第5章--两自由度系统的振动

第5章 两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。

但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。

多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。

本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。

如图5-1所示。

平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。

这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。

5.1 双质量弹簧系统的自由振动5.1.1 运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。

略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。

两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ⎭⎬⎫=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&&(5-1)这就是两自由度系统的自由振动微分方程。

习惯上写成下列形式⎭⎬⎫=+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2)显然此时2212121,,m k d c m k b m k k a ===+=但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。

图5-1车辆模型图5-2两自由度的弹簧质量系统5.1.2 固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x(5-3)或写成以下的矩阵形式)sin(2121α+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧pt A A x x (5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002122A A p d c b p a (5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(222=----=∆pd cbp a p展开后为0)(24=-++-bc ad p d a p(5-6)式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。

它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为)(22222,1bc ad d a d a p --⎪⎭⎫⎝⎛++=μbc d a d a +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=222μ(5-7)由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。

较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。

5.2.2 主振型将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-==-=-==2222)2(1)2(222121)1(1)1(21p d c b p a A A p d c b p a A A νν (5-8)以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。

同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值12x x 也同样是确定的，并且等于振幅比，即：2)2(1)2(21)1(1)1(2,νν==x x x x (5-9) 其它各点的位移则都可以由1x 和2x 所决定。

这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。

也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。

与1p 对应的振幅比1ν称为第一阶主振型，与2p 对应的振幅比2ν称为第二阶主振型。

将式(5-7)中的p 1、p 2之值带入式(5-8)，得⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+-=>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+-=022102212221bc d a d a b bc d a d a b νν (5-10)这表明，系统以频率1p 振动时，质量m 1与m 2按同一方向运动；以频率2p 振动时，总是按相反的方向运动。

系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。

第一阶主振动为)sin()sin()sin(11)1(1111)1(2)1(211)1(1)1(1ϕνϕϕ+=+=+=t p A t p A x t p A x (5-11)第二阶主振动为)sin()sin()sin(22)2(1222)2(2)2(222)2(1)2(1ϕνϕϕ+=+=+=t p A t p A x t p A x (5-12)可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。

但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。

根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即⎪⎭⎪⎬⎫+++=+=+++=+=)sin()sin()()sin()sin()(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11ανανααt p A t p A x x t x t p A t p A x x t x (5-13)上式可以写成如下的矩阵形式，即)sin()sin(22)2(12)2(111)1(11)1(121αναν+⎭⎬⎫⎩⎨⎧++⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧t p A A t p A A x x (5-14)式中21)2(1)1(1,,,ααA A 由运动的初始条件确定。

所以一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。

例5-1 试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。

已知各弹簧的弹簧常量k 1＝k 2＝k 3＝k ，物体的质量m 1＝m ，m 2＝2m 。

解：（1）建立运动微分方程式分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x 1、x 2为广义坐标，两物体沿x 方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为02202212211=+-=-+kx kx x m kx kx x m &&&&若写成(5-2)的标准形式，则mk d mk c mk b mka ====,2,,2 所以m k m k m k m k m k bc d a d a p 23232)2(2322222222,1μμμ=+=+⎪⎭⎫⎝⎛-+= 解出，mkp mk p 366.2,634.02221==。

因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为 mkm k p mkm k p 538.1.366.2,796.0634.021====（3）求主振型将21p 、22p 分别代入式(5-26)，得图5-4振型图图5-3两自由度系统⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-===-==732.21732.0122)2(1)2(2221)1(1)1(21b p a A A b p a A A νν主振型为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=732.21,732.01)2(1)2(2)2()1(1)1(2)1(A A A A AA系统的振型图如图5-4所示。

图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A 点是不动的，这样的点称为节点。

例5-2 在图示5-3所示系统中，已知k k k k k m m m 4,,23121=====，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t ＝0，x 10＝1cm ，0201020===x x x &&；（2）,cm 1,010==x t 0,cm 1201020==-=x x x &&。

解：系统的的运动微分方程分别为054045212211=+-=-+kx kx x m kx kx x m &&&&若写成(5-2)的标准形式，则,4,5mk c b mkd a ==== 所以m k m k bc d a d a p 4522222,1μμ=+⎪⎭⎫⎝⎛-+= 解出，mkp mkp 9,2221==。

对应的两个主振型为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-===-==1122)2(1)2(2221)1(1)1(21b p a A A b p a A A νν 将初始条件（1）代入式(5-10)，解得cos cos 0cos cos 0sin sin 1sin sin 222)2(1111)1(12022)2(111)1(1102)2(121)1(11202)2(11)1(110=αν+αν==α+α==αν+αν==α+α=p A p A x p A p A x A A x A A x &&因此，2π,2π,21,2121)2(1)1(1====ααA A所以cm)(3cos 21cos 21cos 21cos 21)(cm)(3cos 21cos 21cos 21cos 21)(212211t mk t m k t p t p t x t m k t m k t p t p t x -=+=+=+=这表明，其响应为频率p 1、p 2的两种主振动的线性组合。

再将初始条件（2）代入式(5-10)，得 2π,1,2,02)2(11)1(1====απαA A所以)cm (3cos cos )(),cm (3cos cos )(2221t mk t p t x t m k t p t x -=-=== 这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p 2作谐振动。

5.2 拍振现象图5-5（a ）表示两个摆长，质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。

图5-5双摆拍振取1θ、2θ表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图5-5（b ）。

根据刚体绕定轴转动方程，当1θ、2θ角位移很小时，得到摆做微小振动的微分方程)(122112θ-θ+θ-=θka mgl ml &&, )(122222θ-θ-θ-=θka mgl ml && 用与前面类似的分析方法，得到系统的第一阶和第二阶固有频率为l gp =1，2222ml ka l g p += 系统的第一阶和第二阶主振型为11=ν，12-=ν(θ2-θ1)a )b )于是得到第一主振动)sin(11)1()1(1αΘθ+=t p , )sin(11)1()1(2αΘθ+=t p第二主振动)sin(22)2()2(1αΘθ+=t p , )sin(22)2()2(2αΘθ+-=t p在任意初始条件下，系统振动的一般解=θ+θ=θ)2(1)1(11)sin(11)1(αΘ+t p )sin(22)2(αΘ++t p=θ+θ=θ)2(2)1(22)sin(11)1(αΘ+t p )sin(22)2(αΘ+-t p如果初始条件是：t = 0时，01)0(θ=θ，0)0()0()0(212=θ=θ=θ&&，代入上式得到 0)2()1(21θΘΘ==，221π=α=α 因此得到双摆作自由振动的规律)cos (cos 22101t p t p +θ=θ,)cos (cos 22102t p t p -θ=θ 如果弹簧的刚度k 很小，即222ml ka ＜＜lg这时21,p p 相差很少，将上式写成t p p t p p 2cos 2cos121201+-θ=θ，t p p t p p 2sin 2sin 121202+-θ=θ 令12Δp p p -=212p p p a +=则上式为 t p t p a cos 2Δcos01θ=θ, t p t pa sin 2Δsin 02θ=θ 这表明，两个摆的运动可以看作是频率为a p 的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数t p 2Δcos0θ和t p2Δsin 0θ，这种现象称为拍振。