8 关联分析与解耦控制 [过程控制及其MATLAB实现(第2版)]

λij <1 有关联
需要解耦
λij <0 关联严重
其他回路的投入与否是系统由正反馈变成负反馈，
系统由不稳定性变为稳定，或相反
20
8 关联分析与解耦控制
相对增益矩阵
由相对增益ij元素构成的矩阵，即
11 12 1n
21
22

2
n


直接法分析结果
Y1主要受R1影响，也受R2影响 Y2主要受R2影响，也受R1影响
15
8 关联分析与解耦控制
8.1.3 耦合程度分析方法
相对增益分析法
相对增益λij是Uj相对于过程中其他调节量
对该被控量Yi而言的增益（ Uj → Yi ）；
λij定义为
p
ij
q ij ij
放大系数不同，各通道间有关联。
19
8 关联分析与解耦控制
依相对增益判断过程（ uj→yi ）的关联程度
λij =1 无静态关联 λij =0 关联严重
其他回路未投入时yi不受uj影响（pij=0）
投入后却有影响（ pij≠0 ）了
λij =∞ λij >1
关联严重
有关联
其他回路投入后，uj→yi通道的增益下降 需要解耦
8 关联分析与解耦控制
est
1
8 关联分析与解耦控制
本章学习内容
8.1 控制回路间的关联 8.2 相对增益矩阵 8.3 减少和消除耦合的方法 8.4 解耦控制系统设计
2
8 关联分析与解耦控制
8.1 控制回路间的关联
控制回路间的耦合
单回路控制系统 多回路控制系统
R1
U1
Gc1
Gp1
K12

K11

Kc2 (K11K 22 1 Kc2 K22
K 21K12 )
q11
lim Y1
U K c 2
1

K11 K 22 K 21 K12 K 22
27
8 关联分析与解耦控制
类似地可求得
q21


K11K 22 K12 K 21 K12

q12


R2
Kc2 U 2 (4) K22
Y2
计算q11时,其他回路要闭环且Y2固定不变
•令Kc2=∞，使Y2跟随R2 而固定不变
26
8 关联分析与解耦控制
K21 U1
K11 Y2 Kc2
K22
K12 Y1
图8.8 计算q11的等效方框图
Y1 U1

K11

K12
Kc2 1 Kc2 K22
22
8 关联分析与解耦控制
（1）第一放大系数pij的计算
第一放大系数pij是在其余通道开路情况下 ，该 通道的静态增益。
23
8 关联分析与解耦控制
R1
Kc1 U1 (1) K11
Y1
(2) K21
(3) K12
R2
Kc2 U 2 (4) K22
Y2
计算p11时,其他回路要开环 所以
•或者(2)(3)(4)开环图8.7 双变量静p态11耦=K合11系，统p21=K21，

（8.14）
32
8 关联分析与解耦控制
引入P矩阵，（8-14）式可写成矩阵形式，即
Y1 Y2



p11 p21
p12 p22

U1 U2


K11 K21
K12 U1
K
22

U
2

（8.15）
33
8 关联分析与解耦控制
由（8-15）式得
U1

K 22 K11K22 K12 K21
Y1

K12 K11K22 K12 K21
Y2

U 2

K11K 22
K 21 K12K21
Y1

K11 K11K22 K12 K21

Y2

（8.16）
34
8 关联分析与解耦控制
10
8 关联分析与解耦控制
8.1 控制回路间的关联 耦合程度分析方法
直接法
• 解析法
相对增益法
• 求相对增益矩阵的计算方法
11
8 关联分析与解耦控制
8.1.3 耦合程度分析方法
直接法
借助耦合系统的方框图，直接解析地导出各 变量之间的函数关系，从而确定过程中每个 被控量相对每个调节量的关联程度。
pij 第一放大系数 qij 第二放大系数
16
8 关联分析与解耦控制
第一放大系数pij
指耦合系统中，除Uj到Yi通道外，其它 通道全部断开时所得到的Uj到Yi通道的 静态增益;
即，除调节量Uj改变了Uj以外，其它 调节量Uk（k≠j）均不变。
pij可表示为：
Y p i
ij U j Uk c onst

K11K 22 K11K22 K12 K21

12 21

p12 q12 p21 q21

K12 K21 K12 K21 K11K22
K12 K21 K12 K21 K11K22
Fra Baidu bibliotek

22

p22 q22

K11K 22

K11K22 K12 K21
38
8 关联分析与解耦控制
8.2.4 相对增益矩阵的特性
可以证明，矩阵第i行ij元素之和为
n
ij
j 1

1 detP
n j 1
pij Pij

detP detP
1
（8.26）
39
8 关联分析与解耦控制
类似地，矩阵第j行ij元素之和为
n
i 1
ij

1 detP
他通道也投运）
18
8 关联分析与解耦控制
相对增益ij定义为：


p ij

Y i
q ij U
ij
j Uk const
Y i
U j Yk const
相对增益ij表示
其他回路投运与否对Uj → Yi增益的影响
两放大系数相同，其它回路存在与否对该通道
没有影响，即该通道与其他通道不存在关联；
5
4
R2
1 U2
1
Y2
图8.6 静态耦合结构
U R Y
1
1
1
U R Y
2
2
2
Y 3U 4U
1
1
2
Y 5U U
2
1
2
14
8 关联分析与解耦控制
13 1
Y1

14
R1

7
R2

0.9286R1

0.1429R2
Y2

5 28
R1

6 7
R2

0.1786R1

0.8571R2
Uj → Yi的增益 （仅Uj → Yi通道投运，
其他通道不投运）
17
8 关联分析与解耦控制
第二放大系数qij
指除所观察的Uj到Yi通道之外，其它通 道均闭合且保持Yk（k≠j）不变时，Uj到 Yi通道之间的静态增益。
qij可表示为：
Y q i
ij U j Yk const
Uj → Yi的增益 （不仅Uj → Yi通道投运，其
n i 1
pij Pij

detP detP
1
（8.27）
40
8 关联分析与解耦控制
结论（相对增益的性质）：
相对增益矩阵中每行元素之和为1，每列元 素之和也为1。
此结论也同样适用于多变量耦合系统。 此结论可用作验算所求得的相对增益矩
阵是否正确。
41
8 关联分析与解耦控制
例8.2 （对液体混合系统求被控量与调 节量之间的正确配对关系）
6
8 关联分析与解耦控制
8.1 控制回路间的关联
P规范耦合
n个入（Uj）
n个出（Yi）
U1
Y1
Uj
Yi
Un
Yn
Y =P U
Y 1

pU 11 1

pU 12 2

pU 1n n

Y 2

pU 21 1

pU 22 2


pU 2n n

Y n

pU n1 1

pU n2 2

n1
n2

nn

yi
uj
21
8 关联分析与解耦控制
8.2.2 相对增益的计算
确定相对增益，关键是计算第一放大系数和 第二放大系数。
一种方法是解析法
• 通过计算过程的微分分别计算出第一放大系数和 第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。
另一种方法是第二放大系数直接计算法
• 先计算第一放大系数，再由第一放大系数直接计 算第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。
R1
Gc1(s) U1 Gp11(s)
Y1
Gp21(s)
Gp12(s)
R2
Gc2 (s) U 2 Gp22(s)
Y2
图8.2 精馏塔温度控制系统方框图
5
8 关联分析与解耦控制
8.1 控制回路间的关联 被控对象的典型耦合结构
对于具有相同数目的输入量和输出量的控制 对象，典型的耦合结构可分为:
• P规范耦合 • V规范耦合
引入H矩阵，则（8-16）式可写成矩阵形式， 即
U1(s) U1(s)

h11 h21
h12 Y1(s)
h22

Y2
(s)
（8.17）
35
8 关联分析与解耦控制
式中
h11

K 22 K11K 22 K12 K 21
h12


K12 K11K 22 K12 K 21
Y1
各回路间的耦合
一个调节量影响多个被控变量； Rn
Gcn
Gpn
Yn
Un
一个被控变量受多个调节量的影响。
3
8 关联分析与解耦控制
进料
温度变送器
塔顶温度 y1
精
馏 塔底温度 y2
塔
1
GC1
u1
2
GC2
u2
再沸器
xB
xD
r1
Qr 塔顶回流量
r2
Qs 加热蒸汽量
图8.1 精馏塔温度控制方案
4
8 关联分析与解耦控制
p1n p2n pnn

Y1 Y2
Yn
图8.3 P规范耦合对象方框图
8
8 关联分析与解耦控制
8.1 控制回路间的关联
V规范耦合
n个入（Uj）
n个出（Yi）
U1
Y1
Ui
Yi
Un
Yn
Y1 v11(U1 v12Y2 v1nYn )
Y2 v22 (U2 v21Y1 v2nYn )
K11K 22 K12 K 21 K 21


q22

K11K 22 K12 K 21 K11


分子形式相同， 符号有正反
（8.12）
分母的对应关系
q11

K11K 22 K 21K12 K 22
28
8 关联分析与解耦控制
相对增益ij的计算。直接根据定义得
11

p11 q11
注意：
yi ~ uj
• 分析中，考虑的是系统的静态耦合结构
12
8 关联分析与解耦控制
例8.1 试用直接法分析下图双变量耦合系 统的耦合程度。
R1
1
U1
3 s 1
Y1
5 s 1
4
s 1
R2
1
U2
5s 1 s 1
Y2
图8.5 双变量耦合系统
13
8 关联分析与解耦控制
R1
1 U1
3
Y1
P (P1)T
（8.22）
或表示成
H 1 H T （8.23）
37
8 关联分析与解耦控制
相对增益的具体计算公式可写为
ij

pij
Pij detP
（8.24）
式中，Pij为矩阵P的代数余子式，detP为 矩阵P的行列式。这就是由静态增益Pij计
算相对增益ij的一般公式。
•或者令Kc2=0，使ΔU2=0
p12=K12，p22=K22
24
8 关联分析与解耦控制
（2）第二放大系数qij的计算
第二放大系数qij是在其它通道闭合且保持Yk（k≠i） 恒定的条件下，该通道的静态增益。
25
8 关联分析与解耦控制
R1
Kc1 U1 (1) K11
Y1
(2) K21
(3) K12
（8.13）
29
8 关联分析与解耦控制
8.2.3 第二放大系数qij的直接计算法
即由第一放大系数直接计算第二放大系数。
30
8 关联分析与解耦控制
U1
K11
Y1
K21
K12
U2
K22
Y2
图8.9 双变量静态耦合系统
31
8 关联分析与解耦控制
由图可得
Y1 Y2

K11U1 K12U2 K21U1 K22U2
pU nn
n

Y1

p 11
p 12

p 1n

U1









Y

i



p ij

U

i


Yn

p n1



p nn

U
n

7
8 关联分析与解耦控制
U1
U2
Un
p11 p21 pn1 p12 p22 pn2


Yn vnn (Un vn1Y1 v Y n,n1 n1)
9
8 关联分析与解耦控制
U1
U2

Un
v11
0
v22

0
vnn
Y1 Y2

Yn
0 v21 v31 vn1
v12 0 v32 vn2





v1n v2n v3n 0
图8-4 V规范耦合对象方框图
h21


K11K
K 21 22 K12
K 21
qij

1 h ji
ij

pij q ji
h22

K11 K11K 22 K12 K 21
ij pij hji PH I
H P1 36
8 关联分析与解耦控制
相对增益矩阵可表示成矩阵P中每个元素与 逆 矩 阵 p-1 的 转 置 矩 阵 中 相 应 元 素 的 乘 积 （ 点 积），即