单位圆与三角函数线_
1.2.2单位圆与三角函数线
新课讲授
一、单位圆： 1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y P o
α
2、单位圆与x轴的交点： （1，0）和（-1，0）
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
A x
新课讲授
y
思考：你能表示出P点的坐标吗？
P R=1
N
(cosα,sinα)
o
α
M
3、单位圆与角α终边的交点： P(cosα,sinα) 其中，cosα=OM , sinα= MP x 角α的余弦和正弦分别等于角 α终边与单位圆交点的横坐标和 纵坐标。
AT称为角α的正切线. 即： AT tan
例题
例1 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 1 ⑴ sin ; 2cos 2 2 角的终边
y 1
P
-1
O -1
1 y 2
x
M1
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1 2cos 2
-1
y
1
3
1
y
[探索]
能否用几何方 式来表示正弦 函数呢？
O P
α
α的终边
x
M
A(1,0)
sinα= MP
α的终边
P
y
α
x
M
O
A(1,0)
sinα= MP
y
α
M
x
A(1,0)
O P
sinα= MP
α的终边
y
α
A(1,0)
O
x
sinαHale Waihona Puke MPy 二、三角函数线 P
α
α的终边
T
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
第一章 1.2.2单位圆与三角函数线
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
1.2.2
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝ 的角 α 的终边，并求角 α 2 的取值集合．
本 课 时 栏 目 开 关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________．
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1.2.2
探究点二
三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 答 过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P， 过点 P 向 x 轴作垂线，
本 小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三 课 时 角函数线的变化规律，回答下列问题． 栏 目 问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 开 关 可得：sin α的范围是 －1≤sin α≤1 ；cos α的范围是 －1
≤cos α≤1 .
研一研·问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
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1.2.2
(2)因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1， 在单位圆上过点 A(1,0)的切线上取 AT＝－1，
本 课 时 栏 目 开 关
连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值 3π 7π 集合是{α|α＝2kπ＋ 或 α＝2kπ＋ ，k∈Z}＝ 4 4 3π {α|α＝nπ＋ ，n∈Z}． 4
7.2.2单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
【变式训练1】 作出
9π
- 的三角函数线.
4
解:如图所示,
9π
- 的正弦线为,余弦线为,正切线为 .
4
探究二
利用三角函数线比较三角函数值的大小
【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2π
(1)sin 3 与
4π
sin 5 ;
2π
(2)tan 与
3
4π
tan .
5
分析:先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,再比较
与x轴垂直的直线l,与角α的终边(或其反向延长线)交于点T,那么角α的正弦
线是 ,余弦线为,正切线为 .正弦线、余弦线和正切线都称为三角
函数线.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)三角函数线的长度等于三角函数值.( × )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( √ )
故OM<MP<AT.
答案:B
√3
60°= 2 ,cos
1
60°= ,tan
2
60°=√3,
3.(多选题)依据三角函数线,如下判断正确的有(
π
A.sin 6 =sin
B.cos
π
4
7π
6
=cos
π
3π
C.tan 8 >tan 8
D.sin
3π
4π
>sin
5
5
答案:BD
π
4
)
4.若角α的余弦线的长度为1,则角α的终边在
位圆上满足要求的弧,即可找到角的终边所在的区域,再根据角的终边所在
的区域写出角的取值集合.
单位圆和三角函数线课件(说课)
问题二、P点位于什么位置时，角 的正弦值和
余弦值表示最简单?这时P点的坐标是什么？
问题三、如何用轴上向量表示出角 的正弦值、
余弦值?
.
y
定义：我们把轴上向量OM
,
ON
叫做的 的余弦线、正弦线。
其中 cos = OM ,sin = ON .
B(0,1) N
A`(-1,0) O
P(cosa,sina)
三、教学方法
2、学法分析
类比学习：由正弦线、余弦线的分析类比到正 切线的学习．
探究定向性学习：学生在教师建立的问题构架 下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出 三种三角函数线的定义．
主动合作式学习：学生在归纳得出三种三角函 数线的定义时，通过小组讨论，纠正错误理 解，使问题得以圆满解决．
三、教学方法
练习2、分别作出下列各角的正切线：
（1） （2）5 （3） 2 （4） 13
3
6.
3
6
步骤：1、以A为原点建立 y轴与 y轴同向；
2、y轴与 的终边或其反向延长线相交于点T ，T源自正切线 ATAT四、教学设计
（三）巩固应用，能力形成
例1、分别作出 0，的正弦线、余弦线、正切线：
2
例2、 设是第一象限的角，作 的正弦线、余弦 线、正切线，由图证明下列各等式：
单位圆与三角函数线
2、正切函数线
例2
练习2
三、应用举例 例1
四、课堂小结， 五、布置作业
教学环节 复习引入 概念形成 能力形成 反思小结 布置作业
时间分配 5分钟 9分钟 25分钟 5分钟 1分钟
一、教材分析 二、学情分析 三、教学方法 四、教学设计 五、设计说明
一、教材分析
1.2.1单位圆与三角函数线(讲授课)
利用三角函数线比较三角函数值的大小：
规律方法： 利用三角函数线比较三角函数值的 大小时，一般分三步：
①在单位圆中作出各角的三角函数线，角的位
置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负.
跟踪演练 1 是
2 6 2 sin 5 π ， cos 5 π ， tan 5 π 从小到大的顺序 .
(Ⅰ) x>0,y＝0
10
三角函数线的意义
sin MP cos OM tan AT
α的 终边
y P
M O
y
T P
α的 终边 A(1,0)
A(1,0)
T
x
O
M
x
当角α的终边与 y轴重合时,余弦 线变成一个点, 正切线不存在, 此时角α的正切 值不存在.正弦 值为1或-1;
(Ⅱ) x<0,y＝0
2 x－ 2 的定义域.
解：
π 3 . x |2 k π ＋ ≤ x <2 k π ＋ π ， k ∈ Z 即定义域为 3 4
利用三角函数线求函数的定义域
规律方法： 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式
(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三
(k∈Z)，
即
π π x∈nπ－3，nπ＋3
(n∈Z).
练习题：
1.角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符 号相异，那么α的值为(
π A.4 3π B. 4
) D
7π C. 4 3π 7π D. 4 或 4
2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( C )
第一章 单位圆与三角函数线
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知识预览
1.有向线段： 带有方向的线段. 2.三角函数线：如图，
已知角α的终边位置.则由三角函数的定义可知点 P 的坐标 为(cosα,sinα).点 T 的坐标为(1,tanα).其中 sinα =MP,cosα=OM,tanα=AT.把有向线段 MP、OM、AT 叫做α的正 弦线、余弦线和正切线.
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【 例
利用三角函数线求定义域 2 】 求 下 列 函 数 的 定 义 域 ：
2cosx − 1 ;(2)y=lg(3-4 sin 2 x ). (1)y=
思路分析： 本题考查利用三角函数线求函数定义域.解 答本题可首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用 三角函数线画出角 x 满足条件的终边范围.
答案：B
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7 2.如果 MP 和 OM 分别是角α= 8 π 的正弦线和余弦线，那
么下列结论中正确的是( ) A.MP<OM<0 B.OM>0>MP C.OM<MP<0 D.MP>0>OM
答案：D
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3.比较大小：sin1＿＿＿＿
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●想一想：正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？
提示：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线 提示： 由原点指向垂足；正切线由切点指向α的终边所在直线与切 线的交点.
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高中数学同步教学课件 单位圆与三角函数线
反思感悟
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.
跟踪训练2 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小；
如图，在单位圆中，分别作出 75°和 146°的 正弦线—M—1P→1 ，—M—2P→2 . ∵|—M—1P→1 |>|—M—2P→2 |，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°.
∵π4<27π<π2， ∴|O→M|<|M→P|<|A→T|，∴b<a<c.
1234
4.不等式sin
x≤
1 2
的解集为__x__2_k_π_＋__56_π_≤__x≤__2_k_π_＋__1_36_π_，__k_∈__Z____.
如图，作出满足 sin x＝12的角的正弦线—M—1P→1 和—M—2P→2 ，∠M2OP2＝π6，∠M2OP1＝56π.
D.正弦线为P→M，正切线为A→T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(多选)下列四个命题中，正确的是
√A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
√C.α和α＋π有相同的正切线 √D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知函数 f(α)＝ sin α＋lg(2cos α－1)，求函数 f(α)的定义域.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
单位圆与三角函数线(说案)
单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。
《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。
通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。
由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。
2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。
（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。
提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。
通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。
难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。
1.2.2 单位圆与三角函数线
2π 4π [解析] 令 α＝ 3 、β＝ 5 . 如图所示，
第一章
1.2
1.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
→ → P1、P2 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点，M1P1、M2P2 → → 分别是角 α、β 的正弦线，AT1、AT2分别是角 α、β 的正切线． → → → → (1)∵|M1P1|>|M2P2|且M1P1与M2P2都与 y 轴正方向一致， 2π 4π ∴sin 3 >sin 5 . → → → → (2)∵|AT1|>|AT2|且AT1与AT2都与 y 轴正方向相反， 2π 4π ∴tan 3 <tan 5 .
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
第一章
基本初等函数(Ⅱ)
第一章
算法初步
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
第一章
1.2 1.2.2 任意角的三角函数 单位圆与三角函数线
第一章
MP、AT，则MP＝sinα、AT＝tanα.
第一章
1.2
1.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
1 1 ∵S△AOP＝2OA· MP＝2sinα， 1 1 2 S 扇形 AOP＝2αOA ＝2α， 1 1 S△AOT＝2OA· AT＝2tanα， 1 1 1 又∵S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT，∴2sinα<2α<2tanα， 即 sinα<α<tanα.
1 在用两个字母表示有向线段时，将________ 字母写在前， 终点 ________ 字母写在后，不能将字母顺序颠倒．
高中数学必修四第一章单位圆与三角函数线
人大附中分校高一数学导学学案1．单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.．分别作出和例2．利用单位圆和三角函数线比较大小：(1> sin1和sin1.5。
(2> cos1和cos1.5。
(3> tan2和tan3.(1> sin1<sin1.5。
(2> cos1>cos1.5。
(3> tan2<tan3.例3. 已知sinx=0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小.(0º<x<360º> 30°和150°随堂练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( >A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解读：选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．b5E2RGbCAP2．角α(0<α<2π>的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( >A.错误!或错误!πB.错误!或错误!πC.错误!或错误!πD.错误!或错误!πp1EanqFDPw解读：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，∴α＝错误!或错误!.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( >A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限解读：选 D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cosα≤错误!的解集为____________________________．DXDiTa9E3d解读：画出单位圆，然后画出直线x＝错误!，从图形中可以看出．答案：{α|2kπ＋错误!≤α≤2kπ＋错误!，k∈Z}申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
课件3：7.2.2 单位圆与三角函数线
那么，比值yr叫作 α 的正弦，记作 sin α，即 sin α＝yr； 比值xr叫作 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝xr.
3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值 利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当 α 的终边落在坐
标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：
函数名称 终边位置
83π＝
3 2.
方法归纳 (1)先将角α表示为α＝β＋2kπ(－π<β≤π，k∈Z)的形式， 则角β的终边即为角α的终边，k为x轴的非负半轴逆(k>0) 或顺(k<0)旋转的周数． (2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转 化为直角三角形的边角关系求解，进而即得角α的正弦、 余弦值．
跟踪训练 2则．s已in 知α＝角__α_－的__45终__边_，和c单os位α＝圆_的__交_35_点__为_．P35，－45，
跟踪训练
3．(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D ． 第 四 象
限
(2)填空：
二
①如果sin α>0，且cos α<0，则α是第____四____象限角；
②如果cos α>0，且sin α<0，则一α是或第三________象限角； ③如果sin αcos α>0，则α是第_二__或__四___象限角；
解：(1)若 α 终边在第一象限内，设点 P(a，2a)(a>0)是其终
边上任意一点，因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝ 5a，
所以 sin
α＝yr＝
2a ＝2 5a
5
5，cos
α＝xr＝
a＝ 5a
5 5.
4单位圆与三角函数线
2 2 解析： 当 α 的终边在直线 y＝x 上时， 直线 y＝x 与单位圆的交点为 ， ， 2 2 2 2 － ，－ . 2 2
π 5π 此时，α＝ 和 ，如图所示． 4 4
π 5π 当 α∈4， 4 时，恒有 MP>OM， π 5π 而当 α∈0，4∪ 4 ，2π时，则有 MP<OM，因此选 C.
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第一章
1.2
课时作业(04)
状元之路 高中· 新课标B版· 数学· 必修4
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
5．设 a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( A．a＜b＜c C．c＜a＜b B．b＜a＜c D．a＜c＜b
)
解析：如图作出角 α＝－1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然 b＝cos(－ 1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即 c＜a＜b. 答案：C
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第一章
1.2
课时作业(04)
状元之路 高中· 新课标B版· 数学· 必修4
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
作业 ①了解单位圆的概念．②了解正弦线、余弦线、正切线的概 目标 念及意义．③能借助单位圆理解三角函数的定义． 作业 设计 限时：40 分钟 满分：90 分
π 3π 答案：4， 4
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第一章
1.2
课时作业(04)
状元之路 高中· 新课标B版· 数学· 必修4
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9．若 α、β 为第二象限角，且 sinα＞sinβ，则 cosα 与 cosβ 的大小关系为 __________．
单位圆与三角函数线
3
的终边
的终边与单位圆交于 P
P
点 ， 作 PM Ox 轴 ， 垂 足 为 M ， 则
2 2 sin MP ,cos OM ． 3 3
M
o
A1,0
x
2 即 3 的正弦线为 MP ，余弦线为 OM
MP OM
3 反馈练习：分别作出 和的正弦线和余弦线 3 4 并比较其数量的大小。
tan
x, y
y y x x1 1, y
的终边
y
y
T
的终边
1,tan
T 1,tan
T 1,tan
o
A1,0x
tan AT 或AT
T
结论： 有向线段 AT (或 AT )叫做 的正切线
角 的终边在四个象限的情况
三角函数线
温故知新
y
P cos x, y ,sin
的终边
o
M A1,0
x
| cos || x || OM |
| sin || y || MP |
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
y 则 cos x ,sin y , tan ( x 0) x
用图
思想
三 单 角 位 函 圆 数 线
比 较 大 小
解 不 等 式
数 形 结 合
Thanks
角 的终边在四个象限的情况
y
的终边
P
M
的终边
P
y
y
y
M
o
x
Mo
x
o
x
o
M
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α的终边
(Ⅲ)
(Ⅳ)
练一练
例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线． 2 （1） ；（2） ． 3 3
问题：1、它们的三角函数值有何关系？ 2、你能否找到其它的角与 的三角函数值 3 关系？
例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5 cos1>cos1.5
思考：正弦值有无最大值？
比大小可以利用什么性质？
例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 1 ⑵ sin . ⑴ sin ; 2 2
角的终边
y 1
● N
P
1 y 2
1 x
-1
O -1
1 3 cos 2
1 4 cos 2 y
1 -1 O
3
必修四 三角函数
1.2.2 单位圆与三角函数线
本节课的任务:
1、将三角函数值用图形表示出来。 1、会画任意角的三角函数线。 2、会简单应用三角函数线。
复习引入:
1、角的弧度制的定义？ 2、在直角坐标系内画出弧度为2、3、 4、5的角的终边的大体位置。 3、三角函数的定义是什么？ 4、当半径r为1时，角的弧度制和三角 函数的定义会怎样？
3 6
课堂回顾：
1、三角函数定义的几何表示 2、三角函数线的画法
3、三角函数线的应用：
①利用三角函数线比较三角函数值的大小； ②利用三角函数线确定角的集合或范围.
探究:
1) sinα- cosα>0
2) sinα+cosα>0 ?
用定义 转化为直线
用三角函数线
记作： 、 、 ON MP OM NQ、
2、有向线段的数量 正负：与坐标轴同向为正 Q 反向为负 大小：长度 B N O
y
P P OM , MP
M
Ax
OA 1 OB 1
y
三角函数线
α
α的终边 P x
O
M
A(1,0)
MP 称为角的正弦线， OM称为角的 余弦线
1
1 x 2
x
5 2k ,2k k Z -1 3 3
5 3
1 变式： 写出满足条件 ≤cosα＜ 2
的集合.
2 3
3 的角α 2
y
1
6
1 x
-1
O -1
4 3
11 6
|2k ＜α≤ 2k 2 ，或 ,2k 2 2k 4 ,2k 11 )k Z (2k 6 3 6 3 4 3 11 ，k Z 6 2k 2k ≤α＜
单位圆 我们把 半径为1的圆叫做单位圆 在单位圆上，角终边和圆交 点的横坐标就是 （ cos ） 纵坐标就是（ sin ） y
P(cos ,sin )
, NQ ?
P P OM , MP
M
x
方向：由轴上的点指向外面 1、有向线段 或由原点指向外面 大小：长度
即： MP sin
即： OM cos
思考： 正切线等如何构造？
α的终边
P
y
y P
α的终边
M o
x
o
M
x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
M
o P x
M o P α的终边 x
α的终边
(Ⅲ)
(Ⅳ)
α的终边
P
y
y P
α的终边 T
A
M o x T o M A x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
T
M
o P A x
M A o P x T α的终边