函数的周期性常用定理结论

函数的周期性

⑴

概念：

当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T 是函数的一个周期.T 的整数倍也是函数的一个周期.

⑵抽象函数周期性结论：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()()1()

f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()

f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =， 若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.

⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；

⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，

则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

对数函数与指数函数图像

_8 _6 _4 _2 _- 2 _- 4 _- 5 _5 _ 10 _b _ = _3 .00 _a _ = _0 .33 _- 2 _- 4 _- 5

_5 _ 10 _a _ = _0 . 50