阿氏圆问题 知识点 例题 含答案(全面 非常好)
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。
即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。
但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。
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专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m(≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP+BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP+BP ＝AP+PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP 的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP 的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A+PB 的最小值．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2P A，得到2P A+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD ∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．例题2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．【分析】问题初探：设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x ＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知，解之可得；问题解决：设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m，由余弦定理可得cosC，代入化简S△ABC＝，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：问题初探，设AC＝x，则AB＝2x，∵BC＝4，∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，解得：＜x＜4，取x＝3，则AC＝3、AB＝6，故答案为：6、3；问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，则＝＝，设CD＝a、AD＝b，∴，解得：，即CD＝；问题解决，设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝AC?BCsinC＝2msinC＝2m，由余弦定理可得cosC＝，∴S△ABC＝2m＝2m＝＝＝由三角形三边关系知＜m＜4，所以当m＝时，S△ABC取得最大值．【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质．例题3、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为 4，点 D 是⊙C上的动点，连接AD，BD，则12AD BD的最小值为_________【解答】210例题4、在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB，PC，则3PC+2PB的最小值为___________【解答】21练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是．【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得＝＝，推出PK＝PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长．【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，∴＝＝，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK∽△AOP，∴＝＝，∴PK＝P A，∴PB+P A＝PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长，∵B（4，4），K（1，0），∴BK＝＝5．故答案为5．【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于．【分析】在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE 有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBP，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE?BD＝×4＝4，∴BP2＝BE?BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PD＝PM+PD＝DM＝AD﹣AM即可计算．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．【点评】本题考查切线的性质、轴对称﹣最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD～△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+F A的最小值．【分析】（1）结论：相切．作CM⊥AB于M．，只要证明CM＝4，即可解决问题；（2）由CF＝4，CD＝2，CA＝8，推出CF2＝CD?CA，推出＝，由∠FCD＝∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；（3）作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得＝＝，推出DF＝AC，推出EF+AF＝EF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF 的最小值；【解答】（1）解：结论：相切．理由：作CM⊥AB于M．在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，∴CM＝AC＝4，∵⊙O的半径为4，∴CM＝r，∴AB是⊙C的切线．（2）证明：∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，∴CF2＝CD?CA，∴＝，∵∠FCD＝∠ACF，∴△FCD∽△ACF．（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．∵△FCD∽△ACF，∴＝＝，∴DF＝AC，∴EF+AF＝EF+DF，∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．6．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝6，AF＝6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF＝AP，即AP+PC＝PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF＝2AP，即2PA+PB＝PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【解答】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3∴AD＝＝3∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴∴PF＝2AP∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出＝＝，推出PG＝PC，推出PD+PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．由PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5；（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y＝﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，然后解方程即可得到此时G 点坐标；（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC ＝90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF＝∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM＝EF得到22+（t+）2＝×52，最后解方程即可得到H点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），∵OB∥GE，∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；（3）存在．当x＝0时，y＝﹣x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），∵AB2＝42+82＝80，AC2＝42+22＝20，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△BAC为直角三角形，∠BAC＝90°，∵∠AHF＝∠AEF，∴点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），∵G（﹣2，4），∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），∴M（﹣2，﹣），∵HM＝EF，∴22+（t+）2＝×52，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．9．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′？OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′？OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。
2023年中考数学几何模型之动点最值之阿氏圆模型(讲+练)(解析版)
专题15动点最值之阿氏圆模型背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P 在一个以O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP ∽△POA，，∴对于圆上任意一点P 都有.对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A 、B点，则需【技巧总结】计算PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB ②计算出这两条线段的长度比OPk OB③在OB 上取一点C ，使得OC k OP ，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB，PC k PB ④则=PA k PB PA PC AC ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（）A ．7B ．C ．4D ．【答案】B【详解】如图，在CA 上截取CM ，使得CM ＝1，连接PM ，PC ，BM ．∵PC ＝3，CM ＝1，CA ＝9，∴PC 2＝CM •CA ，∴PC CMCA CP，∵∠PCM ＝∠ACP ，∴△PCM ∽△ACP ，∴13PM PC PA AC ，∴PM 13 PA ，∴13AP +BP ＝PM +PB ，∵PM +PB ≥BM ，在Rt △BCM 中，∵∠BCM ＝90°，CM ＝1，BC ＝7，∴BM ，∴13AP +BP ∴13AP +BP 的最小值为．故选：B ．例2.在ABC 中，AB =9，BC =8，∠ABC =60°，⊙A 的半径为6，P 是A 上一动点，连接PB ，PC ，则32PC PB 的最小值_____________73PB PC 的最小值_______【答案】21【详解】①连接AP ，在AB 上取点Q ，使AQ =4，连接CQ ，∵⊙A 的半径为6，即AP =6，∴23AB AP ，又6923AP AB ，且PAQ BAP ，∴APQ ABP ∽，∴23PQ AP P AB B ，∴23PQ BP ，∴ 232333PC PB PC BP PC PQ，当P C Q 、、三点共线时，PC PQ 的值最小，最小值为CQ 的长，过C 作CI ⊥AB 于I ，∴90CIB CIQ ，在Rt △CIB 中，∵60CBI ，BC =8，sin CI CBI BC，∴CI∴4BI ，9441QI AB AQ BI ，在Rt △CIQ 中，7CQ ，∴32PC PB 的最小值为 321PC PQ ；故答案为：21；②连接AP ，由①得：在Rt △CIA 中，AC在AC 上取点G ，使AG ，连接PG ，BG ，∴73673AG AP ，∵67373AP AC ，∴P P AC A AG A ，且GAP PAC ，∴AGP APC ∽，∴73GP AG A P P C，∴73GP PC，∴73PB PB GP ，当G P B 、、三点共线时，PB GP 的值最小，最小值为BG 的长，过G 作GH ⊥AB 于H ，∴90GHA GHB ，在Rt △CIA 中，sin C CI AI ACRt △GAH 中，sin GH GAH AG∴GH ，∴18073AH，180********BH AB AH ，在Rt △GHB中，73BG ，∴73PB PC的最小值为73．故答案为：73．例题3.如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【解析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．【变式训练1】如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60B ，B 的半径为2，P 为B 上一动点，则12PD PC 的最小值_______．PC PD 的最小值_______3【详解】①如图，在BC 上取一点G ，使得BG =1，连接PB 、PG 、GD ，作DF ⊥BC 交BC 延长线于F ．∵221PB BG ，422BC PB ，∴PB BC BG PB ，∵PBG PBC ，∴PBG CBP ，∴12PG BG PC PB ，∴12PG PC ，∴12PD PC DP PG，∵DP PG DG ，∴当D 、P 、G 共线时，PD +12PC 的值最小，最小值为DG ，在Rt △CDF 中，∠DCF =60°，CD =4，∴DF =CD •sin CF =2，在Rt △GDF 中，DG ；②如图，连接BD ，在BD 上取一点M ，使得BM 连接PB 、PM 、MC ，过M 作MN ⊥BC 于N ．∵四边形ABCD 是菱形，且60ABC ，∴AC ⊥BD ，∠AOB =90 ，∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30 ，∴AO =12AB =2，BO ∴BD =2BO =∴326BM PB ，6PB BD，∴BM PB PB BD ∠MBP =∠PBD ，∴△MBP ~△PBD ，∴PM PB PD BD∴PM ，∴PC PC PM MC ，∴当M 、P 、C 共线时，PC 的值最小，最小值为CM ，在Rt △BMN 中，∠CBO =30 ，BM ∴MN =12BM BN 12 ，∴CN =4-1722，∴MC，∴PC 的最小值为1113．【变式训练2】如图，正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上一动点，则的最小值为，的最大值为.【答案】最小值为5，最大值为5【解析】在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PG 、DG ，如图所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，；当点P在DG的延长线时，DG，最大值为5.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是.【答案】5【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：∵OP ＝2，OA ＝4，OK ＝1，∵∠POK ＝∠AOP ，∴△POK ∽△AOP ，在△PBK 中，，的最小值为BK 的长，∵B （4，4），K （1，0），，∴的最小值为5.【变式训练4】如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60 ，A 与BC 相切于点E ，在A上任取一点P ，则2PB PD的最小值为___________．【答案】2．【详解】解：在AD 上截取AH =1.5，连接PH 、AE ，过点B 作BF ⊥DA 延长线，垂足为F ，∵AB =2，∠ABC =60°，∴BE =AF =1，AE =BF ，∴3AP AD AH AP，∵∠PAD =∠PAH ，∴△ADP ∽△APH ，∴3DP AD PH AP，∴PH ，当B 、P 、H 共线时，PB 的最小，最小值为BH 长，BH课后训练1.如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP 的最小值为（）A BC D 【答案】C【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，∵2AD BC BP ，4AB ，∴2142BP BA ，∵G 是BE 的中点，∴12BG BP ，∴BP BGBA BP，∵PBG ABP ，∴BPG BAP ，∴12PG BP AP BA ，∴12PG AP ，则12AP DP PG DP ，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长，DG C ．2.如图，在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，2）、C （4，0）、D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ＝135º，则2PD ＋PC 的最小值是.【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：∠POC＝∠EOP，∴△POC∽△EOP，，，，当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，的最小值为2DE.3.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4．C 的半径为2，点P是C 上一动点，则12AP BP的最小值______________23PB PA的最小值_______【详解】①在BC 上取点D ，使CD =14BC =1，连接AD ，PD ，PC ，由题意知：PC =2，∵12DC PC PC BC ，∠PCD =∠BCP ，∴PDC BPC ∽，∴12PD PB ，且12PA PB PA PD AD，∴AD∴2PA PB ；②在AC 上取点E ，使CE =43，连接PE ，BE ，PC ，∵42323CE PC ，23PC AC ，∴23CE PC PC AC ，且∠PCE =∠ACP ，∴PEC APC ∽，∴23PE PC PA AC ，∴23PE PA ，∴23PB PA PB PE BE ，∴BE ∴23 PB PA 的最小值为3，故答案为：3．4.如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，点P 为弧AB上一动点，求的最小值.【答案】【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时＋PD的值最小，最小值为.5.（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴PA2＝AE•AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．6.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．【解答】（1）；（2）m＝2；（3）【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或，∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴＝4，∴a．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB解析式．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵NE∥OB，∴AN（4﹣m），∵抛物线解析式为，∴PN＝﹣（）＝，，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，，∴M′E′＝BE′，∴AE BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．。
阿氏圆问题
阿氏圆问题1．阿氏圆的定义已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．2．阿氏圆的应用在初中阶段，阿氏圆主要用于求系数不相同的线段和的最小值．求PC＋kPD的最小值．3．解阿氏圆的基本方法构造子母相似△．4．解阿氏圆问题的一般步骤问题：求PC＋kPD的最小值（1）连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；（2）计算出所连接的两条线段OP、OD长度；（3）计算两条线段长度的比OPOD＝m；（4）在OD上取点M，使得OMOP＝m；（5）连接CM，与圆O的交点即为点P．5．阿氏圆问题的题型（1）两定点都在圆外：P A＋k·PB，k＜1（2）两定点都在圆内：P A＋k·PB，k＞1（3）一定点在圆外，一定点在圆内：m·P A＋n·PB，m＜1，n＞1（4）隐圆问题．类型1：两定点在圆外：系数不变，构造子三角形【例题1】（1）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________．（提示：记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝12PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值）（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，则AP＋12PB的最小值为___________．（提示：连接CP，在BC上取一点E，使得CE＝12CP＝1，则△EPC∽△PBC，∴PE＝12PB，当A、E、P三点共线时，AP＋PE（3）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上一动点，则P APC的最小值为____________．．（提示：连接BP，取BC的中点E，则△EPB∽△PCB，∴PE PC，当E、P、A三点共线时，PA＋PE）（4）如图，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，⊙A的半径为3，BC与圆相切于点E，点P在⊙A上运动，则PBPD的最小值为____________．．（提示：连接AP，作AF＝34AD＝32，则△AFP∽△APDPD＝PF）（5）如图，已知点A (－3，0)，B(0，3)，C(1，0)，若点P是⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，则1 4AP＋BP的最小值为___________．．（提示：连接CP，在OC上取一点E，使得CE＝14CP＝14，则△PEC∽△APC，∴PE＝14P A，当B、P、C三点共线时，PE＋BP（6）如图，若⊙OPOMO＝2，∠POM＝90°，点Q在⊙OPQ＋QM的最小值为____________．（提示：作OE＝15OP，则△QEO∽△PQOP Q＝QE）DDxxPP【例题2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________，PD－12PC的最大值为____________．【答案】5；5．（提示：连接BP，记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝1 2PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值5；当D、P、F三点共线时，PD－PF有最大值5）类型2：两定点在圆外：系数化简【例题3】（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值为___________．【答案】（提示：在AC上取一点E，使得CE＝23CD＝4，则△CED∽△CDA，∴ED＝23AD，当E、D、B三点共线时，ED＋BD有最小值（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，半⊙O交x轴与点A、B(2，0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD＝2，BC＝7，若点P是半⊙O上的动点，则PD的最小值为___________．【答案】OD、OP，取OD的中点E，则△OPE∽△ODP，∴PEPD，当E、P、C三点共线时，PE＋PC有最小值）CDDCB Bx（3）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B＋6PC的最小值为___________．【答案】．（提示：分别连接AC、BD交于点O，则BD＝BP，在BD上取一点M，使得BMBP，则△PBM∽△DBP，∴PMPD，当C、P、M三点共线时，PM＋PC有最小值）类型3：两定点在圆内：向外延长，构造母三角形【例题4】（1）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，圆OP是圆O上一动点，则P APB的最小值为___________．．（提示：点在圆内，反向操作，延长OB至点C，使CO＝2OB＝2，则△OPB∽△OCP，∴P B＝PC）（2）如图，已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，则2P A ＋PB的最小值为___________．【答案】13．（提示：点在圆内，反向操作，延长OC至点E，使CE＝6，连接PE、OP，则△EOP∽△POA，∴PE＝2P A，当E、P、B三点共线时，PE＋PB有最小值13）DCC（3）如图，⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上一动点，则2PC＋PE的最小值为____________．【答案】（提示：连接OP，延长OA至点F，使AF＝OA，则△FOP∽△PCO，∴PF＝2PC，当F、P、E三点共线时，PF＋PE有最小值【例题5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上一动点，点E在CB上，CE＝1，连接AD、DE，则12AD＋2DE的最小值为___________．（提示：连接CD，在CA上取一点F，使CF＝14CA＝1，则△FDC∽△DAC，∴DF＝12AD；∵CE＝1，CB＝4，∴△DCB∽△ECD，∴BD＝2DE，当F、D、B三点共线时，DF＋DB有最小值类型4：隐圆问题【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD＋23BD的最小值为____________．（提示：点D的运动轨迹为以C为圆心，2为半径的圆，在BC上取一点E，使得CE＝2 3CD＝43，则△ECD∽△BCD，∴DE＝23BD，当E、D、A三点共线时，AD＋DEBF BBBABCDDEDCBA【例题7】如图，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BP A ＝135°，则2PD＋PC的最小值为____________．【答案】．（提示：连接AB，∵∠BP A＝135°，AB＝，∴点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，连接OP，在OA上取一点E，使得OE＝12OA，则△POE∽△COP，∴PE＝12PC，当D、P、E三点共线时，PD＋PE有最小值xx。
专题2.6 阿氏圆 (隐圆压轴三)(解析版)
专题2.6 阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“AP nPB+”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“AP nPB+”问题+”转化为“AP PM关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案为：．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）A．B．6C．2 D．4【答案】A【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD 最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故选：A．【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故选：C．【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B 的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT•OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值为．【变式1-5】（西峡县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（ ）A．4B．C．D．【答案】C【解答】解：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴＝，∵AP＝2，AQ＝1，∴＝，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QB＝＝，∴的最小值，故选：C．【变式1-6】（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值为，故答案为．【变式1-7】（龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案为：．【变式1-8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD+BD的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在CB上取一点T，使得CT＝，连接DT，AT．∵CD＝2，CT＝，CB＝3，∴CD2＝CT•CB，∴＝，∵∠DCT＝∠BCD，∴△DCT∽△BCD，∴＝＝，∴DT＝BD，∴AD+BD＝AD+DT≥AT，在Rt△ACT中，AC＝4，CT＝，∴AT＝＝＝，∴AD+BD≥，∴AD+BD的最小值为．【变式1-9】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 5 ．【答案】5．【解答】解：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT＝90°，∵CD＝4，CT＝3，∴DT＝＝＝5，∵PB＝2，BT＝1，BC＝4，∴PB2＝BT•BC，∴＝，∵∠PBT＝∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴＝＝，∴PT＝PC，∵PD+PC＝PD+PT≥DT＝5，∴PD+PC的最小值为5，故答案为：5．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．【答案】2．版权所有【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【变式2-1】如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为 ．【答案】【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，则＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．故答案为：．【变式2-2】（梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3PA+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH＝＝＝，故答案为：．【变式2-3】（溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．【答案】4．【解答】解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．【变式2-4】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 2 ．【答案】2【解答】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．。
阿氏圆经典例题
阿氏圆经典例题篇一：阿氏圆是指以点P为圆心,以距离点P为半径的圆的圆心角等于直角的圆。
下面是阿氏圆的经典例题:例题:一个直径为4的圆上,点P位于圆心,点Q在圆上某一点R处,已知点P、Q、R共线,求点R的坐标。
解:因为点P、Q、R共线,所以可以得出点P和点R、点Q和点R的共线。
假设点R的坐标为(x,y),则根据阿氏圆的定义,可以得出:圆心角POQ=直角因为点P、Q、R共线,所以点P和点Q的横坐标相等,纵坐标也相等,即P的横坐标为2,Q的纵坐标为2。
根据勾股定理,可以得出:x2+y2=42将x2+y2=42代入点R的坐标(x,y)中,可以得出:x2+2y2=42因为点R在直径4上,所以可以得出:x2+2y2=4因为点Q在圆上某一点R处,所以可以得出:x2+2y2=4-2y2将上述两个式子联立起来,可以得出:x2+y2=4x2+4y2+y2=4化简后可以得出:y2=0因此,点R的坐标为(0,0)。
拓展:阿氏圆的应用非常广泛,无论是在数学、物理、工程等领域,都需要应用到阿氏圆的知识。
下面列举一些阿氏圆的应用:1. 在物理学中,阿氏圆可以用来描述物体在运动过程中的位置和速度变化。
2. 在工程学中,阿氏圆可以用来描述机械零件的几何形状和尺寸,以及设计机械运动的平衡。
3. 在计算机科学中,阿氏圆可以用来描述图形的旋转和变换。
4. 在语言学中,阿氏圆可以用来描述语音的旋转和变化。
阿氏圆是一个非常重要的数学概念,不仅在数学领域有着广泛的应用,同时也有着广泛的应用前景。
篇二：阿氏圆是几何学中一个重要的概念,指的是以任意一点为圆心,任意一段圆弧为半径所构成的圆。
阿氏圆的经典例题包括以下两种:例题1:将一个半径为2的圆剪成两个相等的直角三角形和一个小圆弧,求小圆弧的长度。
解析:将圆剪成两个相等的直角三角形和一个小圆弧,可以看作是将圆沿着一条直角边切割成两个直角三角形,然后将小圆弧沿着另外一条直角边剪出来。
根据阿氏圆的定义,小圆弧的长度等于以圆心为起点,沿着直角三角形斜边的长度,即:L = r × s其中,L是小圆弧的长度,r是圆的半径,s是直角三角形的斜边长度。
阿氏圆专题练习(含答案)
阿氏圆基础练习[类型一、向内构造]1. △ABC中，AC=6，BC=8，AB=10圆C的半径为4，点D是圆C上一动点，连接AD、BD，AD+!"BD的最小值为______，BD+"#BD的最小值为______2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3，点D是△ABC内一动点，且满足CD=2，则AD+"#BD 的最小值为______。
3. ∠O=90°,圆O的半径为 √2，PO=√10,MO=2,Q为圆O上一点，PQ+√""QM的最小值为______。
4. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，∠B=60∘,P为圆B上一动点, PD+!"PC的最小值为______。
5. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，圆B的半径为2,P是圆B上一动点，则√2PD+4PC的最小值为______。
6. 如图，边长为4的正方形的内切圆记为圆O，P是圆O上一动点，则√2PA+PB的最小值______7. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为圆O，P是圆O上一动点，则2PB+PC的最小值为______8. 如图，△ABC中AB=9，BC=8，∠ABC=60°,圆A的半径为6，P是圆A上一动点，连接PB、PC，则3PC+2PB的最小值为______。
9. 如图，在△ABC中∠B=90∘,AB=BC=2,以B为圆心作圆与AC相切，点P为圆B上任意一点，2PA+√2PC的最小值是______10.如图，已知P是边长为6的正方形ABCD内部的一个动点，PA=3，2PC+PD的最小值是______11.如图，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，点M是矩形内部一个动点，MA=15，则5MC+3MD的最小值是______[类型二、向外构造]9上一点，2PA+PB的最小值是______ 12.如图，已知扇形COD,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CD#一动点(不与C,B重合)，则2PD+PB的最13.如图，在扇形CAB中，CA=4,∠CAB=120°,D为CA的中点,P为BC小值为_____14.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4,C是OA中点,过C作CD⊥AB交圆于D点,DE是⊙O的另一条直径,P是圆上的动点,2PC+PE的最小值为[类型三、两次构造]15. 如图，△ABC中AC=BC=4，∠ACB=90°,圆C的半径为2，D是圆C上一动点，E在CB上，CE=1，AD+2DE的最小值为______。
完整版阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆〔阿波罗尼斯圆〕为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 .阿氏圆定理〔全称：阿波罗尼斯圆定理〕,具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比n〔丰1〕,那么P点的轨迹,是以定比n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB 〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆根本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴分别有点C〔m, 0〕 , D〔0, n〕.点P是平面内一动点,且OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹〔圆〕,以点.为圆心、r为半径画圆；〔假设圆已经画出那么可省略这一步〕第二步：连接动点至圆心0〔将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接〕,即连接OR OD第三步：计算出所连接的这两条线段OR OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k;第五步：在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k第六步：连接CM与圆.交点即为点P.此时CMgP所求的最小值.一…,括号外边,将其中一条线段的系数化成；,再构造△相似进行计算】习题【旋转隐圆】如图,在Rt A ABC中,/ ACB=90 , D为AC的中点,M为BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M为BD的中点),假设AC=4, BC=3那么在旋转过程中,线段C咔度的取值范围是.1.Rt △ ABC中,/ ACB=90 , AC=4 BC=3 点.为^ ABC内一动点,满足CD=2 贝U AD+2 BD3 的最小值为.2.如图,菱形ABCD勺边长为2,锐角大小为60° , O A与BC相切于点E,在O A上任取一-3……点P,贝U PB+业3 PD的最小值为2【旅转隐圆】第1鞭第2题3.如图,菱形ABCD勺边长为4, / B=60° ,圆B的半径为2, P为圆B上一动点,贝U PD+11 PC的最小值为.24.如图,点A, B在O.上,OA=OB=12,OA OB点C是OA的中点,点D在OB上,OD=10.动.,, …1…点P在③.上,贝U PC+— PD的最小值为.25.如图,等边△ ABC的边长为6,内切圆记为.O P是圆上动点,求2PB+PC勺最小值.第3题第4题第5题6.如图,边长为4的正方形,内切圆记为③ O, P是圆上的动点,求J2PA+PB勺最小值.7.如图,边长为4的正方形,点P 是正方形内部任意一点,且BP=2那么PD+1PC的最小值2为; <2 PD+4PC勺最小值为.8.在平面直角坐标系xOy中,A(2 , 0) , B(0,2) , C(4, 0), D(3, 2) , ?是左AOB7卜部的第象限内一动点,且/ BPA=135 ,贝U 2PD+PC勺最小值是.10.如图,在 Rt△ ABC 中,/ A=30° , AC=8,以 C 为圆心,⑴试判断O C 与AB 的位置关系,并说明理由；⑵点F 是③C 上一动点,点 D 在AC 上且CD=2试说明△ FCL^A ACF 1 ……EF+— FA 的最小值.211.(1)如图1,正方形 ABCD 勺边长为4,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个动点,求PD+1 PC 的最小值和PD-1PC 的最大值；22⑵如图2,正方形 ABCD 勺边长为9,圆B 的半径为6,点P 是圆B 上的一个动点,那 ,2,, 一…2…,…么PD+—PC 的最小值为 , PD-—PC 的最大值为 .3 3⑶如图3,菱形 ABCD 勺边长为4, Z B=60° ,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个 动点,那么PD+1PC 的最小值为 , PD-1PC 的最大值为 .22ZABC=60 , O A 的半径为6, P 是O A 上的动点, 连接PB PC,4为半径作O C.9,在^ ABC 中,AB=& BC=8那么3PC+2PB 勺最小值为⑶ 点E 是AB 上任意一点,在(2)的情况下,试求出B•••PD=1BP, ••• AP+1 BP=AP+PD221……,请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+—BP 的最小值为 .2⑵自主探索：在“问题提出〞的条件不变的情况下,-AP+BP 的最小值为 .3⑶ 拓展延伸：扇形 COW, / COD=90 , OC=6 OA=3 OB=5,点P 是弧CD 上一点,求 2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3 (a丰0)与x 轴交于点 A (4, 0),与y 轴交于点B,在 x 轴上有一动点E (m 0) ( 0v rnK 4),过点E 作x 轴的垂线交直线 AB 于点N,交抛物线 于点P,过点P 作P 机AB 于点M⑴求a 的值和直线AB 的函数表达式；⑵设△ PMN!勺周长为 C1, △ AEN 的周长为 C2, 假设C6,求m 的值； C25⑶如图2,在(2)条件下,将线段 OE 绕点O 逆时针旋转得到 OE',旋转角为a ( 0° Va V90° ),连接E' A 、E' B,求 E' A+2E' B 的最小值.3问题背景：如图1,在^ ABC中,BC=4, AB=2AC问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=问题再探：如图2,在AC右侧作/ CADW B,交BC的延长线于点问题解决：求△ ABC的面积的最大值.,AC=D,求CD的长.1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动.类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.探索理解：⑴如图1,A、B C在格点(小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法画出格点D,连接DA DC 使四边形ABCC^邻等四边形；r_r T-r -i r ~r~r ~r _r _i尝试体验：⑵如图2,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=120 , / ADC=60 , AB=2, BC=1,求四边形ABCD勺面积.解决应用：⑶如图3,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=75 , Z ADC=60 , BD=4小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形, 要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗如果能,请求出此时四边形ABCE®积的最小值；如果不能,请说明理由.2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形〞.(1)如图1,在四边形ABC/,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形〞.请写出你添加的一个条件.⑵如图2,等邻边四边形ABCg, AB=AD Z BAD% BCD=90 , AG BD为对角线,AC^2AR试探究BC, BD的数量关系.(3)如图3,等邻边四边形ABC" AB=AD AC=2, / BAD=^ BCD=60 ,求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.S'。
高中数学圆锥曲线系统讲解第5讲《阿氏圆》练习及答案
第5讲 阿氏圆知识与方法1.阿氏圆：设A 、B 是平面上的两个定点，若平面内的动点P 满足PA PBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆，该圆叫做阿氏圆. 2．考题中常用的阿氏圆性质：（1）圆心位置：当1λ>时，圆心M 在AB 的延长线上；当01λ<<时，圆心M 在BA 的延长线上.（2）半径公式：21dr λλ=−，其中d 为两定点A 、B 之间的距离. （3）找定点：如右图所示，设圆M 的半径为r ，对于圆M 外任意一点A ，连接AM 交圆M 于点N ，则在线段MN 上必定存在点B ，使得对于圆M 上任意一点P ，都有PA PBλ=，可以根据2MA MB r ⋅=找到点B λ=求出λ.典型例题【例题】已知两个定点()2,0A −，()4,0B ，若动点C 满足2CB CA =，则点C 的轨迹方程为______.【解析】设(),C x y ，因为2CB CA =，所以=，化简得：()22416x y ++=【答案】()22416x y ++=变式1 已知圆()22:416M x y ++=，点()2,0A −，若x 轴上的定点B 满足对圆M 上的任意一点C ，都有PA PBλ=恒成立，其中λ为常数，则点B 的坐标为______，常数______.【解析】设(),0B a ，()00,C x y ，则()2200416x y ++=，所以()22200001648y x x x =−+=−−， 故CA CB===，要使CA CB为定值，应有24428a a−=+−， 解得：4a =或2−（舍去），所以点B 的坐标为()2,0−，此时12CA CB==，即12λ=.解法2：如图，由阿氏图性质，点B 在MA 的延长线上，且2MA MB r ⋅=，所以216MB =，故8MB =，显然()4,0M −，从而点B 的坐标为()4,0，12λ==.【答案】()2,0−，12变式2 在ABC 中，6AB =，2BC AC =，则ABC 的面积的最大值为______. 【解析】解法1：设AB c =，BC a =，AC b =，则6c =，2a b =， 由余弦定理，22222536cos 24a b c b Cab b +−−==，所以21sin sin 2ABCSab C b C b b =====所以当b =时，ABC 的面积取得最大值12.解法2：以AB 中点O 为原点建立如图1所示的平面直角坐标系， 则()3,0A −，()3,0B ，设(),C xy ， 因为2BC AC==，化简得：()22516x y ++=()0y ≠。
中考数学阿氏圆专题含答案
阿氏圆基本解法：构造相似，A+kB 型第一步：连接动点至圆心O （将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接，） 则连接OP 、OD ；第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度； 第三步：计算这两条线段长度的比m OD OP =； 第四步：在OD 上取点M ，使得m OPOM =； 第五步：连接CM ，与圆O 交点即为点P.先动心，构相似，定联姻【经典例题1—A+21B 型】（1）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD+21PC 的最小值为 .PD−21PC 的最大值为 ；（2）如图，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD+32PC 的最小值为 .PD−32PC 的最大值为 ； （3）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，⊙B=60°，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B上的一个动点，求PD+21PC 的最小值为 ；求PD -21PC 的最大值为 . 【解析】由PD -21PC=PD -PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD -21PC 的值最大，最大值为DG=5．解答在BC 上取一点G ，使得BG=1，如图， ⊙12=BG PB ，224==PB BC ， ⊙PB BC BG PB =，⊙⊙PBG=⊙PBC ，⊙⊙PBG⊙⊙CBP ，⊙21==PB BG PC PG ，⊙PG=21PC ， ∴PD+21PC=DP+PG ， ∵DP+PG ≥DG∴当D 、G 、P 共线时，PD+21PC 的值最小，最小值为DG=53422=+. ∵PD -21PC=PD -PG ≤DG 当点P 在DG 的延长线上时，PD−21PC 的值最大，最大值为DG=53422=+. 故答案为：5(2)如图3中，在BC 上取一点G ，使得BG=4.⊙PB/BG=6/4=3/2，BC/PB=9/6=3/2，⊙PB/BG=BC/PB ，⊙⊙PBG=⊙PBC ，⊙⊙PBG⊙⊙CBP ，⊙PG/PC=BG/PB=32， ⊙PG=32PC ， ⊙PD+32PC=DP+PG ，⊙DP+PG⊙DG ，⊙当D 、 G 、P 共线时，PD+32PC 的值最小，最小值为DG=1069522=+. ⊙PD−32PC=PD−PG⊙DG ， 当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG=106. 故答案为106，106(3)如图4中，在BC 上取一点G ，使得BG=4，作DF⊙BC 于F.⊙PB/BG=2/1=2，BC/PB=4/2=2，⊙PB/BG=BC/PB ，⊙⊙PBG=⊙PBC ，⊙⊙PBG⊙⊙CBP ，⊙PG/PC=BG/PB=21， ⊙PG=21PC ， ⊙PD+21PC=DP+PG ，⊙DP+PG⊙DG ，⊙当D 、G 、P 共线时，PD+21PC 的值最小，最小值为DG ， 在Rt⊙CDF 中，⊙DCF=60⊙，CD=4， ⊙DF=CD⊙sin60⊙=23，CF=2，在Rt⊙GDF 中，DG=37)5()32(22=+ ⊙PD−21PC=PD−PG⊙DG ， 当点P 在DG 的延长线上时，PD−21PC 的值最大(如图2中)，最大值为DG=37. 故答案为37.练习1-1如图，正方形ABCD 的边长AB=8，E 为平面内一动点，且AE=4，F 为CD 上一点，CF=2，连接EF 、ED ，则EF+21ED 的最小值 . 【解析】如图，当点E 运动到点E′时，在AD 边上取AH=2，⊙AE′=AE=4，⊙AH AE '=2，⊙AD=8，⊙'AE AD =2， ⊙AH AE '='AE AD，⊙⊙DAE′=⊙E′AH ，⊙⊙DAE′⊙⊙E′AH ， ⊙H E DE ''=2， ⊙E′H=21DE'， ⊙EF+21ED=EF+21E′D=EF+E′H=HF ， ⊙EF+21ED 的最小值为HF 的值， ⊙DH=AD -AH=6，DF=DC -CF=6，在Rt⊙DHF 中，根据勾股定理，得 HF=2622=+DF DH ，故选：A ．练习1-2在矩形ABCD 中，AB=1，BC=3，P 为AD 上任意一点，求PB+21PD 最小值.【解析】如图，连接BD ，在矩形ABCD 中，AB=DC=1.BC=3， ⊙tan⊙DBC=DCBC=33⊙⊙DBC=30⊙ 作⊙DBN=⊙DBC=30⊙，过点D 作DM⊙BN 于点M ，BN 交AD 于点P.⊙⊙MDB=60⊙⊙AD⊙BC⊙⊙PDB=⊙DBC=30⊙ ⊙⊙MDP=30⊙⊙PM=21PD 此时BP+21PD=BP+PM 最小，最小值为BM 的长， ⊙⊙MBD=⊙CBD⊙BMD=⊙C=90⊙BD=BD⊙⊙BMD⊙⊙BCD(AAS) ⊙BM=BC=3答：PB+21PD 的最小值为3. 故选：C.练习1-3如图，P 是边长为8的正方形ABCD 内部一点，且满足BP=4，则PD+21PC 的最小值是 .【解析】在BC 边上取一点E ，使BE=2，连接DE ，如图⊙ABCD 是正方形，AB=8⊙AB=BC=CD=8，⊙BCD=90⊙⊙BP=4 ⊙2142==BP BE ，2184==BC BP ⊙BP BE =BC BP且⊙PBC=⊙PBC⊙⊙PBE⊙⊙BCP ⊙21==BC BP PC PE ⊙PE=21PC ⊙PD+21PC=PD+PE 在Rt⊙DCE 中，CD=8，CE=BC−BE=6 ⊙DE=1022=+CE CD ⊙PD+PE⊙DE⊙PD+PE⊙10 ⊙PD+21PC 的最小值是10 故选：C.练习1-4已知在△ABO 中，∠AOB=90°，AO=21，BO=8，以点O 为圆心，4为半径作圆，点D 是圆上一个动点，连接AD 、BD ，则AD+21BD 的最小值 .【解析】如图，在CB 上取一点E ，使CE=2，连接CD 、DE 、AE.∵AC=6，BC=8，AB=10，所以AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB=90∘，∵CD=4，∴CE/CD=CD/CB=21， ∴△CED ∽△CDB ，∴ED/DB=CE/CD=21， ∴ED=21BD ， ∴AD+21BD=AD+ED⊙AE ， 当且仅当E 、D 、A 三点共线时，AD+21BD 取得最小值AE=10222=+AC CE .练习1-5如图，在⊙ACE 中，CA=CE ，⊙CAE=30°，O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习21 阿氏圆模型(学生版+解析版)
专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA MA NA —=—=—=k.PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: A B =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动，点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB 的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得OP 2=0B -OC即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j.... ＿3一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B =3, OM=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，A M ＝拓夼言夼＝幸2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2.9 4.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,44点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段固弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－-x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.．点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,B M,则OE'=2, OC = 3, OM =-:: 43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. BE'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM＝豆二尸三3)32 4而：．当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B 作BF 上BC 交抛物线的对称轴千点F,以点C 为圆心，2为半径作(,C'点Q 为C上的五一个动点，求－－B Q+FQ的最小值．42如图），抛物线）1＝成＋（a+3)..I,＋3(a'1'0)与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B,;{:丘轴上有一动点E(m,O )(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB千点N,交抛物线于点P,过点P作PM上AB千点M.y yxX图l(I)求a的值和且线AB的函数表达式：图2C. 6(2)设t:.PMN的周长为C,,t:.A EN的周长为C“若-=－求m的值C 5(3)如图2,在（2)的条件下，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE',旋转角为a (0°<a<90勺，连按E'A 、EB，求E'A＋二E＇B的最小值．33.(20l9山东中考真题）如图I,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B图1图2(l)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2,若P点是半径为2的0B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+�PA的2值最小，请求出这个最小值，并说明理由．4.(2018广西柳州中考真题）如图，抛物线y= a.x2 +bx+c圭卢轴交千A(.J3,0), 8两点（点8在点A的左侧），与Y轴交于点C,且08=30A=./3oc'LO A C的平分线AD交Y轴于点D,过点A且垂直于AD的均线［交Y轴于点E,点P是X轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF..l.x轴，垂足为F,交直线AD千点H.(l)求抛物线的解析式：(2)设点P的横坐标为111,当FH=HP时，求1/1.的值：I(3)当归线P F为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，－H C为半径作1)H,点Q为o H上的一个动点，求2l�AQ+EQ的最小值4x专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1) PA MA NA —=—=—=k .PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: AB =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求．A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得O P 2=0B -O C 即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B=3, O M=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，AM ＝拓千言夼＝孛2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2. 94.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,4 4点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－－x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,BM,则OE'=2,OC=3, OM=-::43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM ＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. B E'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM ＝芦言尸＝玉3 J3 2 4而：当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B作BF上BC交抛物线的对称轴千点F,以点C为圆心，2为半径作(,C'点Q为C上的五一个动点，求－－B Q+F Q的最小值．4【答案】(I)y=入.2-3x-4(2)P{l,6)或(3,4)(3)扫3【分析】(I)根据点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=－．待定系数法求二次函数解析式即可，2(2)先求得直线BC解析式，设P(m,m2-3m-4)，则Q(m m-4)，过点P作PQ轴交直线BC千点Q,根据S四边彤A BPC= s AOC +S如，等干16建立方程，解一元二次方程即可求得Ill的值，然后求得P的坐标，五(3)在CB上取CE=－－，过点E作EG J_OC，构造CQE V>.C BQ，则当F,Q E三点共线时，取得最小值，最小值为FE,勾股定理解直角三形即可．【详解】（I)解：？抛物线y＝矿＋bx-4与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C,点A的坐标为-l,O),抛物线的对称轴是宜线x=－，3:. C(O,--4)，， 4 ， 。
中考数学专题复习39几何最值之阿氏圆问题(解析版)
问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”.如下图.已知A 、B 两点.点P 满足PA:PB=k （k ≠1）.则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现.故称“阿氏圆”。
模型展示：如下图.已知A 、B 两点.点P 满足PA ：PB=k （k≠1）.则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图.在△ABC 中.AD 是△BAC 的角平分线.则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =.ABD ACDSAB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯.即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图.在△ABC 中.外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D.则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC.连接BD.则△ACD△△AEDA B POA B POFEDCBAABCDE几何最值之阿氏圆问题方法技巧（SAS ）.CD=ED 且AD 平分△BDE.则DB AB DE AE =.即AB DBAC DC=． 接下来开始证明步骤：如图.PA ：PB=k .作△APB 的角平分线交AB 于M 点.根据角平分线定理.MA PAk MB PB==.故M 点为定点.即△APB 的角平分线交AB 于定点；作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点.根据外角平分线定理.NA PAk NB PB==.故N 点为定点.即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；又△MPN=90°.定边对定角.故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．模型最值技巧：计算PA k PB +的最小值时.利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小.解决步骤具体如下： △ 如图.将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP.OB △ 计算出这两条线段的长度比OPk OB= △ 在OB 上取一点C.使得OC k OP =.即构造△POM△△BOP.则PCk PB=.PC k PB = NM APOPB M△ 则=PA k PB PA PC AC ++≥.当A 、P 、C 三点共线时可得最小值【例1】如图.已知正方ABCD 的边长为4.圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.则12PD PC -的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时.此时PC=2.根据题意要求构造12PC .在BC 上取M 使得此时PM=1.则在点P 运动的任意时刻.均有PM=12PC .从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD.对于△PDM.PD -PM ＜DM.故当D 、M 、P 共线时.PD -PM=DM 为最大值．【详解】解：（1）如图1中.在BC 上取一点G.使得BG=1．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDC BA题型精讲△212,212====PB BC BG PB △21==PB BC BG PB △△PBG=△PBC. △△PBG△△CBP.△PC PG 21= △PG DP PC DP +=+21△DP+PG≥DG.△当D 、G 、P 共线时.PC DP 21+的值最小.最小值为DG=2234+=5． △PC PD 21-=PD -PG≤DG. 当点P 在DG 的延长线上时.PC PD 21-的值最大（如图2中）.最大值为DG=5．【例2】如图.菱形ABCD 的边长为2.锐角大小为60︒.A 与BC 相切于点E .在A 上任取一点P .则3PB 的最小值为___________．37【详解】解：在AD 上截取AH =1.5.连接PH 、AE .过点B 作BF △DA 延长线.垂足为F . △AB =2.△ABC =60°.△BE =AF =1.AE =BF 323AP AD AH AP ==△△P AD =△P AH .△△ADP △△APH .△23DP AD PH AP ==PH 3. 当B 、P 、H 共线时.3PB 的最小.最小值为BH 长. BH 222237(3) 2.5BF FH ++=37【例3】如图.在Rt ABC 中.△C =90°.CA =3.CB =4．C 的半径为2.点P 是C 上一动点.则12AP BP +的最小值______________23+PB PA 的最小值_______10410【详解】△在BC 上取点D .使CD =14BC =1.连接AD .PD .PC .由题意知：PC=2.△12DC PC PC BC ==.△PCD =△BCP .△PDC BPC ∆∆∽.△12PD PB =. 且12PA PB PA PD AD +=+≥.△229110AD AC CD =+=+=.△2PA PB 1+的最小值为10.故答案为：10；△在AC 上取点E .使CE =43.连接PE .BE .PC .△42323CE PC ==.23PC AC =.△23CE PC PC AC ==.且△PCE =△ACP . △PEC APC ∆∆∽.△23PE PC PA AC ==.△23PE PA =.△23PB PA PB PE BE +=+≥. △222244104()33BE BC CE =+=+=.△23+PB PA 的最小值为4103.故答案为：4103．1．如图.矩形ABCD 中.4,2AB AD ==.以B 为圆心.以BC 为半径画圆交边AB 于点E.点P 是弧CE 上的一个动点.连结,PD PA .则12AP DP +的最小值为（ ）提分作业A 10B 11C 13D 14【答案】C【详解】解：如图.连接BP.取BE 的中点G.连接PG. △2AD BC BP ===.4AB =.△2142BP BA ==.△G 是BE 的中点.△12BG BP =.△BP BGBA BP=. △PBG ABP ∠=∠.△BPGBAP .△12PG BP AP BA ==.△12PG AP =. 则12AP DP PG DP +=+.当P 、D 、G 三点共线时.取最小值.即DG 长. 224913DG AD AG ++C ．2．如图.已知菱形ABCD 的边长为4.60B ∠=︒.B 的半径为2.P 为B 上一动点.则12PD PC +的最小值_______．3PC 的最小值_______37111【详解】△如图.在BC 上取一点G .使得BG =1.连接PB 、PG 、GD .作DF △BC 交BC 延长线于F ．△221PB BG ==.422BC PB ==.△PB BCBG PB=.△PBG PBC ∠=∠.△PBG CBP ∆∆.△12PG BG PC PB ==.△12PG PC =.△12PD PC DP PG +=+.△DP PG DG +≥.△当D 、P 、G 共线时.PD +12PC 的值最小.最小值为DG . 在Rt △CDF 中.△DCF =60°.CD =4.△DF =CD •sin 3CF =2. 在Rt △GDF 中.DG 22(23)(5)37+=37 △如图.连接BD .在BD 上取一点M .使得BM 3连接PB 、PM 、MC .过M 作MN △BC 于N ．△四边形ABCD 是菱形.且60ABC ∠=︒. △AC △BD .△AOB =90︒.△ABO =△CBO =12△ABC =30︒.△AO =12AB =2.BO 22224223AB AO -=-BD =2 BO =433332BM PB ==343PB BD = △3BM PB PB BD ==且△MBP =△PBD .△△MBP ~△PBD .△3PM PB PD BD ==3PM =.△3PC PC PM MC =+≥.△当M 、P 、C 共线时.3PC 的值最小.最小值为CM .在Rt △BMN 中.△CBO =30︒.BM 3MN =12BM 3BN 2212BM MN -=.△CN =4-1722=. △MC 2222111CN MN CN MN ++.△3PC 111． 3．如图.在中.△ACB=90°.BC=12.AC=9.以点C 为圆心.6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD.则2AD+3BD 的最小值是 ．ABC ∆【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆.A 是定点.且要求构造23AD .条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时.DA=3.此时在线段CD 上取点M 使得DM=2.则在点D 运动过程中.始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值.直接连接BM.BM 长度的3倍即为本题答案．【详解】如图.在AC 上取一点M.使CM=4 ∵CDAC CM CD= ABCDMACDD CBAM DCBAM∴∠MCD=∠ACD ∴△DCM ∽△ACD ∴96==AC DC AD MD ∴AD MD 32=在△MDE 中.MD+DB ≥MD ∴MD+DB 最小值为MB 。
阿氏圆竞赛题
阿氏圆竞赛题阿氏圆，又称为阿基米德圆，是一个具有广泛应用的数学概念。
它的名字来源于古希腊数学家阿基米德，他首先发现了这一性质并将其应用于解决几何问题。
下面我们将详细介绍阿氏圆的定义、性质、应用以及求解方法。
一、阿氏圆的定义和性质阿氏圆是指：在平面直角坐标系中，已知一个点P（a，b）和一条直线l，求直线l与点P的距离最小的点Q的轨迹。
这个轨迹就是一个阿氏圆。
阿氏圆的半径等于点P到直线l的距离。
阿氏圆具有以下性质：1.阿氏圆的圆心是点P，半径等于点P到直线l的距离。
2.阿氏圆的方程为：(x - a) + (y - b) = r，其中r为半径。
3.阿氏圆对称于直线l，即直线l是阿氏圆的轴。
二、阿氏圆的应用阿氏圆在几何、代数、物理等领域具有广泛的应用。
例如，在解决几何问题时，通过找到阿氏圆的圆心和对称轴，可以简化问题并提高求解效率。
此外，阿氏圆还可以应用于解决生活中的实际问题，如测量、建筑等。
三、阿氏圆问题的求解方法求解阿氏圆问题的一般步骤如下：1.确定点P的坐标和直线l的方程。
2.计算点P到直线l的距离，得到阿氏圆的半径。
3.根据半径和点P的坐标，写出阿氏圆的方程。
4.根据需要，进一步求解阿氏圆与其他几何图形的位置关系、交点坐标等。
四、典型例题解析例1：已知点P（2，3），直线l的方程为x - 2 = 0，求阿氏圆的方程。
解：直线l的方程可化为x = 2，点P到直线l的距离为0，因此阿氏圆的半径为0。
故阿氏圆的方程为(x - 2) + (y - 3) = 0，即(x - 2) + (y - 3) = 0。
例2：已知点P（0，0），直线l的方程为y = x，求阿氏圆的方程。
解：直线l的方程可化为y = x，点P到直线l的距离为√2/2。
因此阿氏圆的半径为√2/2。
故阿氏圆的方程为(x - 0) + (y - 0) = (√2/2)，即x + y =2/2。
五、练习题及答案解析1.求解以下阿氏圆问题：已知点P（3，-1），直线l的方程为x - 3 = 0，求阿氏圆的方程。
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P
C O
P
C O
点 P 在圆上运动-----“阿氏圆”问题
如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r ,点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r =k ·OB.连接 P A 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？
A
》
B
B
图 2-1-1
图 2-1-2 图 2-1-3
1、“阿氏圆”构造共边共角型相似
构造△PAB ∽△CAP 推出PA 2=AB ·AC
即：半径的平方=原有线段 ×构造线段 2、“阿氏圆”一般解题步骤：
第一步：连接动点至圆心 O （将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心 相连接），则连接 O P 、OB ； 第二步：计算出所连接的这两条线段 O P 、OB 长度；
第三步：计算这两条线段长度的比k OB OP
= 第四步：在 O B 上取点 C ，使得
OB
OP
OP OC = 第五步：连接 A C ，与圆 O 交点即为点 P ．
A
P
B
O
1、（2016江阴期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，
⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求
BP
AP
2
1
的最小值．
根号37
2、如图，在RT △ABC 中，B ∠=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心做圆B 与AC 相切，P 为圆B 上一动
点，则PC PA 2
2
+的最小值为_____.
根号5
3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任意取一点
P ，则PD PB 2
3
的最小值为_____.
二分之根号37
AF=3/2
4、已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求2PA+PB 的最小值．
13
5、如图，在边长为4的正方形中，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上一动点，PC PB 2最小值为多少？ 6
6
6、边长为6的正三角形，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上的动点，2PB+PC 最小值为多少
3倍根号7
2倍根号7
7、如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2,P 为弧AB 上一动点，求PD PC 2
2
的最小值
2分之3倍根号2
8、在平面直角坐标系中，A(2，0),B(0，2),C(4，0),D(3，2),P是三角形AOB外部的第一象限内一动点，且 BPA=135°，则2PD+PC的最小值为
4倍根号2
9．（2016济南）如图1，抛物线y=ax 2
+（a+3）x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；43-=a ,AB: 34
3
+-=x y
（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若=，求m 的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+E ′B 的最小值．
（2）m=2或4（舍）（3）3分之4倍根号10
10．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值； 5,5
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．根号106，根号106
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．根号37，根号37
11、如图所示，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于(-4,-4),b(0,4)两点，直线AC ：y=-21x-6交y 轴于点C 。
点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF X 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G 。
（1）求抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式；y=-x 2-2x+4 AB:y=2x+4
（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；
（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH,HF ，当点E 运动到什么位置时，以A,E,F,H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E,H 的坐标；
②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为圆E 上一动点，求2
1AM+CM 的最小值。