第三章一维射影几何学

则
AB, CD
u1 u1
u3 u4
u2 u2
u4 u3
推论：设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是i p uiq,i 1, 2,3, 4
则 AB,CD v1 u1 v2 u2 v1 u1 v2 u2
v3 u3 v4 u4 v4 u4 v3 u3
点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有4!=24种排
u1 u2 u3 a1 a2 a3 0 b1 b2 b3
由代数知识,必有数 , u 使得
x a ub
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
{ x1 a1 ub1 x2 a2 b2 x3 a3 b3
{u1 a1 ub1 u2 a2 b2 u3 a3 b3
所以,点列上任意一点M的坐标可表为:
(a1 ub1, a2 b2 , a3 b3 )
（6） AD,CB BC, DA CB, AD DA, BC
1
讨论三种特殊情况：
令 1 1
1 1
2
1 2 1 0 1
1 3i
22
令 1 2 1 0 1 3 i
22
若 2 2 0 0或2 1
（1）当 1 六组交比值分别为；1，1，0，，0，
a s,b s,c s a s 1 b s
d s a s 2 b s
D
A C
B
四点的交比为： AB，CD 1
2
A CB
D
AB，CD 1
2
a
b
c a 1b
d a 2b
把一线束中四直线被任一直线（不通过线束中心或顶点O）所截四
点的交比，称为四直线的交比，记为（ab,cd)
（ab，cd） 1 2
若非点A与B重合，u1 u2 即C与D重合u3 u4
四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于 1, , 0
第二种情况 1
AB,CD
AC BD AD BC
1
ABC ABD
AC AD BC BD
说明C点分割线段AB 的值与D点分割线段AB的值只差一个符号， 一个是内分点，一个是内外分点
的形式,当时, 0 可表为
(a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
的形式.为 M1, M 2 点列的基点
u
§3.2点列的交比
AC BD 定义：设A、B、C、D为共线的四点，把 AD BC 定义为这四点
按顺序点列的交比，用符号来记 AB,CD
AB CD AC BD
AD BC
（1） AB,CD BA, DC CD, AB DC, BA
（2）
AB,
DC
BA,
CD
CD,
BA
DC,
AB
1
（3） AC, BD BD, AC CA, DB DB,CA 1
（4） AC, DB BD,CA CA, BD DB, AC 1
1
（5） AD, BC BC, AD CB, DA DA,CB 1
定理1：四直线a，b，c a 1b，d a 2b
的交比为 ab,cd 1
2
定理2：四直线a p u1q,b p u2q, c p u3q, d p u4q 的交比
(有向线段，而非距离）
AB CD
AC BD AD BC
AC BC
1
AD
ABC ABD
交比可由简比求得 BD
定理1 ：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：
a,b, a 1b, a 2b
则
AB CD 1
2
定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+iq i 1, 2,3, 4
列，故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不 同的组别，每组的值是相同的。
定理3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交 比值不变。
定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数
定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差
由定理3~定理5可知：24个交比一般取六个不同的数值：
当 2 六组交比值分别为：0，，1，1，，0
（2）当 1 六组交比值分别为-1，-1，2，1，2，1
1
六组交比值分别为
22
1 ，2，1 ，2，1，1
2
22
2
（3） 1 3 i
六组交比值分别为
2，1 ，1，1，1 ，2
2
2
22
第一种情况 1 时 则 u1 u3 u2u4 u1 u4 u2 u3 u1 u2 u3 u4 0
定义3：当 AB,CD 1 时，则称C，D两点调和分割A，B两点
或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶
成调和共轭
例1：三角形的内角平分线与外角平分线
A
AB BD
AC DC
AB BE AC EC
∴ BC, DE 1
B
DC
E
定理6：设 AB,CD 1 0为CD的中点，则 0C2 0A 0B
x1 x2 x3 a1 a2 a3 0
x =u a +v b
AB
C
b1 b2 b3
定义2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。 那个定点称为线束的心。
设 L1[a1, a2 , a3 ], L2[b1, b2 , b3 ] 为过定点的直线 L [u1, u2 , u3 ] 为线束的动直线,则
例1：已知点A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一
条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比
（AB，CD）=－４
解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合
1 2,3, 3 1,4,1 1 0,1,1
231114110 3 1 1 1
1
1 2
,
1
5 2
第三章 一维射影几何学
§3.1 点列与线束
维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几
何学和线几何学都是二维的。
定义1
点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那
条定直线称为点列的底，设 M1 a1 a2 a2 ，M2 b1 b2 b2
为定直线上二点，M x1, x2, x3 为点列的动点，则：
5
Q AB,CD 1 2 4
2 2
2
5 8
P 作业： 54 1，4，5，6
§3.3线束的交比
设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐 标依次表示为 a,b, c a 1b, d a 2b（a,b既代表直线，又代表它 们的坐标向量）
设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为： O