高中数学 第一章 不等关系与基本不等式本章整合优质课件 北师大版选修4-5
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高中数学第1章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式课件北师大版选修4-5
阶
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一
三
§2 含有绝对值的不等式
2.1 绝对值不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明绝对 值不等式的性质定理．(重点)
2．会利用绝对值不等式的性质定理证明简单的不等式．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 绝对值的几何意义 阅读教材 P6“思考交流”以上部分，完成下列问题． 1．|a|表示在数轴上 实数a 对应的点与原点 O 的距离． 2．|x－a|的几何意义是实数x 对应的点与实数 a 对应的点之间的距离．
[探究共研型] 运用绝对值不等式求最值与范围. 探究 1 |a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？
【提示】 |a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
本题也可利用绝对值的几何意义或函数的性质求解.|x－m|表示数轴上表示 实数 x 的点到表示实数 m 的点间的距离.对于含有两个绝对值以上的代数式，通 常利用分段讨论的方法去掉绝对值转化为分段函数，进而利用分段函数的性质 解决相应问题.
已知|a|≠|b|，m＝||aa|－ －|bb||，n＝||aa|＋ ＋|bb||，则 m，n 之间的大小关系是 ________．
【精彩点拨】 易判定 m，n 与 1 的大小关系．
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用． 2．在定理中，以－b 代 b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以 a－b 代替实数 a，可得到 |a|－|b|≤|a－b|.
利用定理证明绝对值不等式 已知|x－a|<2εM，|y－b|<|2εa|，y∈(0，M)，求证：|xy－ab|<ε.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质课件北师大版选修4_5
即 a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
反思用求商法比较两个式子的大小时,变形要向着有利于判断商 与1的大小关系的方向进行,这是最重要的一步.
解:由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
������ 2������ ������ 2������������ 2������ ������ ������ +������������ ������+������ ������ ������+������
=
������ ������
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2.不等式的性质
(1)性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.
(2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.
(3)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.
推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d .
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高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.5 不等式的应用名师课件 北师大版选修4-5
思维辨析
解(1)因为 x<0,所以 f(x��) +
-
16 ������
≥1+2
(-������)·
-
16 ������
=9,
当且仅当-x=-1������6,即 x=-4 时,函数取最小值 9. (2)y=x-1+������+4 1=x+1+������+4 1-2
则有 V=πr2h=π
������2-
ℎ2 4
h=π4(4R2-h2)h=π4
(4������2-ℎ2)2ℎ2
=π4
1 2
(4������2-ℎ2
)(4������2-ℎ2)2ℎ2
≤π 1 4������2-ℎ2+4������2-ℎ2+2ℎ2 3
42
3
=π4
1 2
×
(8������2)3 27
=
493πR3.
§5 不等式的应用
学习目标
1.进一步掌握不等式的性质,并应用 不等式的性质解决一些简单的实际 问题. 2.能用平均值不等式求函数的最值, 并能解决实际应用问题.
思维脉络
1.不等式的几个重要性质 (1)a>b,c>d⇒a+c>b+d; (2)a>b,c>0⇒ac>bc, a>b,c<0⇒ac<bc;
���8���,即
x=80
时,
等号成立,f(x)取最小值.
答案:B
1 2 3 45
4.若 x>0,则 y=������2���+��� 2的最大值为
.
解析:因为 x>0,y=������2���+��� 2 = ������+12������,x+2������≥2 2, 当且仅当 x= 2时,等号成立,
高中数学北师大版选修4-5第一章不等关系与基本不等式课件 (共8份打包)5
用反证法证明不等式
若0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2， 求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.
2－ab＞1， 证明：(用反证法证明)假设2－bc＞1，
2－ca＞1，
那么2－2a＋b≥ 2－ab＞1.
①
同理2－2b＋c＞1，
②
2－2c＋a＞1.
③
①＋②＋③，得 3＞3，矛盾．
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相 矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与 已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
用放缩法证明不等式
(1)当 n∈N＋时，求证：12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1； (2)当 n∈N＋时，求证：1＋212＋312＋…＋n12＜2. 证明：(1)因为n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n ＜n＋1 1＋n＋1 1＋…＋n＋1 1]＝n＋n 1＜1，
3．常用的放缩技巧
(1)舍掉(或加进)一些项．
(2)在分式中放大(或缩小)分子(或分母)．
(3)应用重要不等式进行放缩，如a＋122＋34＞a＋122；k12＜
kk－1 1；k12＞kk＋1 1；
1＜ k
2 k＋
k－1；
1＞ k
2 k＋
k＋1(以上
k＞2 且 k∈N)．
谢谢观看！
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
2016_2017学年高中数学第一章不等关系与基本不等式本章高效整合课件北师大版选修4_5
a－b＞0， 此时(a－b)(bn－an)＜0； 当b＞a＞0时，bn－an＞0，a－b＜0， 此时(a－b)(bn－an)＜0； 当a＝b＞0时，bn－an＝0，a－b＝0， 此时(a－b)·(bn－an)＝0. 综上所述：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0. 即：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
2．会利用不等式求最大(小)值． 3．了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不 等式的证明方法． 4．会利用不等式解决一些简单的实际问题．
[命题探究]
本章为选修部分新增内容，也是选考内容，命题时，主要 题型有：含有绝对值不等式的解法，利用含有绝对值的重要不 等式证明不等式问题，用比较法、综合法、分析法、放缩法、 反证法证明简单的不等式，难度通常为中档题．
设 a＞0，b＞0，a＋b＝1.求证：1a＋1b＋a1b≥8. 证明： ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴a1b≥4， ∴1a＋1b＋a1b＝(a＋b)1a＋1b＋a1b ≥2 ab·2ab＋4＝8.∴1a＋1b＋a1b≥8.
3．分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的 重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维 方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立 的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证) 的不等式． 当要证的不等式不知如何入手时，可考虑用分析法去证 明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．
不等式的证明
1．比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式 的意义及实数比较大小的充要条件．证明的步骤大致是：作 差——恒等变形——判断结果的符号．其中，变形是证明推理 中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不 是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具 体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等 变形的方法．
2．会利用不等式求最大(小)值． 3．了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不 等式的证明方法． 4．会利用不等式解决一些简单的实际问题．
[命题探究]
本章为选修部分新增内容，也是选考内容，命题时，主要 题型有：含有绝对值不等式的解法，利用含有绝对值的重要不 等式证明不等式问题，用比较法、综合法、分析法、放缩法、 反证法证明简单的不等式，难度通常为中档题．
设 a＞0，b＞0，a＋b＝1.求证：1a＋1b＋a1b≥8. 证明： ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴a1b≥4， ∴1a＋1b＋a1b＝(a＋b)1a＋1b＋a1b ≥2 ab·2ab＋4＝8.∴1a＋1b＋a1b≥8.
3．分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的 重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维 方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立 的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证) 的不等式． 当要证的不等式不知如何入手时，可考虑用分析法去证 明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．
不等式的证明
1．比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式 的意义及实数比较大小的充要条件．证明的步骤大致是：作 差——恒等变形——判断结果的符号．其中，变形是证明推理 中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不 是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具 体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等 变形的方法．
高中数学北师大版选修4-5第一章不等关系与基本不等式课件 (共8份打包)4
(2)因为 a＞2，所以 a－1＞1. 所以 loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0. 所以lologgaaa＋－1a1＝loga(a－1)loga(a＋1)＜ logaa－1＋2 logaa＋12＝logaa22－12.
因为 a＞2，所以 0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2. 所以logaa22－12＜log2aa22＝1， 即lologgaaa＋－1a1＜1. 因为 log(a＋1)a＞0， 所以 loga(a－1)＜log(a＋1)a.
4．若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lga＋2 b＋lgb＋2 c＋ lgc＋2 a＞lg a＋lg b＋lg c.
证明：要证 lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a＞lg a＋lg b＋lg c， 只需证 lga＋2 b·b＋2 c·c＋2 a＞lg abc，
只需证a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a＞abc. 由于a＋2 b≥ ab＞0，b＋2 c≥ bc＞0，c＋2 a≥ ca＞0，且上 述三式中的等号不全成立， 所以a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a＞abc. 所以 lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a＞lg a＋lg b＋lg c.
[互动探究]本例条件不变，求证： 3( a＋ b＋ c)．
bac＋ abc＋ acb≥
证明： bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c，
在本例中已证 a＋b＋c≥ 3.
要证原不等式成立，
只需证
1≥ abc
a＋
b＋
c，
也就是只要证 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca. 而 a bc＝ ab·ac≤ab＋2 ac，b ac≤ab＋2 bc，c ab≤ac＋2 bc， 所以 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca，
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1-4-1 比较法课件 北师大版选修4-5
因为 a>b>c，所以 a－c>0，a－b>0，b－c>0，所以(a－c)(a－b)(b －c)>0，即 a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
题型二 作商比较法
a＋b 例 2 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab) 2 .
a＋b 【证明】 因为 aabb>0，(ab) 2 >0，
1.作差法的依据 若 a，b∈R，则 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2．作差法的步骤 作差→变形→判断符号(与 0 比较大小)→结论．
3．作商法的依据 若 a>0，b>0，则ba>1⇔a>b；ba＝1⇔a＝b；ba<1⇔a<b. 4．作商比较法适用证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些 不同底数对数值的大小比较.
所以
aabba＋b＝aa－2 bbb－2 a＝(ba)a－2 b，所以当 a＝b 时，显
（ab） 2
然有(ba)a－2 b＝1；当 a>b>0 时，ba>1，a－2 b>0；当 b>a>0 时，0<ba<1，
a－2 b<0，由指数函数的单调性，有(ba)a－2 b>(ba)0＝1，
a＋b 综上可知，对任意 a>0，b>0，都有 aabb≥(ab) 2 .
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
【解析】 采用特值法进行求解验证即可，若 x＝1，y＝2， z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则 ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10， ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是 az＋ by＋cx.
题型二 作商比较法
a＋b 例 2 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab) 2 .
a＋b 【证明】 因为 aabb>0，(ab) 2 >0，
1.作差法的依据 若 a，b∈R，则 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2．作差法的步骤 作差→变形→判断符号(与 0 比较大小)→结论．
3．作商法的依据 若 a>0，b>0，则ba>1⇔a>b；ba＝1⇔a＝b；ba<1⇔a<b. 4．作商比较法适用证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些 不同底数对数值的大小比较.
所以
aabba＋b＝aa－2 bbb－2 a＝(ba)a－2 b，所以当 a＝b 时，显
（ab） 2
然有(ba)a－2 b＝1；当 a>b>0 时，ba>1，a－2 b>0；当 b>a>0 时，0<ba<1，
a－2 b<0，由指数函数的单调性，有(ba)a－2 b>(ba)0＝1，
a＋b 综上可知，对任意 a>0，b>0，都有 aabb≥(ab) 2 .
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
【解析】 采用特值法进行求解验证即可，若 x＝1，y＝2， z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则 ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10， ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是 az＋ by＋cx.
高中数学第1章不等关系与基本不等式1.4.1比较法证明不等式课件北师大版选修4-5
求商比较法证明不等式
已知 a，b 均为正数，且(a－b)(m－n)>0.求证：ambn>anbm. 【精彩点拨】 根据条件和结论，可作商与 1 比较，其中要用到指数函数 的性质，由题设知 a－b 与 m－n 同号，再作分类讨论．
1．两端均出现 4 个字母 a，b，m，n，变形为abm-n，将ab与 m－n 视为两个 整体，减少了字母讨论的个数．
阶
阶
段
段
一
三
§4 不等式的证明
第 1 课时 比较法证明不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评ห้องสมุดไป่ตู้
1．理解比较法证明不等式的理论依据．(重点) 2．掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤．(重点) 3．会用比较法证明简单的不等式．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 求差比较法 阅读教材 P16“例 1”以上部分，完成下列问题． 1．理论依据 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔ a－b<0 .
比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法.当被证明的不等式两端 是多项式、分式或对数式，一般使用求差比较法，当被证明的不等式或变形后 的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用求商比较法.比较法应 用各种比较大小的地方，如函数单调性的证明、数列、三角等方面都会涉及.
1．设 t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列 t 与 s 的大小关系中正确的是( )
2．定义：要证明 a>b，只要证明 a－b>0 即可．这种方法称为求差比较法． 3．步骤 (1)作差； (2)变形； (3)判断符号 ； (4)下结论．
[小组合作型] 求差比较法证明不等式
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.5不等式的应用
解析:∵x>0,y>0,
1 ������
+
9 ������
=
1,
∴x+y= 1 + 9 (������ + ������) = ������ + 9������ + 10≥6+10=16,
������ ������
������ ������
当且仅当
������ ������
=
9������ ������
1
3
=
1.
3
3
27
当且仅当 x-1=x-1=3-2x,即 x= 4 时等号成立,
3
故
y
的最大值为
1.
27
题型一 题型二
题型二 利用平均值不等式解决实际问题
【例2】 制造一个能盛放108 L水的无盖长方体形水箱,问如何选
择尺寸,才能使用料最省?
分析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.
解:设长方体的长、宽分别为a(dm)和b(dm),高为h(dm),易知该水
f(x)=2+log2x
+
lo
5 g2
������
的最大值,
其中 0 < ������ < 1;
(2)求函数 y=(x-1)2(3-2x)
1 < ������ < 3
2
的最大值.
解:(1)∵0<x<1,
∴-log2x>0,−
lo
5 g 2 ������
>
0,
∴(-log2x)+
-5
lo g2������
解:(1)∵x<0,
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4.3几何法、反证法课件北师大选修4_5
探究一
探究二
思维辨析
证明(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12. 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 因为|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,与 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2 矛盾, 所以假设错误. 故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.
探究一
探究二
思维辨析
探究二 利用反证法证明不等式
【例 2】 已知 f(x)=x2+px+q.求 证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.
分析(1)代入即可证明;(2)利用反证法,并结合(1)中的结论推得 矛盾,从而证明不等式.
+
������2,当且仅当1������
=
1 ������
+
1������时,等号成立.
分析从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造
图形,利用余弦定理来证明.
探究一
探究二
思维辨析
证明如图,作 OA=a,OB=b,OC=c,∠AOB=∠BOC=60°,
则∠AOC=120°,AB= ������2-������������ + ������2,
第3课时 几何法、反证法
学习目标
思维脉络
1.了解几何法的证明过程,并会用 几何法证明简单的不等式. 2.掌握反证法,并会用反证法证明 不等式.
高中数学北师大版选修4-5第一章不等关系与基本不等式课件-(共8份打包)2
3 ． 当 |a － b| ＞ c 时 ， 不 等 式 |x － a| ＋ |x － b| ＞ c 的 解 集 是 什 么？
提示：因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|，所以 当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
A．(－∞，4)
B．(－∞，1)
C．(1,4)
D．(1,5)
解析：①当x＜1时，原不等式等价于
1－x－(5－x)＜2，即－4＜2，
所以x＜1.
②当1≤x≤5时，原不等式等价于 x－1－(5－x)＜2，即x＜4， 所以1≤x＜4. ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， 即4＜2，无解． 综合①②③知x＜4. 答案：A
∴f(x)＝|x－1＋a|⇔(2x－1)(x－a)≤0.
∴当 a＜12时，实数 x 的取值范围是xa≤x≤12
；
当 a＝12时，实数 x 的取值范围是12；
当 a＞12时，实数 x 的取值范围是x12≤x≤a.
1．含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对a∈(0，＋∞)，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞ a⇔x＜－a或x＞a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
作出函数的图像如图所示，它是分段函数，函数的零点是12， 由图像，可知当 x＞12时，y＜0，即参数的绝对值不等式的解法
若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，求 实数a的取值范围．
解：法一 令 y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a， 2x＋1，x≥1，
则 y1＝3，－2≤x＜1， －2x－1，x＜－2.
函数y1，y2的图像如图所示．由图可知当a＜3时，关于x的 不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质课件北师大选修4_5
Fra bibliotek探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究二 利用求商法比较大小
【例2】 已知a>b>c>0,比较a2ab2bc2c与ab+cbc+aca+b的大小. 分析用求差比较法不易变形,所以用求商比较法.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
名师点拨 要比较两个实数的大小,通常可以归结为判断它们的 差的符号(仅判断差的符号,至于确切值是多少无关紧要).在具体判 断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中,常会涉及一些具体变 形,如:因式分解、配方法等.对于具体问题,如何采用恰当的变形方 式来达到目的,要视具体问题而定.
【做一做1】 比较大小:x2+3
名师点拨 不等式的倒数性质:
①若 a>b,ab>0,则1������ < 1������. ②若 a>b,ab<0,则1������ > 1������.
【做一做2】 若a>b,则下列结论一定成立的是( )
A.������������<1
B.������������<0
C.2-a>1-b D.(a-b)c2≥0
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1比较a3+b3与a2b+ab2的大小关系,其中a,b均为负数. 解a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b<0,(a-b)2≥0. 所以(a-b)2(a+b)≤0. 故a3+b3≤a2b+ab2.
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究二 利用求商法比较大小
【例2】 已知a>b>c>0,比较a2ab2bc2c与ab+cbc+aca+b的大小. 分析用求差比较法不易变形,所以用求商比较法.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
名师点拨 要比较两个实数的大小,通常可以归结为判断它们的 差的符号(仅判断差的符号,至于确切值是多少无关紧要).在具体判 断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中,常会涉及一些具体变 形,如:因式分解、配方法等.对于具体问题,如何采用恰当的变形方 式来达到目的,要视具体问题而定.
【做一做1】 比较大小:x2+3
名师点拨 不等式的倒数性质:
①若 a>b,ab>0,则1������ < 1������. ②若 a>b,ab<0,则1������ > 1������.
【做一做2】 若a>b,则下列结论一定成立的是( )
A.������������<1
B.������������<0
C.2-a>1-b D.(a-b)c2≥0
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1比较a3+b3与a2b+ab2的大小关系,其中a,b均为负数. 解a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b<0,(a-b)2≥0. 所以(a-b)2(a+b)≤0. 故a3+b3≤a2b+ab2.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.5不等式的应用课件北师大版选修4_5
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二
【变式训练 1】
(1)求函数
f(x)=2+log2x+
lo
5 g2
������
的最大值,
其中 0 < ������ < 1;
(2)求函数 y=(x-1)2(3-2x)
1 < ������ < 3
2
的最大值.
解:(1)∵0<x<1,
∴-log2x>0,−
5 lo g2������
,
即x=
2
5时取“=”号,
∴f(x)=2+log2x+
lo
5 g2
������≤2-
2
5,
故 f(x)的最大值为 2-2 5.
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
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D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
−
1)
=
4 (x -1)2
,
即x=3
时,等号成立,故
y
最小值
=4.
答案:4
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D 典例透析 IANLITOUXI
12345
5已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,当r和h为何
值时,内接圆柱的体积最大?
解:如图,设内接圆柱的体积为 V,
∵R2
=r2+
1 ������
+
9 ������
=
1,
∴x+y= 1 + 9 (������ + ������) = ������ + 9������ + 10≥6+10=16,
高中数学第一章不等关系与基本不等式章整合提升课件北师大版选修4_5
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
3，x＞2. 当 x＜－1 时，f(x)≥1 无解． 当－1≤x≤2 时，由 f(x)≥1，得 2x－1≥1. 解得 1≤x≤2. 当 x＞2 时，由 f(x)≥1，得 x＞2. 所以不等式 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}．
(2)由 f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x| ＝－|x|－322＋54≤54， 且当 x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54， 故 m 的取值范围为－∞，54.
[高考冲浪] 1．(2017·山东卷)若 a＞b＞0，且 ab＝1，则下列不等式成 立的是( ) A．a＋1b＜2ba＜log2(a＋b) B．2ba＜log2(a＋b)＜a＋1b C．a＋1b＜log2(a＋b)＜2ba D．log2(a＋b)＜a＋1b＜2ba
解析：法一 ∵a＞b＞0，ab＝1， ∴log2(a＋b)＞log2(2 ab)＝1.
专题二 平均值不等式的应用
• [考情分析]
• 利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题，为 近几年新课标高考的热点，常与函数、数列、解析 几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出 现．在利用平均值不等式求函数的最值时，一定要 满足下列三个条件：
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
3，x＞2. 当 x＜－1 时，f(x)≥1 无解． 当－1≤x≤2 时，由 f(x)≥1，得 2x－1≥1. 解得 1≤x≤2. 当 x＞2 时，由 f(x)≥1，得 x＞2. 所以不等式 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}．
(2)由 f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x| ＝－|x|－322＋54≤54， 且当 x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54， 故 m 的取值范围为－∞，54.
[高考冲浪] 1．(2017·山东卷)若 a＞b＞0，且 ab＝1，则下列不等式成 立的是( ) A．a＋1b＜2ba＜log2(a＋b) B．2ba＜log2(a＋b)＜a＋1b C．a＋1b＜log2(a＋b)＜2ba D．log2(a＋b)＜a＋1b＜2ba
解析：法一 ∵a＞b＞0，ab＝1， ∴log2(a＋b)＞log2(2 ab)＝1.
专题二 平均值不等式的应用
• [考情分析]
• 利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题，为 近几年新课标高考的热点，常与函数、数列、解析 几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出 现．在利用平均值不等式求函数的最值时，一定要 满足下列三个条件：