备战高考数学大二轮复习专题八选考4系列专题能力训练23不等式选讲理

一、能力突破训练
1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.
2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.
(1)解不等式f(x)≤5;
(2)若不等式t2+3t>f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.
|x+1a|
3.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
4.(2018全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
|x-12|+|x+12|
5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
6.设关于x 的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.
(1)若a=1,求A ;
(2)若A=R ,求a 的取值范围.
7.已知函数f (x )=|2x-1|+|x-a|,a ∈R .
(1)当a=3时,解不等式f (x )≤4;
(2)若f (x )=|x-1+a|,求x 的取值范围.
二、思维提升训练
8.已知函数f (x )= g (x )=af (x )-|x-2|,a ∈R .
{x ,x ≥1,
1x ,0<x <1,(1)当a=0时,若g (x )≤|x-1|+b 对任意x ∈(0,+∞)恒成立,求实数b 的取值范围;
(2)当a=1时,求函数y=g (x )的最小值.
9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;
(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.
10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
专题能力训练23　不等式选讲(选修4—5)
一、能力突破训练
1.证明 因为|x-1|<,|y-2|<,
所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|
≤2|x-1|+|y-2|<2=a.
×a 3+a 32.解 (1)原不等式等价于{x <-3,-2-2x ≤5
或{-3≤x ≤1,4≤5或{
x >1,2x +2≤5,得-x<-3或-3≤x ≤1或1<x ,72≤≤32因此不等式的解集为[-72,32].
(2)∵f (x )=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t 2+3t>f (x )在x ∈R 上有解,只需t 2+3t 大于f (x )的最小值,∴t 2+3t>[f (x )]min =4⇒t 2+3t-4>0⇒t<-4或t>1.
3.(1)证明 由a>0,有f (x )=+|x-a|+a ≥2.故f (x )≥2.
|x +1a |≥|x +1a -(x -a )|=1a (2)解 f (3)=+|3-a|.当a>3时,f (3)=a+,由f (3)<5,得3<a<
|3+1a |5+
212.当0<a ≤3时,f (3)=6-a+,
1a 由f (3)<5,得<a ≤3.1+52综上,a 的取值范围是(1+52,5+212
).4.解 (1)f
(x )={
-3x ,x <-12,
x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.
y=f (x )的图象如图所示.
(2)由(1)知,y=f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.5.(1)解 f (x )={-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,
2x ,x ≥1
2.当x ≤-时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1;
12
当-<x<时,f (x )<2;
1212当x 时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1.
≥12所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)证明 由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,
从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1
=(a 2-1)(1-b 2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.
6.解 (1)当x 时,2x-1+x+3≥2x+4,解得x ≥2.
≥12当-3<x<时,1-2x+x+3≥2x+4,解得-3<x ≤0.
12当x ≤-3时,1-2x-x-3≥2x+4,解得x ≤-3.
综上,原不等式的解集A={x|x ≤0或x ≥2}.
(2)当x ≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.
当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1,
得x ≥a+1或x ,
≤a -13所以a+1≤-2或a+1,得a ≤-2.
≤a -13综上,a 的取值范围为a ≤-2.
7.解 (1)当a=3时,函数f (x )=|2x-1|+|x-3|={3x -4,x ≥3,
x +2,12<x <3,
4-3x ,x ≤12,
如图,由于直线y=4和函数f (x )的图象交于点(0,4),(2,4),
故不等式f (x )≤4的解集为(0,2).
(2)由f (x )=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.
由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a )|=|x-1+a|,
当且仅当(2x-1)(x-a )≤0时取等号,
故有(2x-1)(x-a )≤0.
当a=时,可得x=,故x 的取值范围为;
1212{12}当a>时,可得x ≤a ,故x 的取值范围为;
1212≤[12,a ]当a<时,可得a ≤x ,故x 的取值范围为12≤12[a ,12].
二、思维提升训练
8.解 (1)当a=0时,g (x )=-|x-2|(x>0),
g (x )≤|x-1|+b ⇔-b ≤|x-1|+|x-2|.
|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,
当且仅当1≤x ≤2时等号成立.
故实数b 的取值范围是[-1,+∞).
(2)当a=1时,g (x )={1x +x -2,0<x <1,2x -2,1≤x ≤2,2,x >2.
当0<x<1时,g (x )=+x-2>2-2=0;
1x x ·1x 当x ≥1时,g (x )≥0,当且仅当x=1时等号成立;
故当x=1时,函数y=g (x )取得最小值0.
9.解 (1)∵a=2,
∴f (x )=|x-3|-|x-2|={
1,x ≤2,5-2x ,2<x <3,-1,x ≥3,∴f (x )≤-等价于解得x<3或x ≥3,∴不等式的解12{x ≤2,1≤-12或{5-2x ≤-12,2<x <3或{
x ≥3,-1≤-12.114≤集为{x |x ≥114}.
(2)由不等式性质可知f (x )=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a )|=|a-3|,∴若存在实数x ,使得不等式f (x )≥a 成立,则|a-3|≥a ,解得a ≤32.∴实数a 的取值范围是(-∞,32].
10.解 (1)当a=-1时,f (x )=|x-1|+|x+1|,
f (x )={
-2x ,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x ,x >1.
作出函数f (x )=|x-1|+|x+1|的图象.
由图象可知,不等式f (x )≥3的解集为
{x |x ≤-3
2或x ≥32}
.(2)若a=1,则f (x )=2|x-1|,不满足题设条件;
若a<1,则f (x )={-2x +a +1,x ≤a ,1-a ,a <x <1,2x -(a +1),x ≥1,f (x )的最小值为1-a ;
若a>1,则f (x )={
-2x +a +1,x ≤1,a -1,1<x <a ,2x -(a +1),x ≥a ,f (x )的最小值为a-1.故对于∀x ∈R ,f (x )≥2的充要条件是|a-1|≥2,a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).。