备战高考数学大二轮复习专题八选考4系列专题能力训练23不等式选讲理

一、能力突破训练

1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|

2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.

(1)解不等式f(x)≤5;

(2)若不等式t2+3t>f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.

|x+1a|

3.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).

(1)证明:f(x)≥2;

(2)若f(3)<5,求a的取值范围.

4.(2018全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

|x-12|+|x+12|

5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

6.设关于x 的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.

(1)若a=1,求A ;

(2)若A=R ,求a 的取值范围.

7.已知函数f (x )=|2x-1|+|x-a|,a ∈R .

(1)当a=3时,解不等式f (x )≤4;

(2)若f (x )=|x-1+a|,求x 的取值范围.

二、思维提升训练

8.已知函数f (x )= g (x )=af (x )-|x-2|,a ∈R .

{x ,x ≥1,

1x ,0

(2)当a=1时,求函数y=g (x )的最小值.

9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.

(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;

(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.

10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.

(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;

(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.

专题能力训练23　不等式选讲(选修4—5)

一、能力突破训练

1.证明 因为|x-1|<,|y-2|<,

所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|

≤2|x-1|+|y-2|<2=a.

×a 3+a 32.解 (1)原不等式等价于{x <-3,-2-2x ≤5

或{-3≤x ≤1,4≤5或{

x >1,2x +2≤5,得-x<-3或-3≤x ≤1或1

(2)∵f (x )=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t 2+3t>f (x )在x ∈R 上有解,只需t 2+3t 大于f (x )的最小值,∴t 2+3t>[f (x )]min =4⇒t 2+3t-4>0⇒t<-4或t>1.

3.(1)证明 由a>0,有f (x )=+|x-a|+a ≥2.故f (x )≥2.

|x +1a |≥|x +1a -(x -a )|=1a (2)解 f (3)=+|3-a|.当a>3时,f (3)=a+,由f (3)<5,得3

|3+1a |5+

212.当0

1a 由f (3)<5,得

).4.解 (1)f

(x )={

-3x ,x <-12,

x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.

y=f (x )的图象如图所示.

(2)由(1)知,y=f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.5.(1)解 f (x )={-2x ,x ≤-12,1,-12

2x ,x ≥1

2.当x ≤-时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1;

12

当-

1212当x 时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1.

≥12所以f (x )<2的解集M={x|-1

(2)证明 由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1

从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1

=(a 2-1)(1-b 2)<0.

因此|a+b|<|1+ab|.

6.解 (1)当x 时,2x-1+x+3≥2x+4,解得x ≥2.

≥12当-3

12当x ≤-3时,1-2x-x-3≥2x+4,解得x ≤-3.

综上,原不等式的解集A={x|x ≤0或x ≥2}.

(2)当x ≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.

当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1,

得x ≥a+1或x ,

≤a -13所以a+1≤-2或a+1,得a ≤-2.

≤a -13综上,a 的取值范围为a ≤-2.

7.解 (1)当a=3时,函数f (x )=|2x-1|+|x-3|={3x -4,x ≥3,

x +2,12

4-3x ,x ≤12,

如图,由于直线y=4和函数f (x )的图象交于点(0,4),(2,4),

故不等式f (x )≤4的解集为(0,2).

(2)由f (x )=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.

由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a )|=|x-1+a|,

当且仅当(2x-1)(x-a )≤0时取等号,

故有(2x-1)(x-a )≤0.

当a=时,可得x=,故x 的取值范围为;

1212{12}当a>时,可得x ≤a ,故x 的取值范围为;

1212≤[12,a ]当a<时,可得a ≤x ,故x 的取值范围为12≤12[a ,12].

二、思维提升训练

8.解 (1)当a=0时,g (x )=-|x-2|(x>0),

g (x )≤|x-1|+b ⇔-b ≤|x-1|+|x-2|.