4一维定态(1)
关于一维定态波函数宇称的一点讨论
关于一维定态波函数宇称的一点讨论
一维定态波函数是宇称最常用的描述方式之一，它定义了宇称中的量化变化。
主要有以下几方面涉及：
1、一维定态波函数是什么？
一维定态波函数（一维空间函数）是一种可以描述宇称的数学工具。
它由一系列来自函数的层次创建，它们可以描述宇称中的排斥、吸引力和阻尼等复杂变化。
2、一维定态波函数的用途
一维定态波函数可以用来模拟宇称中许多系统，包括物理系统、光学系统、声学系统、电子系统等。
通过一维定态波函数，可以准确地预测宇称中复杂物理反应的发展，从而实现对反应的工程控制和优化。
3、一维定态波函数的优势
（1）简洁：一维定态波函数的优势在于其表述简洁，便于建模分析；
（2）高效：一维定态波函数运算速度快，是目前研究最成熟的数学模型；
（3）精确：一维定态波函数之所以被广泛使用，是因为它提供了较为准确的实验结果，可以模拟系统受多种边界条件和气压等因素的影响；
（4）可扩展：一维定态波函数容易根据不同的实验结果进行扩展，保证研究准确性和可靠性。
4、一维定态波函数的应用
一维定态波函数的常见应用有洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定性和定量分析等。
此外，一维定态波函数还可用于太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。
5、总结
一维定态波函数是描述宇称变化的最常用方式之一，它具有简便、高效、精准度高等优势，已被广泛应用于实际宇称模拟研究中，常用于洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定态和定量分析、太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
Chapter 3-1 一维定态问题(上)
当n分别是奇数和偶数时，满足 偶函数 → ψn ( −x) =ψn ( x) (n为奇数) (n为偶数)
奇函数 → ψn ( −x) =−ψn ( x)
即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称 这时的波函数具有偶宇称；当n为偶数时， 波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具 有奇宇称。本征函数所具有的这种确定的奇 偶性(宇称)是由势函数 对原点的这种对称性 而来的。关于这个问题，后面将就普遍情形 作专门讨论。
a.势U(x)中第一类不连续性的存在并不改 变加于函数的标准条件。事实上, 按Schrodinger 方程 ψ ′′ = (U − ε )ψ 在势的每一个不连续点，U出现一有限量的突 ψ 也如此，但ψ ′′ 的积分在这些点上保 然跳跃， ′′ 持连续: 因此ψ ′及ψ (理由更充足)处处连续。 （证明见：曾《量子力学导论》p53）
节点数 : 按定义，所谓节点，即本征函数 的零点(端点除外)，从图可以看出 ψ n 与x轴相 交(n-1)次，即ψ n 有(n-1)个节点。
§3.2.3 有限深对称方势阱
⎧ ⎪ 0, ⎪ V (x) = ⎨ ⎪V , ⎪ 0 ⎩ a x < 2 a x ≥ 2
(1)
a为阱宽，为势阱高度。 以下讨论束缚态情况 ( 0 < E < V0 ) , 前例可看成 是 V0 ≥ E 的极限情况。
⎧ d 2ψ + α 2ψ = 0 ( x < a) ⎪ 2 ⎨ dx ⎪ ψ =0 ( x ≥ a) ⎩
(3)
在 x < a 区域内的通解是
ψ = A sin α x + B cos α x
(4)
亦可取为ψ = c sin(α x +δ ) ， c 和 δ 待定。
第三章： 一维定态问题
为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，则在（6）式中取n为最高幂时：
EMBED Equation.3 (2)
但 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
考虑在原点0（x=0）处波函数 EMBED Equation.3 （x）和一阶倒数 EMBED Equation.3 （x）的连接性，有：
但 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
是归一化常数， EMBED Equation.3 是奇阶数厄米多项式。
#
［4］考虑粒子 EMBED Equation.3 在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数。
（解）本题中设想粒子从左侧入射。
在（x〈0〉区中有入射反射波
EMBED Equation.3 （1）
在（x>0区）中仅有透射波
EMBED Equation.3
由（3）得
EMBED Equation.3 (7)
式中的m=0,1,2,3,4,……
（7）式即我们需求的粒子的能级。
本题的波函数是 EMBED Equation.3
（0<x<a区）： EMBED Equation.3 （2）
（x>a区）： EMBED Equation.3 （3）
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
一维定态的一般性质
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
1 2 2 1 0
( 1 2 2 1 ) 0
1 2 2 1 常数(与x无关)
得证
对束缚态
1 2 2 1
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇 点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 证明 设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两 个束缚态解
1 2 2 1
本征值E的解，则
是方程（3）的对应于能量 (x)
( 也是方程（3）的对应于 x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 (x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能 量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
《一维定态问题》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问 题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行 为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概 念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定 态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学 中有广泛的应用，例如描 述电子在一维势场中的行 为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电 子能带等问题时，可以把 复杂的多维系统简化为一 维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实 现量子计算提供了基础， 如量子比特的储存和操作 等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以 进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对 一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的 关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一 维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板 上演示一维定态问题的解析求 解过程。
18.4薛定谔方程在一维定态问题中的应用
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.
2
E
2
k1
ik1x
2mE 2
O
V V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
1 Ae
ik1x
Be
V 0
V 0
Ⅱ 区薛定谔方程为：
2 2 2 k2 2 0 2 x
x1
x2
x
k2
2
2m( V0 E ) 2
2 A2e k x B 2e k x
2 2
Ⅲ 区薛定谔方程为：
2 2 d x ˆ H x U x x E x 2 2m dx
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
（2）定态薛定谔方程的通解
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
阱外：
(x ) 0
阱内： 令
2
k
2
d x 2 k x 0 2 dx
2 3 2 k3 3 0 2 x
k3
2
2mE 2
3 A3e
ik3x
Ⅰ区粒子进入Ⅲ区的概率为
E E
O
Ⅰ
V V0
Ⅱ Ⅲ
P
3 x 1 x
2
2
2
2 x 2 x
2
2
2
e
2a 2 m(V 0 E )
V 0
V 0
(整理)北京大学量子力学期末试题
量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。
第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t时，波函数为()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
一维定态波函数宇称的讨论
一维定态波函数宇称的讨论Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT一维定态波函数宇称的讨论一、一维定态波函数波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。
在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。
由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。
在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。
一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。
二、简并能级与非简并能级能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。
量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。
在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。
对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。
需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。
三、对一维定态波函数宇称的理解1.对宇称的理解引入宇称算符比较容易说明。
宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→→∧-=x x P ψψ。
量子物理基础 15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
S z e
磁 矩 r
(2) 解释
• 磁场作用下的原子附加能量 磁矩和角动量的关系
r L
e r µ =− L 2me r
的方向） 向 z 轴（外磁场 B 的方向）投影
µ
e e µz = − Lz = − (mlh) = −ml µB µB ——玻尔磁子 2me 2me r r 由于磁场作用, 由于磁场作用 原子附加能量为 ∆E = −µ ⋅ B= −µ cosθ B l µBB = −µz B = m
2 (k12 − k2 )2 sin 2 (k2a) R= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2 2 4k12k2 T= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T + R =1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=3000 电子数 N=7 N=70000 N=20000 电子数 N=100 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在 r 2 dW =| Ψ(r , t) | dV r * r =Ψ(r , t)Ψ (r , t)dV
r Ψ(r ,t)
r r
o
dV
说明 • t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为 区域，
d2Ψ( x) 2mE + 2 Ψ( x) = 0 2 dx h
第2章 一维定态问题
即 V0a2 2h2 / 2m
时，才能出现最低的奇宇称能级。
由以上分析可以看出，束缚态能级是分立的，它是束 缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
18
➢§2.3 线性谐振子
自然界中广泛碰到简谐运动，任何物体在平衡位 置附近的小振动(如分子的振动、晶格的振动、原 子表面振动及辐射场的振动等)在选择了适当的坐 标之后，往往可以分解成若干个相互独立的谐振 动。另外谐振动又是复杂运动的初步近似。所以 谐振动的研究无论在理论上还是在应用上，都是 极为重要的。谐振子的本征值问题，在历史上 Heisenberg首先用矩阵力学加以解决，后来Dirac 用算子代数的方法给出了极漂亮的解。
Th7：粒子在规则势场（V无奇点）中运动，如存 在束缚态，则必定是不简并的。 1 '2 2 '1 不包含 '1/ 1 '2/ 2 1 c2
说明：对多数常见的不规则势阱，上定理也成立， 但对某些常见的不规则势阱定理不成立。
6
➢§2.2 方位势
1 一维无限深势阱 分立谱
第2章 一维定态问题
本章我们将薛定谔方程应用到几个比较简单 的力学系统中去，求出方程的解和阐明这些 解的物理意义。具体分为如下问题
1 一维定态的一般性质 2 方位势 3 线性谐振子 4 一维散射问题
1
➢§2.1 一维定态的一般性质
一维情况下，定态薛定谔方程为
[
h2 2m
d dx2
(14)
15
据波函数及其导数在|x|=a/2处的连续性，可确定粒子的能量 本征值。若只讨论能量本征值，更方便的方法是利用
'/ 或ln'
一维定态薛定谔方程的一般性质
其中 α 为实数
[e iαψ ( x)]∗ = e iαψ ( x)
可见存在实函数 ϕ ( x) = e
iα
A14
ψ ( x)
它与ψ ( x) 描写同样的物理状态
3
一维束缚态能级分立 束缚态满足ψ ( x → ±∞) → 0 对给定的 E 边界条件 ψ ( x → +∞) → 0 确定一个薛定谔方程 A1 的解 记之为
上式说明
即
ψ ( x) = c ′ϕ ( x)
c ′ 为常数
A7
在 ϕ ( x) 的两个零点之间
ϕ ( x) 和ψ ( x) 只差一个常系数
所以在 ϕ ( x) = 0 的地方
因为 ϕ ( x) 是导数连续的函数 空间为零 根据 A6
ϕ ′( x) 不能为零 否则它在全
在 ϕ ( x) 的零点
ψ ( x) 也等于零
ψ ∗ ( x) 也是对应同样能量的束缚本征态
由结论 1 可知
ψ ∗ ( x) = cψ ( x)
两边取复共轭 得ψ ( x ) = c
∗
A12
ψ ∗ ( x) 因此
A13 代入 A12 式得到
ψ ∗ ( x) =| c | 2 ψ ∗ ( x)
所以
| c | 2 = 1 可令 c = exp(i 2α )
即
2M ( E 2 − E1 )ψϕ h2
A5
d (ψ ′ϕ − ϕ ′ψ ) = 2M ( E 2 − E1 )ψϕ dx h2
若 E1 = E 2 上式为零
ψ ′ϕ − ϕ ′ψ = c
其中 c 为常数 因为有 A3 式 常数 c = 0
(A6) 因此在所有 ϕ ( x) ≠ 0 的地方
一维定态练习题
粒子不能穿过无限高的势 垒。
由于Delta势阱是无限深的， 所有处于该势阱环境下的粒 子不可能存Ｓ－方程的基态是能 量最低的能量本征态。
V ( x ) V0
上面的对称势垒的定态波函数 只能是奇函数或偶函数
V(x)和V(x)+V0两种势场对 应于相同的定态波函数， 但能量相差一个常数。
• V(x)和V(x+a)两种势场对 应于粒子的能量谱相同只 是相应波函数做了一个平 移。相差一个常数。
于其能量本征态的非简并性（本征能量和本征函数一一对 应），每一本征波函数必有确定的宇称（要么奇，要么 偶）。【以上三点也适用于三维情况】
一维定态问题的一般性质
• 如果V(x)存在一个最小值，定态的每一本征能量 必大于该势场的最小值。 • 如果｜x｜趋于无穷大时，粒子总处于经典不允许 区，则该定态必为束缚态。【束缚态的一个判据】 • 一维束缚态必对应着分立的本征能谱。 • 对于规则势场[非奇异V(x)]，一维束缚态必不简 并。
一维线性谐振子的所有定 态波函数都是束缚态
对于一维对称方势阱， 无论势阱多浅多窄，都 有束缚态。
势场具有空间反演对称 性的一维束缚态的基态 必为偶宇称态。
能量本征值的连续谱是指 体系的本征能量可以为任 意数值。
• 在势场V(x)中，束缚态下 粒子能量取值必定在 V min E V 外 mim 范围内 的一组断续值
一维定态问题的一般性质
•若 ( x ) 满足 H ( x ) E ( x ) 则 ( x ) * 也满足此定态 S－方程。 •对于每一个能量本征值，总能找到一实的本征波函数 •如果势场具有空间反演对称性，则 ( x ) 和 ( x ) 都是对应同一本征能量的定态波函数。由此可构建一奇函 数和一偶函数为该本征能量的波函数，但对于束缚态，由
量子力学 曾谨言 第五版 第三章知识点
所以，当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 做空间反射变换：
x → −x
ψ ( x) → ψ (− x)
ˆ 代表空间反射变换： P ˆψ ( x= ) ，用算符 P
ψ (− x)
宇称本征方程：
ˆψ ( x) = λψ ( x) P
可证 λ 为实数。只有当 λ 为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对
1
作者：张宏标（任课教师）
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
称为它的简并度。 (ii)、当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 [证] 分能级无简并和有简并两种情况来证明 (1)、能级无简并情况：对应能级 E ，只有一个独立的本征波函数。 设ψ ( x) 为能量值为 E 的本征波函数，能量本征方程：
作者：张宏标（任课教师） 2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
应，而测量值总是实数。
ˆ 的本征值 λ 。 宇称（Parity） ：空间反射变换算符 P
宇称的可能取值：
因此，在 x = x0 点，ψ ′( x) 不连续， 连接条件为：
ψ ′( x0 + ε ) −ψ ′( x0 − ε ) = −
2mV0 ψ ( x0 ) 。 2
′ −ψ 2ψ 1′ = (v)、若ψ 1 ( x) 和ψ 2 ( x) 都是能级本征值 E 所对应的本征波函数，则有ψ 1ψ 2 常数 。 ′ = ψ 2ψ 1′ 。 而对于束缚态（即 lim ψ ( x) → 0 ） ，则为ψ 1ψ 2
§第三章 一维问题 §31 一维定态的一些特例 1, 一维方势阱问题
§第三章 一维问题§3.1 一维定态的一些特例1, 一维方势阱问题，Landau 与Pauli 的矛盾《无限深方势阱》这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。
但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。
研究一维 Schrodinger 方程，其中位势为(3.1a) 于是定义在整个x 轴上的 Schrodinger 方程现在分为三个区域：第I 区a x -≤，第II 区a x <，第III 区a x ≥。
由于I 区和III 区中()+∞=x V （无穷位势问题见讨论i,），为使 Schrodinger 方程成立，这两个区域中的波函数()x ψ必须为零 —— 即有边界条件()0=x ψ()a x ≥。
说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。
于是坐标波函数求解只须对第II 区进行，(3.1b)有时，这里的边界条件被简单地写作()()ψx =0x =a 1。
但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。
参见下面有关讨论。
显然，在第II 区x <a 内方程通解为1 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论v 的脚注。
()()122ψx =Asin kx +α2mE k =⎧⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩这里出现两个待定系数A 、α和一个待定参数k （它的数值将决定阱中粒子的能量）。
为了确定它们，利用两个边界条件()ψ±a =0（加上总几率归一条件，一共也是三个），即()()sin ka +α=0sin -ka +α=0⎧⎪⎨⎪⎩ 由此得n α=ka =π2，n =1,2,3, 。
最后，阱中粒子的能级和波函数分别为(3.2a)(3.2b)这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明：i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。
因为第一，介质中势能不可能真是无限大；第二，势函数也不可能是严格的阶跃。
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为x2 ，动量的不确定量为p2，则（ A）
A. x1=， x2=a B. x1= 0， x2=a
C. p10， p2=0
D. p10， p20
2016/12/14
DUT 常葆荣
12
例题
设一维无限深势阱的宽度为a，（1）势阱中电子的波
长是否可以连续变化？（2）写出波长与a的关系式； （3）写出电子动量与a的关系式；（4）写出电子能
i(
Et
k1 x )
B1e
i(
Et
k1 x )
15
Ⅰ区
1
A1 e
i(
Et
k1 x )
B 1e
i(
Et
k1 x )
U0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ E B3 = 0
0
自左向右的入射波 自右向左的反射波
Ⅱ区 Ⅲ区
2
A2e
i(
Et
k2 x )
B2e
i(
Et
x
概率密度不均匀，概率密度 波函数只能是半个正弦波的整数倍， 的峰值个数与量子数n相等。 在阱壁处粒子出现的概率为0
2016/12/14
DUT 常葆荣 7
例题
在宽为a的一维无限深势阱中，粒子的波函数 为 n ( x)
子在x=5a/6出现的概率密度；
概率表示式。 解：第一激发态n=2, 基态n=1
（3）发现粒子概率最大的位置由概率密度对位置的极值求得：
d ( x) 8 3 xe2 x (1 x ) 0 dx
2
x1 0 x2 x3
1
可再由概率密度对位置的二阶导数求得，x1和 x2为极小值， 在 x3有极大值。所以在x=1/处发现粒子的概率为最大。
2
d2 dx
2
0
0
2 cos x0 a
a 3a x 或 4 4
3a 4 a 4
（2）
2 1 ( x) sin x a a
P 1 dx
2
2016/12/14
3a 4 a 4
2 2 x P sin dx a a
1
DUT 常葆荣
1
68.2%
11
若自由空间中的电子沿x方向的位置不确定量为x1，动量的不 确定量为p1, 宽为a的一维无限深势阱中电子的位置不确定量
2 *
DUT 常葆荣 8
2016/12/14
例题
一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态： Axe x ( x 0) ( x) 式中>0 ( x 0) 0 （1）确定归一化常数A;（2）求粒子的概率分布函数；
（3）在何处发现粒子的概率最大？
解：(1) 由波函数的归一化条件求归一化常数，
(3)
一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
En
n=3
3 Pn
2
n
3
2
En
1
n
E
9E
2 3 3 sin x a a
2
n=2
2
1
2
E
2
4E
1
n=1
0
2 2 E1 2ma 2 a x
0
a
2 2 2 sin x a a 2 1 sin x a a
2016/12/14
DUT 常葆荣 3
（1）U 与t 无关，写出定态薛定谔方程 2 2 d e 2 2 (x 0 x a ) U e E e e 0 d 2 U E 2m dx 2 2m dx 2 d 2 (0 x a ) E 2 2 2m dx d 2mE 0 2 2 dx 2mE 2 k （2）解方程 令: 2 d2 2 ( x) A cos(kx ) k 0 2 dx （3）确定常数A、k、 由波函数连续性，边界条件 x =0处
(0)= e(0)= 0 (a)= e(a)= 0
4
x =a处
2016/12/14
DUT 常葆荣
x =0处 由波函数连续性，边界条件
(0)= e(0)= 0 (a)= e(a)= 0
( x) A cos(kx )
x =a处
由 (0)= Acos =0 = 2
2 n sin x ， 求（1）处于第一激发态的粒 a a
（2）当n=4时，写出粒子在a/4<x< 3a/4区间内出现的
(2)
2 2 n ( x ) ( x ) ( x ) sin x a a 2 2 2 5a 3 w( x ) x 5 a / 6 sin a a 6 2a 3a 3a 2 * 2 4 4 4 ( x ) ( x )d x a sin xd x a a 4 4 a
2016/12/14
DUT 常葆荣
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例题
一维无限深势阱中粒子的本征函数为 n ( x)
求（1）发现处于第一激发态粒子概率最大的位置；
2 n sin x ， a a
（2）在a/4<x< 3a/4区间发现基态粒子的概率。
2 2 sin x 解：（1）令 2 ( x) a a
d2 dx
A2 a 1 2
n ( x) d x 1
a 0
DUT 常葆荣
A
2 a
5
定态波函数
( 0<x <a )
考 虑 时间因子 讨论 (1)
n ( x)
2 n sin x a a
E nt
2
n =1.2.3……
n
ne
i
2
2 n s in( x )e i 2 n t a a
d 1 dx
d 2 dx
x0
d 2 dx
d 3 dx
x0
x a
x a
16
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从
而得到反射系数 R | B 1 | 2 / | A1 | 2和透射系数 T | A 3 | 2 / | A1 | 2
( k12 k 22 ) 2 sin 2 ( k 2 a ) R 2 ( k1 k 22 ) sin 2 ( k 2 a ) 4 k12 k 22 4 k12 k 22 T 2 ( k1 k 22 ) sin 2 ( k 2 a ) 4 k12 k 22
DUT 常葆荣 14
（1）U 与t 无关，写出三个区域 的定态薛定谔方程
U(x)=
U0 （0<x<a） 0 （x0, xa）
Ⅰ区
Ⅱ区 Ⅲ区
d 2 1 ( x ) 2 k 1 1( x) 0 2 dx d 2 2 ( x ) 2 k 2 2 ( x ) 0 2 dx 2 d 3(x) 2 k 1 3( x) 0 2 dx
2016/12/14
DUT 常葆荣
1
量子力学处理问题的方法
1、分析、找到粒子在势场中的 势能函数U，写出薛定谔方程。 2、求解 ，并根据初始条件、边界条 件和归一化条件确定常数。 3、由 2 得出粒子在不同时刻、不同 区域出现的概率或具有不同动量、不同 能量的概率。 2 d2 U E 2 2m d x
I U be
S
Ub：样品和探针之间的电压
S：样品表面和针尖的距离 ：样品表面的平均势垒高度
2.分辨样品表面离散的原子
1.测样品表面：控制Ｓ，使I 保持恒定； 电子云~1nm
3.重新排列原子
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DUT 常葆荣 18
2016/12/14
DUT 常葆荣
19
2016/12/14
讨论
k
2 2
U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
B3 = 0
0
2m(E U 0 )
2
a
(1)E > U0 , k2为实数，R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射 粒子并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , k2为虚数， T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度， 入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
能量本 n =1.2.3…… 征值
En
n 2ma 2
2
能量只能取分立值，能量量子化
E1
2 2
2ma 2
基态 能量 驻波
(2)
n
ne
i
E nt
2 n s in( x )e i 2 n t a a
粒子的物质波在势阱内形成驻波
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DUT 常葆荣 6
( x ) A cos(kx
n 由 (a)= Asinka =0 ka = n k a
2
) A sin kx
n =1.2.3…… n =1.2.3……
k2
归一化 条件
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2mE
2
n 2 2 a2
2
n 2 2 2 En 2ma 2
21
量子力学结果
2016/12/14
En=(n+1/2)hv
DUT 常葆荣
例题
一个粒子沿x方向运动，可用下列波函数描述 1 ( x) C 1 ix （1）由归一化条件确定常数C;（2）求概率密度函数
2016/12/14
DUT 常葆荣 17
(3) E<<U0 , a不太小
T e
2a
2 m (U 0 E )
穿透概率