2015等差数列及其性质典型例题

热点考向一：等差数列的基本量
1.已知
{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.1
2 D.2
2. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。

3、设
{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=
4．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 ,b 都是等差数列，则
=--1
212y y x x （） A ．
43
B ．
3
2
C ．1
D ．
3
4
5、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围
6、己知}{n a 为等差数列，1
22,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？
热点考向二：等差数列的判定与证明.
1.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a
---222
,,依次成等差数列.
2：在数列{}n a 中，11a =，11
14n n
a a +=-
，221
n
n b a =
-，其中*
.n N
∈（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：在数
列{}n a 中对于任意的*
n N ∈，都有1n n a a +>.
3.已知数列{n a }中，1
35a =
，数列112,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足1
()1
n n b n N a *=∈-（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项.
热点考向三：等差数性质的应用
1.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）A ．72 B ．60 C ．48 D ．36
2.在等方程0)2)(2(22
=+-+-n x x m x x
的四个根组成一个首项为
4
1
的等差数列，则|m －n|=
3．在等差数列
{}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ =
4．在等差数列}{n a 中，若4
681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= .
热点考向四：等差数列前n 项和重的基本运算
1．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，*
n N ∈)，n S =336，则n 的值是 .
2.已知{}n a 是等差数列，12
4a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S ＝________. 3、已知等差数列{}n a 的公差1
2
d =，8010042=+++a a a ，那么=100S ) A ．80 B ．120 C ．135D ．160．
4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S ( ) A ．390
B ．195
C ．180
D ．120
5.设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则
9
5
S S = 6.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 7．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ ＝________.
8. 已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，
9. 1
2008a =-，
20072005220072005
S S -=，则2008S 的值为______________ 热点考向五：等差数列前n 项和中的最值问题
1、已知等差数列
{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）
A.有最小值且是整数
B. 有最小值且是分数
C. 有最大值且是整数
D. 有最大值且是分数
2.已知数列{a n }为等差数列，若a 11
a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为()A ．11 B ．19C ．20 D ．21
3.等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值； 4．（1）设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A.d ＜0
B.a 7＝0
C.S 9＞S 5
D.S 6与S 7均为S n 的最大值
5．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为（）
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 19
D ．S 20
6．数列
{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

（1）求数列公差；（2）求前n 项和n s 的最大值；（3）当0>n
s 时，求n 的最大值。

7、设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,
,S S S 中哪一个值
最大？并说明理由.
热点考向六：等差数列前n 项和性质的应用
1.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是()A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 15
2.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260
3.项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数. 4、两个等差数列
{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若
337++=
n n T S n n ，则88
a
b = . 5.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
745
3
n n A n B n +=+，则使得
n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 7.等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，已知2
110m m m
a a a -++-=，2138m S -=,则m =)A.38 B.20 C.10 D.9 8．在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为（ ）
A ．18 B17． C ．16 D ．15
9．等差数列{}n a 中，n
a 2
110m m m a a a -+-+=≠0，若ｍ＞1
且
2
110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则ｍ的值是
（ ）A ． 10 B ． 19 C ．20 D ．38
10、等差数列
{}n a 共有21n +项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于
热点考向七：等差数列的综合应用:
1．已知函数f (x )=
4
12-x (x <－2).(1)求f (x )的反函数f -－
1(x );(2)设a 1=1,
1
1+n a =－f
－-1
(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1
－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25
m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 2.. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{
}n
S 是公差为d 的等差数列。

（1）求数列
{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式
k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为
2
9。

24、已知点（1，31
）是函数
,0()(>=a a x f x 且1≠a ）
的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和
n S 满足n S －1-n S =n
S +
1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{}
1
1
+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >2009
1000
的最小正整数n 是多少？。