4一维定态(1)

( x ) A cos(kx

n 由 (a)= Asinka =0 ka = n k a
2
) A sin kx
n =1.2.3…… n =1.2.3……
k2
归一化 条件
2016/12/14
2mE
2
n 2 2 a2
2
n 2 2 2 En 2ma 2
k2x )
3 A3e
i(
Et
k1 x )
B 3e
i(
Et
k1 x )
a
越过势垒的透射波
（3）波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x = 0 处： x = a 处：
2016/12/14
1 (0) 2 (0)
2 ( a) 3 ( a)
DUT 常葆荣
U
E
U0
势 能 U(x)=
U0 （0<x<a） 0 （x0, xa）
势垒

Ⅱ 0 a
Ⅲ
x
经典 理论
1.E <U0的粒子， 不能越过势垒。 2.E >U0的粒子， 越过势垒。
量 子 理 论
2016/12/14
1.E > U0 的粒子，1区也存在被弹回 的概率—— 反射波。 2.E < U0 的粒子，也可能越过势垒到达3 区—— 隧道效应。
I U be
S
Ub：样品和探针之间的电压
S：样品表面和针尖的距离 ：样品表面的平均势垒高度
2.分辨样品表面离散的原子
1.测样品表面：控制Ｓ，使I 保持恒定； 电子云~1nm
3.重新排列原子
2016/12/14
DUT 常葆荣 18
2016/12/14
DUT 常葆荣
19
2016/12/14
能量本 n =1.2.3…… 征值
En
n 2ma 2
2
能量只能取分立值，能量量子化
E1
2 2
2ma 2
基态 能量 驻波
(2)

n
ne
i
E nt

2 n s in( x )e i 2 n t a a
粒子的物质波在势阱内形成驻波
2016/12/14
DUT 常葆荣 6
i(
Et
k1 x )
B1e
i(
Et
k1 x )
15
Ⅰ区
1
A1 e
i(
Et
k1 x )
B 1e
i(
Et
k1 x )
U0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ E B3 = 0
0
自左向右的入射波 自右向左的反射波
Ⅱ区 Ⅲ区

2
A2e
i(
Et
k2 x )
B2e
i(
Βιβλιοθήκη Baidu
Et
2016/12/14
DUT 常葆荣 17
(3) E<<U0 , a不太小
T e

2a
2 m (U 0 E )
穿透概率
透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m和能量差变化，随着势 垒的加宽、加高透射系数减小。
扫描隧道显微镜(STM) 1981年IBM公司
ScanningTunnelingMicroscopy 隧 道 电 流
x
概率密度不均匀，概率密度 波函数只能是半个正弦波的整数倍， 的峰值个数与量子数n相等。 在阱壁处粒子出现的概率为0
2016/12/14
DUT 常葆荣 7
例题
在宽为a的一维无限深势阱中，粒子的波函数 为 n ( x)
子在x=5a/6出现的概率密度；
概率表示式。 解：第一激发态n=2, 基态n=1
2016/12/14
DUT 常葆荣 3
（1）U 与t 无关，写出定态薛定谔方程 2 2 d e 2 2 (x 0 x a ) U e E e e 0 d 2 U E 2m dx 2 2m dx 2 d 2 (0 x a ) E 2 2 2m dx d 2mE 0 2 2 dx 2mE 2 k （2）解方程 令: 2 d2 2 ( x) A cos(kx ) k 0 2 dx （3）确定常数A、k、 由波函数连续性，边界条件 x =0处
(0)= e(0)= 0 (a)= e(a)= 0
4
x =a处
2016/12/14
DUT 常葆荣
x =0处 由波函数连续性，边界条件
(0)= e(0)= 0 (a)= e(a)= 0


( x) A cos(kx )
x =a处
由 (0)= Acos =0 = 2
2 *
DUT 常葆荣 8
2016/12/14
例题
一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态： Axe x ( x 0) ( x) 式中>0 ( x 0) 0 （1）确定归一化常数A;（2）求粒子的概率分布函数；
（3）在何处发现粒子的概率最大？
解：(1) 由波函数的归一化条件求归一化常数，
量与a的关系式。 解：(1) 不连续变化
(2)势阱中的波都是半个正弦波的整数倍 2a an (n 1, 2, 3...) 2 n
nh (3) p p 2a h
p2 n2 h2 E (4) E 2m 8ma 2
2016/12/14
DUT 常葆荣 13
二、势垒穿透
DUT 常葆荣 14
（1）U 与t 无关，写出三个区域 的定态薛定谔方程
U(x)=
U0 （0<x<a） 0 （x0, xa）
Ⅰ区
Ⅱ区 Ⅲ区
d 2 1 ( x ) 2 k 1 1( x) 0 2 dx d 2 2 ( x ) 2 k 2 2 ( x ) 0 2 dx 2 d 3(x) 2 k 1 3( x) 0 2 dx
2 n sin x ， 求（1）处于第一激发态的粒 a a
（2）当n=4时，写出粒子在a/4<x< 3a/4区间内出现的
(2)
2 2 n ( x ) ( x ) ( x ) sin x a a 2 2 2 5a 3 w( x ) x 5 a / 6 sin a a 6 2a 3a 3a 2 * 2 4 4 4 ( x ) ( x )d x a sin xd x a a 4 4 a
2016/12/14
DUT 常葆荣
1
量子力学处理问题的方法
1、分析、找到粒子在势场中的 势能函数U，写出薛定谔方程。 2、求解 ，并根据初始条件、边界条 件和归一化条件确定常数。 3、由 2 得出粒子在不同时刻、不同 区域出现的概率或具有不同动量、不同 能量的概率。 2 d2 U E 2 2m d x
A2 a 1 2
n ( x) d x 1
a 0
DUT 常葆荣
A
2 a
5
定态波函数
( 0<x <a )
考 虑 时间因子 讨论 (1)
n ( x)
2 n sin x a a
E nt
2
n =1.2.3……

n
ne
i

2
2 n s in( x )e i 2 n t a a



( x) d x
2

0
Axe
2 2 2 x
dx 1
A 2 3 / 2
波函数为
2 3 / 2 xe x ( x 0) ( x) ( x 0) 0
DUT 常葆荣 9
2016/12/14
（2）粒子的概率分布函数为
3 2 2 x 4 xe ( x 0) * ( x) ( x) ( x) ( x 0) 0 2
2016/12/14
DUT 常葆荣 2
20.3 一维定态问题
一、一维无限深势阱 0 （0<x<a） U0 （其它）
U
1 2
U0
3
势 能 U(x)=
无限深 势阱
1= 0
0
3 = 0
a
x
经典理论：势阱中粒子的能量 是任意的有限值, 粒子在各处出 现的概率相等。
量子力学预言：势阱里的粒子的能量只可能是一系列分 立的本征值,对应的波函数只能是能量本征态波函数。 （1）U 与t 无关，写出定态薛定谔方程 2 d 2 U E 2 2m dx
2016/12/14
DUT 常葆荣
10
例题
一维无限深势阱中粒子的本征函数为 n ( x)
求（1）发现处于第一激发态粒子概率最大的位置；
2 n sin x ， a a
（2）在a/4<x< 3a/4区间发现基态粒子的概率。
2 2 sin x 解：（1）令 2 ( x) a a
d2 dx
为x2 ，动量的不确定量为p2，则（ A）
A. x1=， x2=a B. x1= 0， x2=a
C. p10， p2=0
D. p10， p20
2016/12/14
DUT 常葆荣
12
例题
设一维无限深势阱的宽度为a，（1）势阱中电子的波
长是否可以连续变化？（2）写出波长与a的关系式； （3）写出电子动量与a的关系式；（4）写出电子能
d 1 dx
d 2 dx
x0
d 2 dx
d 3 dx
x0
x a
x a
16
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从
而得到反射系数 R | B 1 | 2 / | A1 | 2和透射系数 T | A 3 | 2 / | A1 | 2
( k12 k 22 ) 2 sin 2 ( k 2 a ) R 2 ( k1 k 22 ) sin 2 ( k 2 a ) 4 k12 k 22 4 k12 k 22 T 2 ( k1 k 22 ) sin 2 ( k 2 a ) 4 k12 k 22
讨论
k
2 2
U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
B3 = 0
0
2m(E U 0 )
2
a
(1)E > U0 , k2为实数，R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射 粒子并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , k2为虚数， T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度， 入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
x 0
k12
k
2 2
2 mE 2
2m(E U 0 )
2
0<x<a x a
2 mE k 2
2 1
（2）解方程 Ⅰ区
1 ( x ) A 1 e ik1 x B 1 e ik1 x
考 虑 时间因子
2016/12/14
1 1e
i
Et
A1e
DUT 常葆荣
DUT 常葆荣
20
三、一维谐振子 1.势能函数
U ( x ) 1 kx 2 1 m 2 x 2 2 2
m — 振子质量， — 固有频率，x — 位移
2.定态薛定谔方程 d 2 2 m 1 m 2 x 2 ) ( x ) 0 ( E 2 2 dx2 3.能量量子化 E n ( n 1 ) ( n 1 ) h ( n 0 , 1 , 2 , ) 2 2 说明 普朗克量子化假设 En=nhv E0= 0 基态 能量 E0= hv/2
2
d2 dx
2
0
0
2 cos x0 a
a 3a x 或 4 4
3a 4 a 4
（2）
2 1 ( x) sin x a a
P 1 dx
2
2016/12/14
3a 4 a 4
2 2 x P sin dx a a
1
DUT 常葆荣
1

68.2%
11
若自由空间中的电子沿x方向的位置不确定量为x1，动量的不 确定量为p1, 宽为a的一维无限深势阱中电子的位置不确定量
21
量子力学结果
2016/12/14
En=(n+1/2)hv
DUT 常葆荣
例题
一个粒子沿x方向运动，可用下列波函数描述 1 ( x) C 1 ix （1）由归一化条件确定常数C;（2）求概率密度函数
(3)
一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
En
n=3
3 Pn
2
n
3
2
En
1
n
E
9E
2 3 3 sin x a a
2
n=2
2
1
2
E
2
4E
1
n=1
0
2 2 E1 2ma 2 a x
0
a
2 2 2 sin x a a 2 1 sin x a a
（3）发现粒子概率最大的位置由概率密度对位置的极值求得：
d ( x) 8 3 xe2 x (1 x ) 0 dx
2
x1 0 x2 x3
1

可再由概率密度对位置的二阶导数求得，x1和 x2为极小值， 在 x3有极大值。所以在x=1/处发现粒子的概率为最大。