山东文）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ,,通晓日语，123B B B ,,通晓俄语，12C C ,通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．()1求1A 被选中的概率；()2求1B 和1C 不全被选中的概率．

考点三与长度有关的几何概型

问题6．()1(2013福建) 利用计算机产生01之间的均匀随机数a ，

则时间“310a ->”发生的概率为

()2在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 不大于AC 的概率. A B

C M

考点四与面积有关的几何概型

问题7.()1(2013陕西) 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．

信号的概率是 .A 14π

- .B 12π

- .C 22π

- .D 4

π ()2(2013四川)节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两

串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一

时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那

么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不

超过2秒的概率是 .A 14 .B 12 .C 34 .D 78

问题8.（08枣庄三中模拟）甲乙两人约定上午7:00到8:00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，他们开车的时刻分别为7:20、7:40、8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲乙两人同乘一班车的概率为 .A 21 .B 14 .C 31 .D 16 考点五与体积有关的几何概型

问题9.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球

O ，则在正方体ABCD - 1111A B C D 内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是.A 4π .B 6π .C 8

π .D 12π 考点六与角度有关的几何概型

问题10：()1(2011湖南文) 已知圆C ：2212x y +=,直线l :4325x y +=. ①圆C 的圆心到直线l 的距离为

②圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ()2在Rt ABC △中，30A =?，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM AC >的概率. 课后作业：

1.在长度为10

的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率.

2.（2013黄冈模拟）在区间[]0,1上任意取两个实数,a b ，则函数31()f x x ax b =+- 在区间[]1,1-上有且仅有一个零点的概率为 .A 18 .B 14 .C 34 .D 78

12C A B M

走向高考：

1.（07广东文）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。现从中随机地取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 .A 310 .B 15 .C 110 .D 112

2.（09安徽文）从长度分别为2345,,,的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是

3.（09江苏文）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为

4. (09山东文)在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到2

1之间的概率为 .A 31 .B π

2 .C 21 .D 32 5.（09辽宁文）ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为

.A 4π .B 14π- .C 8π .D 18

π- 6.（09福建文）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为

7.（2012辽宁）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线

段,AC CB 的长，则该矩形面积小于232cm 的概率为 .A 16 .B 13 .C 23 .D 45

8.（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，

分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随

机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

.A 2

1π- .B 112π- .C 2π .D 1π

9.（07海南文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.

()1若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，若b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求

上述方程有实根的概率；()2若a 是从区间[]0,3任取的一个数，若b 是从区间[]0,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

几何概型经典练习题

几何概型题目选讲 1?在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC , CB 的长，则该矩形面积 4 — 0+ 12— 8 2 解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? 0v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率 P =―0+—— =-. 12 3 小于32 cm 2 的概率为( ) A.1 6 C.f D'4 2 .已知圆 C : x 2 y 2 =12,l : 4x 3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A) 的值。解：P(A)= 3 ?设不等式组 ° 仝x < 2 表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 0< y w 2 2的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上, * 0W x < 2 ，表示的区域D 0W y < 2 nX 4 4 — 4 4— n 为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为 —= 4 4 4 ?在区间［0,9］上随机取一实数x ,则该实数x 满足不等式 K log z x w 2的概率为 2 解析：由1W Iog 2x w 2,得2W x w 4，根据区间长度关系，得所求概率为 -. 5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 ______________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m W — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6< m W 2 + 9 44 —4 或 W m w 9,因此所求概率P =石 6 ?甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； ⑵如果甲船的 2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x 、y ,贝U 0< x v 24,0< y v 24 且 y — x > 4 或 y — x < — 4. 0< x v 24, 作出区域 0W y v 24, y — x > 4或 y — x v — “两船无需等待码头空出”为事件 1 2 X-X 20 X 20 2 _______ _ 25 24 X 24 — 36. ⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B ,画出区域 A ，贝U P(A)=

高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。一基本知识剖析 1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的概率公式： P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； 3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。二常见题型梳理 1.长度之比类型例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2 之间的概率． 2.面积、体积之比类型例3. （08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为。

几何概型的常见题型

几何概型的常见题型李凌奇2017-06-26 1．与长度有关的几何概型例1．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3 2 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于0到 2 1 之间, 需使2 23x π ππ - ≤ ≤- 或 322x π ππ ≤ ≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 2．与面积有关的几何概型例2．ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（） A ． 4 π B.14 π - C. 8 π D.18π - 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型. 解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 2 π 因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2 2π -，则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A O D C B 1 图

古典概型与几何概型-高中数学同步典型例题及训练解析版

古典概型与几何概型高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆ 典例在线（1）甲盒子装有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2，5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为 A．B． C．D．（2）某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8:50~9:30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是 A．B． C．D．（3）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10，飞行才是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等，那么蜜蜂飞行安全的概率是 A．B．

C．D．【参考答案】（1）B；（2）A；（3）C．（2）由题意得第二节课上课的时间为8:40~9:20，该同学到达教室的时间总长度为40，其中在8:50~9:10进入教室时，听第二节课的时间不少于10分钟，其时间长度为20，故所求概率为，故选A．（3）记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A，则它在与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10的区域d内飞行时是安全的，故区域d为棱长为10的正方体，所以，故选C．【解题必备】（1）求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件．基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．求古典概型的基本步骤：①算出所有基本事件的个数； ②求出事件包含的所有基本事件数；③代入公式，求出．（2）对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事

几何概型的常见题型及典例分析

几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3 ．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件. 所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1之间的概率为 31232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、如图两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯,问A 与与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基

几何概型经典练习题

........ 最新资料推荐 ...... 几何概型题目选讲 1 ?在长为1 2 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC , CB 的长，则该矩形面积 112 4 小于 32 cm 2 的概率为( )A.1 B.1 C.2 D.4 6 3 3 5 2.已知圆C ： x 2 y 2 =12,丨：4x ?3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A) 的值。 1 解：P(A)=- 6 0< x < 2 3 .设不等式组表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概 0< y w 2 率是 4 .在区间［0,9］上随机取一实数X ,则该实数x 满足不等式1W log 2x w 2的概率为 _______________ . 2 解析：由1 w log 2x w 2,得2w x w 4，根据区间长度关系，得所求概率为 -. 5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 _____________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m w — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6w m w 2 + 9 11 -4 或0w m w 9,因此所求概率P = 荷 6 .甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； ⑵如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为 2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x 、y ,贝U 0w x v 24,0w y v 24且y — x > 4或y — x w — 4. 0w x v 24, 作出区域 0w y v 24, y — x > 4或 y — x v — 4. 24 X 24 36' ⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B ,画出区域解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? O v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率 P = 4 — °+-12— 8 12 2 3. 解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心, 2为半径的圆内及圆上, O w x < 2, O w y w 2 表示的区域D 为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为 nX 4 4 — 4 _ 4— n 4_ 4 . 设“两船无需等待码头空出”为事件 2 X ^X 20 X 20 2 25 A ，贝U P(A)=

几何概型的经典题型及标准答案

几何概型的经典题型及答案

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3 几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

4 区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于 0到21之间,需使 223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×3 1 =10米， ∴3 1 3010)(==E P . 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦， K K K1图1-2图1-1 O O M N E F M N E F E1F1

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案) [例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167 6045602 22=-=P [例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。解：R AC AB 2||||= =. ∴ 2 1 2== = ? R R BCD P ππ圆周 [例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过 2 1 的概率。解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为 2 1。事件“三段的长度都不超过 21 ”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2 1 1,21,21<--<

下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x 故192 251200 25 41 2 π π= =P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02 =++b ax x 两根均为正数的概率。 ??? ??>=?>-=+≥-=?000 42 1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2 4 1a b ≤且0b 的数m （4）n m P = （n 为总组数） [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求?ABC 是锐角三角形的概率。解法1：记?ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“?ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。因为?ABC 是锐角三角形的条件是 02 << αβπ ,且αβπ +> 2 所以事件A 构成集合 A =+> << {(,)|,,}αβαβπ αβπ 2 02 由图2可知，所求概率为 P A A ()=的面积的面积 Ω==12212 1 422() ππ。解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当?ABC 为锐角三角形，记为事件A 。则当C 点在劣弧C C 12上运动时，?ABC 即为锐角三