万有引力定律讲解(附答案)

6．3 万有引力定律

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【课前预习】

1．万有引力定律：

（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。

（2）表达式： F ＝G m 1m 2r 2 。 2．引力常量

（1）引力常量通常取G ＝ 6.67×10－11 N·m 2/kg 2，它是由英国物理学家卡文迪许在实验室里测得的。

（2）意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg 的质点，相距1m 时的相互吸引力。

【新课教学】

一、牛顿的“月——地”检验 1．检验的目的：地球对月亮的力，地球对地面上物体的力，太阳对行星的力，是否是同一种力。

2．基本思路 (理论计算)：如果是同一种力，则地面上物体的重力G ∝21R ，月球受到地球的力2

1r f ∝。 又因为地面上物体的重力mg G =产生的加速度为g ，地球对月球的力提供月球作圆周运动的向心力，产生的向心加速度，有向ma F =。 所以可得到：22

R

r F G a g ==向 又知月心到地心的距离是地球半径的60倍，即r=60R ，则有：322107.23600

-⨯==⋅=g g r R a 向m/s 2。 3．检验的过程（观测计算）：

牛顿时代已测得月球到地球的距离r

月地 = 3.8×108 m ，月球的公转周期T = 27.3天，地球表面的重力加速度g = 9.8 m ／s 2，则月球绕地球运动的向心加速度：

=向a （2πT ）2r 月地 (字母表达式) =向a （2π27.3×24×3600）2

×3.8×108 (数字表达式) =向a 2.7×10－3m/s 2 (结果)。

4．检验的结果：理论计算与观测计算相吻合。表明：地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。

二、万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比，引力的方向在它们的连线上。

2．表达式： 2

21r m m G F = 描述式中质量的单位用kg ；距离的单位用m ；G 叫引力常量，最早由英国物理学家卡文迪许在实验室中通过对几个铅球之间万有引力的测量，比较准确的得出了G 的数值，通常取 G =6.67×10－11N·m 2/kg 2，其意义是引力常量在

数值上等于两个质量都是1kg 的质点，相距1m 时的相互吸引力。（测定引力常量的意义：A.卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。B.引力常量的测定使得万有引力能够进行定量计算，使万有引力定律有了真正的使用价值。）

3．万有引力的普遍性：万有引力不但存在于行星和太阳之间，也存在于宇宙中的任何天体之间。但地球上的物体，由于物体间的万有引力远小于物体的重力，所以人们很难感受或观察到，往往忽略物体间的万有引力。

4．适用条件：

（1)万有引力公式适用于质点之间的引力大小的计算。

(2)对于实际物体间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(3)两个质量分布均匀的球体间可用万有引力公式求解，式中r 即两球心之间的距离；一个质量分布均匀的球体与球外一质点之间的万有引力亦可用公式求解，r 即质点到球心的距离。

【例题精讲】

知识点1万有引力公式的理解

【例1】对于质量为1m 、2m 的两个物体间的万有引力的表达式221r m m G

F =，下列说法正确的是

( AC )

A ．公式中的G 是恒量，是实验测定的，而不是人为规定的

B ．当r 趋于零时，万有引力趋于无穷大

C ．1m 与2m 受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力

D ．1m 与2m 受到的引力大小相等、方向相反，是一对平衡力

[思路分析]由基本概念、万有引力定律及其应用条件判断。引力常量G 值是由英国物理学家卡文迪许运用扭秤实验测量出来的，所以A 正确；当r 趋于零时，此公式不能直接应用，所以直接应用公式得到的万有引力趋于无穷大是错误的，所以B 错；两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上．所以C 正确。

答案：AC

知识点2 万有引力公式的应用

【例2】火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9。那么地球表面质量为50 kg 的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量物体受到火星引力的多少倍?

[思路分析]设火星质量为M 1，地球质量为M 2，火星半径为r 1，地球半径为r 2，则有万有引力定律2

2

1r m m G F =得：4

922211212=⋅=r r M M F F 即人所受地球的吸引力约为火星表面同质量物体所受火星吸引力的2.25倍。

知识点3太阳与行星间引力的应用

【例3】已知太阳的质量为M ，地球的质量为m 1，月亮的质量为m 2，当发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球中间，如图所示．设月亮到太阳的距离为a ，地球到月亮的距离为b ，则太阳对地球的引力F 1和对月亮的引力F 2的大小之比为多少？

答案：m 1a 2

m 2(a ＋b )2

【例4】地球的质量是月球质量的81倍，若地球吸引月球的力的大小为F ，则月球吸引地球的力的大小为( B )

A ．F/81

B ．F

C ．9F

D ．81F

【方法技巧练】

一、用割补法求解万有引力的技巧

6．有一质量为M 、半径为R 的密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M

中挖去一半径为R 2

的球体，如图1所示，求剩下部分对m 的万有引力F 为多大？ 答案：7GMm 36R 2

解析：一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式F ＝G mM r

2直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．此时我们可以用“割补法”进行求解．

设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m 的万有引力为F 1，可以看做是剩余部分对质点的万有引力F 与被挖小球对质点的万有引力F 2的合力，即

F 1＝F ＋F 2.

设被挖小球的质量为M ′，其球心到质点间的距离为r ′

由题意知M ′＝M 8，r ′＝3R 2

； 由万有引力定律得

F 1＝

G Mm (2R )2＝GMm 4R 2

F 2＝

G M ′m r ′2＝G M 8m (32

R )2＝GMm 18R 2 故F ＝F 1－F 2＝7GMm 36R 2

. 方法总结：本题易错之处为求F 时将球体与质点之间的距离d 当做两物体间的距离，直接用公式求解．求解时要注意，挖去球形空穴后的剩余部分已不是一个均匀球体，不能直接运用万有引力定律公式进行计算，只能用割补法．

【教材补充】