第九章杆件的变形及刚度计算案例
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变形及刚度计算_图文_图文
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
A
C
B
x
y挠度
C'
y
转角
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
4、挠度和转角的关系
注意：位移边界条件在支座处
变形连续条件中间在分段点
三、 用积分法求梁的变形 注意
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁 的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程 需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线 方程也随之而异。
F
A
a
D
B
b
三、 用积分法求梁的变形 步骤
1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积 分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。
纵向伸长量： 横向缩短量：
轴向压缩：
F
F
纵向缩短、横向伸长
纵向缩短量： 横向伸长量：
注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 一的杆件，因此引入应变的概念。
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
二、线应变
线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长 ，称之为线应变。
1、纵（轴）向变形量： F
即 该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的 一阶导数
A
挠曲线
y
C
C'
转角
B
x
y挠度
5、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算
应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
拉压杆的变形及刚度计算
胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 ，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、 值。
表8.1 常用材料的E、 值
材料名称 低碳钢 中碳钢
低合金钢 合金钢
灰口铸铁 球墨铸铁
铝合金 硬铝合金
混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？ 解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力
杆件的变形及计算
τ=
Q ≤ [τ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa. 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解; 为剪切面面积; 为材料的许用剪应力 为材料的许用剪应力, .
二,挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压, 在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示 单位MPa.挤压应力是垂直与接触面的正应力.其可 表示, 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号 表示,单位 .挤压应力是垂直与接触面的正应力. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 积压力为作用在接触面上的总的压力, 表示. 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示. 表示. 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影, 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示. 其强度设计准则
在例6-1中杆 的直径均为d=30mm,[σ]=160MPa,其它条件不变.试确定此时结构所能 例6-3 在例 中杆BC,EF 的直径均为 , ,其它条件不变. 承受的许可载荷? 承受的许可载荷? 中分析EF杆为危险杆 解:根据例1中分析 杆为危险杆,由平衡方程可得 根据例 中分析 杆为危险杆,
N2 =
第三节 连接件的强度设计
一,剪切实用计算
当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值, 当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值,反 ,,销钉 作用线距离很近的平行力作用时, 向,作用线距离很近的平行力作用时,其主要失效形式之一为沿 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面. 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面.由于剪 切面上剪应力分布比较复杂, 切面上剪应力分布比较复杂,可假定认为剪应力在剪切面上均匀 分布——剪切实用计算. 剪切实用计算. 分布 剪切实用计算 其设计准则为
第九章 杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
刚度设计
挠曲线方程： 挠曲线方程： 转角方程： 转角方程：
w= f (x)
df θ ≈ tan θ = f ′(x) = dx
3.2梁的挠曲线近似微分方程 梁的挠曲线近似微分方程
梁的挠曲线近似微分方程式 曲线 w = f (x) 的曲率为
w′′ K= 2 3/ 2 (1 + w′ )
1 梁纯弯曲时中性层的曲率： 梁纯弯曲时中性层的曲率：
解：由刚度条件
wmax
得
所以
Pl l = ≤ [ w] = 48 EI 500
3
48 EI P≤ = 7.11 kN 2 500l
[ P ] = 7.11 kN
σ max
M max Pl = = = 60MPa ≤ [σ ] Wz 4Wz
所以满足强度条件。
二、提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况 有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、 有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度 有关。所以，要想提高弯曲刚度， 有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素 入手。 入手。 一、增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的抗弯刚度 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置
= 0 .2 7 2 m m ( 缩 短 ）
第2节圆轴扭转时的变形和刚度条件 节圆轴扭转时的变形和刚度条件
T dϕ = d x GI p T dϕ = dx GI p
dϕ
T ϕ=∫ dx GI p l
Tl 若T = const，则 ϕ = GIp
比较拉压变形： 公式适用条件：
式中积分常数C、 由边界条件和光滑连续条件确定 式中积分常数 、D由边界条件和光滑连续条件确定
约束对位移的影响 ＿＿边界条件 ＿＿边界条件
杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形
所示。已知材料的弹性模量 E 0.03 105 MPa，外力 F 50kN 。试求砖柱顶部
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
九、 材料力学位移分析(2)
课堂练习P265,习题9-20
5、梁的刚度计算
解：1、作强度设计
[ ]; W ql 2 1 M max 10103 4 2 40kNm; 4 4 40103 4 3 W 4 10 m ; 100106 单个槽钢W 2 10 4 m 3 200cm3 ;
22a槽钢满足刚度要求。
课外练习：9-18；9-19；
6、简单的静不定问题
关于静不定的基本概念
求解静不定问题的基本方法
拉压静不定问题
扭转静不定问题 简单的静不定梁 静不定结构的特性
6、简单的静不定问题
关于静不定的基本概念
静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数 静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数
对转角的限制 轴的类型 滑动轴承 向心轴承 向心球面轴承 圆柱滚子轴承 圆锥滚子轴承 安装齿轮的轴 许用转角[θ]/rad
0.001 0.005 0.005 0.0025 0.0025 0.001
5、梁的刚度计算
例题9-10、图示钢制圆轴，已知
20kN C
2000
Fp=20kN,E=206GPa,轴承B 处的
4、铝杆应力：σ =FNA/AA=128.8MPa 5、铝杆长度：l =300+0.936-0.552=300.38mm;
6、简单的静不定问题
扭转静不定问题 例题9-15、两端固定的圆轴受力如图，已知Mx，GIp，l， 求A、B两端的约束力。
y
x Mx z A l C l Mx D l B
6、简单的静不定问题
解：1、轴受力如图，由平衡方程：
M
x
0;
M x 4 M x M x M x 3 0;
5、梁的刚度计算
解：1、作强度设计
[ ]; W ql 2 1 M max 10103 4 2 40kNm; 4 4 40103 4 3 W 4 10 m ; 100106 单个槽钢W 2 10 4 m 3 200cm3 ;
22a槽钢满足刚度要求。
课外练习：9-18；9-19；
6、简单的静不定问题
关于静不定的基本概念
求解静不定问题的基本方法
拉压静不定问题
扭转静不定问题 简单的静不定梁 静不定结构的特性
6、简单的静不定问题
关于静不定的基本概念
静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数 静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数
对转角的限制 轴的类型 滑动轴承 向心轴承 向心球面轴承 圆柱滚子轴承 圆锥滚子轴承 安装齿轮的轴 许用转角[θ]/rad
0.001 0.005 0.005 0.0025 0.0025 0.001
5、梁的刚度计算
例题9-10、图示钢制圆轴，已知
20kN C
2000
Fp=20kN,E=206GPa,轴承B 处的
4、铝杆应力：σ =FNA/AA=128.8MPa 5、铝杆长度：l =300+0.936-0.552=300.38mm;
6、简单的静不定问题
扭转静不定问题 例题9-15、两端固定的圆轴受力如图，已知Mx，GIp，l， 求A、B两端的约束力。
y
x Mx z A l C l Mx D l B
6、简单的静不定问题
解：1、轴受力如图，由平衡方程：
M
x
0;
M x 4 M x M x M x 3 0;
9第九章 杆件变形及结构的位移计算
产生位移的原因 一般荷载——力的作用 广义荷载 温度变化 支座位移 制造误差
P
t
一般荷载
C C
温度变化
A
支座位移 B
B
B
制造误、位移计算的目的
⑴ 刚度要求 强度校核 结构设计计算应考虑的内容 稳定性验算 刚度验算 在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度； 房屋主梁允许挠度<1/350跨度。 高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移<1/450高度， 最大层间位移<1/550层高； 地震作用下的最大位移<1/400高度； 最大层间位移<1/500层高。 ⑵ 超静定结构的计算基础 超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。
1
B
C a-x
M =a x
横梁BC 竖柱CA
a
A
x
注意：负号表示位移 的方向与假设的单位 力的方向相反。 （4）求B点的线位移ΔB
§9-4 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为：
MMds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
梁和刚架位移计算公式
计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。
ΔCV 2330 106 7.012mm 3 210 10 2 791.2
4m
–200
–200
5 8
3 8
5 8
3 8
5 8
杆件名称 A-C B-C D-E A-D C-D C-E
杆长l (m) 6 6 6 5 5 5
截面积A 轴力 FNP (cm2) (kN) 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 120 120 -120 -200 0 0
名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度
d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
项目6.杆件变形及其刚度条件
03
杆件的刚度条件
刚度的定义与分类
刚度的定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能 力。它是衡量杆件性能的重要参数之 一。
刚度的分类
根据杆件所受外力的不同，刚度可分 为弯曲刚度、剪切刚度和扭转刚度等 。
杆件的弯曲刚度
弯曲刚度的定义
弯曲刚度是指杆件在受到垂直于轴线 的力作用时，抵抗弯曲变形的能力。
弯曲刚度的计算
杆件变形的分类
轴向拉伸与压缩
剪切
扭转
弯曲
杆件沿轴线方向的拉伸 或压缩。
垂直于杆件轴线的横向 相对位移。
杆件绕其轴线的转动。
杆件在平面内发生弯曲。
杆件变形的能量关系
杆件变形过程中，外力所做的功 等于杆件内部弹性能的增加。
弹性能的增加与杆件的变形程度 有关，变形程度发生塑性变形时，弹性能 的增加量将小于外力所做的功。
基于遗传算法的优化设计方法
适应度函数
根据杆件的刚度和变形要求， 制定适应度函数，用于评估设 计方案的好坏。
交叉和变异
通过交叉和变异操作，生成新 的基因序列，形成更优秀的基 因库。
编码方式
将杆件的结构参数和尺寸信息 进行编码，形成基因序列。
选择操作
根据适应度函数的结果，选择 出优秀的基因序列进行遗传操 作。
杆件的扭转刚度
扭转刚度的定义
扭转刚度是指杆件在受到扭矩作用时，抵抗扭转变形的能力 。
扭转刚度的计算
扭转刚度可以通过杆件的扭转模量来计算。扭转模量是指单 位长度上的抗扭刚度，与截面的极惯性矩和剪切模量有关。
04
杆件变形的实例分析
简支梁的变形分析
简支梁的变形
简支梁在受到均布载荷或集中载荷的作用下会发生弯曲变形，其变形特点是跨中向下挠曲，端部向上 翘曲。
杆件的强度分析与计算
第九章杆件的强度分析与计算第一节概述一、构件的承载能力机械或机器的每一组成部分称为构件，它是机器的运动单元，为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。
因此，构件应当满足以下要求：（一）、强度要求：构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。
在规定的载荷作用下构件不应被破坏,具有足够的强度。
例如，冲床曲轴不可折断；建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。
强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或塑性变形。
（二）、刚度要求：构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。
在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。
例如，机床主轴的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。
刚度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生较大的变形。
（三）、稳定性要求：构件在外力作用下能保持原有直线平衡状态的能力。
承受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压弯。
稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下有足够的稳定性。
为满足以上三方面的要求，构件可选用较好的材料和较大的截面尺寸，但这与节约和减轻构件自相矛盾。
构件设计的任务就是在保证满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的方式，为构件选择适宜的材料、确定合理的形状和尺寸。
二、变形固体的基本假设由各种固体材料制成的制成的构件在载荷作用下将产生变形，称为变形固体或变形体。
为了便于理论分析和实际计算，对变形固体常采用的几个基本假设：（一）．连续性假设：假设在固体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。
实际上，组成固体的粒子之间存在空隙，但这种空隙极其微小，可以忽略不计。
于是可认为固体在其整个体积内是连续的。
基于连续性假设，固体内的一些物理量可用连续函数表示。
（二）．均匀性假设：均匀性假设是指材料的力学性能在各处都是相同的，与其在固体内的位置无关。
（三）．各向同性假设：即认为材料沿各个方向的力学性质是相同的。
杆件强度与刚度计算课件
强度计算案例可以包括各种类型的杆件，如梁 、柱、板等，以及各种不同的载荷条件，如静 载、动载等。
通过强度计算案例的学习，可以深入了解杆件 强度的计算方法和应用技巧，提高解决实际工 程问题的能力。
03
杆件刚度计算
Hale Waihona Puke 刚度定义与分类刚度定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能力。
刚度分类
根据受力情况，刚度可分为静刚度和动刚度；根据变形性质，刚度可分为弹性刚 度和塑性刚度。
复合材料
复合材料如碳纤维、玻璃纤维等具有轻质、高强、抗腐蚀等 优点，可以替代传统金属材料用于制造高强度杆件。
新的计算方法
有限元分析
有限元分析是一种数值计算方法，可 以模拟杆件的受力、变形和破坏过程 ，为杆件设计提供更精确的计算结果 。
人工智能与机器学习
人工智能和机器学习技术可以用于优 化设计过程，自动识别和预测杆件的 性能，提高设计效率和准确性。
杆件强度与刚度计 算课件
目 录
• 杆件强度与刚度概述 • 杆件强度计算 • 杆件刚度计算 • 杆件强度与刚度的实际应用 • 杆件强度与刚度的未来发展
01
杆件强度与刚度概述
定义与概念
杆件强度
指杆件在受力条件下，抵抗破坏 的能力。
杆件刚度
指杆件在受力条件下，抵抗变形 的能力。
强度与刚度的重要性
保证结构安全
优化设计
通过计算强度和刚度，可以对机械零件进行优化设计，以减小重量、降低成本和提高性 能。
航空航天中的应用
01 02
飞行器结构
在航空航天领域中，杆件广泛应用于飞行器的各种结构中，如机身、机 翼、尾翼等。计算强度和刚度是确保飞行器在各种工作状态下都能够保 持稳定性和安全性的基础。
通过强度计算案例的学习，可以深入了解杆件 强度的计算方法和应用技巧，提高解决实际工 程问题的能力。
03
杆件刚度计算
Hale Waihona Puke 刚度定义与分类刚度定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能力。
刚度分类
根据受力情况，刚度可分为静刚度和动刚度；根据变形性质，刚度可分为弹性刚 度和塑性刚度。
复合材料
复合材料如碳纤维、玻璃纤维等具有轻质、高强、抗腐蚀等 优点，可以替代传统金属材料用于制造高强度杆件。
新的计算方法
有限元分析
有限元分析是一种数值计算方法，可 以模拟杆件的受力、变形和破坏过程 ，为杆件设计提供更精确的计算结果 。
人工智能与机器学习
人工智能和机器学习技术可以用于优 化设计过程，自动识别和预测杆件的 性能，提高设计效率和准确性。
杆件强度与刚度计 算课件
目 录
• 杆件强度与刚度概述 • 杆件强度计算 • 杆件刚度计算 • 杆件强度与刚度的实际应用 • 杆件强度与刚度的未来发展
01
杆件强度与刚度概述
定义与概念
杆件强度
指杆件在受力条件下，抵抗破坏 的能力。
杆件刚度
指杆件在受力条件下，抵抗变形 的能力。
强度与刚度的重要性
保证结构安全
优化设计
通过计算强度和刚度，可以对机械零件进行优化设计，以减小重量、降低成本和提高性 能。
航空航天中的应用
01 02
飞行器结构
在航空航天领域中，杆件广泛应用于飞行器的各种结构中，如机身、机 翼、尾翼等。计算强度和刚度是确保飞行器在各种工作状态下都能够保 持稳定性和安全性的基础。
第九章扭转杆件的强度与刚度计算
max
Tmax GIp
180
Tmax
180
G ( D4 / 32)
[]
D4
32Tmax 180
G 2 []
0.0297 m
D 30 mm
作业： 9-1； 9-2； 9-7； 9-8
BA
M x(CB)l GJp
M x(BA)l GJp
0.5 32
8.21010 0.14 (5000 2000)
1.86103弧度 1.86103 180
0.107
9-2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
圆轴扭转强度条件
强度条件:
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件:
max
Tmax GIp
3．计算相对扭转角
根据dϕ/dx=Tx/(GIp)，这是单位长度的扭转角，相距 dx的两个截面的扭转角为dϕ=Txdx/(GIp)。在AB和
BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截面（A和
B，B和C）的相对扭转角为ϕ=Tx/(GIp)。但二者是反
向的。于是C截面相对于A截面的相对扭转角为
C A
CB
G
G
G
d
dx
切应力沿半 径呈线性分 布。
3 静力关系 横截面上内 力系对圆心 的矩应等于 扭矩T。
A
d
A
T
即: T A d A
G d d A G d
A
dx
dx
2 d A
A
记
Ip
2d A
A
T
GIp
d
dx
横截面对圆心O的极惯性矩。
d T
d x GIp
记
Ip
2d A
杆及结构的变形计算
时旳M0 i，N0 i 则写成M0 i，N0 i。这么，就得到用单位 荷载法求构造位移旳一般公式：
1 i
li
M
0 i
M
i
Ei Ii
dsi
i
li
N
0 i
N
i
Ei Ai
dsi
上述公式也可计算角位移，只要将P0视为单位力偶 就能够了。此时公式中旳M0 i，N0 i 即为单位力偶作用 在该构造上所引起旳相应内力。
所以，此时旳功能关系式应是：
A A0 P0 i
li
Mi M0i 2Ei Ii
2
dsi
i
li
Ni N0i 2Ei Ai
2
dsi
用此式减去前两式，可得：
P0 i
li
M 0i M i Ei Ii
dsi
i
li
N0i Ni Ei Ai
dsi
end
为了能直接得到 旳数值，可令P0=1，而相应于此
退出
7-l 拉伸(压缩)时旳变形
单段等截面 等轴力杆件
l Nl EA
多段等截面 等轴力杆件
l Nili
Ei Ai
多段变截面或 变轴力杆件
l
Ni (x) dx
i li Ei Ai (x)
例7-l 计算杆在自重作用下所引起旳伸长，设杆长为l，横截面面积为A，
材料旳比重为g，，弹性模量为E。
ymax y xl ql 4 / 8EI
end
7-4 求杆件变形旳叠加法
在假定杆旳变形微小及材料服从虎克定律旳前提下，杆旳变形(一 般指旳就是截面形心旳线位移和截面旳角位移)都是外加载荷旳线性齐 次函数。所以，当杆上有多种载荷共同作用时，尤其是当各载荷单独作 用时旳变形成果已知(如有表可查)时，用叠加法来计算杆旳变形尤为以 便，用式子体现，以挠度为例,即：
1 i
li
M
0 i
M
i
Ei Ii
dsi
i
li
N
0 i
N
i
Ei Ai
dsi
上述公式也可计算角位移，只要将P0视为单位力偶 就能够了。此时公式中旳M0 i，N0 i 即为单位力偶作用 在该构造上所引起旳相应内力。
所以，此时旳功能关系式应是：
A A0 P0 i
li
Mi M0i 2Ei Ii
2
dsi
i
li
Ni N0i 2Ei Ai
2
dsi
用此式减去前两式，可得：
P0 i
li
M 0i M i Ei Ii
dsi
i
li
N0i Ni Ei Ai
dsi
end
为了能直接得到 旳数值，可令P0=1，而相应于此
退出
7-l 拉伸(压缩)时旳变形
单段等截面 等轴力杆件
l Nl EA
多段等截面 等轴力杆件
l Nili
Ei Ai
多段变截面或 变轴力杆件
l
Ni (x) dx
i li Ei Ai (x)
例7-l 计算杆在自重作用下所引起旳伸长，设杆长为l，横截面面积为A，
材料旳比重为g，，弹性模量为E。
ymax y xl ql 4 / 8EI
end
7-4 求杆件变形旳叠加法
在假定杆旳变形微小及材料服从虎克定律旳前提下，杆旳变形(一 般指旳就是截面形心旳线位移和截面旳角位移)都是外加载荷旳线性齐 次函数。所以，当杆上有多种载荷共同作用时，尤其是当各载荷单独作 用时旳变形成果已知(如有表可查)时，用叠加法来计算杆旳变形尤为以 便，用式子体现，以挠度为例,即：
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Fx 3 6
C 1x
C2
(4)
F
Bx
第九章 杆件的变形及刚度计算
EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)
EIw
Flx 2 2
Fx 3 6
C 1x
C
2
(4)
边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 C2 0
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 wA
和转角 A 都应等于0.
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax
和最大转角max
F w
A
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
3.挠曲线 —— 梁变形后的轴线称为挠曲线 .
挠曲线方程为
w f (x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '( x)
x
O
曲线向下凸时: w 0 M 0
M 0
曲线向上凸时: w 0 M 0 w
w 0
M
M
因此, w与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
第九章 杆件的变形及刚度计算
w
(1
w2
3
)
2
M(x) EI
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
FRB
ql 2
x
l
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M ( x) ql x q x2 22
EIw ql x q x2 22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
第九章 杆件的变形及刚度计算 边界条件x=0 和 x=l时, w 0
第九章 杆件的变形及刚度计算
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例 §9-2 杆件的刚度计算准则 §9-3 用积分法求弯曲变形 §9-4 用叠加法求弯曲变形 §9-5 简单的静不定问题 §9-6 提高弯曲刚度的措施
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-3 用积分法求弯曲变形
一、基本概念
1.挠度
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
第九章 杆件的变形及刚度计算
2.转角
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
w
A
C
B
x
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIw Flx Fx2 2
EIw Flx2 Fx3 26
第九章 杆件的变形及刚度计算
y
F
A
l
Bx
wmax
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
max
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 （ 2EI
）
响, 则
1 M(x)
( x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1
(x)
(1
|
w | w2 )32
(1
|
w | w2 )
3
2
M(x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
挠度向上为正,顺时针转为负.
w
A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
二、推导公式
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
1M
EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影
第九章 杆件的变形及刚度计算
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受 到的冲击和振动作用.
F
F
2
2
F
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-2 杆件的刚度设计准则
刚度设计准则
对于拉压杆
FPFP
u
u [u]
Vl
Bx
l
第九章 杆件的变形及刚度计算
解： （1） 弯矩方程为
w A
M ( x) F (l x) (1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
x
l
EIw M ( x) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)
EIw
Flx 2 2
EIw M ( x)
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x)dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x)dxdx C1x C2
第九章 杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件
A
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都等于0.
w" M(x)
(6.5)
EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w( x)
第九章 杆件的变形及刚度计算 三、微分方程的积分
w M ( x) EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
FNl EA
Vl l FN (x) dx 0 EA
第九章 杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于受扭圆轴
[ ] , = /l []
M xl
GI p M x 180 [ ]
GI
第九章 杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于梁
w [w], [ ]
wmax
w
|xl
Pl 3 3EI
（
）
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max
和 wmax
q
A
B
l
第九章 杆件的变形及刚度计算
q
解:由对称性可知,梁的两
个支反力为
A
B
FRA