人教版八年级数学上册 解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线

一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE

于点E，且BE＝

1

2BC，若∠EAB＝20°，则

∠BAC＝__________.

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为

BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，

垂足分别为E，F.

(1)求证：DE＝DF；

(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪

些线段(不说明理由)？

3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分

∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA

＝EC，求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形

4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP

垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的

面积为( )

A．0.4cm2B．0.5cm2

C．0.6cm2D．0.7cm2

5．如图，已知△ABC是等腰直角三角

形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点

D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.

◆类型二巧用等腰直角三角形构造

全等

6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，

AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，

DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求

证：DE＝DF.

◆类型三等腰(边)三角形中截长补短

或作平行线构造全等

7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，

BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB

＋CD.

8．如图，过等边△ABC的边AB上一

点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上

一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D.

(1)求证：PD＝DQ；

(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．

参考答案与解析

1．40°

2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，

D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.又

∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝

DF .

(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的有线段DF ，AE ，AF ，BE CF .

3．证明：如图，作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝1

2AC .∵AC ＝2AB ，∴AF

＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB .

4．B

5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝1

2MC .∵△ABC 是等腰直角三

角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .

6．证明：如图，连接CD .AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－

∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠BDF ，∴△ECD ≌△FBD (ASA)，∴DE ＝DF .

7．证明：如图，在线段BC 上截取BE

＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－∠DEB ＝72°.又∵AB ＝AC A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝1

2

×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝∠DEB －∠ACB ＝180°－36°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .

8．(1)P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP ＝PF .∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD (ASA)，∴PD ＝DQ .

(2)解∵△APF 是等边三角形，

PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，∴DE ＝EF ＋DF ＝1

2

AC .又∵AC

＝1，∴DE ＝1

2.