拓扑学教案13

●显然，连通与下面几种说法是等价的。 ① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集； ④ X 中只有 X 和 是既开又闭的。
上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。 例 1 （1） ( R, f ) 是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。 （2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。 （3） E 空间是连通的。
1 2
X
利用归纳法，可以证明 E 连通。 定理 4 连通性是可乘的。
n
证明： 设 X , Y 都是连通空间，则 { X { y} y Y } 是 X Y 的连通覆盖。取 x X ， 则 {x} Y 连通，且与每个 X { y} 都相交。由定理 3 知， X Y 连通。 证毕。
拓扑学教案 13
第五章 连通性
普通几何中的图形 “连通” 性是一个非常直观的概念， 似乎无需给出数学的定义。 然而， 对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如： 例： 设 E 的一个子集（曲线）有 A, B 两部分构成， (0,1) 其中
2
X A
1 A {( x,sin ) x (0,1)} x B {(0, y ) 1 y 1} 如右图，细线为 A ，粗线为 B ，我们很难判断它们是否连 (0,-1)
U B （注： U 是连通子集） ，则 B ( U) B
U U
U U
(U B)
又，如果 A B ，则 U U ， U B U A ，由引理，必有 U B ，则
U U
U B
又，
U U
U X ，故有 X B ，即 X B 。
通的。 ▲有两种描述图形连通的方法： 1） 、利用集合是否相交来判定； 2） 、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。 前者称为“连通性” ，后者称为“道路连通性” 。 在上例中， X 是连通的，但是，不是道路连通的。
B
X (1,0)
§5-1 连通空间
先看一个例子： 考虑 R 上的两个子集 (0,1) 与 [1, 2) 。它们是不交的， （即交为空集） 。但是，它们的并为 ； (0, 2) 却构成了一个“整体” 而 (0,1) 与 (1, 2) 也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。 原因是： (0,1) 的一个聚点 1，属于 [1, 2) ，而不属于 (1, 2) 。 为此，给出一个“分离”的概念。 定义 1 设 A 和 B 是拓扑空间 X 的两个非空子集，如果 A B 与 A B ， 则 称 A 与 B 是分离的。 定义 2 称拓扑空间 X 是连通的，如果 X 不能表示为两个非空分离集合的并。
证明：思路：证明 X 的既开又闭子集只有 X 和 。 设 A 是 X 的连通稠密子集，且 B 是 X 的既开又闭子集。如果 B ，则必有
A B 。由引理 1，有 A B 。
于是， X A B B ，从而 B X 。因此， X 的既开又闭子集只有 X 和 。 推论 2 若 A 是 X 的连通子集，且 A Y A ，则 Y 连通。 注释：这是因为 A 是 Y 的稠密子集，由定理 2，立得推论。 ●下面的定理给出判断连通性的一个常用法则。 定理 3 如果 X 有一个连通覆盖 U （即 U 中每个成员都是连通的） ，并且 X 有一连通 u1 u2 u3 u4 u5 子集 A ， A 与 U 中每个成员都相交，则 X 连通。 定理意义的解释： U 中每个成员都是连通集，它们 构成 X 的覆盖，它们之间不一定都有交，但是存在一个
我们可以利用定理 3 的方法去证明 E 是连通的。
1 2 xE1 2 2 2
证毕。 例4 Y Bx A
1
记 Bx {( x, y ) y E } ，显然， E
B
x
。 x
即 {Bx }xE1 是 E 的覆盖，而 x ， Bx 是连通的（∵ E 连通） 故 {Bx }xE1 是 E 的连通覆盖。 记 A {( x, 0) x E } ，则 A 连通， x, A Bx 。由定理 3 知， E 连通。
X 的子集 A ， A 与它们都相交。 A 证明： 证明思路： X 的既开又闭子集只有 X 和 。 设 B 是 X 的既开又闭子集，A 是 X 的一连通子集。 根据引理 1， 要么 A B ， 要么 A B 。 如果 A B ，则 U U ，因 U A ，所以 U ⊄ B ，并且由引理，必有
1
源自文库
结论（3）是明显的。但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的 连通性，所以， E1 常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证 明一下。 证明的思路： E1 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则 E1 是连通 的。
以下是证明： 不妨设 A 是 E 的非空真闭集，于是只要证明 A 不会是开集。 设 A 的下确界为 a ，上确界为 b 。因为 A 是闭集，则有 a A, b A 。 又设 x A ，不妨假定 x a （对于 x b 情形可作类似的讨论） ，由于 ( x, a ) A ， 即 a 不是 A 的内点，从而 A 不是开集。证毕。 下面讨论连通空间的性质。 定理 1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。 证明： 设 X 连通， f : X Y 连续，我们要证明 f ( X ) 也连通。 不妨设 f ( X ) Y （否则也可以考虑 f : X f ( X ) ） 。又设 B 是 Y 的既开又闭的非空 子集，则 f
1
( B ) 是 X 的既开又闭的子集（这是根据连续映射的性质） 。 1 1 又由于 f ( B ) 非空，并且 X 是连通的，故只要 f ( B ) X （不可能为 ） ，因为映 射是满射，从而 B Y ，这说明 Y 的既开又闭的非空子集只能有 Y 。于是， Y 是连通的。
例2 单位圆 S 是连通的。
1
引理 1
若 B 是 X 的既开又闭子集， A 是 X 的连通子集，则或者 A B ，或者
A B。
证明：显然 A B A 。由于 A 是连通的，则 A 不可能存在既开又闭的子集 A B ， 则要么 A B ，要么 A B A ，即 A B 。 定理 2 若有一个连通的稠密子集 X ，则 X 连通。
1 1 1 1
1
因为 E 是连通的，且有映射 f : E S , 例3 设 A E ，则 A 连通
1
f ( x) ei 2 x ，有 f ( E1 ) S 1 。
A 是区间。
例 3 可作为定理 1 的推论。 推论 1 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即，象集是区间） 。
事实上，这个推论适于 R 上的映射，而对于其他的拓扑空间，应该有“序”的概念。 所以只作理解即可。 即，设 X 连通， f : X E ，根据例 3。推论立证。