小行星轨道模型(论文)

y2 b2
1
利用二次曲线理论求解，可得到椭圆旋转和平移两种变换后的方程如下：
1 X
2

2Y
2

| |
D C
| |

0
1, 2 为 C 的特征值。
C


a1 a2
a2 a3

,
D



a1 a2 a4
a2 a3 a5
a3
a5

1
故，椭圆长半轴： a2 D ；椭圆短半轴： b2 D ；椭圆半焦距： c a2 b2 ;
将这一包含 5 个未知数的线性方程组，写成矩阵的形式
-1-


x12 x22
2x1 y1 2x2 y2
y12 y22
2x1 2x2
2y1 2y2
a1


a2

1

1

x22 x22
2x3 y3 2x4 y4
y32 y42
2x3 2x4
2y3 2y4

y2 0.81542
1; 长半轴：a=2.4631；短半轴：b=0.8154；半焦距：
c=2.3242；离心率：e=0.9436；面积：S=6.3095；周长：L=10.9611；近日点：h1=0.1389； 远日点：h2=4.7873。 方案二：将二次曲线转化为椭圆的标准方程形式：
x2 a2
C 4aE(e)
取长半轴为 a 为周长的单位，周长可表示为
C* C 4 /2 1 e2 sin2 d
a
0
可利用数值积分指令 quadl 直接对上式积分，也可利用符号积分指令 int 对上式积分。
将参数 e2 向量和积分变量 φ 化为矩阵，则能利用梯形求和指令 trapz 求周长。用 MATLAB
1 C
2 C
离心率 e c ；面积 S ab ;
a 利用 MATLAB 求解：
图表 4 特征值求解
则所有特征值 1 0.0088, 2 0.0801；
图表 5 求解结果
同理有：
C 7.0286e-04
0.0508 0.0351 0.0381
D=

0.0351
小行星轨道模型
摘要
围绕小行星运动观测点来推测小行星运动轨迹，通过开普勒第一定律，小行星运动 轨迹为椭圆。将实际问题转化为数学问题，利用二次曲线，积分法求椭圆方程和椭圆 周长。
一、问题重述
据报道：2013 年 2 月 16 日有一颗直径大约 50 米的小行星与地球擦肩而过，小行 星撞击地球危险可能再度引起公众的关注。
故可编辑程序求解（只需做简单的四则运算）：
-3-
求解结果为：a=2.4631,b=0.8154,c=2.3242,e=0.9436 于是椭圆长半轴 a=2.4631,短半轴 b=4.2147,半焦距 c=2.3242。小行星近日点距离 h1=ac=0.1389，远日点距离 h2=a+c=4.7873。 最后计算面积、周长： 根据椭圆面积公式 S ab 则有 S=6.3095 由于椭圆周长计算较为复杂，且对于小星星来说要求精度较高，故采用
（ a1x2 2a2xy a3 y2 2a4x 2a5 y 1 0 ）利用 5 个点确定二次曲线的一般方程，并求
出椭圆的重要参数。因此将资料锁定在线性代数方程组理论和椭圆的有关概念上。即 用 5 个点的坐标数据分别带入椭圆的一般方程的线性代数方程组������1������2 + 2������2������������ + ������3������2 + 2������4������ + 2������5������ + 1 = 0，该方程组的系数为 A，右端顶为 b，则：
要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，需要在轨道平面内建立以太阳为原点的空间 直角坐标系，然后在不同时刻对小行星进行观测，以确定其轨道Biblioteka Baidu已知在 5 个不同时 刻对某颗小行星进行了 5 次观测，表 B 给出了相应的观测数据。
表 B：某小行星的 5 次观测数据（单位：天文单位）
X 坐标 Y 坐标
1 5.764 0.648
图表 1
则小行星运行轨迹的一般方程为：
图表 2
0.0508x2 0.0702xy 0.0381y2 0.4531x 0.2643y 1 0
[1]
轨迹图如图所示：
-2-
图表 3
方案一：利用椭圆一般方程与椭圆标准方程之间的关系求解椭圆参数 椭圆的一般方程:
椭圆几何中心: 长短半轴分别为: 离心率：
(e
sin
)2n
]d
其中(2n – 1)!! = 1·3…·(2n – 1)。利用积分
π/2
0
sin 2 n
xdx

(2n 1)!! 2n n!
π 2
可得用无穷级数表示的椭圆周长

C a2π{1
1 [ (2n 1)!! en ]2}
n1 2n 1 2n n!
故椭圆的周长为 做出标准椭圆图像：
������1������12 + 2������2������1������1 + ������3������12 + 2������4������1 + 2������5������1 + 1 = 0 ������1������22 + 2������2������2������2 + ������3������22 + 2������4������2 + 2������5������2 + 1 = 0 ������1������32 + 2������2������3������3 + ������3������32 + 2������4������3 + 2������5������3 + 1 = 0； ������1������42 + 2������2������4������4 + ������3������42 + 2������4������4 + 2������5������4 + 1 = 0 {������1������52 + 2������2������5������5 + ������3������52 + 2������4������5 + 2������5������5 + 1 = 0
的函数 ellipke 可直接计算第二类完全椭圆积分之值，不过，第二类完全椭圆积分定义为
因此椭圆周长为
E(m) /2 1 msin2 xdx 0
C 4aE(e2 )
将周长的椭圆积分公式按二项式展开得
-6-
C

π/2
4a [1
0
n1
(2n 1)!! 2n n!(2n 1)
A������2 + ������������������ + ������������2 + ������������ + ������������ + 1 = 0 ������������ − 2������������
������������ = 4������������ − ������2 ������������ − 2������������


a3 a4



1 1
。
x22 2x5 y5 y52
2x5
2y5 a5 1
求解这一线性方程组，即可得到曲线方程的系数。
三、模型的建立与求解
根据上述建立的模型，对数据进行处理，利用 MATLAB 对数据进行处理编程得：
求解结果：
缺点： 由于对天文知识的缺乏，对于天文学上如何计算分析求解了解甚少，以上模型仅适 用于数学分析，考虑到天体其它星体对小行星轨迹的影响，在此没有找出相关资料作为 解答。
五参考文献
[1]张志勇. 精通 MATLAB 6.5[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2003 [2]周祖逵. 椭圆周长近似公式[J]．数学通报，1995 [3]姜启源. 数学建模第四版[M]. 北京：高等教育出版社，2011
0.0381
0.1321则 D =0.0010 。
0.2265 0.1321 1.0000
-5-
故椭圆长半轴 a D =12.7097,短半轴 b D = 4.2127。c=11.9912。
1 C
2 C
则小行星近日点距离 h1=a-c= 0.7185，远日点距离 h2=a+c= 24.7009。 则偏心率 e c =0.9435，面积 S=168.2076，
������������ = 4������������ − ������2
������2 = 2(������������������2 + ������������������2 + ������������������������������ − 1) ������ + ������ − √(������ − ������)2 + ������2
a 椭圆周长的计算：
将托圆周长计算转化为数学模型，已知椭圆长半轴 a ,偏心率 e ，求其周长。
椭圆的方程为：
x asin，y bcos
其微分为
dx acosd，y bsind
弧元为
ds dx2 dy2 a2 cos2 b2 sin2 d a2 (1 sin2 ) b2 sin2 d
C椭圆周长

（4 a+b）-4 [4

0.128(a b)2 ]
(a b)2 2.8ab
ab ab
此公式误差为十万分之三此时 π 取值为 3.1416 则利用 MATLAB 编程求解
则求解得 最终结果：
C椭圆周长 10.9611
-4-
椭圆标准方程为： x2 2.46312
������2 = 2(������������������2 + ������������������2 + ������������������������������ − 1) ������ + ������ + √(������ − ������)2 + ������2
������ √������2 − ������2 ������ = ������ = ������
-8-
-9-
2 6.286 1.202
3 6.759 1.832
4 7.168 2.526
5 7.480 3.360
注：一个天文单位等于地球到太阳的平均距离，即1.4959787 1011米。
确定这颗小行星的轨道，如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，以 及椭圆轨道的周长等。
二、问题分析
根据开普勒第一定律知，小行星的轨迹是以太阳为焦点椭圆，求解小行星轨迹，将 小行星轨迹问题转化为数学模型问题，现建立椭圆方程
a
1
a2 b2 a2
sin 2
d

a
1
c2 a2
sin 2

d
周长为
C 4a /2 1 e2 sin2 d 0
其中 e 是偏心率。对于一个偏心率，可直接计算上述积分。第二类完全椭圆积分定义为
E(k) /2 1 k 2 sin2 xdx 0
周长可表示为
图表 6
L=56.5684
图表 7
四、模型评价
-7-
由以上两种模型方案解得不同结果，故可根据实际天文观察对模型进行取舍则取用 选取方案二进行求解，此模型更加贴近实际解决问题，兼顾求解的复杂程度，在误差允 许范围内可以将两者互为补充，互相印证。
可拓展性强，由于本模型充分考虑了二次曲线利用积分法求解椭圆周长，结果更为 精确，与公式法相比更具有适应性，可迁移到其它相关模型求解