热力学与统计物理课件 统计物理部分 第二章 麦克斯韦-波尔兹曼统计
统计物理课件第二章
T
a v2
实际气体的内能不仅与温度有关， 而且与体积有关。
二.焓态方程和定压热容量
H p
T
V
T V T
p
Cp
T S T
p
第一式给出了温度不变时, 系统焓随压强的变化率与物态方程 的关系，称为焓态方程。
第二式是定压热容量。
三.简单系统的 C p CV ?
同理：
窖内辐射场是各向同性和非偏振的。 内能密度也是均匀的。
辐射通量密度：
单位时间内通过单位面积，向一侧辐射的总辐射能量。
一般记为 J u 。
物理意义： 在窖璧开一小孔，电磁辐射将从小孔射出，设小孔足够小，辐射场的 平衡状态将不受到显著破坏。因此，小孔辐射反映了平衡辐射的特征。 实际上，我们研究平衡辐射就是通过小孔辐射来研究的。
辐射场
小孔辐射
可以证明：
1 Ju 4 cu
（上式中，c 为光速，u 为辐射能量密度）
证明：
由图2-4的右图可见，在d t 时 间内，一束电磁辐射通过面 积d A的辐射能量为：
cd t
u
4
d dAcos
考虑各个传播方向（见图2-4左图），可以得到投射到dA一侧的总辐射
能为：
JudtdA
cdt u ddAcos 4
T
气体经节流过程后，温度降低。
1 ， 0
T
气体经节流过程后，温度升高。
1 ， 0
T
气体经节流过程后，温度不变。
0 时的温度称为反转温度 1 称为反转曲线
T
例：昂尼斯物态方程：
p
nRT V
1
n V
B(T )
B(T )远小于1
p
热力学与统计物理—第二章
§2.2 麦氏关系的简单应用
一、以T, V为状态参量
U p T p V T T V U S CV T T V T V
能态方程
CV p dS dT dV T T V
dS dU pdV T
4 d(VT 3 ) 3 4 S VT 3 S 0 3
3.物态方程 ：
1 1 p u (T ) T 4 3 3
1 c J u cu T 4 T 4 4 4
Ju T 4
斯特藩—玻耳兹曼定律
三 . 红外技术及应用
红外探测
dG
V m ( )T , p 0 ( )T ,H H p
磁致伸缩 压磁效应
G G G dT dp dH T p H
G G V , 0 m p T ,H H T , p
§2.4 热辐射的热力学理论
第二章 均匀物质的热力学性质
1. 麦克斯韦关系及应用
2. 热辐射的热力学理论
3. 磁介质热力学
§2.1 麦克斯韦关系
热力学基本微分方程：
dU T dS Yi dyi
i
四个全微分（简单系统）：
dU TdS pdV
H U pV
dH TdS Vdp dF SdT pdV
p dU CV dT T p dV T V
二
、以T, p为状态 dp T T p Tpp T
V dH C p dT V T dp T p
3. 辐射能量密度u：
U= u (T)V
4. 辐射通量密度：
《玻耳兹曼统计》PPT课件
可分辨（定域）粒子系统统计
h
1
主要内容
7.1 热力学量的统计表达式 7.2 理想气体的物态方程
基础
7.3 麦克斯韦速度分布率 7.4 能量均分定理 7.5 理想气体的内能和热容量
对理想气 体体系的 应用
7.6 理想气体的熵 7.7 固体热容量的爱因斯坦理论
对固体的 应用
h
§7.1 热力学量的统计表达式
21m(px2py2pz2)
U 3 NkT 2
CV
3 Nk 2
Cp 5 CV 3
P202， 表 7.2
Cp
5 2
Nk
h
B. 双原子分子理想气体
z
r
5 kT 2
刚性连接：r =常量
pr
21M(px2 py2 pz2)21I (p2 si1n2 p2)
21pr2u(r)
p
Mm1m2
m1m2
二、配分函数
21m(px2py2pz2)
d 2m (px 2p2 ypz 2)
Z e 1
xd y xdd yp dzzp d h3
p
h 1 3
p x 2
p 2 y
p z 2
dxd ey 2 m d dxp z e2 m dyp e2 m dzp
Z1 V(2h2m)3/2
h
三、物态方程
p
N
ln Z1 V
N V[lV n2 3ln2h(2m)]
p NkT V
四、内能
U N lnZ1
N [lV n2 3ln2 h(2 m)]
U 3 NkT 2
h
§7.3 麦克斯韦速度分布率
目的 对气体分子
热力学与统计物理课件 统计物理部分 第二章 麦克斯韦-波尔兹曼统计
第二章麦克斯威—玻尔兹曼统计（Maxwell—Boltzmann Statistics）统计物理不追求个别粒子的运动细节，而是研究集体行为表现的规律——统计规律。
主要内容是在给定条件下，某时刻系统处于某一状态的概率（或概率分布）。
状态概率描述了大量系统的随机性。
此时某个粒子的初始状态和以后运动轨迹为不重要的细节，动力学规律退为次重地位，而状态概率决定系统的主要性质。
本章的任务是：求ρ，求平均。
对象：孤立，近独立的经典粒子系统近独立系统：若系统粒子密度较低，相互作用力的作用距离短，以致力程远小于粒子的平均自由程，则粒子在行进过程中大部分时间处于自由态，任何时刻系统中只有极小部分粒子处于力程以内，故相互作用仅占次要地位。
近独立系统粒子的能量仅与粒子的本身状态有关，与其它粒子的运动状态无关。
即不考虑相互作用能，系统的能量为各个粒子的能量总和。
即：，是指一个能级上的粒子数。
因为是孤立系统，具有确定的粒子数N 、体积V 、总能U 。
则有约束条件。
∑∑∑====lNi ill lla U a N 1,εεl a ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎭⎬⎫==∑∑000ll l lla a U N δεδδδ§2.1等几原理与M—B 分布（Pinciple of Equal Probability and Maxwell-Boltzmann Distribution ）一、等几原理：自然界没有绝对孤立的系统，体系的能量只能在某个固定的值U 附近的一个小领域内，即人从U 到之间，其中当这些条件给定时，系统所能取的微观状态数是十分巨大的。
这些系统的可能微观状态数以什么样的几率出现，这是统计物理的根本问题，1870年玻尔兹曼给出了回答：即等几原理。
等几原理：对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的几率相等。
这是统计物理的一个基本假设，不可能从经典力学或量子力学中推导出来的，它的正确性是由它引出的推论与实际情况的比较来证实的。
热力学与统计物理
∂S = ∂S ∂T ∂V p ∂T p ∂V p
κ T
κ S
=
∂S ( ∂T
)p
/
∂S ( ∂T
)V
= Cp CV
=γ
平衡稳定性要求： 以上四量皆为正。
一个有效方法: 运用雅可比行列式进行导数变换
设： u = u(x, y), v = v(x, y)
有：
∂u
∂(u, v) ∂(x, y)
=
( ∂x ) y ∂v
自变量为 x,y,z,……的函数L(x,y,z,…)的全微分 dL = Rdx + Qdy + Wdz +
其中
R=
∂L ∂x
,
Q
=
∂L ∂y
,W
=
∂L ∂z
,
均为x, y, z,…的函数
若以R代替x，即选R, y, z,…为自变量，则通过勒让德变换：
L = L − Rx
两边求微分： dL = dL − Rdx − xdR
= −T
∂ 2V ∂T 2
T
p
∂S ∂p
= − ∂V ∂T
T
p
Cp (T ,
p)
=
Cp (T ,
p 0
)
−
⌠p ⌡p
T
∂ 2V ∂T 2
dp
p
Cp
p
0
C
0 p
=
C p (T ,
p 0
),
V
= V (T ,
p)
由实验测定
p 0
dH = CpdT +
V −T
∂V ∂T
dp
p
dS = Cp dT − T
热力学统计物理第二章课件
V p T p T V
C p TVp
Ch2.1热力学势的全微分和麦韦关系
例4：证明
CV CP
s T
例5：证明
CV C P
TV 2
T
Ch2.2热力学基本函数的计算
一、目的
通过三个热力学基本函数来确定系 统的主要热力学性质。
dV ( V ) p dT ( V )T dp T p VdT VV T
的确定
由热力学基本方程：dU = TdS － pdV 得到：
U V T
T
S V T
p T
p T V
p
对理想气体： 对范氏气体：
p
RT V
p T V
p R V T
U V T
0
a V2
p VRTb Va2
d ) dT
作 业：
2.2 2.4 2.8
2、非简单系统的推广 例如： 表面系的热力学基本方程为 dU = TdS ＋σ dA
与简单系统的基本方程比较 dU = TdS － p dV 容易看出对应关系 p － σ , V A
地位和意义：
将不能直接观测到的物理量用麦氏关系 转化为可以直接观测到的物理量表示。
S A
-σ
T
Ch2.1热力学势的全微分和麦韦关系
热力学与统计物理
第二章 均匀系统的热力学性质
Ch2.1热力学势的全微分和麦韦关系
全微分dz、偏微分∂z和变分δz
全微分：如果函数 z f x, y 在点（x，y）的全增量
z f x x, y y f x, y
热统II-课件-9月24日
第二章 正则系综 （Canonical Ensemble ）（2009-09-24）§1 系统与热库的平衡(Equilibrium between a system and a heat reservoir)平衡态的宏观条件有多种：一种是孤立系统，体系的能量E 、体积V 和粒子数N 保持不变，其平衡态可用微正则系综来描述。
更常见的是与外界保持热平衡的体系。
该体系的温度保持不变，因为它可与外界交换热量，所以能量不再固定。
此种平衡态的宏观条件是温度T 、体积V 和粒子数N 保持不变。
此种宏观条件下，由于该体系的能量不再固定，微观态不再被限制在相空间的等能面上，它可以出现在相空间的任意点上。
如何确定此种平衡态下各种微观态出现的几率，这就是本章研究的问题。
为了直观地想象各种不同微观态出现的几率，我们仍然将体系复制M 个（M 非常大）。
它们的宏观条件相同，但可处于不同的微观状态，这M 个体系的集合就称为正则系综。
正则系综中的每个体系都与外界处于热平衡之中，我们将外界用一个很大的热库（R ）形象地表示出来，此热库包围了该体系，见图。
设想热库比体系要大得多，它的热容量非常巨大，在与体系交换热量时，其温度并不改变。
这就保证了体系处于平衡态时的温度等于热库的温度T 。
体系与热库两者组成的整体称为复合体系，设想该复合体系不再与外界相互作用，可认为是孤立体系。
对于现在的复合体系，它也有两部分（体系和热库）组成，由这两者的平衡关系求得了各种热力学量：系统(S)+热库(R)=孤立系统，其中体系的能量为s E ，热库的能量为R E ，复合体系的总能量为0s R E E E =+，也可写成： 0,R s E E E =− 同时，0s E E >>。
在此能量下，热库可处于许多不同的微观状态（简并），设微观状态的数目为()0R s E E Ω−。
因为复合体系是一个孤立系统，按微正则系综的基本假定，在平衡态下，复合体系的每一个微观态出现的几率是相等的。
热力学与统计物理学-第二章
dG=-SdT+VdP
S V
P T
T P
Good Physicists Have Studied Under Very Fine Teachers
太阳照在小树上
(
S V
)T
(
p T
)V
（河流）由山峰流向山谷
照向和流向方向一致取正号，否则取负号。看对 方的分母，取自己的脚标。
T
p
T
V
( V
)S
( S
)V
;
( p )S ( S ) p
( S V
)T
(
p T
)V
;
( V T
)p
(
S p
)T
——麦克斯韦关系
Sun
太阳 peak
山峰
Tree
小树 Valley
山谷
§2-2 麦克斯韦关系的简单应用
麦克斯韦关系的应用有：
⑴用实验可测量的量（如状态方程，热容量
Summary
dU=TdS-PdV dH=TdS+VdP
P T S V V S
T V
P S
S P
G
T
P
F
H
V
S
U
dF=-SdT -PdV
S P
V T
T V
一.能态方程和定容热容量
U T p p V T T V
CV
T S T
V
第一式给出了温度不变时, 系统内能随体积的变化率与物态方程的关系，称 为能态方程；第二式是定容热容量。
热力学统计物理玻耳兹曼统计
义
粒子处在该
能级的几率
有效状 态数
al
N Z1
l
e
l
al
el l
N
Z1
el l el l
玻耳兹
曼因子 粒子总是优先占据较低能级；温度升高，占 据该能级的几率增大。
Z1——有效状态和 一个粒子所有可能达到的有效状态的总和。
热统 西华大学 理化学院
6
f e s
l 能量为εl的一个量子态s上的平均粒子数
p
3.粒子配分函数的经典表达式
处元于内能层的l 粒l内子，数运为动：状态处于相体积
al
l
h0r
fs
l h0r
e l
N Z1
l
h0r
el
l x
Z1
l
el l
h0r
al
N Z1
l
h0r
el
取 l 足够小，求和可化为积分：
Z1
el d
h0r
e ( p,q) dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr h0r
l l
FD l l! BE
l
l
l
e l
ln
l l
l
对于满足非兼并条件的处
于平衡态（最可几分布） lnFD lnBE l ln l lnl !
的非定域（玻色、费米） 系统，通过对所对应的系 统微观状态数目取对数， 得到了微观状态数目的对 数ln与系统包含的粒子数
l
l
l ln l l ln l 1
玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系
玻色粒子，玻色分布
＝
e＋
1
非兼并条件
e》1 l l
费密粒子，费密分布
热统II-课件-9月10日
绪论(2009-9-10)从一到无穷大（More is Different）由基本粒子构成的巨大的和复杂的的集聚体的行为并不能依据少数粒子的性质作简单外推就能理解。
正好相反，在复杂性的每一个层次之中会呈现全新的性质，而要理解这些新行为所需要作的研究，就其基础性而言，与其他研究相比毫不逊色。
------ P W Anderson 1972力学，电磁学描述单体或少体体系的运动规律。
若不考虑强相互作用及弱相互作用，则力学（引力），电磁学（电磁力）的知识基本上可以使我们完全理解一般个体的运动规律。
量子力学是20世纪的革命，然而其作用也无非是引入量子化的概念是我们可以更准确地描述单体，少体体系的运动。
热力学与统计物理的研究对象是大量（有多大？N~1023）粒子组成的宏观系统，是我们日常所认识的。
这些粒子的运动均满足力学、电磁学，那么是否可直接求解Hamilton方程或Maxwell方程呢？事实上这不可能也不现实。
天体中日-地-月的简单3体问题，已经极其复杂。
另外也不必要：谁会在意1023个粒子中的一个粒子的运动行为呢？事实上，当N极大时，新的物理规律--统计规律呈现出来，我们应采用非力学的方法来加以处理。
温故知新Thermodynamics: Top-down approach,形而上唯象热力学：研究宏观体系的平衡态的宏观物理量之间的关系。
热力学奠基人：Carnot，Joule，Clausius， Kelvin热力学第一定律（能量守恒定律）设一宏观体系，有内能U，体积V，在任一过程中体系的内能增加为外界对体系做=−+的功加上从外界吸收的热： dU PdV dQ内能，体积是状态的函数。
吸收的热量却是与过程有关的，不是由状态唯一决定的。
焦耳的重要贡献就是指出热功当量---热本质上和功是一回事。
热力学第二定律（熵定律）若第一定律可以说不过是能量守恒在热力学中的应用，这第二定律则是一个完全的热力学规律，它给出了不可逆性，或者说时间箭头，有着重要的意义。
热力学统计物理 第二章 课件
可得
S S dS dp dT T p p T
S S dH T V dp dT T T p p T 两式比较，即有 H S Cp T T T p p
上式给出两热容之差与物态方程的关系。由此处推导可知， 此式适用于任意简单系统。
对于理想气体，可得
Cp-CV = nR
雅可比行列式
在热力学中往往要进行导数变换的运算。 雅可比行列式是进行导数变换运算的一个有用的工具。
设u、v是独立变数x、y的函数 u = u(x,y), v = v(x,y) 雅可比行列式的定义是
H S T V p T p T 对此式，利用麦氏关系得 H V V T p T p T 此式给出温度不变时焓随压强的变化率与物态方程的关系。
对于定压热容Cp和定容热容CV，由前可得 S S C p CV T T T p T V 但由下述函数关系
例
U = U(S,V), H = H(S,p), F = F(T,V), G = G(T,p)
由自由能的全微分表达式
dF = -SdT – pdV 易知
F F , p T V 若已知F(T,V)，求F 对T的偏导数即可得出熵S(T,V)；求F S
对V的偏导数即可得出压强p(T,V)，这就是物态方程。 根据自由能的定义F=U-TS，有
T、V参量
选取T、V为状态参量，则物态方程为
p = p (T, V ) 当然具体方程形式需由实验测定。 由第2节内容可知，内能全微分为
U U dU d T dV T V V T p CV dT T p dV T V
统计物理第二章
2.1 玻耳兹曼分布与热力学量的联系
定域系统
N al l e l
l l
U l al l l e l
l l
一. 配分函数
Z l e
l
l
二.U与N 的统计表达式
粒子数目, 内能与配分函数Z之间的关系：
平动内能和热容量与由经典统计的能量均分定理得到的 结果一致。
振动
在一定近似下双原子分子中两原子的相对振动可以看成线性谐振 子，振子的能级为 (n 1 )
n
e / 2 V V Z1 e ( n 1 2) Z1 1 e n 0 1 V V N [ ln(1 e )] U N ln Z1 2
2
N N 2 e 1
式中第一项为零点能，与温度无关。第二项是温度为T时N 个振子的热激发能量。
U V 2 e kT V CV ( )V Nk ( ) T k T (e kT 1) 2引入振动特 Nhomakorabea温度 V
则内能和热容量表述为 式子中引入的特征振动温度与分子的振动频率有关。
kT 6 3kT
1 2
U N 3NkT
CV dU 3Nk dT
TV 2
C p CV
T
3 Nk
TV 2
T
在室温和高温范围内理论结果与实验结果符合。 在低温范围，实验发现固体的热容量随温度降低得 很快，当温度趋于绝对零度时，热容量也趋于零。 3 这个事实经典理论不能解释。实验结果 还表明， k 以上的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比 可以忽略，经典理论也不能解释这个事实。
麦克斯韦分布
热学的宏观理论是热力学，热学的微观理论是 气体动理论，它指出了热现象的本质是大量分 子的热运动。
气体分子动理论是统计物理学的一部分，它是 从统计的观点出发，去研究气体热现象的一门 微观理论。
•阿伏伽德罗引入“分子”概念
•克劳修斯提出了理想气体分子运动模型 、引进统计概念推导理想气体压强公式
气体动理论的建立
1、理想气体分子运动模型
2、理想气体压强、 温度公式
3、麦克斯韦速率分布律 理想气体分子运动模型
理想气体的温度 动能 Kinetic energy
t
1 mv2 2
3 kT 2
温度的微观解释
热平衡的微观解释
• 温度表示分子热运动的激烈程度
• 温度只对系统而言，对一个分子无意义
麦克斯韦速度、速率分布——从抛硬币得出的规律
P 1 N
信息量I ：
I
log2 N
1 ln2
lnN
信息量也可表示为： I 1 lnN 1 ln 1 1 lnP
ln2
ln2 P ln2
S k lnP
k 1 ln2
Shannon把信息量 I 视为信息熵 S
变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚 所需要的信息量也就越大。
一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一 个系统越是混乱，信息熵就越高。
所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一 个度量。
熵与信息的联系
若N种可能性的概率不一样，第 i 种可能性出现的概率为Pi，
N
定义信息熵为： S K Pi ln Pi i 1
实例：天气预报 明天下雨概率为P1 =0.80, 不下雨概率为P2 =0.20
信息熵为：
麦克斯韦-玻耳兹曼分布PPT课件
解： v ( 1 / 2)h
gv 1
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) q
N e
(v 0 ) kT
N0
0, 1, 2,
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
Nj / N
粒子处于j 能级的概率
gj越大，Nj /N越大
j越大，Nj /N越小
N j
N g je j /(kT ) g e i /(kT )
ii
N g je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
上述系统中 麦玻分布 = 最概然分布 = 平衡分布
g je j /kT 玻耳兹曼因子 与平衡时系统中能量为j 的分子数成正比
求取未定乘数 和
ln
gj Nj
j
0
N j g jee j
N
j N j e
j g je j
e N
j g je j
玻耳兹曼常数
kR L
E
j N j j N
g e j
j jj
j g je j
1 / (kT )
麦克斯韦–玻尔兹曼分布
e N
j g je j
N j gie e j
N!
(
gNj j
)
j N j!
ln = lnN! j N jlng j j lnN j!
斯特林近似式 N 1时，ln N ! N ln N N
N!
2 N N N
exp(
玻耳兹曼统计
两者都基于等几率假设，即假定处于统计平衡的孤立系统所有微观状态出现的几率相等。
玻耳兹曼分布与正则分布的函数形式相似，由它们导出的热力学公式的形式也相似。
当讨论由近独立粒子所组成的孤立系统时，两种统计法所得结果相同，两者是等价的。前面已提及最可儿分 布井不穷尽全部可能的微观状态，但对于由很大数量的粒子组成的系统来说，由于热力学几率分布曲线在极大值 附近非常陡，以致共他分布所对应的微观态数与最可几分布对应的微观态数相比非常少，可以忽略它们对宏观量 的贡献。
激活介质是指在一定的外界条件下，它的某两个能级实现了粒子数反转并对特定频率的光基有放大作用的介 质.制造激光器一定要有激活介质。因为不是任何物质的任意两个能级间都能实现粒子数反转的,因此必须寻找建 立某两个能级间粒子数反转的条件。根据热平衡态下粒子数分布满足玻耳兹曼分布律而建立起的速率方程，可用 来判断满足粒子数反转的条件。在原子体系中每个能级的粒子数变化可分成与外界辐射场有关的部分(受激项)和 与外界作用无关的部分(弛豫项)。用体表示光对介质的激励概率，用P表示弛豫概率，它等于自发辐射概率与无 辐射概率之和。
玻尔兹曼的贡献主要在热力学和统计物理方面。1869年，他将麦克斯韦速度分布律推广到保守力场作用下的 情况，得到了玻尔兹曼分布律。1872年，玻尔兹曼建立了玻尔兹曼方程（又称输运方程），用来描述气体从非平 衡态到平衡态过渡的过程。1877年他又提出了著名的玻尔兹曼熵公式。
原理表述
全同粒子的经典统计法。又称麦克斯韦－玻耳兹曼统计或经典统计。考虑由同一种分子组成的气体。把每个 分子看成近独立的子系统,它可能有Ki个能量为εi的状态。设有Ni个分子处于这组状态中。经典统计中对于状态 的占有方式没有限制，而且每个分子都是可以识别的。把Ni个分子放到Ki个状态中的方式共有种，于是气体的熵 满足：
统计物理与热力学课程(陈培锋)第二讲
近独立粒子系的 麦克斯韦-玻尔兹曼MB分布
能量分布律
分布函数与T和能量的关系一致
f
nz
v f
n0emgz
M
v
m
2k
kT
3 T
2
e mv2
2kT
• 为什么都与能量有关,内在的基本规律是什么？
• 本节讨论经典近独立粒子系系统的粒子数按 能量分布规律,找出更一般的规律
ln N j! N j ln j 0
j
j
化简
• 对于lnNj!可用大数的斯特林(J.Stirling)公式
ln M! M ln M M
• Δμj的划分时已保证Nj一般是大数
N j ln N j N j N j ln j 0
f
M
v
m
2k
T
3
2
e
mv2
2kT
与T有关！
k R N A 1.3806581023 J K
kT的量纲是什么？典型的值是多少？
1eV=1.6×10-19J,电子电荷=1.6×10-19库仑
h=6.626×10-34J·s,光子的典型能量是多少？
氢原子电子能级基本参数
• 重力场、旋转力场气体位置分布,气体的速度 分布等的规律性是其特例,可以用于能级分布
一、微观粒子的基本运动形式
分析微观粒子的几种基本运动形 式的能量表达式 给出能量与坐标x和动量px的关系 说明分子的主要运动形式
(一)自由平动粒子 无外力作用
• 粒子在三维空间中运动时,自由度为3,位置 可由坐标x、y、z确定,与之共轭的动量为
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第二章麦克斯威—玻尔兹曼统计
（Maxwell—Boltzmann Statistics）
统计物理不追求个别粒子的运动细节，而是研究集体行为表现的规律——统计规律。
主要内容是在给定条件下，某时刻系统处于某一状态的概率（或概率分布）。
状态概率描述了大量系统的随机性。
此时某个粒子的初始状态和以后运动轨迹为不重要的细节，动力学规律退为次重地位，而状态概率决定系统的主要性质。
本章的任务是：求ρ，求平均。
对象：孤立，近独立的经典粒子系统
近独立系统：若系统粒子密度较低，相互作用力的作用距离短，以致力程远小于粒子的平均自由程，则粒子在行进过程中大部分时间处于自由态，任何时刻系统中只有极小部分粒子处于力程以内，故相互作用仅占次要地位。
近独立系统粒子的能量仅与粒子的本身状态有关，与其它粒子的运动状态无关。
即不考虑相互作用能，系统的能量为各个粒子的能量总和。
即：，
是指一个能级上的粒子数。
因为是孤立系统，具有确定的粒子数N 、体积V 、总能U 。
则有
约束条件。
∑∑∑====l
N
i i
l
l l
l
a U a N 1
,εεl a ⎪⎩⎪
⎨
⎧==⇒⎭⎬⎫==∑∑0
00l
l l l
l
a a U N δεδδδ
§2.1等几原理与M—B 分布
（Pinciple of Equal Probability and Maxwell-Boltzmann Distribution ）
一、等几原理：
自然界没有绝对孤立的系统，体系的能量只能在某个固定的
值U 附近的一个小领域内，即人从U 到之间，其中
当这些条件给定时，系统所能取的微观状态数是十分巨大的。
这些系统的可能微观状态数以什么样的几率出现，这是统计物理的根本问题，1870年玻尔兹曼给出了回答：即等几原理。
等几原理：对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微
观状态出现的几率相等。
这是统计物理的一个基本假设，不可能从经典力学或量子力
学中推导出来的，它的正确性是由它引出的推论与实际情况的比较来证实的。
实验证明，由这一原理推出的一系列平衡态统计物理理论与实际情况符合得很好。
有理由相信这一原理的正确性。
它也是以后推导M—B 分布的基础。
U U Δ+U U <<Δ
{}l
a {}l a ∑∑==l
l
l l
l
U
a N a
ε
,
{}l a （2）最可几分布：
根据玻尔兹曼的等几原理，所有微观态的出现几率是相等的。
从能级的分布分布出现的几率也最大，因为它对应于最多的微观代表态。
当然，这个极值是在一定约束条件下的极值。
具体的说，当体系具有固定的粒子数、能量，即当满足
时，使得系统微观态数目取极大值的分布
称为系统的最可几分布。
来说，能够使微观态数目取最大值的那一组
（即这个分布出现的几率最大）
从以上三种计算方法中可以看出，在计算中ε表达式的取法是很重要的，计算的时候要细心些。
接下来看一下它的物理意义：
对系统的
Z
除以N！，N！是N个粒子的全排列数。
系
扣除N个粒子的全排列的微观态数，即是作了粒子不可分辨的修正（或者说是全同性修正）
注意到：全同粒子和可分辨粒子服从不同的“统计”，必须对它们使用不同的方法计数。
那么何时需修正，何时不需修正，一般来说
对气体~ 非定域子需要修正
对固体~ 每个原子有固定的位置，为定域子，不需要修正。
实际上可以根据所研究的系统，根据研究内容作相应修正选择，比如牛顿力学与相对论力学。