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高等数学第1章 函数、极限与连续PPT科技
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
高等数学课件第一章1
份数，则函数关系为 y 3.33 0.05 t ，图形如图1-10。
图1-9
图1-10
《高等数学》课件 (第一章第一节)
1.1.2 函数的几种特性 1. 函数的有界性
定义1-2 设 f (x) 是定义在数集 D上的函数，若
存在正数 M ，使得对于任何的 xD ，都满足 f (x) M ,
f (x) f (x),
则称 f 是偶函数.
若对于任意的 x D( f ) 总有
f (x) f (x),
则称 f 是奇函数。
《高等数学》课件 (第一章第一节)
例如函数 y cos x, y x 2 都是偶函数， y sin x, y x3 都是奇函数。
由定义知，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图
x
0,
x 0,
1, x 0.
其图形如右下图所示。
y
O
x
y
1
O
x
-1
《高等数学》课件 (第一章第一节)
（3）取整函数定义为
y x n, n x n 1, n 0, 1, 2, .
y
其图形如图所示.
4
3
2
1
-1 o 1 2 3 4 x
《高等数学》课件 (第一章第一节)
由图形或表格表示的函数有些可用公式表示，有些则 只能用近似公式表示. 转换的目的在于进一步了解由图形 或表格表示的函数的内在规律，同时也可用于近期预测.
记为 y f [(x)] 或 ( f )(x)
其中u 称为中间变量.
《高等数学》课件 (第一章第一节)
复合函数的中间变量可以不止一个, 并且复合函数
《高等数学》 课件 高等数学第一章
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
《高等数学复习资料》第一章第一次
X
f
Y f (X )
②【复合映射】
设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z
定义
f g:X Z
且Y1 Y2
称 f g 为映射 g 和 f 构成的复合映射
( f g )( x ) f g( x ) Z , x X
【注意】
(1) 构成复合映射的条件 ：g ( X ) R g D f 不可少
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
函数y f ( x )的图形.
注意:
1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素： （1）集合 X，即定义域 Df = X； （2）集合 Y，即限制值域的变化范围; （3）对应规则f, 使每个x ∈X，有惟一确定 的y=f(x)与之时应．
2．映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不 要求原像也具有惟一性．
说明：
1. 映射又称算子.根据X,Y 的不同情形，在不同的数学分支中， 映射又有不同的惯用名称： 泛函：从非空集合X 到数集Y 的映射；
【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。
几个特殊的函数举例
(1)绝对值函数
y
y x
x y x x
x0 x0
o
x
(2) 符号函数
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o
《高等数学第一章》PPT课件
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
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3.极限的性质
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质
高等数学第一章的总结-PPT
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的
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方法2 . 利用莱布尼兹求导公式
x e x (n) n e x (n1)
uv
(n)
u(((n11)))vnn(xxneuxn(n)e1n)vx(1)nn(1ne2! x1)
u(n2)v
uv(n)
例9. 设 y x 1 , 求 y(n) . x 1
解:
y
1
2 x 1
1
2(x
1)1
y 2 (1)( x 1)2
0
11
1 et
d
t
1
01
1
t
d
t
[
t
ln(1
e
t
)]
0 1
ln(1 t)
1 0
ln(1 e)
例9. 已知 f ( x)
x sin t d t , 求
f (x)dx .
0 t
0
解: 由已知条件得
f (0) 0 , f ( x) sin x
x
0
f (x)dx
x
f (x) 0
2
0
1 2
1
0
x
1
1
dx
2
1
x
1
1
dx
可见原积分发散.
发散
例6. 求 11x2 arctan x 2 1 x2 dx .
奇函数
偶函数
解: 利用“偶倍奇零”再, 令 x sin t, 得
原式 4
1
1 x2 dx 4
2 cos2 t d t
0
0
例7.
已知
x
f
( x) dx
arcsin
(包括对数微分法) (3) 参数方程求一阶、二阶导数 ; (4) 用导数定义求特殊点的导数值 ; (5) 计算 n 阶导数 . 例题分析
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
高等数学第一章PPT
几何表示
O
a
a
a
x
25
U ( a , ) 有时简记为 U (a ).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U (a , ), 即
U(a，） { x 0 x a }.
xa 开区间 ( a , a ) 称为a的 左 邻域, 开区间 ( a , a ) 称为a的 右 邻域 .
31
X中所有元素的像所组成的集合称为 值域,
或f 的 像集, 记作 R f 或f ( X ), 即
R f f ( X ) f ( x ) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x ) sin x , 正弦函数
2
6
对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 右上角 标上: “” 数集内排除0的集. “ ” 数集内排除0与负数的集. 全体非负整数即自然数的集合 N, 即
N {0, 1, 2,, n,}; 全体正整数的集合为 N+ {1, 2,, n,};
注
7
全体整数的集合记作
Z {, n,, 2, 1 , 0, 1, 2,, n,}; 全体有理数的集合 记作Q, 即
、 . Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写 Exist(存在)的 字头E的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定 ”. “ ” 表示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到 ”, ” 符号 “ 表示 “蕴含 ”,或 “推 ”. 出”. “ ” 表示 “等价 ”,或 “充分必 符号
A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 列举法有很大的局限性.
大学高数第一章 PPT课件
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
2.有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。 3.有界函数的界不唯一。
25
二 初等函数
基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
(0,1)
x
6
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
7
3.常量与变量:
证明:
∵ f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)
∴f(x)为周期为2c的函数.
2233
4．函数的有界性: 设D是f ( x)的定义域, 若M 0,x D,有 f ( x) M ,
则称函数f (x)在D上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
x
o
D
y M
x0
o
高数复习资料
高等数学期末复习资料第 1 页（共9 页）高等数学第一章函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限第一节函数○函数基础（高中部分相关知识）（★）○邻域（去心邻域）（★）....,|Uaxxa.........,|0Uaxxa......第二节数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列..nx，证明..limnxxa...【证明示例】N..语言1．由nxa...化简得...gn.，∴..Ng......2．即对0...，..Ng.......，当Nn.时，始终有不等式nxa...成立，∴..axnx (i)第三节函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限○0xx.时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数..xf，证明..Axfxx..0lim【证明示例】...语言1．由..fxA...化简得..00xxg....，∴....g.2．即对.. . 0 ，....g..，当00xx....时，始终有不等式..fxA...成立，∴ f .x. Ax x.. 0lim○..x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 f .x. ，证明..Axfx (i)【证明示例】X..语言1．由..fxA...化简得..xg..，∴ (X)2．即对.. . 0 ，...gX..，当Xx.时，始终有不等式..fxA...成立，∴..Axfx (i)第四节无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大○无穷小与大的本质（★）函数..xf无穷小...0lim.xf函数..xf无穷大.....xflim○无穷小与大的相关定理推论（★）（定理三）假设 f .x. 为有界函数，..xg为无穷小，则....lim0fxgx......（定理四）在自变量的某个化过程中，若在自变量的某个化过程中，若..xf为无穷大，则无穷大，则无穷大，则..1fx.为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若..xf为无穷小，且..0fx.，则..xf1.为无穷大【题型示例】计算：....0limxxfxgx......（或..x）1．∵..fx≤M∴函数..fx在0xx.的任一去心邻域...,0xU.内是有界的；（∵..fx≤M ，∴函数..fx在Dx.上有界；）2．..0lim0..xgxx即函数..xg是0xx.时的无穷小；（..0lim...xgx即函数g.x. 是x . . 时的无穷小；）3．由定理可知....0lim0xxfxgx.......（....lim0xfxgx........）第五节极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则○极限的四则运算法（★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式..px、..xq商式的极限运算设：.....................nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有...............0lim00baxqxpxmnmnmn...........000lim00xxfxgxfxgx......................0000000,00gxgxfxgxfx.....（特别地，当....00lim0xxfxgx..（不定型）时，通常分子分母约去公因式约去公因式约去公因式即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便可求解出极可求解出极可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx...高等数学期末复习资料第 2 页（共9 页）【求解示例】解：因为3.x，从而可得3.x，所以原式....23333311limlimlim93336xxxxxxxxx.............其中3x.为函数..239xfxx...的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章二节）：解：....00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx.............○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★）（定理五）若函数..xf是定义域上的连续函数，那么，....00limlimxxxxfxfx...............【题型示例】求值：93lim23 (xxx)【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx.........第六节极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要○夹迫准则（P53P53）（★）第一个重要极限：1sinlim0..xxx∵........2,0.x，xxxtansin..∴ 1sinlim.. xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx.............（特别地，000sin()lim1xxxxxx....）○单调有界收敛准则（P57P57）（★）第二个重要极限：exxx..........11lim（一般地，（一般地，（一般地，（一般地，........limlimlimgxgxfxfx.........，其中..0lim.xf）【题型示例】求值：11232lim (xxxx)【求解示例】....211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx...................................................................................................解：....12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee.......................................第七节无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较）○等价无穷小（★）1．..~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe..2．UUcos1~212.（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：....xxxxxx31ln1lnlim20.....【求解示例】..............3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020........................xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性○函数连续的定义（★）......000limlimxxxxfxfxfx......○间断点的分类（P67P67）（★）.........）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数.......xaexfx2，00..xx应该怎样选择数a，使得..xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1．∵......2010000feeefaafa...................2．由连续函数定义......efxfxfxx.......0limlim00∴ea.高等数学期末复习资料第 3 页（共9 页）第九节闭区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程】证明：方程】证明：方程】证明：方程....fxgxC..至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1．（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）......xfxgxC....在闭区间..,ab上连续；2．∵....0ab....（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间..ba,内至少有一点.，使得..0...，即....0fgC.....（10...）4．这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程....fxgxC..在开区间在开区间.a,b.内至少有一个根.第二章导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分第一节导数概念○高等数学中导的定义及几何意（P83P83）（★）【题型示例】已知函数】已知函数】已知函数........baxexfx1，00..xx在0.x处可导，求a，b【求解示例】1．∵....0010fefa............，......00001120012feefbfe...................2．由函数可导定义..........0010002ffafffb..................∴1,2ab..【题型示例】求..xfy.在ax.处的切线与法方程（或：过（或：过（或：过..xfy.图像上点..,afa....处的切线与法处的切线与法处的切线与法处的切线与法方程）【求解示例】1．..xfy...，..afyax....|2．切线方程：......yfafaxa....法线方程：......1yfaxafa.....第二节函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则★）1．线性组合（定理一）：线性组合（定理一）：()uvuv..........特别地，当1....时，有()uvuv......2．函数积的求导法则（定理二）：函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv.....3．函数商的求导法则（定理三）：函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv...........第三节反函数和复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数..xf1.的导数【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得..xf为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且..0..xf；∴....11fxfx........○复合函数的求导法则（★）【题型示例】设..2arcsin122lnxyexa....，求y.【求解示例】................2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12 211121*********xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaeaeexa.......................................................... .......解：2n1222212xxxxxxa.............第四节高阶导数○........1nnfxfx.......（或....11nnnndydydxdx..........）（★）【题型示例】求函数..xy..1ln的n阶导数【求解示例】..1111yxx......，......12111yxx...............，..........2311121yxx....................……..1(1)(1)(1)nnnynx........！第五节隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★）【题型示例】试求：方程】试求：方程】试求：方程】试求：方程yexy..所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线C：..xyy.在点..1,1e.的切线方程与法【求解示例】由y y . x . e 两边对x 求导即..yyxe.....化简得1yyey.....∴eey (11111)高等数学期末复习资料第 4 页（共9 页）∴切线方程：..exey (1111)法线方程：....exey (111)○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程.........tytx..，求22dxyd【求解示例】1.....ttdxdy.....2...22dydydxdxt..........第六节变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变（不作要求）第七节函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分○基本初等函数微分公式与运算法则（★★★）..dxxfdy...第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马）（○引理（费马）（★）○罗尔定理（★）【题型示例】现假设函数..fx在..0,.上连续，在上连续，在上连续，在..0,.上可导，试证明：..0,....，使得....cossin0ff.......成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....sinxfxx..显然函数..x.在闭区间.0,. .上连续，在开区间开区间.0,. . 上可导；2．又∵....00sin00f.......sin0f......即....00.....3．∴由罗尔定理知....0,..，使得，使得. .c . . ossin0 f. f ... . . . 成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x.时，xeex..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令函数..xfxe.，则对1x..，显然函数..fx在闭区间..1,x上连续，在开区间..1,x上可导，并且..xfxe..；2．由拉格朗日中值定理可得，..1,x...使得等式..11xeexe....成立，又∵1ee..，∴..111xeexeexe......，化简得xeex..，即证得：当x .1时，x e ex . .【题型示例】证明不等式：当0x.时，..ln1xx..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....ln1fxx..，则对0x..，函数，函数 f .x. 在闭区间..0,x上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区间.0,. . 上可导，并且..11fxx...；2．由拉格朗日中值定理可得，由拉格朗日中值定理可得，..0,x...使得等式......1ln1ln1001xx.......成立，化简得..1ln11xx....，又∵..0,x..，∴..111f......，∴..ln11xxx....，即证得：当x .1时，x e ex . .第二节罗比达法则罗比达法则罗比达法则罗比达法则○运用罗比达法则进行极限算的基本步骤（★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（0,0..）且满足条件，则进行运算：........limlimxaxafxfxgxgx.....（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本定型（转化为基本不定型）⑴0..型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx...【求解示例】..10000201lnlnlimlnlimlimlim111lim0xxLxxxxxxxxxxxxxa.................................解：（一般地，..0limln0xxx.....，其中,R...）⑵...型（通分构造式，观察母）【题型示例】求值：011limsinxxx........【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxx...........................解：........000000002sin1cos1cossinlimlimlimlim0222LxxLxxxxxxxxxx..................高等数学期末复习资料第 5 页（共9 页）⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0limxxx.【求解示例】....0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0limlnlimlim111limlim0limlim11xxxxxLxyyxxxxxyxyxxxxxx xyxxxxyeeex...................................解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有⑷1.型（对数求极限法）【题型示例】求值：..10limcossinxxxx..【求解示例】..........01000000limlnln100lncossincossin,ln,lncossinln0limlnlimlncossincossin10limlim1,cossin1 0lim=limxxxxLxxyyxxxxyxxyxxxyxyxxxxxxxxyeeee.................................解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0.型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx.......【求解示例】....tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlimtanln1lnlnlimlimlim1sec1tantantansinsinlimlimlixxx xLxxxLxyyxxxyxyxxxxxxxxxxxxx...................................................................解：令两边取对数得对求时的极限，00limlnln0002sincosm0,1lim=lim1xxyyxxxxyeee.........从而可得○运用罗比达法则进行极限算的基本思路（★）0000001.......................(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指提前）第三节泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四节函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸○连续函数单调性（单调区间）（★）【题型示例】试确定函数】试确定函数】试确定函数】试确定函数..3229123fxxxx....的单调区间【求解示例】1．∵函数..fx在其定义域R上连续，且可导∴..261812fxxx....2．令......6120fxxx.....，解得：，解得：，解得：121,2xx..3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x..,1..1..1,22..2,....fx......fx极大值极小值4．∴函数 f .x. 的单调递增区间为....,1,2,....；单调递减区间为..1,2【题型示例】证明：当0x.时，1xex..【证明示例】1．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）设..1xxex....，（0x.）2．..10xxe.....，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，1 x e .x.【题型示例】证明：当x . 0 时，..ln1xx..【证明示例】1．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设....ln1xxx....，（x . 0 ）2．..1101xx......，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，l . . n1 .x .x○连续函数凹凸性（★）【题型示例】试讨论函数2313yxx...的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值凹凸性及拐点【证明示例】高等数学期末复习资料第 6 页（共9 页）1．....236326661yxxxxyxx........................320610yxxyx................120,21xxx......3．（四行表）x(,0)..(0,1)1(1,2)2(2,)..y.....y......y1(1,3)4．⑴函数 2 3 y 1 3xx . ..单调递增区间为(0,1), (1,2) 单调递增区间为( ,0) .. , (2,) .. ；⑵函数 2 3 y 1 3xx . ..的极小值在0x.时取到，为..01f.，极大值在2x.时取到，为..25f.；⑶函数 2 3 y 1 3xx . ..在区间( ,0) .. , (0,1)上凹，在区间(1,2), (2,) .. 上凸；⑷函数 2 3 y 1 3xx . ..的拐点坐标为..1,3第五节函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小○函数的极值与最关系（★）⑴设函数..fx的定义域为的定义域为的定义域为D，如果Mx.的某个邻域..MUxD.，使得对..MxUx..，都适合不等式....Mfxfx.，我们则称函数 f .x. 在点..,MMxfx....处有极大值..Mfx；令..123,,,...,MMMMMnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间..,ab上的最大值M满足：......123max,,,,...,,MMMMnMfaxxxxfb.⑵设函数 f .x. 的定义域为D，如果，如果mx.的某个邻域..mUxD.，使得对，使得对，使得对..mxUx..，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等式....mfxfx.，我们则称函数我们则称函数我们则称函数我们则称函数 f .x. 在点..,mmxfx....处有极小值..mfx；令..123,,,...,mmmmmnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间.a,b. 上的最小值m满足：......123min,,,,...,,mmmmnmfaxxxxfb.；【题型示例】求函数..33fxxx..在..1,3.上的最值【求解示例】1．∵函数 f .x. 在其定义域. 1 . ,3 . 上连续，且可导∴..233fxx....2．令......3110fxxx......，解得：121,1xx...3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x1...1,1.1..1,3f. .x...f .x.极小值极大值4．又∵......12,12,318fff......∴........maxmin12,318fxffxf.....第六节函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘（不作要求）（不作要求）（不作要求）第七节曲率（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第八节方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数上，可导函数上，可导函数..Fx的导函数为..Fx.，即当自变量，即当自变量，即当自变量，即当自变量xI.时，有时，有....Fxfx..或....dFxfxdx..成立，则称成立，则称成立，则称成立，则称F.x. 为..fx的一个原函数⑵原函数存在定理：（★）如果函数..fx在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数..Fx使得 F . . . . xfx . . ，也就是说：连续函数一定存在原（可导必）⑶不定积分的概念（★）在定义区间I 上，函数上，函数f .x. 的带有任意常数项C的原函数称为 f .x. 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：....fxdxFxC...（.称为积分号， f .x. 称为被积函数，..fxdx称为积分表达式，x则称为积分变量）○基本积分表（★）○不定积分的线性性质（分项积公式）（★）........1212kfxkgxdxkfxdxkgxdx..........第二节换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法○第一类换元法（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（★）（dy . f ..x.. dx 的逆向应用）........fxxdxfxdx......................高等数学期末复习资料第7 页（共9 页）【题型示例】求221dxax..【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxxaa............................解：【题型示例】求121dxx..【求解示例】....111121************dxdxdxxxxxC.............解：○第二类换元法（去根式）（★）（dy . f ..x.. dx的正向应用）⑴对于一次根式（0,abR..）：axb.：令taxb..，于是2tbxa..，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a.）：22ax.：令tanxat.（22t.....），于是arctanxta.，则原式可化为secat；⑶对于根号下平方差的形式（ a . 0 ）：a．22ax.：令sinxat.（2 2t. .. ..），于是arcsinxta.，则原式可化为cosat；b．22xa.：令secxat.（02t...），于是arccosatx.，则原式可化为tanat；【题型示例】求12 1dxx . . （一次根式）【求解示例】2211122112121txxtdxtdtdxtdtdttCxCtx.....................解：【题型示例】求22axdx..（三角换元）【求解示例】....2sin()222222arcsincos22cos1cos221sin2sincos222xattxtadxataaxdxatdttdtaattCtttC.................... .............解：第三节分部积法分部积法分部积法分部积法○分部积法（★）⑴设函数..ufx.，..vgx.具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其分部积公式可表示为：udvuvvdu....⑵分部积法函数排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”○运用分部积法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积法函数排序次对被；⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（vdxdv...）⑶使用分部积公式：udvuvvdu . . ..⑷展开尾项vduvudx.....，判断a．若vudx...是容易求解的不定积分，则直接计，则直接计，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分、换元法算出答案（容易表示使用基本积分、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v udx . . . 依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2xexdx..【求解示例】....222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxexdxxedxxdexeedxxexedxxexdexexeedxxexeeC................ .........解：【题型示例】求sinxexdx..【求解示例】........sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxedxexxdeexexdxexedxexe xxdeexexexdx...........................解：..sincossinsinxxxxexdxexexxde.......即：∴..1sinsincos2xxexdxexxC.....第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分○有理函数（★）设：........101101mmmnnnPxpxaxaxaQxqxbxbxb.............对于有理函数....PxQx，当..Px的次数小于..Qx的次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函. .. .P xQ x是真分式；当是真分式；当是真分式；当是真分式；当P.x. 的次数高等数学期末复习资料第8 页（共9 页）大于. . Q x 的次数时，有理函. .. .P xQ x是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数将有理函数将有理函数将有理函数. .. .P xQ x的分母Q.x. 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示为一次因式..kxa.；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为二次质因式..2lxpxq..，（240pq..）；即：......12QxQxQx..一般地：nmxnmxm.........，则参数nam..22bcaxbxcaxxaa...........则参数,bcpqaa..⑵则设有理函数. .. .P xQ x的分拆和式为：............122klPxPxPxQxxaxpxq.....其中........1122...kkkPxAAAxaxaxaxa................2112222222...llllPxMxNMxNxpxqxpxqxpxqMxNxpxq...............参数121212,,...,,,,...,lklMMMAAANNN.........由待定系数法（比较）求出⑶得到分拆式后项积即可求解【题型示例】求21xdxx..（构造法）【求解示例】......221111111111ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx................................第五节积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第五章定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质○定积分的义（★）....01limnbiiaifxdxfxI.........（ f .x. 称为被积函数，f . . xdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，..,ab称为积分区间）○定积分的性质（★）⑴....bbaafxdxfudu...⑵..0aafxdx..⑶....bbaakfxdxkfxdx.......⑷（线性质）........1212bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx..........⑸（积分区间的可加性）......bcbaacfxdxfxdxfxdx.....⑹若函数..fx在积分区间.a,b. 上满足..0fx.，则..0bafxdx..；（推论一）若函数 f .x. 、函数、函数..gx在积分区间在积分区间在积分区间.a,b. 上满足....fxgx.，则....bbaafxdxgxdx...；（推论二）....bbaafxdxfxdx...○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★）（定理三）若果函数..Fx是连续函数..fx在区间..,ab上的一个原函数，则......bafxdxFbFa...○变限积分的导数公式（★）（上导―下）..............xxdftdtfxxfxxdx...................【题型示例】求21cos20limtxxedtx...【求解示例】..221100coscos2002limlim解：ttxxxLxdedtedtdxxx.........高等数学期末复习资料第9 页（共9 页）........2222221coscos000cos00coscos0cos010sinsinlimlim22sinlim2cossin2sincoslim21limsincos2 sincos21122xxxxxLxxxxxxeexxexxdxedxxxexexxexxxee.......................................第三节定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部○定积分的换元法（★）⑴（第一换元法）........bbaafxxdxfxdx......................【题型示例】求20121dxx..【求解示例】....222000111121ln212122121ln5ln5ln122解：dxdxxxx...............⑵（第二换元法）设函数....,fxCab.，函数..xt..满足：a．,...，使得....,ab......；b．在区间．在区间．在区间..,..或..,..上，....,ftt.......连续则：......bafxdxfttdt............【题型示例】求40221xdxx...【求解示例】..221210,43220,1014,332332311132222113111332223522933解：ttxxxtxttxdxdxtxttdttdttxt........................................⑶（分部积法）........................bbaabbbaaauxvxdxuxvxvxuxdxuxdvxuxvxvxdux..............○偶倍奇零（★）设....,fxCaa..，则有以下结论成立：⑴若....fxfx..，则....02aaafxdxfxdx....⑵若....fxfx...，则..0aafxdx...第四节定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用（不作要求）第五节定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用（不作要求）第六节反常积分（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式21arctan1dxxCx....的证明。
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第一章复习x.1 函数的极限及其连续性 概念：省略注意事项1． 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，x x x f y sin )(==是无界变量，但不是无穷大量。
因为取22ππ+==n x x n 时，22)(ππ+=n x f n ，当n 充分大时，)(n x f 可以大于一预先给定的正数M ；取πn x x n 2==时，0)(=n x f 2． 记住常用的等价形式 当0→x 时，,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin x x x x x x x xx x x x x e x x x αα~1)1(,21~cos 1,~1,~)1ln(2-+--+例1 当0→x 时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小 （1）2x 。
（2）x cos 1-。
（3）x x tan sin - （4）)1ln(2x +。
（）解：因为222~)1ln(,21~cos 1x x x x +-，所以选择C 练习 xxe x x cos ln cos lim 20-→解 )]1(cos 1ln[cos 11limcos ln cos lim2200-+-+-=-→→x xe x x e x x x x 31cos cos 1lim 1cos lim)]1(cos 1ln[cos 1lim)]1(cos 1ln[1lim020002-=--+-=-+-+-+-=→→→→x xx x x xx e x x x x x3． 若函数的表达式中包含有b a +（或b a +），则在运算前通常要在分子分母乘以其共轭根式b a -（或b a -），反之亦然，然后再做有关分析运算 例2 求)1sin(lim 2π+∞→n n 。
解 ])1sin[(lim )1sin(lim 22πππn n n n n n +-+=+∞→∞→nn n n n n n n ++-=-+-=∞→∞→1sin)1(lim )1sin()1(lim 22ππ当∞→n 时，)(,01~1sin22∞→→++++n nn nn ππ又 1|)1(|=-n，故0)1sin(lim 2=+∞→πn n练习 求])1(2121[lim -+++-+++∞→n n n解 原式＝22)1()1(221lim 2)1(2)1(lim =-++⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∞→∞→n n n n n n n n n n n 4． e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 该极限的特点：⎩⎨⎧∞与幂互为倒数后的变量（包括符号））括号中（型未定式121)1(解题方法（1） 若极限呈∞1型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立 （2） 凡是∞1型未定式，其结果：底必定是e ，幂可这样确定： 设0)(lim =x u ，∞=)(lim x v ，则)()(lim )]()[(lim ))(1ln()(lim ))(1ln()()(lim ))(1lim (x u x v x u x v x u x v x u x v x v e e e e x u ±±±±====±这是因为 )(~))(1ln(x u x u ±±。
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第三节泰勒中值定理（不作要求）
第四节函数的单调性和曲线的凹凸性
●连续函数单调性（单调区间）（▲▲▲）
〖题型〗试确定函数 的单调区间
〖求解示例〗
1．∵函数 在其定义域 上连续，且可导
∴
2．令 ，解得：
3．（三行表）
极大值
极小值
4．∴函数 的单调递增区间为 ；
⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”
●运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：
⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；
⑵就近凑微分：（ ）
⑶使用分部积分公式：
⑷展开尾项 ，判断
a．若 是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；
b．若 依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数
〖题型〗求
〖求解示例〗
〖题型〗求
〖求解示例〗
∴
第四节有理函数的不定积分
●有理函数（▲）
设：
对于有理函数 ，当 的次数小于 的次数时，有理函数 是真分式；当 的次数大于 的次数时，有理函数 是假分式
3．由定理可知
（ ）
第五节极限运算法则
●极限的四则运算法则（▲▲）
（定理一）加减法则
（定理二）乘除法则
关于多项式 、 商式的极限运算
设：
则有
（特别地，当 （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）
〖题型〗求值
〖求解示例〗解：因为 ，从而可得 ，所以原式
《高等数学》课件第1章
(3) y e2sin3 x2 解 (1) y是由y=sinu与u=2x (2) y是由y=u2、u=tanv及 v x
(3) 表格法.变量间的函数关系通过列表形式反映出来. 例 如，火车时刻表就是利用列表的方法，把进(出)站火车的车 次与时间的函数关系表示出来.这种表示方法使得自变量 与因变量的对应关系一目了然.
4. 某市电话局规定市话的收费标准为：当月所打电话次数 不超过30次时，只收月租费10元；超过30次时，每次加收 0.20元.则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可用下面 的形式给出：
有arccos(－x)=π－arccosx成立.
图 1-8
图 1-9
反正切函数y=arctanx的图形如图1-10所示，其定义域是
x∈(－∞，+∞)，值域是
y
π 2
,
π 2
，该函数是单调增加
的，是奇函数，即arctan(－x)=-arctanx.
图 1-10
反余切函数y=arccotx的图形如图1-11所示，其定义域是 x∈(－∞，+∞)，值域是y∈(0，π)，该函数是单调减少的， 且有arccot(－x)=π－arccotx成立.
第一章 函数的极限与连续
1.1 函数及其性质 1.2 初等函数 1.3 数学模型方法概述 1.4 极限的概念 1.5 极限的运算 1.6 函数的连续性 本章小结
1.1 函数及其性质
1.1.1 函数
函数是微积分学研究的对象.虽然在中学已经学习了函数 的概念， 但是在以后的学习中我们不再是进行简单的重复， 而是要从全新的视角对函数进行描述并重新分类.
邻域是一个经常应用到的概念. 以点x0为中心的任何开 区间称为点x0的邻域，记作N(x0).
《高等数学(上册)》课件 第一章
图 1-1
图 1-2
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
例1 判断函数 ylg(x x2 1)的奇偶性． 解 因为函数的定义域为〔－∞，+ ∞ 〕，且
f( x ) l g ( x ( x ) 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) ( x x 2 1 ) x x 2 1
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
一、数列极限
定义1 在某一法那么下，当n〔n∈N+〕依次取1,2,3，…， n，…时，对应的实数排成一列数
x1， x2， x3， ， xn，
函数的对应法那么和函数的定义域称为函数的两
个要素．两个函数相等的充分必要条件是函数的定义 域和对应法那么均相同．
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
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§5极限运算法则 §6极限存在准则 两个重要极限
§7无穷小的比较 §8函数的连续性与间断性
§9连续函数的运算与初等函数的连续性 § 10闭区间上连续函数的性质
第一节 映射与函数
一 基本概念 二 映射 三 函数 四 小结 思考
一、基本概念
集合的表
示方法
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
答
疑
五、 辅导答疑方式：
学
地点：7J—C段102
习Leabharlann 时间：上午：8：30—11：00
要
下午：2：30—5：00
求
与 考试与成绩评定
辅
开课时间：第4---18周
导 考试方式：闭卷
答
成绩评定：卷面* 80% ＋平时成绩* 20%
疑
第一章 函数与极限
§1映射与函数 §3函数的极限
§2数列的极限 §4无穷小与无穷大
学
有热心、在数学学习方面上通下达 每周按时收、发作业
习 开课准备二：
要
小作业本：2
求
大作业本：全校统一发放
与
辅
导
答
疑
五、
学
学习要求与建议：
习
怎么学：
要
课前预习---课堂听讲、适当笔记---课后复习-
求
--浏览参考资料--完成作业
与
要求：
辅
小作业本每周交一次；大作业每章结束后
导
交一次；(周二下午之前交上)
⑴【逆映射】设f:X Y是单射
定义 g:f(X) X 称映射 g为映射 的f 逆映射
记作f1
【注】①只有 f 是单射才存在逆映射. Xf(X) 满且单，故而是双射
② 逆映 f 1是 射 指f从 (X )到 X 值 的域 映 从Y 到X不一定是映射
X
f Yf(X)
②【复合映射】 设有两 g:X 个 Y 1, f映 :Y 2 射 Z且Y1 Y2 定义 fg:X Z
二、 《高等数学》《线性代数与空间解析几何》
大
《概率与数理统计》
随机基础
学 数 选修课：
学 《数学建模》 《数学实验》 ……
学
什
么
三、高等数学内容简介
Calculus
微 83% 积 分
级 9% 数
方 8%
程 以极限为基础
函数为研究对象
各部分内容比例分布
四、学习进度、参考书
学习进度：
第一学期：
函数：从实数集到实数集的映射.
如： « 高等数学»中的函数
对映射的分类
f:XY X
f Yf(X)
①满射 若 f(X)Y,则称 f 为满射;
②单射
f
若 x1,x2X,x1x2, 有
X
Y
f (x1) f (x2)
则称f 为单射; ③双射
若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
a ,b R ,且 a b .
{xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
b
{xaxb} 称为半开区间,
{xaxb} 称为半开区间,
x 记作 [a,b)
记作 (a,b]
有限区间
[a,) {xax} (,b ){xxb }
无限区间
oa
x
ob
高等数学
上、下册 第六版 同济大学数学系 编 高等教育出版社
主讲教师： 祁晓光 授课单位： 数学科学学院
一、为什么学数学
学习数学的目的： 1、训练思维、提高分析问题与解决问题的能力； 2、为后继基础课与专业课打基础； 3、为本科毕业后的继续深造打下基础。
一、二年级全校连必续修基数础学课： 离散基础
第二学期：
一元函数微积分1—7章; 线性代数
教材类 ：
多元函数微积分
同济大学数学系 《高等数学》第六版 高等教育出版社 2019
指导书类：
1、同济大学数学系 《高等数学》少学时 第三版 高等教育出版社 2019
2、同济大学数学系 《学习辅导与习题选解》第六版 高等教育出 版社 2019
五、 开课准备一：课代表一人/ 每班
点a的去心 邻的 域 ,记作 U0(a).
U 0(a){x0xa}.
注0 意 x a ， 意味 xa着
二、 映射
1.【定义】设X,Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则f , 使得 x X, 有唯一确定的 y Y 与之对应 , 则 称 f 为从X 到Y 的映射, 记作 f:XY
Xx
f
yY
元素y 称为元素x 在映射f 下的像 , 记作 yf(x).
aM, aM,
A { a 1 ,a 2 , ,a n }
有限集
M{xx所具有的}特无征限集
有限个元素 无限个元素
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
注 表示“对于任意给定的”
3.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
U ( a ) { x a x a } .
a
a
a x
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
集合X 称为映射 f 的定义域 ;记作Df =X
Y 的子集 Rf f(X)f(x)x X 称为 f 的值域 .
注意:
1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素： （1）集合 X，即定义域 Df = X； （2）集合 Y，即限制值域的变化范围; （3）对应规则f, 使每个x ∈X，有惟一确定
的y=f(x)与之时应．
2．映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不要 求原像也具有惟一性．
说明：
1. 映射又称算子.根据X,Y 的不同情形，在不同的数学分支中，
映射又有不同的惯用名称：
泛函：从非空集合X 到数集Y 的映射；
如： «实变函数与泛函分析»
变换：从非空集到它自身的映射；
如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等.
数集D叫做这个函数的定义域，
yf(x)
记作
Df
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点 函 数 值 全 体 组 成 的 数 集 Rf {yyf(x),xD }称 为 函 数 的 值 域 .
称fg为映g射 和f 构成的复合映射
( f g ) x ) ( f g ( x ) Z , x X
【注意】
(1)构成复合： 映 g(X射 )Rg的 Df条 不件 可少 (2) fg与gf 是有区. 别的
三、函数
1、函数概念
定义 设数集 D R ,则称映射 f : D R 为定义在
D 上的函数，通常简记为