人教版八年级数学上册 解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
等腰三角形中的常见辅助线
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）试说明：PD=QD（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BE于G，求证：BG=EG.方法5补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.方法8 截长补短法构造等腰三角形8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.在△AED和△AFD中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF .3．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF ＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。
6.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法◆类型一 利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC ，若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝__________.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F . (1)求证：DE ＝DF ；(2)若∠A ＝90°，图中与DE 相等的有哪些线段(不说明理由)？3．如图，△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，E 是AD 上一点，且EA ＝EC ，求证：EB ⊥AB .二、构造等腰三角形4．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为 ( )5．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°， BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD .求证：BD ＝2CE .◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点， DE ⊥DF ，点E ，F 分别在AC ，BC 上，求证：DE ＝DF .◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 7．如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ， 求证：BC ＝AB ＋CD .8．如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D .(1)求证：PD ＝DQ ；(2)若△ABC 的边长为1，求DE 的长．参考答案与解析1．40°2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段DF，AE，AF，BE，CF.3．证明：如图，作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.4．B5．证明：如图，延长BA和CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝12MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB ＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.6．证明：如图，连接CD.∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠BDF，∴△ECD≌△FBD(ASA)，∴DE＝DF.7．证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB－∠ACB＝180°－36°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.8．(1)证明：如图，过P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC 为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF.∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(ASA)，∴PD＝DQ.(2)解：∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝1 2.。
八上数学 小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法 答案版
八上数学 小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法 答案版类型1 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线方法1 遇到等腰三角形常作底边上的高1.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC.若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝40°.2.如图，在△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA ＝EC ，求证：EB ⊥AB.证明：作EF ⊥AC 于点F.∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC. ∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD.在△ABE 和△AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE(SAS).∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB.方法2 当等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线3.如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点O 为AB 的中点，OE ⊥OF 分别交AC ，BC 于点E ，F.求证：OE ＝OF.证明：连接OC.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点O 为AB 的中点，∴∠B ＝∠ACO ＝∠BCO ＝45°，CO ⊥AB.∴OC ＝OB ，∠COB ＝90°.又∵∠EOF ＝90°，∴∠EOC ＝∠FOB.在△EOC 和△FOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOC ＝∠FOB ，OC ＝OB ，∠OCE ＝∠OBF ，∴△EOC ≌△FOB(ASA).∴OE ＝OF.类型2 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形方法1 连接两点构造含30°角的直角三角形4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，DE ＝2，则BC 的长为12.5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，AE ＝2，求CE 的长.解：连接AD.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝60°，∠ADC ＝90°. ∵DE ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°－60°＝30°.∴AD ＝2AE ＝4.又∵∠C ＝90°－∠DAC ＝30°，∴AC ＝2AD ＝8.∴CE ＝AC －AE ＝8－2＝6.方法2 延长两边构造含30°角的直角三角形(补形)6.如图，四边形ABCD 中，AD ＝4，BC ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝90°，∠ADC ＝120°，则CD ＝2.方法3 作垂线构造含30°角的直角三角形7.(广安中考)如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于点C.若EC ＝1，则OF ＝2.8.如图，在△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BD ⊥BC 于点B ，∠ABD ＝30°，求证：AB ＝2BC.证明：作AM ⊥BD ，交BD 延长线于点M.∵在Rt △ABM 中，∠ABD ＝30°，∴AB ＝2AM.∵BD 为AC 边上的中线，∴AD ＝CD.∵DB ⊥BC ，AM ⊥BD ，∴∠DBC ＝∠M ＝90°.在△BCD 和△MAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBC ＝∠M ，∠BDC ＝∠MDA ，CD ＝AD ，∴△BCD ≌△MAD(AAS).∴BC ＝AM.∴AB ＝2BC.。
初中数学等腰三角形,7种常用辅助线的添加方法,技巧归纳专题
初中数学等腰三角形，7种常用辅助线的添加方法，技巧归纳专
题
初中数学：等腰三角形，7种常用辅助线的添加方法，技巧归纳专题 -
八年级数学，等腰三角形和等边三角形是几何试题中最常见的考查要素之一。
时间过得真快，转眼又到周末。
这个周末，和大家一起分享，这套《技巧专题，等腰三角形，7种常用辅助线添加方法》，一起讲一些简单的技巧招式归纳在一起，助力练就解题神功。
前面有9个例子，有详细的分析步骤。
课后练习10个，暂时没有打和分析过程。
这些问题并不难。
你可以把它们打印下来，适当地研究一下。
方法一。
三线融合法。
三条线的组合是等腰三角形的一个非常重要的性质，也是一个非常基本的性质定理。
方法二。
用一条腰的平行线构成一个等腰三角形。
方法三，取长补短，构造等腰三角形。
截取互补，三角形解题技巧中很常见的一种添加辅助线的方法。
方法四。
在证明存在与底部相关的线段时，通常是与底部平行的直线。
这个例子不是一个好主意。
当然，用切掉长点的方法更容易互补。
方法五。
双倍长度中线法。
在三角题型中，当我们遇到中线时，要经常思考是否可以用中线翻倍的方法。
方法六。
以底边或腰为边做一个等边三角形，这样会有三角形的全等。
这种方法在解决某些求角问题时非常实用。
这个例子后面有一个类比，可以试试。
方法七，旋转。
说到等腰三角形，就必须提到旋转的方法。
换句话说，任何与旋转有关的东西都应该有一个等腰元素。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。
等腰三角形常见的辅助线的做法
等腰三角形常见的辅助线的做法
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法
方法一：做三线合一中的一线
三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
方法二：做平行线法
这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法
简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研
方法四：加倍折半法，倍长中线法。
等腰三角形辅助线的做法
专题：等腰三角形辅助线的作法类型一：利用三线合一作辅助线（1）等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线1、 如图ΔABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点且AE= AF，求证：DE=DF2、 如图，在ΔABC中，D是BC的中点，过A作EF‖BC且AE=AF，求证：DE=DF（2）没有底边中点时作底边上的高3、如图，在ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC=2∠DBC类型二：做平行线构造等腰三角形（1）作腰的平行线构造等腰三角形4、如图，ΔABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF（2）作底边的平行线构造等腰三角形5、如图，AB=AC，点D是BA的延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC（3）利用“角平分线+平行线” 构造等腰三角形6、如图，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ为ＣＤ上一点，且ＡＤ＝ＤＥ，ＥＦ‖ＢＣ 交BD于F，求证：AB=EF类型三:用“截长补短法” 构造等腰三角形7、如图，ΔABC中，∠BAC=120，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C的度数。
8、如图，ΔABC中，∠BAC=108，AB=AC，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，求证：BC=CD+AB类型四：运用角平分线作垂线9、如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180，CD⊥OA于D。
（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA =6,求OB的长。
10、如图，已知等腰RTΔABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D为ΔABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45，ＣＤ交ＡＢ于Ｅ，（1）求证：ＡＤ＝ＣＤ（２）求ＡＥ的长。
人教版八年级数学上册等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
∵AB＝AC，O 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°， ∠OAM＝12∠BAC＝45°.
∵BM＝AN，∴AB－BM＝AC－AN，即 AM＝CN. 在△OAM 和△OCN 中， O∠AO＝AOMC＝，∠C＝45°， AM＝CN， ∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°， ∴∠AOM＋∠AON＝90°， 即∠MON＝90°. ∴△MON 是等腰直角三角形．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D. 求证∠BAC＝2∠DBC.
证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE. 又∵BD⊥AC，∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠CAE＝∠DBC. ∴∠BAC＝2∠DBC.
∴CF＝CD. ∴CD＝2CE.
6．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°， BF 平分∠ABC，CD⊥BF 交 BF 的延长线于点 D.求证 BF＝
2CD.
证明：如图，延长 BA，CD，交于点 E.
∵BF 平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD， ∴△BDC≌△BDE(ASA)． ∴CD＝ED，即 CE＝2CD.
CD＝DM＋MC＝DM＋BM. ∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM.
∴DM＝12AB.
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD＝60°.求证 BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长 BD 至 E，使 BE＝AB，连接 CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE 为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
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解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE
于点E，且BE＝
1
2BC，若∠EAB＝20°，则
∠BAC＝__________.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为
BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪
些线段(不说明理由)？
3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分
∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA
＝EC，求证：EB⊥AB.
二、构造等腰三角形
4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP
垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的
面积为( )
A．0.4cm2B．0.5cm2
C．0.6cm2D．0.7cm2
5．如图，已知△ABC是等腰直角三角
形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点
D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.
◆类型二巧用等腰直角三角形构造
全等
6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，
AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，
DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求
证：DE＝DF.
◆类型三等腰(边)三角形中截长补短
或作平行线构造全等
7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，
BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB
＋CD.
8．如图，过等边△ABC的边AB上一
点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上
一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D.
(1)求证：PD＝DQ；
(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．
参考答案与解析
1．40°
2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，
D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.又
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝
DF .
(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的有线段DF ，AE ，AF ，BE CF .
3．证明：如图，作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝1
2AC .∵AC ＝2AB ，∴AF
＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB .
4．B
5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝1
2MC .∵△ABC 是等腰直角三
角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .
6．证明：如图，连接CD .AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－
∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠BDF ，∴△ECD ≌△FBD (ASA)，∴DE ＝DF .
7．证明：如图，在线段BC 上截取BE
＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－∠DEB ＝72°.又∵AB ＝AC A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝1
2
×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝∠DEB －∠ACB ＝180°－36°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .
8．(1)P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP ＝PF .∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD (ASA)，∴PD ＝DQ .
(2)解∵△APF 是等边三角形，
PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，∴DE ＝EF ＋DF ＝1
2
AC .又∵AC
＝1，∴DE ＝1
2.。