控制工程基础-第五章
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控制工程基础-第五章
渐近线如图所示。 渐近线如图所示。
2012年1月3日3时7分
σ
0
A
600
1800
-4 -3 -2 -1
σ
600
C
14
3000
2012年1月3日3时7分
15
根轨迹的分离点、 规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点
K1 = 0
K1 = ∞
K1 = ∞
K1 = ∞
K1 = 0
K1 = 0
会合点
K1 = 0
jω
kg = 1
P2
Kg →∞
kg = 0
σ
性能
4
2012年1月3日3时7分
二、根轨迹与系统性能
当增益K1 K1由 根轨迹不会越过虚轴进入s 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 因此系统对所有的值都是稳定的。 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 临界稳定的开环增益。 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过 动态性能 当0 < kg <1 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过 阻尼系统 其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 系统， 阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼 当 kg = 1 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统 欠阻尼系统， 当 kg > 1 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随Kg值的 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。
2012年1月3日3时7分
σ
0
A
600
1800
-4 -3 -2 -1
σ
600
C
14
3000
2012年1月3日3时7分
15
根轨迹的分离点、 规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点
K1 = 0
K1 = ∞
K1 = ∞
K1 = ∞
K1 = 0
K1 = 0
会合点
K1 = 0
jω
kg = 1
P2
Kg →∞
kg = 0
σ
性能
4
2012年1月3日3时7分
二、根轨迹与系统性能
当增益K1 K1由 根轨迹不会越过虚轴进入s 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 因此系统对所有的值都是稳定的。 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 临界稳定的开环增益。 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过 动态性能 当0 < kg <1 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过 阻尼系统 其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 系统， 阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼 当 kg = 1 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统 欠阻尼系统， 当 kg > 1 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随Kg值的 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。
《控制工程基础》5.1
当给定ω，G(jω)是复平面上的一矢量。
幅值：A(ω) = | G(jω)| 相角（与正实轴的夹角，逆时针为正）：φ(ω) = ∠G(jω)
实部：U(ω) = A(ω)cosφ(ω)
虚部：V(ω) = A(ω)sinφ(ω) ω从0 → ∞ 时，G(jω)端点的轨迹：频率特性的极坐标图。
第 5 章
5.2 频率特性的Nyquist图
2 2 2 2
实频：
虚频： 幅频： 相频：
U ( )
K (1 T 1 T 2 )
2
(1 T 1 )( 1 T 2 )
2 2 2 2 2
V ( )
K (T1 T 2 )
(1 T 1 )( 1 T 2 )
2 2 2 2
第 5 章
G ( j )
典型环节的Nyquist图
1．比例环节
传递函数：
G (s) K
频率特性： G ( j ) K 幅频： 相频：
G ( j ) K
G ( j ) 0
U ( ) K V ( ) 0
实频：
虚频：
第 5 章
5.2 频率特性的Nyquist图
典型环节的Nyquist图
2 2 2 2
2 幅频： G (→ ∞ 实频： V ( ) 当ω从0 j ) 时，即λ从0 → ∞ ，振荡环节的Nyquist图就是始于点（1， 2 2 2 2 2 2 2 2
1
j0），而终于点（0，j0）。曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频 2 1 2 相频： G ( j ) arctan 虚频： U ( ) 率ωn，此时的幅值为1/(2ξ）。振荡环节的阻尼比ξ取值不同，其Nyquist
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
控制工程基础- 第5章 控制系统的稳定误差
外作用的形式(阶跃、斜坡或加速度等)
控制系统的稳态误差
静态误差系数法—— r(t) 作用时 ess 的计算规律
G(s)
G (s)H(s) 1
K (1s 1) (ms 1)
sv (T1s 1) (T nv s 1)
K sv
G
0(s
)
K：开环增益 v：类别(类型)
G (s) (1s 1) (m s 1)
0
(T1s 1) (T nv s 1)
lim
s0
G 0(
s
)
1
R(s)
e(s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)H (s)
1
1
K
v
G0(s)
s
E(s)
G1 ( s )
C(s)
H(s)
ess
lim
s0
se (s)R(s)
lim
s0
s
R(s)
1
1
K sv
G0(s)
稳态误差 ess 与输入r(t)的形式、系统的结构参数(K，v)有关。
Kn
en (s)
E(s) N(s)
1
Tns 1 K
(Tn s
Kn s(Ts 1)
1)s(Ts 1)
K
s(Ts 1)
essn
lim
s0
sen (s)N (s)
lim
s0
s
(Tn s
Kn s(Ts 1) 1) s(Ts 1)
K
1 s2
Kn K
e ess
essr
essn
1 Kn K
控制系统的稳态误差
ess
lim
s0
控制系统的稳态误差
静态误差系数法—— r(t) 作用时 ess 的计算规律
G(s)
G (s)H(s) 1
K (1s 1) (ms 1)
sv (T1s 1) (T nv s 1)
K sv
G
0(s
)
K：开环增益 v：类别(类型)
G (s) (1s 1) (m s 1)
0
(T1s 1) (T nv s 1)
lim
s0
G 0(
s
)
1
R(s)
e(s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)H (s)
1
1
K
v
G0(s)
s
E(s)
G1 ( s )
C(s)
H(s)
ess
lim
s0
se (s)R(s)
lim
s0
s
R(s)
1
1
K sv
G0(s)
稳态误差 ess 与输入r(t)的形式、系统的结构参数(K，v)有关。
Kn
en (s)
E(s) N(s)
1
Tns 1 K
(Tn s
Kn s(Ts 1)
1)s(Ts 1)
K
s(Ts 1)
essn
lim
s0
sen (s)N (s)
lim
s0
s
(Tn s
Kn s(Ts 1) 1) s(Ts 1)
K
1 s2
Kn K
e ess
essr
essn
1 Kn K
控制系统的稳态误差
ess
lim
s0
控制工程基础：第五章系统稳定性
∆1 = a 1 > 0
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1
第五章控制工程基础
2.劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。 这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式 ，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完 成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解 这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
a0 0
系统稳定的充要条件是： 1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即ai=0 2）由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主 子式全部大于零。 满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的。
胡尔维茨行列式可列写为：
a1 a3 a5 0 0 a0 a2 a4 0 0 0 a1 a3 0 0
Xo (s)
1
G(s) G(s)H(s)
(s
s1)(s
G(s) s2 )
(s sn )
c1 c2
cn
n
ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
则输出为：
n
xo (t) ciesit
<1>
i1
从<1>式可看出，要想系统稳定，系统的特征根si， 必须全部具有负实部。
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式（实 根或共轭复根），线性系统稳定的充要条件为：所有特征 根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复 数平面的左半部分。
例 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 41.58S 2 517S 1670(1 K ) 0
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的 系数必须全为正值。可得：
※※ 劳斯判据特殊情况
1. 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或 没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法 是以一个很小的正数 来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完 成劳斯表的排列。
a0 0
系统稳定的充要条件是： 1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即ai=0 2）由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主 子式全部大于零。 满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的。
胡尔维茨行列式可列写为：
a1 a3 a5 0 0 a0 a2 a4 0 0 0 a1 a3 0 0
Xo (s)
1
G(s) G(s)H(s)
(s
s1)(s
G(s) s2 )
(s sn )
c1 c2
cn
n
ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
则输出为：
n
xo (t) ciesit
<1>
i1
从<1>式可看出，要想系统稳定，系统的特征根si， 必须全部具有负实部。
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式（实 根或共轭复根），线性系统稳定的充要条件为：所有特征 根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复 数平面的左半部分。
例 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 41.58S 2 517S 1670(1 K ) 0
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的 系数必须全为正值。可得：
※※ 劳斯判据特殊情况
1. 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或 没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法 是以一个很小的正数 来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完 成劳斯表的排列。
控制工程基础：第五章 系统校正
PD控制的作用（特点）
L()
1. 某系统的开环频率特 性——Bode图如图所示。
2. 加相位超前校正。
系统的频率特性发生变化。
60
[20]
40
20
0
( ) 900
[20] [40]
c
[40]
c
[60]
3. 对系统性能的影响
00
(1)改善了系统的动态性能(幅 900
值穿越频率ωc 增大，过渡过程1800
X
i
(s)
(
s)
Gc (s)
U(s)
G(s)
B(s)
H (s)
X 0 (s)
若按控制器与系统 的组成关系，此控制 方式为串联校正。
xi (t)
比例
积分
微分
测量变送
被控对象
x0 (t)
PID控制器是一种线 性控制器。它将偏差的比
例、积分和微分通过线性
组合构成控制量，对被控
对象进行控制。
一、PID控制规律
TD s)
40 20
(1
1 Ti s
TDs)
Ti
s
1 TiTDs2 Ti s
0
1
( )
Ti
1 TD
k(1s 1)( 2s 1) 900
Ti s
00
iD
即：由比例、积分、一阶微 900
分 (2个)环节组成。
由此可见：在低频段，PID控制器主要起积分控制作用， 改善系统的稳态性能；在高频段主要起微分控制作用，提高 系统的动态性能。
§5.1 概述
例如：在车削螺纹时，要求主轴与刀架有严格的运动关系。
主轴转1转→刀架移动一定距离
控制工程基础习题解答5
控制工程基础习题解答第五章5-1．已知开环系统的传递函数如下，试用罗斯-赫尔维茨判据判别其闭环稳定性。
（1）. ()()()()()32110+++=s s s s s H s G （2）. ()()()()()()38.05.022.0++++=s s s s s s H s G （3）. ()()()5060030010022++=s s s s H s G （4）.()()()2481322+++=s s s s s H s G 解：（1）. 特征方程为01016523=+++s s s100141051610123s s s s第一列全部大于零，所以闭环稳定。
（2）. 特征方程为04.04.13.43.4234=++++s s s s4.097.04.097.34.13.44.03.4101234s s s s s 第一列全部大于零，所以闭环稳定。
（3）. 特征方程为010050600300234=+++s s s100012001005006001005030001234-s s s s s第一列有小于零的数存在，所以闭环不稳定，符号变化了两次，有两个右极点。
（4）. 特征方程为013248234=++++s s s s124100380012410038 18924138=5033801241038= 503124100380012410038= 所有主子行列式全大于零，所以闭环稳定。
5-2．已知单位负反馈系统的开环传递函数如下()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1222n n s s s Ks G ωζω式中s rad n /90=ω，2.0=ζ。
试确定K 取何值闭环稳定。
解：方法1：特征方程为0810081003623=+++K s s s 36008100810036810036081001810036222≤≥≥-⨯=K K K K KK36810081003681001810036≤≥-⨯=K K K得当360<<K 时，闭环稳定，当36时，闭环临界稳定。
机械控制工程基础-自动控制原理 第五章-系统的稳定性
系统的稳定性是系统的固有属性，只与系统结构参 数有关，与外部作用无关。
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)
a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1
a1a2 a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
1
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)
a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1
a1a2 a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
1
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
《控制工程基础》课件-第五章
件：伺服电动机、液压/气动伺服马达等；
测量元件依赖于被控制量的形式，常见测量元
件：电位器、热电偶、测速发电机以及各类传
感器等；
给定元件及比较元件取决于输入信号和反馈信
号的形式，可采用电位计、旋转变压器、机械
式差动装置等等；
4/21/2023
3
第五章 控制系统的设计和校正
放大元件由所要求的控制精度和驱动执行元件 的要求进行配置，有些情形下甚至需要几个放 大器，如电压放大器（或电流放大器）、功率 放大器等等，放大元件的增益通常要求可调。
显然，由于 c arctgTi 90 0 ，导致引
入PI控制器后，系统的相位滞后增加，因此，
若要通过PI控制器改善系统的稳定性，必须有
Kp< 1，以降低系统的幅值穿越频率。
综上所述：PI控制器通过引入积分控制作用以
改善系统的稳态性能，而通过比例控制作用来
调节积分作用所导致相角滞后对系统的稳定性
-20 已校正
-20
-40
'c c -40
()
-90° -180°
(c) ('c)
(rad/s)
若原系统频率特性为L0()、0()，则加入P控
制串联校正后：
L L0 () Lc L0 () 20 lg K p
4/21/2023
0 c 0
19
第五章 控制系统的设计和校正
H(s)
27
第五章 控制系统的设计和校正
()
L()/dB
0
90° 0° -90° -180° -270°
4/21/2023
PD校正装置
-20 0
1/Td c
+20
'c
控制工程基础第五章——校正
三 系统常用校正方法（2）
前馈校正 （复合控制）
对输入的
对扰动的
系统校正的基本思路
系统的设计问题通常归结为适当地设计串 联或反馈校正装置。究竟是选择串联校正还是 反馈校正，这取决于系统中信号的性质、系统 中各点功率的大小、可供采用的元件、设计者 的经验以及经济条件等等。
一般来说，串联校正可能比反馈校正简单， 但是串联校正常需要附加放大器和（或）提供隔离。 串联校正装置通常安装在前向通道中能量最低的地方。 反馈校正需要的元件数目比串联校正少，因为反馈校 正时，信号是从能量较高的点传向能量较低的点，不 需要附加放大器。
显然不满足要求。
令 20lgG(j0)0 或 G0(j0) 1 可求得ω0，再求得γ。
☆ 超前校正设计的伯德图
☆ 超前校正设计⑵
☆ 超前校正设计⑶
⒊确定超前校正装置的最大超前相位角
m4 52 75 23
⒋确定校正装置的传递函数
①确定参数α ②确定ωm
1 1 s sii n n m m1 1 s sii2 2n n 3 32.28
PID 传递 函数
G c(s)U E ((s s))K PK I1 sK D s
Gc(s)KP(1T1IsTDs)
KP——比例系数；TI——积分时间常数； TD——微分时间常数
二 PID控制器各环节的作用
比例环节 积分环节 微分环节
即时成比例地反映控制系统的偏差 信号，偏差一旦产生，控制器立即产 生控制作用，以减少偏差。
为了充分利用超前装置的最大超前相位角，一般取校正后系统的
开环截止频率为 0 m 。故有 Lc(m)L(0 ' )0d B
于是可求得校正装置在ωm处的幅值为
2 lG 0 g c (jm ) 1 l0 g 1 l2 0 g .2 3 8 .5 d8 B最后得校正装置
控制工程基础5章
Re
S3
具有负实部的共轭复根情况,因此，（n-p-q）
个左根的总角变化量为:（n-p-q）π /2。
设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a>0,b>0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2 ）和（S-S3 ）, 当S：0→jω 变化时 ：
b arg s s 2 arctan 2 a b arg s s3 arctan 2 a arg s s 2 arg s s3 2 2
a1 a 6 a 0 a 7 b3 a1 系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止， 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d, e等各行的系数。
b1 a3 a1b2 c1 b1 b1 a5 a1b3 c2 b1 b1 a 7 a1b4 c3 b1 c1b2 b1c 2 d1 c1
（1）试确定使系统稳定的参数（ Ka， z ）的范围； （2）取z2，并保证系统极点全部位于s 1的左面， 试确定K的范围。
第三节
乃奎斯特稳定判据
米哈伊洛夫（М и х а й л о в ）定理
米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一 个引理，其表述为：设n次多项式D（s）有p个根位于 复平面的右半面，有q个根在原点上，其余（n-p-q） 个根位于左半面，则当以s=jω 代入D（s）并令ω 从0 连续增大到∞时，复数D（jω ）的角增量应等于：
例5：s s 6 s 5 s 9 s 4 s 4 0
6 5 4 3 2
S6 S5 S4
1 1 1 0 4 2.5
6 5 5 0 10 4
9 4 4 0 0 0
4 0 0 0 0 0
S3
具有负实部的共轭复根情况,因此，（n-p-q）
个左根的总角变化量为:（n-p-q）π /2。
设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a>0,b>0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2 ）和（S-S3 ）, 当S：0→jω 变化时 ：
b arg s s 2 arctan 2 a b arg s s3 arctan 2 a arg s s 2 arg s s3 2 2
a1 a 6 a 0 a 7 b3 a1 系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止， 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d, e等各行的系数。
b1 a3 a1b2 c1 b1 b1 a5 a1b3 c2 b1 b1 a 7 a1b4 c3 b1 c1b2 b1c 2 d1 c1
（1）试确定使系统稳定的参数（ Ka， z ）的范围； （2）取z2，并保证系统极点全部位于s 1的左面， 试确定K的范围。
第三节
乃奎斯特稳定判据
米哈伊洛夫（М и х а й л о в ）定理
米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一 个引理，其表述为：设n次多项式D（s）有p个根位于 复平面的右半面，有q个根在原点上，其余（n-p-q） 个根位于左半面，则当以s=jω 代入D（s）并令ω 从0 连续增大到∞时，复数D（jω ）的角增量应等于：
例5：s s 6 s 5 s 9 s 4 s 4 0
6 5 4 3 2
S6 S5 S4
1 1 1 0 4 2.5
6 5 5 0 10 4
9 4 4 0 0 0
4 0 0 0 0 0
机械控制工程基础-第5章-频率特性
G ( j ) arct an / T
2 20 lg G ( j ) 20 lg T 20 lg T 2
第五章 频率特性
在低频段误差
e( )
2 20 lg T 20 lg T 2
在高频段误差
e( )
2 20 lg 20 lg T 2
第五章 频率特性
系统的稳态响应
xo (t ) XiK 1 T
2 2
sin(t arctanT )
系统输出的幅值
X o ( )
XiK 1 T 2 2
系统输出的相位
( ) arct anT
频率响应只是时间响应的一个特例。当谐波频率不同时， 其输出的幅值与相位也不同。
第五章 频率特性 对数相频特性图
横坐标：与对数幅频特性图相同。
) 纵坐标：线性分度，频率特性的相角 (（度）
几点说明
1、在对数频率特性图中，w=0不可能在横坐标上表示
出来；此外，横坐标一般只标注w的自然数值； 2、在对数频率特性图中，角频率w变化的倍数通常采用 频率比的方法：
第五章 频率特性
1,20 lg G ( j ) 0
第五章 频率特性 3、微分环节
G ( j ) j G ( j ) G ( j ) 90 20 lg G ( j ) 20 lg
1,20 lg G ( j ) 0
第五章 频率特性
4、惯性环节
1 G ( j ) 1 jT T 1 / T G ( j ) G ( j )
m m 1
若系统无重极点
bm s bm1 s b1 s bo X i X o ( s) G( s) X i ( s) n 2 2 n 1 an s an1 s a1 s ao s
[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性
![[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性](https://img.taocdn.com/s3/m/063b2600cfc789eb172dc863.png)
第五章 系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
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从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
控制工程基础第5章稳定性分析
c3
b1a7 a1b4 b1
d1
c1b2
b1c2 c1
这种过程一直进行到第n行被算完为止。 系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的 阵列中，为了简化其后的数值计算，可用 一个正整数去除或乘某一整个行。这时， 并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明： 实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第 一列的系数符号改变的次数。
显然，对于K＝10的2频率特性，满足上式，系
统稳定。对于k=40的频率特性，当0＜ω<∞
变化时，
argG j 3
所以，这时系统不稳定2 。
0
乃奎斯特稳定性判据的另一表述
令ω从-∞增长到0，相应得出的乃氏图是与 ω从0增长到十∞得出的乃氏图以实轴对称的 ，例如图所示的乃氏图。
当开环特征式具有零根时，对应的乃氏曲线 不封闭。为使其封闭，实用中可将其处理成 左根，如下图所示，其中ε为非常小的正数 ，φ从0°90°。
）并命ω从0连续增大到∞时，复数D（s）的
角连续增大
n
i 1
args
si
n
2
5.4.2 乃奎斯特稳定性判据
设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函
数分别为 G1s
开环传递函数为
B1 A1
s s
,
H s
B2 s, A2 s
则其
G1sH s
B1 s A1 s
B2 A2
s s
NK DK
s s
X o s X i s
argDK
j
n
2
: 0
这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点
也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，
argDB
j
n
2
控制工程基础第5章
(s) G(s)
1 G(s)H(s)
闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0
辅助函数 F(s) 1 G(s)H (s) 1 M (s) N (s) M (s)
N (s)
N (s)
特 点 ① F(s)的零点即为系统闭环传递函数Φ(s)的极点，
② F(s)的极点即为开环传递函数Gk(s)的极点。
s(s 1)
F(s) 1 G(s)H(s) s2 s 1 s(s 1)
s1 1 j2
F (s1 )
(1 j2)2 (1 j2) 1 (1 j2)(1 j2 1)
0.95
j0.15
j
j2
s1
s
Im
F s
s s'
1 0 1
s1 1 j2
0
0.95
0.15
Re
F (s1 )
F(s1) 0.95 j0.15
系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数 ai >0。
劳斯（Routh）稳定判据
设系统的闭环特征方程式为如下标准形式
D(s) a0sn a1sn1
劳斯数列（劳斯表）
s n a0 a2 a4
s n1 a1 a3 a5
sn2
b1 b2
b3
s n3
c1 c2
c3
an1s an 0
特点：逐行计算， 运算中的空位置零， 系数呈上三角形。
若t→∞时，脉冲响应
limc(t) 0
t
即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳
定的。
(s) C(s)
R(s)
R(s) 1
C(s) (s)
c(t) g(t) lim g(t) 0 t
控制工程基础(第五章,频域分析法)
延迟环节频率特性频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性nyquistnyquist图是一个以坐标原点为中心半径为图是一个以坐标原点为中心半径为11的圆如果用线性坐标则迟后环节的相频特性为一条直线如果用线性坐标则迟后环节的相频特性为一条直线33四开环控制系统的频率特性曲线的绘制把开环传递函数写成为若干个典型环节相串联把开环传递函数写成为若干个典型环节相串联gsgsgsgs其频率特性其频率特性gjgjgjgjaeaeaeae则系统的开环幅频和相频分别为则系统的开环幅频和相频分别为系统的开环对数频率特性为系统的开环对数频率特性为34一开环对数频率特性曲线的绘制bode图由前面分析可知可见开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和这也是对数运算的优点乘除运算对数化后变为加减
jY ( )
0
0 1
X ( )
一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性互为倒数关系： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
对于一阶微分环节，也有渐进折线代替曲线的误差曲线，与 惯性环节的相似。
4、二阶因子 [1 2 T j ( jT )2 ]1
1
0X ( )
1 对数幅相频特性为 L( ) 20lg 20lg 1 2T 2 1 2T 2 ( ) arctgT 低频段： L( ) 0dB T 1 L() 20lg(T )dB T 1 高频段： ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、 转角频率(这是一个很重要的概念)。
具有低通滤波特性！
对于惯性环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，其中最大误差点出现在转折频率处，误差值为-3dB。
jY ( )
0
0 1
X ( )
一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性互为倒数关系： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
对于一阶微分环节，也有渐进折线代替曲线的误差曲线，与 惯性环节的相似。
4、二阶因子 [1 2 T j ( jT )2 ]1
1
0X ( )
1 对数幅相频特性为 L( ) 20lg 20lg 1 2T 2 1 2T 2 ( ) arctgT 低频段： L( ) 0dB T 1 L() 20lg(T )dB T 1 高频段： ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、 转角频率(这是一个很重要的概念)。
具有低通滤波特性！
对于惯性环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，其中最大误差点出现在转折频率处，误差值为-3dB。
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由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。
结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线。
2007-2-23
整理课件
11
规则四 实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分 别为： N z , N p
动态性能 当0kg 1 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过
阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。
当 k g 1 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼
系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。
当 k g 1 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随K g 值的
规则一 根轨迹的起点
m
由根轨迹的幅值条件可知： s z j j1 n s pi
1 kg
i1
当 k g 0 ,必有 spi(i1,2, ,n)
此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点 称为根轨迹的起点。
2007-2-23
整理课件
9
规则二 根轨迹的终点
m
由根轨迹的幅值条件可知：
s zj
整理课件
2
5.1 根轨迹的基本概念
一、一个例子
例5-1 一单位负反馈系统的开环传递函数为：
Gk
s
kg s(s
2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数 k g的变化在S平面 上的分布情况。
解 系统的闭环特征方程： s22skg 0
特征方程的根是： s1,2 1 1kg
设 k 的g 变化范围是〔0, ∞﹚
第五章 线性系统的根轨迹法
5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析
2007-2-23
整理课件
1
本章重点
➢ 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 ➢ 根轨迹的基本绘制规则 ➢ 等效传递函数的概念 ➢ 根轨迹的简单应用
2007-2-23
2007-2-23
整理课件
3
当 k g 0 时, s10,s2 2
当 0 kg 1 时, s 1 与 s 2 为不相等的两个负实根；
当 k g 1 时， s1 s2 1为等实根；
当 k g 1 时，s1,2 1j kg1 共轭复根。
该系统特征方程
S
Kg
j
的根，随开环系
统参数k从0变到 ∞时，在S平面上 变化的轨迹如图 所示。
渐近线与实轴的交点位置和与实轴正方向的交角 分别为:
2007-2-23
整理课件
10
规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点） 在s平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。
由例5-1
看出，系统开环根轨迹增益
k
（实变量）与复变量
g
s有一一对应的关系。
当 k g 由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s 在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。
kg 0
P1
kg 1 kg 0
P2
Kg
性能
2007-2-23
整理课件
4
二、根轨迹与系统性能
稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。
j1
n
s pi
1
kg
i1
当 k g 时，必有 szj(j1,2, ,m )
此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点。
结论：根轨迹起始于开环极点 (k g 0) ，终止于开环
零点 (kg ) 。
如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环 极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于S平面的无穷远处。
Ns Ds0
即：
N(s) 1
D(s) kg
n
(s zi ) i1
n
(s pj )
j 1
z i 开环的零点
pi
开环的极点
2007-2-23
整理课件
6
根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。
由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：
幅值条件:
n
n
1 kg
(s zi )
i1
n
(s pj )
(s zi )
i1
n
(s pj )
j1
j1
相角条件:
m
n
(s zi) (s p i) (1 2 k ),k 0 ,1 ,2 ,3 ....
i 1
j 1
2007-2-23
整理课件
7
我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。
则: mi njN zN p(12k) i1 j1
即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。
2007-2-23
整理课件
12
规则五 渐近线
当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实 轴上的一点。
增加而加大，但调节时间不会有显著变化。
2007-2-23
整理课件
5
三、根轨迹的概念
设系统的开环传递函数为:
Gk
s
kg N(s) D(s)
k g 为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)
其中:
n
N(s) (s zj ),
n
D(s) (s pj )
j1
j1
可得到系统的闭环特征方程式为:
1Gks01kg
注：因为Kg从0变化，因此不论什么s值,总有一个 K g 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足 相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条 件可确定此时系统对应的K g 值。
2007-2-23
整理课件85.2 Nhomakorabea轨迹的绘制规则
通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 普通根轨迹（或 180°根轨迹），简称根轨迹。