第六章 变异指标
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第六章 变异度指标讲解
解：第一步：求出第一个四分位数和第三个四分位数的位次：
Q1的位次
n
1 4
12 1 4
3.25
Q3的位次
3(n 4
1)
9.75
第二步：求出第一个四分位数和第三个四分位数，得到四分 位数
Q1
ห้องสมุดไป่ตู้22 2
24
23
Q3
30 32 2
31
Q Q3 Q1 31 23 8
显然，只了解变量的集中趋势是不够的！
第一节 变异度指标
一、变异度指标的概念
变异度指标又称标志变动度指标，是综合反 映总体各单位标志值及其分布的差异程度的 指标。
如：七个人的工资分别为：320元，320元， 400元，400元，500元，500元，2000元。
平均工资为634.29元（平均指标 ，集中趋势） 最高和最低之差为1680元（变异度指标，内
三、变异度指标的种类 1、全距 2、四分位差 3、平均差 4、标准差 5、方差 6、离散系数 7、偏度 8、峰度
第二节 变异度指标的计算
一、全距（极差） 1、全距是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，又称
极差。 全距 R=最大值－最小值 R xmax xmin
二、四分位差
1、四分位差是四分位数中间两个分位之差。 四位差Q=第三个四分位数Q3—第一个四分位数Q1 实质上是两端各去掉四分之一的数据以后的极差，表示占全
部数据一半的中间数据的离散程度。四分位差越大，表示数 据离散程度越大。
2、适用条件：四分位差是一种顺序统计量，适用于定序数 据和定量数据。尤其是当用中位数来测度数据集中趋势时。
第六章 变异指标
计算方法
可得到:全距系数, 可得到:全距系数,平均差系数 ,标准差系数 使用最多的是标准差系数. 使用最多的是标准差系数. 标准差系数 V = σ
σ x
例题3:已知甲乙两个班组工人生产资料如下: 例题3
甲 日产量 (件) 5 7 9 10 13 合计 班 工人数 (人) 6 10 12 8 4 40 乙 日产量 (件) 8 12 14 15 16 合计 班 工人数 (人) 11 14 7 6 2 40
甲班: x = 甲班
= 8.5(件) 件 = 11.9(件) 件
σ =
∑x f ∑f
2
∑ xf ∑ f
2
甲班: 甲班 σ = 2.22(件) 件 乙班: σ = 2.69(件) 乙班 件
2 .22 = × 100 % = 26 .12 % 8 .5 2 .69 = × 100 % = 22 .61 % 11 .9
要求: 要求:比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高? 产量的代表性高?
解题过程如下: 解题过程如下:
甲 日产量 工人数 班 乙 班 工人数 日产量
x
5 7 9 10 13 合 计
f
6 10 12 8 4 40
xf
30 70 108 80 52 340
x f
150 490 972 800 676 3088
3,计算变异系数:
ν
σ
=
σ
甲班: 甲班: ν σ 乙班: 乙班: ν σ
∵乙班变异系数小于甲班
∴乙班工人的平均日产量代表性高. 乙班工人的平均日产量代表性高.
�
∑|x-x| D = n
特
点
计 算 方 法
加权平均差公式: 加权平均差公式:
统计学课件--第六章 变异指标-精选文档60页
04.12.2019
课件
8
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
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课件
9
第六章 变异指标
课件
27
第六章 变异指标
第三节 标准差和标准差系数
标准差的简捷计算 目的: 避免离差平方和计算过程的出现
变量值平方 的平均数
X2X2
变量值平均 数的平方
简单标准差
X2
N
NX
2
加权标准差
X2 f f
Xf f2
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第一节 变异指标的基本理论 第二节 全距、分位差和平均差
第三节 标准差和标准差系数
第四节 偏度和峰度
第五节 变异指标的应用
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课件
2
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
一、离种趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离
离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综
三、平均差
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资 （元）
组中值（元）
X
职工人数（人）
f
300以下
250
208
300～400
350
314
400～500
450
382
500～600
统计学变异指标ppt课件
乙 丙 丁戊 520 600 700 850 平均奖金
标志值（变量值） = 626（元）
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的
程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
数据1： 1、 2、 3、 4、 5 数据2： 10、20、 30、40、50
显然,这两组数据的差别程度相同，而它们水平不同或平 均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比 较它们的差异程度大小。
这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度 大小。
变异系数
如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值 的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较 其数列平均数的代表性大小），怎么办？
V
X
100﹪
在实际工作中运用最为广泛的是标准差系数指标。
注意：标准差与标准差系数的不同应用条件：
在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小 （或说明其平均数代表性大小）时，当其平均水平相 同时，可直接计算标准差进行比较；当其平均水平不 相同（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不同 或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较。
—
-39
X 85 2 X 85 2 f 10 10
9
90
4
76
1
50
0
0
1
27
4
56
9
72
—
371
σ
X A d
2
f
f
X A d
f 2 d
f
371 39 2 d 14.85(公斤) 165 164
统计学变异指标
全距是测定标志变动度的一种粗略方法。
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
《统计基础与方法》习题06
第六章标志变异指标一、本章重点1.平均指标描述的是总体的集中趋势，而标志变异指标描述的是总体的离中趋势。
它们从两方面来反映总体的分布特征。
其作用首先是衡量平均指标代表性大小的一种尺度，其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性，第三是抽样方案设计的基本因素之一。
2.全距、全距系数；四分位差、四分位差系数；平均差、平均差系数是测定标志变异程度的最简便的方法。
但由于其数理依据欠科学，在反映标志差异程度方面代表性较差。
3.标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标。
它比前面介绍的其它指标都科学。
标准差就是标志值与其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。
标准差系数是标准差与其算术平均数之比，是反映标志差异程度方面目前最科学的统计指标之一。
4.要掌握是非标志的平均数与标准差的计算。
是非标志的最大值是0.25。
二、难点释疑1.全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。
前者计算简单、反映生动鲜明，但是不准确。
标准差比较准确，但计算过程复杂。
2.标准差系数的应用。
为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。
它是标志变异的相对指标。
它既消除了变量数列差异的影响，也消除了变量数列水平的影响。
三、练习题（一）填空题1.平均指标说明分布数列中变量值的（），而标志变异指标则说明变量值的（）。
2.（）反映总体各单位某一数量标志值的共性，也叫集中趋势。
（）可以反映他们之间的差异性，也叫（）。
3.标志变异指标是衡量（）的尺度，它还可以表明生产过程的（）或其它经济活动过程的（）。
4.标志变动度与平均数的代表性成（）。
5.全距是总体中单位标志值的（）与（）之差。
6.如果资料为组距数列，全距可以用（）和（）之差来近似地表示全距，他比实际的全距（）。
7.全距受（）的影响最大。
8.是非标志的平均数为（），标准差为（）。
9.标准差的大小不仅取决于变量值之间（）大小，还取决于（）高低。
第六章变异指标
10
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距 用最大组的上限减去最小组的下限
组距
f
150~156
3
156~162
9
162~168
25
168~174
34
174~180
20
180~186
7
186~192
1
192~198
1
合计
100
运用上 述方法计 算左边数 列的全距
11
对于开口组： 最高组的上限＝最高组的下限＋邻组的组距 最低组的下限＝最低组的上限－邻组的组距
N
5
＝
X2 (
X )2
27151
365
2
10.06
N
N
5 5
X
(X X)
(X X )2
72
-1
1
81
8
64
86
13
169
69
-4
16
57
-16
256
365
标准差是方差的正平方根。 方差和标准差即克服平均差带有绝 对值的缺点，又保留其综合平均的优点。
23
一、总体方差和标准差
• 1. 对于未分组资科
(X X )2
N
XHale Waihona Puke (X )2NN
24
求72、81、86、69、57这些数字的标准差。
X X 365 73.0
N5
(X X )2 506 10.06
平均差是离差绝对值的算术平均数 （mean deviation)。
15
1.对于未分组资料 A ·D= X X
N
2.对于分组资料
A
·D=
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距 用最大组的上限减去最小组的下限
组距
f
150~156
3
156~162
9
162~168
25
168~174
34
174~180
20
180~186
7
186~192
1
192~198
1
合计
100
运用上 述方法计 算左边数 列的全距
11
对于开口组： 最高组的上限＝最高组的下限＋邻组的组距 最低组的下限＝最低组的上限－邻组的组距
N
5
＝
X2 (
X )2
27151
365
2
10.06
N
N
5 5
X
(X X)
(X X )2
72
-1
1
81
8
64
86
13
169
69
-4
16
57
-16
256
365
标准差是方差的正平方根。 方差和标准差即克服平均差带有绝 对值的缺点，又保留其综合平均的优点。
23
一、总体方差和标准差
• 1. 对于未分组资科
(X X )2
N
XHale Waihona Puke (X )2NN
24
求72、81、86、69、57这些数字的标准差。
X X 365 73.0
N5
(X X )2 506 10.06
平均差是离差绝对值的算术平均数 （mean deviation)。
15
1.对于未分组资料 A ·D= X X
N
2.对于分组资料
A
·D=
第6章变异指标及答案
第6章变异指标及答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第六章变异指标一、本章重点1.平均指标描述的是总体的集中趋势，而变异指标描述的是总体的离中趋势。
它们从两方面来反映总体的分布特征。
其作用首先是衡量平均指标代表性大小的一种尺度，其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性，第三是抽样方案设计的基本因素之一。
2.全距、全距系数；四分位差、四分位差系数；平均差、平均差系数是测定标志变异程度的最简便的方法。
但由于其数理依据欠科学，在反映标志差异程度方面代表性较差。
3.标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标。
它比前面介绍的其它指标都科学。
标准差就是标志值与其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。
标准差系数是标准差与其算术平均数之比，是反映标志差异程度方面目前最科学的统计指标之一。
4.要掌握是非标志的平均数与标准差的计算。
是非标志的最大值是。
二、难点释疑1.全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。
前者计算简单、反映生动鲜明，但是不准确。
标准差比较准确，但计算过程复杂。
2.标准差系数的应用。
为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。
它是标志变异的相对指标。
它既消除了变量数列差异的影响，也消除了变量数列水平的影响。
三、练习题（一）填空题1.平均指标说明分布数列中变量值的（集中趋势），而标志变异指标则说明变量值的（离中趋势）。
2.（平均指标）反映总体各单位某一数量标志值的共性，也叫集中趋势。
（变异指标）可以反映他们之间的差异性，也叫（离中趋势）。
3.标志变异指标是衡量（平均指标代表性大小）的尺度，它还可以表明生产过程的（均衡性）或其它经济活动过程的（协调性）。
4.标志变动度与平均数的代表性成（反比）。
5.全距是总体中单位标志值的（最大值）与（最小值）之差。
6第六讲 变异指标
第六讲 变异指标
②变异指标可以衡量平均指标的代表 性。平均指标作为总体各单位标志值一般 水平的代表——（即它是一个代表值）其 代表性的高低，要取决于变异指标——即 各单位标志值的差异程度。
二者关系为：
变异指标越大，平均指标的代表性越小， 变异指标越小，平均指标的代表性越大， 变异指标为零，平均指标具有完全代表性。
算术平均数（X） 众数（Mo） 它们有一个共同的特征—— 中位数（Me） 都是代表值，用它来反映总体的一般水平或集中 趋势。平均指标消除了各单位标志值的差异情况 但事实上，客观事物中的这种差异（别）又是客 观存在的。（例如：教师工资有多有少，学生分 数有高有低，）标志值之间的这种差异在统计学 上叫做离散趋势，那么这种差异到低有多大呢， 即离散的程度如何呢？这必须要由变异指标来测 定。
55 65
10 30
550 1950
-17 -7
289 49
2890 1470
70-80
80-90 合计
75
85 ——
40
20 100
3000
1700 7200
第六讲 变异指标
3
13 ——
9
169 ——
360
3380 8100
步骤：1）计算组中值，求平均数
2）计算各个标志值与算术平均数的离差 X-X 3）将各项离差加以平方，并乘以次数（X-X）2f 4）把数据代入公式中。
10 70 90 30
25 35 45 55
250 2450 4050 1650
-17 -7 3 13
17 7 3 13
170 490 270 390
合计
200
—
8400
—
40
②变异指标可以衡量平均指标的代表 性。平均指标作为总体各单位标志值一般 水平的代表——（即它是一个代表值）其 代表性的高低，要取决于变异指标——即 各单位标志值的差异程度。
二者关系为：
变异指标越大，平均指标的代表性越小， 变异指标越小，平均指标的代表性越大， 变异指标为零，平均指标具有完全代表性。
算术平均数（X） 众数（Mo） 它们有一个共同的特征—— 中位数（Me） 都是代表值，用它来反映总体的一般水平或集中 趋势。平均指标消除了各单位标志值的差异情况 但事实上，客观事物中的这种差异（别）又是客 观存在的。（例如：教师工资有多有少，学生分 数有高有低，）标志值之间的这种差异在统计学 上叫做离散趋势，那么这种差异到低有多大呢， 即离散的程度如何呢？这必须要由变异指标来测 定。
55 65
10 30
550 1950
-17 -7
289 49
2890 1470
70-80
80-90 合计
75
85 ——
40
20 100
3000
1700 7200
第六讲 变异指标
3
13 ——
9
169 ——
360
3380 8100
步骤：1）计算组中值，求平均数
2）计算各个标志值与算术平均数的离差 X-X 3）将各项离差加以平方，并乘以次数（X-X）2f 4）把数据代入公式中。
10 70 90 30
25 35 45 55
250 2450 4050 1650
-17 -7 3 13
17 7 3 13
170 490 270 390
合计
200
—
8400
—
40
统计学 第六章 平均指标和标志变异指标概论
哪名运动员的发挥更稳定?
最会的比赛结果是: 中国运动员郭文珺凭借决赛的稳定发挥，以总成绩492.3环 夺得金牌; 预赛排在第1名的俄罗斯运动员纳塔利娅·帕杰 林娜以总成绩498.1环获得银牌; 预赛排在第4名的格鲁吉 亚运动员妮诺·萨卢克瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜 牌; 而预赛排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫·蒙赫珠 勒仅以479.6环的成绩名列第8名
学习目标
● 理解平均指标的意义和作用 ● 掌握数值平均数的计算方法 ● 掌握位置平均数含义﹑适用范围及计算 ● 能运用标志变异指标进行平均数 代表性的对比分析
学习重点
1、平均数和强度相对数的区别；算数平均数的特点 2、数值平均数的计算 3、众数的定义、计算及特点 4、中位数的定义、计算及特点 5、四分位数的确定 6、能运用标志变异指标进行平均数代表性的对比分析
x x1 x2 x3 xn x
n
n
四、加权算术平均数
例2 某车间20名工人加工某种零件资料：
按日产量分 工人数（人）f 日产总量 xf 组（件）x
14
2
28
求平均日产量？
15
4
60
16
8
128
平均日产量 319 20
17
5
85
16件
18
1
18
合计
20
319
Байду номын сангаас
四、加权算术平均数
1、根据单项数列计算加权算术平均数
计算公式：
n
x
x1 f1 x2
f2 x3 f3 xn
n
fn
xi
i1 n
fi
fi
fi
i1
i1
第六章 变异度指标
σ
= δ
+ σ
i
组间方差 平均组内方差
总方差： 所计算的方差。 总方差：变量值对其算术平均数 X 所计算的方差。
X → 总（体）平均数 Σ( xi X ) 2 2 σ = → n n → 总体单位数
[例] 11个工人的日产量（件）分别为： 例 个工人的日产量（ 分别为： 个工人的日产量 15,17,19,20,22,22,23,23,25,26,30。试求其总方差。 。试求其总方差。
方差及标准差的作用 方差及标准差的作用
σ =5
σ =10
是非标志的均值及标准差
其值仅表现为具有某种特征 或不具有某种特征两种情况的标 志称为是非标志，也称交替标志。 志称为是非标志，也称交替标志。
性别： 性别：男、女（非男） 非男）
1 0 1 0
产品质量：合格、 产品质量：合格、不合格
具有某种标志 总体单 的总体单位数 位总数
是非标志的均值及标准差
不具有某种标志 的总体单位数
N = N1 + N 0
N1 = N
∑f
f1
=P
N0 f0 = =Q N ∑f
P +Q =1
是非标志的均值及标准差
是非标志的均值： 是非标志的均值： f x = ∑ x = 1× P + 0 × Q = P ∑f 是非标志的标准差： 是非标志的标准差：
变异系数
以上介绍的各种变异度指标都是用绝对数表示的， 以上介绍的各种变异度指标都是用绝对数表示的，而 且都和平均数有相同单位， 且都和平均数有相同单位，它们的大小不仅受各单位 标志值变异程度的影响， 标志值变异程度的影响，还受各单位标志值平均水平 的影响， 的影响，因此在统计研究中分析不同现象间的总体差 异程度或同类现象但不同平均水平不同总体 的变异度 时就不能直接采用前面的变异程度指标中的一种作为 对比分析，而应采用变异系数作比较分析。 对比分析，而应采用变异系数作比较分析。 变异系数（离散系数）：数列的离散水平指标与数列 变异系数（离散系数）：数列的离散水平指标与数列 ）： 均值的比值。反映总体各单位标志值变异的相对程度， 均值的比值。反映总体各单位标志值变异的相对程度， 通常以百分数表示。 通常以百分数表示。
第六章 变异度指标
第六章
教学目的与要求：
变异度指标
通过本章学习，掌握变异指标的种类及计算 方法，特别是标准差的计算；能运用平均指 标和变异指标对社会经济现象进行分析。
第一节 变异度指标的意义
一、变异度指标的概念 ——反映总体各标志值间差异程度的综合指标。 它能衡量总体平均数的代表性。 二、变异度指标的作用 1、衡量平均数代表性 ——变异度指标值越大，平均数的代表性越小。 2、用来研究现象的稳定性和均衡性 3、是计算抽样误差和抽样数目的重要依据
甲
日产量 （件） 5 7 9 10 13 合计
班
工人数 （人） 6 10 12 8 4 40
乙
日产量 （件） 8 12 14 15 16 合计
班
工人数 （人） 11 14 7 6 2 40
要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？
解题过程如下： 甲 班 乙 班 日产量 工人数 日产量 工人数 2 xf x f x x xf x 2 f f f 5 7 9 10 13 合 计 6 10 12 8 4 40 8 70 490 12 108 972 14 80 800 15 52 676 16 340 3088 合 计
例：
某车间有12名工人，其日产量按大小顺序依次 排列如下：10，20，22，24，25，26，27，28， 30，32，34，35，求其四分位差。 解：Q1的位置=（n+1）/4 ＝3.25 则Q1＝（22+24）÷2＝23
Q3的位置= 3（n+1）/4＝9.75
则Q3＝（30+32）÷2＝31
所以， Q＝ Q3-Q1 ＝31-23＝8（件）
练习：根据资料计算工人的平均日产量和平均差
日产量 (x) 工人数(f) xf x x 550 -19.4 55 10 1560 65 24 -9.4 2700 75 36 0.6 1870 85 22 10.6 95 8 760 20.6 合计 100 7440
教学目的与要求：
变异度指标
通过本章学习，掌握变异指标的种类及计算 方法，特别是标准差的计算；能运用平均指 标和变异指标对社会经济现象进行分析。
第一节 变异度指标的意义
一、变异度指标的概念 ——反映总体各标志值间差异程度的综合指标。 它能衡量总体平均数的代表性。 二、变异度指标的作用 1、衡量平均数代表性 ——变异度指标值越大，平均数的代表性越小。 2、用来研究现象的稳定性和均衡性 3、是计算抽样误差和抽样数目的重要依据
甲
日产量 （件） 5 7 9 10 13 合计
班
工人数 （人） 6 10 12 8 4 40
乙
日产量 （件） 8 12 14 15 16 合计
班
工人数 （人） 11 14 7 6 2 40
要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？
解题过程如下： 甲 班 乙 班 日产量 工人数 日产量 工人数 2 xf x f x x xf x 2 f f f 5 7 9 10 13 合 计 6 10 12 8 4 40 8 70 490 12 108 972 14 80 800 15 52 676 16 340 3088 合 计
例：
某车间有12名工人，其日产量按大小顺序依次 排列如下：10，20，22，24，25，26，27，28， 30，32，34，35，求其四分位差。 解：Q1的位置=（n+1）/4 ＝3.25 则Q1＝（22+24）÷2＝23
Q3的位置= 3（n+1）/4＝9.75
则Q3＝（30+32）÷2＝31
所以， Q＝ Q3-Q1 ＝31-23＝8（件）
练习：根据资料计算工人的平均日产量和平均差
日产量 (x) 工人数(f) xf x x 550 -19.4 55 10 1560 65 24 -9.4 2700 75 36 0.6 1870 85 22 10.6 95 8 760 20.6 合计 100 7440
第6章 变异度指标
C.动差法
动差--矩. 原点的K阶动差,以Mk表示.
xf 一 阶 原 点 动 差 M 1= ∑ f
∑
一 阶 中 心 动 差 M 1=
∑
( x x) f =0 ∑ f
二 阶 原 点 动 差 M 2= 三 阶 原 点 动 差 M 3= 四 阶 原 点 动 差 M 4=
∑
x f ∑ f x f ∑ f x4 f ∑ f
采用动差法计算偏态系数. 例 采用动差法计算偏态系数.
日产量( 日产量(件) 50以下 50以下 50-60 5060-70 6070-80 7080-90 8090-100 90100-110 100110以上 110以上 合计 工人数( 工人数(人) 组中值x 组中值x 11 13 70 120 50 30 5 1 300 45 55 65 75 85 95 105 115
A. 偏度=算术平均数-众数 若偏度>0,则右偏;若偏度<0,则左偏
众数, 众数,中位数和平均数的关系图示
均值 = 中位数= 众数
均值 中位数 众数
众数 中位数 均值
对称分布
左偏分布
右偏分布
B.偏态系数--用于比较不同的分布数列 B.偏态系数--用于比较不同的分布数列 偏态系数--
偏态系数SKp公式为:
3
2
( x x)2 f 二 阶 中 心 动 差 M 2= ∑ f
∑
∑
( x x )3 f 三 阶 中 心 动 差 M 3= ∑ f
∑
∑
( x x)4 f 四 阶 中 心 动 差 M 4= ∑ f
∑
常采用三阶中心动差作为测定偏度的依据 偏态系数为:
α=
m
σ
3 3
大学课程《统计学原理》PPT课件：第六章 平均指标与标志变异指标
二、标志变异的测度
(一)极差 (二)四分位差 (三)平均差 (四)方差和标准差 (五)是非标志的标准差 (六)变异系数
第三节 分布的偏度和峰度
一、偏度
偏度是用于衡量分布的不对称程度或偏 斜程度的指标。如果用矩法方式测定,偏 度指标α是变量的三阶中心动差除以标 准差三次方。
图6-5 偏度
第三节 分布的偏度和峰度
二、峰度
峰度是用于衡量分布的集中程度或分布曲 线的尖峭程度的指标。
图6-6 峰度
第四节 运用平均指标的原则
一、总体各单位必须是同质的
在统计研究中之所以需要计算平均数, 是因为总体的各个单位在数量标志上 存在着差异,通过平均,它们之间个别的、 偶然的差异可以相互抵消,从而反映出 整个总体的特征。
第六章 平均指标与标志变 异指标
目录
1 平均指标 2 标志变异指标——分布的离中趋势 3 分布的偏度和峰度 4 运用平均指标的原则
第一节 平均指标
一、平均指标概述
(一)平均指标的含义
在统计总体中,各个统计单位有表明其 属性和特征的标志,但这些标志在各统 计单位中的表现往往是不同的。
平均指标是将总体各单位标志值的差 异抽象化,反映总体在具体条件下各单 位标志值所达到的一般水平。
第一节 平均指标
(二)平均指标的作用
1.反映总体各单位变量分布的集中趋势 和一般水平
2.比较同类现象在不同单位的发展水平
3.比较同类现象在不同时期的发展变化 趋势或规律
4.分析现象之间的依存关系
(三)平均指标的分类
根据设置平均指标的方法的不同,可以将 平均指标划分为数值平均数和位置平均 数。
数量关系的经验公式为:算术平均数x和 众数Mo的距离约等于算术平均数x与中 位数Me距离的3倍。
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解：R X max X min 110 10 90 10 120 80 40﹪
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
一、全距
全距的特点 优点:计算方法简单、易懂；
缺点: ①仅取决于两个极端值的水平，不 能反映其 间的变量分布情况； ②受个别极端值的影响过于显著， 不符合稳 健性和耐抗性的要求。
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
一、全距
指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又
第三节 标准差和标准差系数
第四节 偏度和峰度
第五节 变异指标的应用
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
一、离种趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离
离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综
合指标，也称为标志变动度
变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
二、分位差 从变量数列中，剔除了一部分极端值后
计算的类似于极差的指标。
四分位差
八分位差
十分位差
十六分位差 三十二分位差
百分位差
Q.D Q3 Q1
上四
2
下四
分位
分位
数
数
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
三、平均差 是各个数据与其算术平均数的离差绝对 值的算术平均数，用 A.D表示。
X 甲 X乙 70件
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
供货计划完成百分比(%)
季度总供 货计划执 1月 2月 3月
行结果
甲 厂
100
钢
厂
乙 厂
100
32
34
34
20
30
50
第六章 变异指标
【专栏6－1】
别把平均指标看得过重
国家统计局日前发布的报告称，与2005年的工资数 据相比，2006年全国城镇单位在岗职工的年平均工资增 加了2596元，日平均工资增加了10.36元。（中国证券 报3月26日）温家宝总理在十届全国人大五次会议记者 招待会上曾说：“一个舰队决定它速度快慢的不是那个 航行最快的船只，而是那个最慢的船只。”同样，决定 全国城镇单位在岗职工工资整体发展速度的是广大低收 入者的增长情况。
解： X 440 480 520 600 750 2790 558元
5
5
N
பைடு நூலகம் X i X 440 558 750 558
A D i1
N
5
468 93.6元
5 即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
三、平均差
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
第六章 变异指标
【专栏6－1】
别把平均指标看得过重
目前，虽然过去15年中，中国居民工资性收入稳步增长， 但收入差距的扩大，已成为工资分配中的突出问题。1 月31日，国家发改委官方网站公布系列收入分配报告显 示，1990～2005年，城乡居民的工资性收入在居民总 收入中所占的比重从45.3%逐步提高到63.2%.但也就在 这一时期，平均货币工资收入最高最低行业之比由 1.76∶1扩大为4.88∶1。如果我们不注重行业间的收入 差距过大问题，不采取措施弥补这种差距，而是任其扩 大，一味追求平均指标的增长，那就无助于“整个社会 的生活状况”的改善，因为一个舰队的速度，取决于那 个最慢的船只。
称极差。
R X m ax X m in
最大变量值或最 最小变量值或最
高组上限或开口 低组下限或开口
组假定上限
组假定下限
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
一、全距
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别 为440元、480元、520元、600元、750 元，则
R X max X min 750 440 310 元
计算公式：
⑴ 简单平均差——适用于未分组资料
N
A D
X1 X X N X
Xi X i1
N
N
第 i 个单位
的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
三、平均差
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480 元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。
高等学校应用型特色规划教材
统计学
statistics
清华大学出版社
第六章 变异指标
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握变异指标 的意义和作用；标准差和标准差系数的计算和应用。了解变异 指标的分布特性；极差、平均差和四分位差的概念、计算公式 和特点；分布的偏度与峰度。
第一节 变异指标的基本理论 第二节 全距、分位差和平均差
X
职工人数（人）
f
300以下
250
208
300～400
350
314
400～500
450
382
500～600
550
456
600～700
650
305
700～800
750
237
800～900
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的作用
衡量和比较平均数代表性的大小； 是进行质量控制的基础； 是衡量风险程度的尺度。
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
例如：某车间有两个生产小组，各有7名 工人，各人日产量如下: 甲组：20，40，60，70，80，100，120 乙组：67，68，69，70，71，72，73
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
一、全距
【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：
计划完成程度 组中值 企业数 计划产值
（﹪）
（﹪） （个） （万元）
90以下 90～100 100～110 110以上
合计
85
2
95
3
105
10
115
3
—
18
800 2 500 17 200 4 400 24 900
m
A D
X1 X
f1 X m X f1 fm
fm
i 1
Xi X
m
fi
fi
i 1
第 i 组的变量 第 i 组变量值 总体算术
值或组中值 出现的次数 平均数
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
三、平均差
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资 （元）
组中值（元）