数列中的易错问题分析
例析高中数列中常见的易错点
＋口 ９ ＋… ＋ ）
：
三 七 一 竺七 ＋ １ ５ ４
２ ２
所 以 ｓ ： 要 七 ２
５ ４ 。
ａ ｎ １ ｓ 一 Ｓ （ ＞ ２ ）
正解 ：当 月 ＝１ 时 ，ａ ｌ ＝Ｓ ｌ ＝５ ；当 ， ｚ ≥２时 ，ａ ｎ ＝２ ｎ ＋
一
ｑ 一ｑ ４ ＿ｑ ＋１ ＝０
，
即 （ ｑ 一１ ） （ ｑ 一１ ）＝Ｏ 。
，
‘
．
。 ｇ≠ １ ， ． ’ ． ｑ ２ — １ ≠０
．
ｑ ４ ＝ １ ｇ＝ 一 １ 。 ，
・
．
ｇ ＝１ 或ｑ ＝ 一１ 。
方 面是 数 列 的基本 概念 ， 另 一方 面是数 列 的运算 。 下 面对
２ ＋１ —２（ 一 １） 一２（ 一 １ ）一 １ ＝４ ｎ ，
Ｉ ５ ， ：１
‘ ・ ・
［ 出错 原 因与 防范措 施 ］ 在数 列 ｛ ａ ｝ 中， 若ａ ， ａ ： ，… ，
ａ ｍ ≤０ ，ａ ＋ １ ，… ，ａ ｎ ＞０ ，数列｛ ｝ 的前 项和为 ｓ ，数列
常见 的几 种 易错 点进 行归 纳 总结 ，同 时结合 例题 进行 剖析 ，
三 忽视分 类讨 论 或讨论 不 当导 致错 误 例３ ，若 等差数 列 ｛ ｝ 的首项 ａ ＝２ ０ ，公 差 ＝ －３ ， 求 Ｓ ｋ ＝ｌ ａ ｌ Ｉ ＋ｌ ａ ２ ｌ ＋ｌ ａ ３ ｌ ＋…＋１ Ｉ 。 错 解 ：由题 意 可知 ａ ｎ ＝２ ０ －３（ 一１ ）＝２ ３ －３ ｎ ，因此
以便今后我们在碰到类似的问题时不至于再 出错 。
一
忽视 数 列首项 的重 要性 导致 错误
数列求和方法及易错题剖析
若 将这类 数列适 当拆开 ， 重新组 合 ， 会变成 几 个可 就
以求 和的部分．
例 ５ 求和： （） ５ １ ５＋ ５＋５ ５＋… ＋ ５ ； ５ ５ …５
Ｓ ＝
（门 ｝
：
ｎ
－
、
８．
１一 ． ＝ ＿
４
（２ ＋ １４ ＋ ＋（ １＋ ］ ２ ３ ＋ １ … ［ ＋） ． ）１ ｎ
・ ． ．
：
（ 一 ）（一 ） ＋ 】 丢 ＋一 一 ） （ 号
…
＋
正确答 案为 ： 原式 ：１ １— ” ）： ２ （ １ —２ “ ２
一１
侈 在数 列 ｛ 中 ， ＝ ， ４ ＋１ｎ∈ ４ ７ ａ ｝ ａ ２ Ｓ ＝ ａ＋ ， Ｎ ， 数列 ｛ ｝ 求 的前项 和 Ｓ．
显然 ， ｎ 当 ≥６时 ， ＜ ； ａ ０
・ ． ．
（ ± ） ±
２
圭：ｊ ［（： 圭ｊ
卜
数列 ｝。 Ｉ的前 项 和 Ｉ ｝
：
（ １ ａ ＋ ３ ａ ＋ ５ （ ６ ａ ＋… ＋ ａ ＋ ２ ａ ＋ ４ ａ ）一 ａ ＋ ７ ａ）
２
１ ２
）
一
（
・
８ ・ ４
卫 解 ： １ ５＋ ５＋ ５ （ ） ５ ５ ５＋… ＋５ …５ ５
剖析 ： 述解 法忽视 了公 式 ａ ：Ｓ Ｓ 只在 凡 上 一
＞２时成立 ．
／
‘ ．
‘ ２， ２ 口ｌ ａ
，
’
． ．
数 列 ｝ 从第二 项起 成 等 比数 列 ， ｎ｝
Ｓ ＝ａ ＋（ ２ ａ ＋… ＋ａ ） １ ａ＋ ３
《 数学之友》
高中数学数列易错题分析
高考数学精选题型分析数列部分一、选择题：1．设s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知s 6=36, s n =324, s 6-n =144 (n>6),则n=( )A 15B 16C 17D 18正确答案：D 错因：学生不能运用数列的性质计算a 1+a n =614432436-+2．已知s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数，则数列｛s n ｝中是常数的项是（ ）A s 7B s 8C s 11D s 13正确答案: D 错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵活应用。
3．设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝为等比数列，其公比q ≠1, 且b i ＞0(i=1、2、3 …n) 若a 1=b 1,a 11=b 11则 ( )A a 6=b 6B a 6＞b 6C a6＜b 6 D a 6＞b 6或 a6＜b 6正确答案 B 错因：学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。
6．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ） A. 22B. 21C. 19D. 18解：设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d 则依题意有51034151014622234311a d a d a an n n+=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()()12+可得 a a n 136+=代入(3)有n =13从而有a a 11336+=又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴=+==a a a 7113236218故选D说明：虽然依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，但将a a n 1+作为一个整体，问题即可迎刃而解。
在求a 7时，巧用等差中项的性质也值得关注。
知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
7． x a b =是a x b ，，成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：x a b a x b =，、、不一定等比 如a b x ===0 若a x b 、、成等比数列则x ab =± ∴选D说明：此题易错选为A 或B 或C ，原因是等比数列{}a n 中要求每一项及公比q 都不为零。
高考数学易错题5.2 运用 an=Sn-Sn-1忽略 n≥2-2019届高三数学提分精品讲义
A． Sn an
【答案】C
B． Sn an C． Sn an
D．大小不能确定
【解析】由题意得公差 d 0 ,且 am 0 ,所以当 n m
时, Sn an Sn Sm am an am am1 an1 0 ,所以 Sn an ,选 C.
3. 若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn＝n＋n 1,则a15＝(
n1
n
2 3
n
.②
①-② 得
1 3 Tn
1 8
2 3
n
2 3
1
…
2 3
n1
1 8
n
2 3
n
3 8
3 8
n
2 3
n
Tn
9 8
9
3n 8
2 3
n
.
三、迁移运用
1【. 湖南省五市十校教研教改共同体 2017 届高三 12 月联考】已知数列an 的前 n 项和 Sn Aqn B q 0 ,
(2)由(1)得 cn＝3n×＋21n－，1＋n为1，奇n数为，偶数.
所以 T2n＝(2＋4＋…＋2n)＋3×(21＋23＋…＋22n－1)＋n
＝n(n＋1)＋3×2（11－－44n）＋n
＝22n＋1＋n2＋2n－2.
10.在数列{an}中, a1 1, a1 2a2 3a3
nan
n
2
1
an1
n 2
an
,∴
an1 an
3n n 1
,
又
a1
11 2
a2
,
a2
1,
∴
an
an an1
an1 an2
a3 a2
数列教学中易错问题浅析
ｊ
解析 ： 方法一 ： 设｛ ％｝ 的公差 为 ｄ ， 则由Ｓ ｎ ＝ ｍ， Ｓ ｍ ＝ ｈ （ ｍ￣
Ｉ Ｓ ｎ ＝ ｒ ￣ ａ ｌ ＋
ｄ ： ． ①
得 １ 岫 ＋
・ ． ．
ｄ ） ＝ 一 （ ｍ ＋ ｎ ） 。
方法二 ： 设Ｓ ｍ － Ａ ｎ ％Ｂ ｎ （ ｎ ｌ ｉ ７ ．
则
，
③一 （ 得Ａ （ ｍ ２ 一 ｎ ２ ） ＋ Ｂ （ ｍ — ｎ ） ： ｎ — ｍ 。 ‘ ． ‘ ｍ≠ｎ ， ． ・ ． Ａ （ ｍ ＋ ｎ ）
＋Ｂ＝一１．
（ ２ ） ‘ ． ． ｈ ＝ ， ． ‘ ． ｂ ＝ ｎ ・ ３ ， ． ． Ｓ ｏ ＝ ３ ＋ ２ ｘ ３ Ｚ ＋ ３ ｘ ３ ３ ＋ …＋ ｎ ・ ３ ， ③
％
看成 了一个整体 ， 法二 紧紧抓住 等差 数列 求和公式是一种 特殊二次 函数 的思想 ， 进 而在运算 中把看 （ ｍ ＋ ｈ ） ＋ 曰成 了 个整体 ， 大大简化 了数列 的运算 量 ； （ ２ ） 针对数列整体思 想的运 用 ， 笔者建议首先要 培养 学生在公式运算 中的整体
． ．
当ｎ ≥２ 时， ａ ｌ ＋ ３ ｎ ２ ＋ ３ ２ ｏ ， ３ ＋ …＋ ３ ｎ — 一 １ ＝ ！ 一 ， ②
ｊ
Ａ （ ｍ＋ ） ＋ Ｂ （ ， ｎ ＋ ） ＝ 一 （ ｍ＋ 凡 ） ， ． 。 ． Ｓ ． ａ ｎ ＝ ～ （ ｍ ＋ ｈ ） 。
①一 ②得： ３ ￣ － １ ａ ． ＝ １ ． ＝ （ ｎ ＞ １ ２ ） ， 检验 ｎ ＝ ｌ ， 得ａ ｌ ＝
2024年高考数学数列易错知识点总结
2024年高考数学数列易错知识点总结高考数学中的数列作为重要考点之一，经常涉及到的知识点较多且易错。
在2024年高考数学考试中，以下是数列的易错知识点总结：一、数列的基本概念与性质1. 数列的概念：数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
需要区分数列的元素与项，元素是指数列中的具体数字，而项是指元素所在的位置。
2. 等差数列与等差中项：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差中项是指位于等差数列中的任意一项。
3. 等差数列的通项公式：对于等差数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，d表示公差。
4. 等比数列与等比中项：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比中项是指位于等比数列中的任意一项。
5. 等比数列的通项公式：对于等比数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1r^{n-1}$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，r表示公比。
6. 等差数列与等比数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，等比数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$。
7. 数列的性质：数列的奇数项和与偶数项和的关系，数列的倒数项和与首项和的关系。
如等差数列中的奇数项和是首项和的一半，倒数项和是首项和的倒数。
二、数列的综合应用1. 数列的增长率与减少率：通过对序列中的元素进行操作，可以计算出数列的增长率与减少率。
如等差数列中，相邻元素的增长率是公差d；等比数列中，相邻元素的增长率是公比r。
2. 数列的问题转化：将数列问题转化为方程或等价式，从而找到解题的方法。
如通过设置未知数，将一个复杂的数列问题转化为简单的方程求解。
专题2-1 数列重难点、易错点突破
专题2-1 数列重难点、易错点突破（建议用时：120分钟） 1 求数列通项的四大法宝1.公式法题设中有a n 与S n 的关系式时，常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解.例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2，求其通项公式a n . 2.累加法若数列{a n }满足a n －a n －1＝f (n －1)(n ≥2)，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)可求，则可用累加法求通项. 例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)，求其通项公式a n . 3.叠乘法若数列{a n }满足a na n －1＝f (n －1)(n ≥2)，其中f (1)·f (2)·…·f (n －1)可求，则可用叠乘法求通项.例3 已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1(a n ≠0，n ≥2)，求其通项公式a n .4.构造法当题中出现a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0且p ≠1)的形式时，把a n ＋1＝pa n ＋q 变形为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋λ(p －1)，令λ(p －1)＝q ，解得λ＝qp －1，从而构造出等比数列{a n ＋λ}. 例4 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝14a n ＋3(n ∈N *)，求其通项公式a n .2提高运算速度七妙招数列问题的灵活性、技巧性较强，因此，在解数列问题时必须研究技巧与策略，以求做到：选择捷径、合理解题，本文归纳了七种常见策略.第一招活用概念数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往能出奇制胜.例1已知{a n}是公差为2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝100，那么a2＋a5＋a8＋…＋a98等于() A.166 B.66 C.34 D.100第二招巧用性质数列的性质是数列的升华，巧妙运用数列的性质，往往可以使问题简单明了，解题更快捷方便.例2各项均为正数的等比数列{a n}中，若a7a8＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a14等于()A.12B.14C.10D.10＋log32第三招灵用变式在求解数列问题过程中，可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题.例3已知等差数列{a n}中，a3＝3，a10＝388，则该数列的通项a n＝________.第四招整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的.例4设S n表示等差数列{a n}的前n项和，且S9＝18，S n＝240，若a n－4＝30，试求n的值.第五招数形结合数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题.例5在公差d<0的等差数列{a n}中，已知S8＝S18，则此数列的前多少项的和最大？第六招分解重组在处理数列求和问题时，若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n项和进行重新分解，分别求和.例6 在数列{a n }中，已知a 1＝56，a 2＝1936，且{b n }是公差为－1的等差数列，b n ＝log 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n a a 311，{c n }是公比为13的等比数列，c n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .第七招 合理化归化归意识是把待解决的问题转化为已有知识范围内问题的一种数学意识，包括将复杂式子化简、为达某一目的对数学表达式进行变形、从目标入手进行分析等. 例7 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列.3 盘点数列中的易错问题1.对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 2.忽视数列与函数的区别而致错例2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a的取值范围是________.3.公式使用条件考虑不周全而致错例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .4.审题不细心，忽略细节而致错例4首项为9的等差数列，从第7项起开始为负数，求公差d的取值范围.5.忽略概念中的隐含条件而致错例5一个凸n边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n边形的边数.6.忽视等差数列前n项和公式的基本特征而致错例6已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且对一切正整数n都有S nT n＝5n＋32n＋7，试求a9b9的值.7.等差数列的特点考虑不周全而致错例7在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n有最大值，并求出它的最大值.8.忽略题目中的隐含条件而致错例8 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值.9.求和时项数不清而致错例9 已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .10.利用等比数列求和公式忽视q ＝1的情形而致错例10 已知等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，求数列{a n }的通项公式.专题2-1 数列重难点、易错点突破参考答案1 求数列通项的四大法宝例1 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝2×3n －1， 又a 1＝1≠2×31－1，所以数列{an }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 例2 解 由已知，得a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝32，a 4－a 3＝33，…，a n －a n －1＝3n －1， 以上各式左右两边分别相加，得a n －a 1＝3＋32＋33＋…＋3n －1， 所以a n ＝3(1－3n －1)1－3＋1＝3n －12(n ≥2)，又n ＝1时，a 1＝1＝31－12，所以a n ＝3n －12(n ∈N *).例3 解 由a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1，得a n a n －1＝3n －43n －1，所以a 2a 1＝25，a 3a 2＝58，a 4a 3＝811，a 5a 4＝1114，…，a n a n －1＝3n －43n －1(n ≥2)，以上各式左右两边分别相乘，得a n a 1＝23n －1，所以a n ＝63n －1(n ≥2)， 又a 1＝3＝63×1－1，所以a n ＝63n －1(n ∈N *).例4 解 设a n ＋1＋t ＝14(a n ＋t )，则a n ＋1＝14a n －34t ，与已知比较，得－34t ＝3，所以t ＝－4，故a n ＋1－4＝14(a n －4)，又a 1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{a n －4}是首项为－3，公比为14的等比数列，因此a n －4＝－3×141-⎪⎭⎫⎝⎛n ，即a n ＝4－3×141-⎪⎭⎫⎝⎛n (n ∈N *).2 提高运算速度七妙招例1 解析 若先求出a 1，再求和，运算较为繁琐.注意到两个和式中的项数相等，且均是等差数列.由于(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)－(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＋…＋(a 98－a 97)＝33d ＝66，所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝100＋66＝166，故选A. 答案 A点评 活用等差、等比数列的概念，沟通有关元素间的内在联系，使运算得以简化.例2 解析 若设出a 1和q ，利用基本量法求解，显然运算量较大.若利用性质a 1a 14＝a 2a 13＝…＝a 7a 8＝9，则a 1a 2…a 14＝(a 7a 8)7＝97，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝log 397＝14，故选B. 答案 B点评 数列的性质是对数列内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器.例3 解析 利用等差数列的变形公式求得公差，再结合等差数列的变形公式求得通项.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 10－a 310－3＝388－37＝55，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×55＝55n －162.答案 55n －162点评 常规方法是联立方程组，求出首项与公差，再由数列的通项公式求解.而利用变形公式可以回避求解数列的首项，直接求解公差，再结合变形公式求得通项.例4 分析 常规解法是设出基本量a 1，d ，列方程组求解，但较繁琐；若能利用整体思维，则可少走弯路，使计算合理又迅速.解 由S 9＝18，即9(a 1＋a 9)2＝18，则a 1＋a 9＝4＝2a 5，故a 5＝2，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n (2＋30)2＝240，所以n ＝15.点评 本题解法不在a 1，d 上做文章，而是将S n 变形整理用a 5＋a n －4表示，使解题过程大大简化. 例5 分析 用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：①通项a n 联系一次函数，对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程；②前n 项和S n 联系二次函数，利用二次函数的对称性及最值.解 设f (x )＝xa 1＋x (x －1)2d ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2x ， 则(n ，S n )在该二次函数的图象上，由于S 8＝S 18，d <0， 所以y ＝f (x )的对称轴是x ＝8＋182＝13，且开口向下，故当n ＝13时，S n 取得最大值， 故数列{a n }的前13项的和最大.点评 从直观性角度研究数列问题，可使问题变得生动形象，易于求解.例6 分析 由已知条件，事先无法估计a n 解析式的结构，因此不能用待定系数法求a n .但是利用等差数列{b n }和等比数列{c n }可以得出关于a n ＋1和a n 的两个等式，消去a n ＋1，即可得a n .再根据a n 求解对应的前n 项和. 解 因为a 1＝56，a 2＝1936，所以b 1＝log 2⎝⎛⎭⎫1936－13×56＝－2， c 1＝1936－12×56＝132，又{b n }是公差为－1的等差数列， {c n }是公比为13的等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧b n＝－n －1，c n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1，即⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫a n ＋1－13a n ＝－n －1，an ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则⎩⎨⎧an ＋1－13a n ＝12n ＋1，an ＋1－12a n ＝13n ＋1，解得a n ＝32n －23n ，所以S n ＝3·⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －2·⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝2－32n ＋13n . 点评 通项虽不是等比数列，但可拆为两个等比数列的和的形式，再分别利用等比数列的求和公式求和. 例7 分析 要证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列，必须把问题化成与S n n 这个整体有关的问题，通过等比数列的定义加以证明.证明 由于a n ＋1＝n ＋2n S n，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，则(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，即S n ＋1n ＋1＝2S nn， 又S n ≠0，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以1为首项，2为公比的等比数列. 点评 将数列中的复杂问题进行转化，关键是找准方向，再利用已知等差或等比数列的相关知识求解.3 盘点数列中的易错问题例1 [错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2.[点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点.[正解1] 设f (x )＝x 2＋λx ，则其图象的对称轴为x ＝－λ2，因为a n ＝n 2＋λn ，所以点(n ，a n )在f (x )的图象上，由数列{a n }是递增数列可知，若－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的. 故λ的取值范围为(－3，＋∞).[正解2] 因为数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立.又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立.而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围是(－3，＋∞).温馨点评 利用函数观点研究数列性质时，一定要注意数列定义域是{1，2，3，4，…，n ，…}或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错. 例2 [错解] 因为数列{a n }是递增数列，且点(n ，a n )在函数f (x )的图象上，所以分段函数f (x )是递增函数，故实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，7(3－a )－3<a ，解得94<a <3.[点拨] 上述解法把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增，忽视了二者的区别，事实上，数列是递增数列时，所在函数不一定单调递增. [正解] 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上.因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7； 当a >1时，a 8<a 9<a 10<…； 为使数列{a n }递增还需a 7<a 8. 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3).例3 [错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义.在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式. [正解] a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.例4 [错解] a 7＝a 1＋6d ＝9＋6d <0，∴d <－32.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第7项是该等差数列中的第一个负项，应有a 6≥0. [正解] 设a n ＝9＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝9＋5d ≥0，a 7＝9＋6d <0，得－95≤d <－32.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败. 例5 [错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°. 另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得n 2－25n ＋144＝0，所以n ＝9或n ＝16. 即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°应该舍掉. [正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180， 解得n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去. 所以凸n 边形的边数为9.例6[错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ，b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ， 所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点. [正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ， b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ， 所以a 9b 9＝8841.温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，点(n ，S n )在二次函数f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象上.当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况⎝ ⎛⎭⎪⎫否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾. 例7 [错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130. ∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝20，S 10＝S 15，得10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴a 13＝0.∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.例8 [错解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1. ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.当b 2＝2时，a 2－a 1b 2＝－12＝－12， 当b 2＝－2时，a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. ∴a 2－a 1b 2＝±12. [点拨] 注意b 2的符号已经确定，且b 2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误.[正解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2， ∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.例9 [错解] 1＋2＋22＋…＋2n -1＝21121---n ＝2n -1－1. [点拨] 错因在于没有搞清项数，首项为1＝20，末项为2n -1，项数应为n .[正解] (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1， ∴2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n . ∴由∴－∴得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，所以T n ＝(n －1)2n ＋1.例10 [错解] 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12，解得q ＝－12.所以a n ＝a 3q n －3＝4·⎝⎛⎭⎫－12n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. [点拨] 上述解法中忽视了等比数列前n 项和公式中q ＝1这一特殊情况.[正解] 当q ＝1时，a 3＝4，a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，所以q ＝1符合题意，a n ＝4.当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12，解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 故数列通项公式为a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5.。
高考数学数列易错知识点总结
高考数学数列易错知识点总结高考数学中，数列是一个重要的考点，也是学生易错的地方之一。
在解题过程中，经常会遇到一些易错的知识点。
下面总结了一些高考数学数列易错知识点，希望能够帮助到你：1. 数列的递推公式与通项公式的区别：很多学生容易混淆数列的递推公式和通项公式。
递推公式是用前一项的表达式来表示后一项的公式，通项公式是用项数n的表达式来表示第n项的公式。
在解题时，要明确区分递推公式和通项公式的用法和含义。
2. 数列的基本性质：数列的基本性质包括数列的有界性、单调性和有限性。
有界性指的是数列的项都在一定的范围内，可以是上界或下界；单调性指的是数列的项是递增或递减的；有限性指的是数列的项是有限的，不存在无限项。
在解题时，要注意数列的基本性质，根据题目中给出的条件判断数列的性质。
3. 等差数列和等差数列的前n项和公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中Sn为前n项和。
在解题时，要熟练掌握等差数列的相关公式，并进行灵活运用。
4. 等比数列和等比数列的前n项和公式：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 *r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn为前n项和。
在解题时，要熟练掌握等比数列的相关公式，并进行灵活运用。
5. 通项公式的证明与应用：在解题过程中，有时会遇到需要证明通项公式的问题。
要能够灵活运用数学归纳法和代数方法，进行通项公式的证明。
同时，要能够根据通项公式，求解具体的问题，包括求某一项的值、判断第n项的性质等。
6. 数列极限的计算与判断：数列极限是数列中项随着项数增大而趋于的值。
在解题过程中，要能够根据给定的数列，计算出数列的极限值，并进行判断。
数列中常见的几类易错题
３ ２・
中学 数学 月刊
２１ 年第 １ ０１ 期
数 列 中 常见 的几 类 易错题
万 园 （ 苏省盐城 市 明达 中学 ２ ４ ０ ） 江 ２ ０ ０
数列是 高 中数学 的重要 内容之 一 ， 是高 考 也 考查重 点． 考查 的相关 内容 主要 有 ： 数列 的概念 、 数列 的运算 与性质 、 数列 与 函数 、 不等式 知识 的综 合． 在解 数列 问题 时学生 常遇到一 些 问题 ， 自己感 觉解题 过程是“ 无懈 可击”的 ， 即使有 错 误也 发 现 不 出错 误 的原 因． 面就 常 见 的几 类 问题 作 一 错 下
（ ）如 图 １ ， 求 反 比例 函 数 的 解 析 式 ； １ ４① ② 求 的 值 及 Ｄ 点 坐 标 ；
（ ） 图 １ ， 点 Ｅ在线 段 ＡＤ 上运 动 ， ２如 ５若 连结
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数列易错题分析
数列易错题分析作者：***来源：《中学生数理化·高考数学》2019年第01期易错点1：求通项公式时，弄错首项致错例1设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3an+1=Sn（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
错解：由3an+1=Sn，可得3an=Sn-1（n≥2），两式相减可得所以数列{an}是以1为首项，4/3为公比的等比数列，所以an=。
正解：由上述分析可得，又，所以数列{an}从第二项起是以4/3为公比的等比数列，即首项为，所以当n≥2时，an=。
分析：本题易忽视首项与所有项的整体关系，事实，上，数列{an}从第二项起，以后各项组成等比数列，而{an}不是等比数列，因此等比数列的首项不是an。
易错点2：忽略数列与函数的区别致错例2设函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）。
A.B.C.D.错解：因为{an}是递增数列，所以解得a∈正解：因为{an}是递增数列，所以解得2<a<3。
分析：实际上，数列可以看成是特殊的函数，它的定义域是自然数集，图像是一系列孤立的点，所以该题不能直接按照函数的方法处理。
易错点3：忽略等比数列中的隐含条件致错例3 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+λ（λ为常数），试探究{an+λ}是不是等比数列，并求an。
错解：因正解：例4 已知等差数列{an}中，a1=2，a1，a2，a3+2成等比数列，则等差数列{an}的前10项和等于____。
错解：设数列{an}的公差为d，由a1，a2，a3+2成等比数列，可得正解：当d=-2时，a2=0，a1，a2，a3+2不能构成等比数列，故分析：两题的易错点相同，同学们易忽略等比数列中的隐含条件“各项均不为0”，做题时要注意检验。
例5 已知数列{an}满足an=0，an+1=npn+an，求数列{an}的通项公式。
错解：正解：分析：本題p=0时，{an}是各项均为0的常数列，而p≠0时，在利用错位相减乘公比时，公比不能为1，因此要讨论p=0，p=1，p≠0且p≠1三种情况。
易错点剖析等差数列
等差数列易错点剖析数列是历年高考的重点内容，等差数列又是数列的一个重要部份.因此，咱们有必要对其中易显现的错误进行剖析，以使同窗们在做题时提高警戒.一、关于n a 与n S 的关系考虑不周例1 设数列的前n 项和为224()n S n n n *=++∈N ，求那个数列的通项公式． 错解：121()n n n n a S S a n n *-=-∴=+∈N ，．错解剖析：此题错在没有分1n =和2n ≥的情形，以偏概全．误以为任何情形下都有1()n n n a S S n *-=-∈N ．正解：1n =时，117a S ==，2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+.因此，数列的通项公式是7(1)21(2).n n a n n =⎧=⎨+⎩， ，， ≥ 说明：数列的通项n a 与和n S 的关系是11(1)(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩， ，， ≥此公式常常利用，应引发重视，假设1n =时，1n n S S --的值与1S 相同，那么可归并为一个表达式.如22n S n n =+，则21()n a n n *=+∈N ．二、对等差数列中n S 的结构特点熟悉不透例2 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和别离为n S 和n T ，且对一切正整数n ，都有5327n n S n T n +=+，试求99a b 的值. 错解：设(53)(27)(0)n n S n k T n k k =+=+≠，，则998(593)(583)5a S S k k k =-=⨯+-⨯+=，998(297)(287)2b T T k k k =-=⨯+-⨯+=，因此9952a b =． 错解剖析：错解在利用条件5327n n S n T n +=+，设(52)(27)(0)n n S n k T n k k =+=+≠，时，把k 看成是与n 无关的常数.事实上，等差数列的前n 项和公式11(1)2n S na n n d =+-，在公差d ≠0的条件下是关于n 的二次函数，且常数项为零.正解：由211(21)n n S n a ++=+，可得991799171751738817217741a a S b b T ⨯+====⨯+．三、用错等差数列前n 项和的性质例3 已知一个等差数列的前n 项和为a ，前2n 项和为b ，求前3n 项的和. 错解：设数列{}n a 中前n 项和n S a =，前2n 项和为2n S b =，前3n 项的和3n S ，那么232n n n S S S =+．.因此3222n n n S S S b a =-=-.错解剖析：等差数列中依次k 项之和所组成的数列，仍成等差数列.因此232k k k k k S S S S S --，，成等差数列，而不是23k k k S S S ，，成等差数列.正解：设数列{}n a 中前n 项和n S a =，前2n 项和为2n S b =，前3n 项的和3n S ， ∵232n n n n n S S S S S --，，成等差数列.∴ 2322()n n n n S S S S S -=+-．∴ 333n S b a =-．。
易错点07 数列(原卷版) -备战2021年新高考数学一轮复习易错题
易错点07 数列—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【易错警示】易错点1．已知n S 求n a 时, 易忽略1n =致错．【例1】已知数列{}n a 的前项和为n S ＝12n 2＋12n ＋1，求{}n a 的通项公式．易错点2．利用等比数列前n 项和公式时，忽略公比1q =致错．【例2】求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n aa --≠的前n 项和．易错点3．忽略数列与函数的区别致错．【例3】已知函数5,6()(4)4,62x a x f x ax x -⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =（*N n ∈），且数列{}n a 是单调递增数列，则的取值范围是_______．【例4】 已知数列22n a n tn =-+在[2,)+∞是递增数列，则实数的取值范围是_______．易错点4．数列的定义域是全体的正整数．【例5】已知数列133n a n =-，其前项和为n S ，则n S 的最大值是________．易错点5．乱用结论致错．【例6】已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，若230,90m m S S ==，求3m S ．易错点6．乱设常量致错．【例7】数列{}n a 与{}n b 的前项和分别为,n n S T ，且:(513):(45)n n S T n n =++， 则1010:a b =_______易错点7．用归纳代替证明致错．【例8】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ ，若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．【例9】在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和. 易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错．【例10】已知数列{a n }满足11=a ，121n n a a +=+，求n a 的通项公式．【变式练习】1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC ．D ．A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777A ．195尺B ．133尺C ．130尺D ．135尺5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若S 5＝25，a 3＋a 4＝8，则{a n }的公差为________.6.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A.a 6≤b 6 B.a 6≥b 6 C.a 12≤b 12 D.a 12≥b 127.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋(－1)n ，则a 2 018的值为________.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m x －2 017，x ≥2 019，⎝⎛⎭⎫3m 2 018＋1x －2 020，x <2 019，数列{a n }满足：a n ＝f (n )，n ∈N *，且{a n }是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________.9.若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n2n ＝2n (n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和S n 为________.10.正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6＋a 3a 5＝128，则下列结论正确的是________. A.∃n ∈N *，S n >a n ＋1B.∀n ∈N *，a n a n ＋1≥a n ＋2C.∃n ∈N *，a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1D.∀n ∈N *，a n ＋a n ＋3>a n ＋1＋a n ＋211.已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为________.12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和的最大值为________.【真题演练】1．【2020年高考全国II 卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块2．【2020年高考北京】在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项3．【2020年高考浙江】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差0d ≠，且11a d≤．记12b S =，1222–n n n b S S ++=，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是 A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =4．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1){}2n n +就是二阶等差数列．数列*(1){}()2n n n +∈N 的前3项和是_______．5．【2020年高考江苏】设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ▲ ．6．【2020年高考山东】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 7．【2020年高考全国▲卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．8．【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．9．【2020年高考江苏】已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；10．【2020年高考山东】已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 11．【2020年高考天津】已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （▲）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（▲）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（▲）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．12．【2020年高考浙江】已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足1111121,,,nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=∈*N ． （Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*12311,n c c c c n d++++<+∈N ．13．【2020年高考北京】已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.。
2024年高考数学数列易错知识点总结
2024年高考数学数列易错知识点总结在2024年高考中，数学数列是一个常见的考点，也是一道容易出错的题型。
为了帮助考生顺利应对数列相关的考试题目，下面总结了一些常见的易错知识点。
一、等差数列的通项公式：等差数列是指数列中任意两项之间的差相等的数列。
它的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
对于等差数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公差和公比。
公差指的是等差数列中任意两项之间的差，公比指的是等比数列中任意两项之间的比值。
考生在计算等差数列的时候，应该注意区分这两个概念。
2. 弄混首项和通项。
首项指的是数列中的第一项，通项指的是数列中第n项的表达式。
在计算等差数列的时候，考生应该注意首项和通项的区别。
3. 对于计算等差数列的题目，考生有时会直接套用公式，而忽略对问题的分析和推理。
在解题过程中，不应只关注于公式的使用，还应注重思考问题的本质，并结合实际情况进行合理的推理和分析。
二、等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 +a_n)$。
在计算等差数列前n项和的过程中，考生容易犯的错误有：1. 弄混首项和末项。
求前n项和的公式中，首项$a_1$和末项$a_n$都是需要用到的。
考生容易弄混这两个项，在计算过程中应该注意清楚。
2. 计算公式时漏写除以2。
前n项和的公式是$\\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，但考生在计算的时候经常漏写除以2的操作，导致结果错误。
3. 求前n项和时，考生有时对问题的理解不准确。
在一些应用题中，需要根据题目给出的条件和要求来求解前n项和。
考生如果对问题的理解不准确，很容易在计算过程中出错。
三、等比数列的通项公式：等比数列是指数列中任意两项之间的比值相等的数列。
它的通项公式为：$a_n = a_1 \\times q^{(n-1)}$。
对于等比数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公比和公差。
2024年高考数学数列易错知识点总结
2024年高考数学数列易错知识点总结（____字）数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学中的必考内容。
在2024年的高考中，关于数列的考点可能会有一些易错的地方，下面我将对2024年高考数学中数列的易错知识点进行总结。
一、概念和性质1. 数列的概念数列是指按照一定规律排列的一列数，数列中的每一个数称为数列的项。
数列可以用通项公式表示，例如等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，d为公差（等差数列）或公比（等比数列），n为项数。
2. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项和公式推导出后一项的公式，例如等差数列的递推公式为an=an-1+d，等比数列的递推公式为an=an-1*r。
3. 数列性质的判断判断一个数列是等差数列还是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值（等比数列）或差值（等差数列）是否相等来进行判断。
二、常用数列类型1. 等差数列等差数列是指相邻两项之差都相等的数列。
求等差数列的通项公式可以通过计算相邻两项之差来得到，也可以通过已知首项和公差来得到。
在解题过程中，容易混淆首项和公差的顺序，需要注意。
2. 等比数列等比数列是指相邻两项之比都相等的数列。
求等比数列的通项公式可以通过计算相邻两项之比来得到，也可以通过已知首项和公比来得到。
在解题过程中，需要注意公比为零或负数时的特殊情况。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指从第3项开始，每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以通过递推公式an=an-1+an-2得到。
4. 递推数列递推数列是指通过递推公式得到后一项的数列。
在解题过程中，容易出现递推公式写错或计算错误的情况，需要仔细注意。
三、数列的运算1. 数列的加法运算对于等差数列和等比数列，相同位置的项可以进行加法运算。
对于等差数列，可以通过逐项相加得到结果；对于等比数列，可以通过求和公式得到结果。
2. 数列的乘法运算对于等差数列和等比数列，相同位置的项可以进行乘法运算。
数列问题中易错题型剖析
２ ＋ｌ ｎ ）＋ （ 一 ） １ ｎ 一（ 一１ ２ ｎ １ 一
一
＝ｎ 一２ｎ ＿ｎ２ ｎ １ ＋１ ＋２ ＋２ｎ —１ 一２
＝
。
２ｎ 一３
． ． ．
ｄ ：％－ ａ
ａ
：
—
ｑ－ ： ｐ
一
—
当ｎ ｌ ，Ｉ１ ＝ 时 ａ＝ 不满 足上 式 ，
１．
‘ Ｏ
ｐ－ｑ ｐ－ ｑ
ａ
差数列 ，但在解题中常常误认为ｓ ，２，， ｍｓ Ｓ 成等差数列而导致解
＋ｑ 、＿ ② ａ＝ ／ ＿
，
髑．差 ｌ 项为已 ÷ 妾 设 ｆ 和Ｓ知 ， 等 Ｊ ａ ， 求
错解 ： ４ｋ Ｓ＝ ｋ 则Ｓ２ ｋ Ｓ６７ ， － ＝ ， ｓ３ ， ｌ ， １ ｋ ＠Ｓ ＝ ＝
Ｓ ３ ３ ８ ｋ
＝ 】（＋ － ）＝ ＋ － ＋ ｐ ｑ １× 一 ）Ｏ ａ＋ ｐ ｑ １ｄ ｐ ｑ １ （ ＋ 一 ） （ １ ＝ 。 ｐ
ｑ ｑ
二 、 用 等 差 数 列 前ｎ 和 的 性 质 错 项
【 易错点解读】 等差数列ｆ 的前ｍ ａ Ｊ 项和ｓ ， 用与
题 出错 。
，
成等
则
』 ， Ｉ ａ ４ ：
数列 是 刻 画离 散 现 象 的数 学 模 型 ，我 们 在 日常 生 活 中会 遇 到 很 多 问题 需 要 用 数 列 模 型 去 解 决 。数 列 是 高 中数 学 的重 要 内 容 ，数 列 问题 以其 多 变 的形 式 和 灵 活 的求 解 方 法 备 受 高 考命 题 者 的青 睐 。 在 数 列 的 教学 过程 中 ． 发 现有 几类 问题 而 我 是 学 生 的 误 区 ， 易 造 成 错 解 ， 大 大 影 响 了考 试 的 准 确 性 ， 极 而 现将 易错 点 归 纳 如 下 ， 加 以 剖 析 。 并 不 能正 确 理 解 等 差 数 列 的 性 质
高中数学各章易错点精析6-数列
第6章 数列【易错点1：n=1的讨论】例1、数列{}n a 前n 项和n s 且1111,3n n a a s +==。
（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。
【易错点分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。
易得出数列{}n a 为等比数列的错误结论。
解析：易求得2341416,,3927a a a ===。
由1111,3n n a a s +==得()1123n n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423n n a a n +=≥又11a =，213a =故该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n nn a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩。
例2、 已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)． (1)求证：{1S n}是等差数列，并求其公差；(2)求数列{a n }的通项公式．解： (1)当n ≥2时，2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1，两端同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝－12，根据等差数列的定义，知{1S n }是等差数列，且公差为－12.(2)由第(1)问的结果可得1S n ＝13＋(n －1)×(－12)，即S n ＝65－3n .当n ＝1时，a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(3n －5)(3n －8).所以a n＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)，18(3n －5)(3n －8)(n ≥2).【易错点2：n 的分类讨论】例3、已知：函数23()3x f x x+=，数列}{n a 对N n n ∈≥,2总有111(),1n n a f a a -==；（1）求{n a }的通项公式。
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数列中的易错问题分析11,112,22nn S n n n S S n k b -=⎧==≥⎨-≥⎩=+n n n n n+1n n n+1n nn+1n n一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有：（1）已知a 与S 的关系，求通项a ，a 注意分清与两种情况的讨论。
（）形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法，求通项a a 形如=f(n)的递推数列可用累乘法，求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a （一） 概念理解错误 例题1：两个数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且:(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =（ ）易错警示：(513),(45)n n S n k T n k =+=+则115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-=所以1010:a b =4:3，故选C ，从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数n 的变化而变化，不能设为常数k ，这里忽略了项数n 的可变性而致错。
解析：设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+，则1(108)n n n a S S n k -=-=+1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥:n n a b ∴=(108):(81)n n ++所以1010:a b =4:3，故选D 。
例题2：已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，若230,90m m S S ==，求3m S 。
易错警示：由{}n a 为等差数列，得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。
解析：设数列的公差为d ，则123......m m S a a a a =++++212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++11()2m m S a m -=+2131()2m m m S S a m --=+32151()2m m m S S a m --=+所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列， 所以()2322m m m m m S S S S S -=+- 即32(9030)3090m S ⨯-=+-3180m S ∴=（二） 公式应用错误例题3:已知数列{}n a ，111,2n n n a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式。
易错警示：错因一：知识残缺，忽视n=1时的检验。
错因二：未明确规律，累加时误认为是n 个式子相加而导致求和错误。
解析：由12n n n a a +-=得12123234311222.......2n n n a a a a a a a a ---=-=-=-=将这n-1个式子相加，得2311222.......2n n a a --=++++ 21n n a ∴=-，当n=1时，此式子仍旧成立。
所以通项公式为21n n a ∴=-。
例题4：已知数列{}n a 的前项和为n S ，32n n S =-求数列{}n a 的通项公式。
易错警示：在利用公式1n n n a S S -=-解题时一定要注意只有2n ≥时才能成立，当n=1要单独验证，这一点易被忽视，从而得出123n n a -=g 错误结论。
解析：当n=1，111a S ==当2n ≥时1n n n a S S -=-132(32)n n -=---123n -=g ，由于11a =不适合上式，因此数列{}n a 的通项公式为11,(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩g（三） 审题不细例题5：在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和。
易错警示：这里易错点是{}n b 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论，当10n ≤时，0,11n a n <≥时，0n a >。
解析：3012330||||||......||S a a a a =++++1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++110113010()20()22a a a a ++=-+=755 （四） 用特殊代一般 例题5：求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和。
易错警示：由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈，23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+-n aS = 2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+-两式相减得231(1)1222.....2(21)n n n a S a a a a n a --=+++--=12(21)11nn a n a a -----g 21(21)12(1)1n n n a n a S a a--+∴=---g 解析：上述解法只适合的情形，事实上，当1a =时1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-2(121)2n n n +-==所以221(21)12,1(1)1,1n n n a n a a a a S n a ⎧--+-≠⎪--=⎨⎪=⎩g（五） 忽视分类讨论思想致误例题：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q 。
易错警示：由，整理得时，应有。
在等比数列中，是显然的，但是公比q 是可以为1的，因此在解题时应先讨论公比q 能否为1。
解析;若1q =，则有3161913,6,9S a S a S a ===，但是10a ≠即得3692S S S +≠与题设矛盾，故1q ≠又由题意得3692S S S +=即369111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q ---+=---363(21)0q q q ∴--=即33(21)(1)0q q +-=因为1q ≠，所以310q -≠ 所以321q +=0，解得q = 二、数列综合题易错题分析例题1：已知23123()......n n f x a x a x a x a x =+++，对任意*n N ∈都有2(1)f n =，（1） 证明：若n 为正偶数有(1)f n -=（2） 求证：1()32f <易错警示：（1）已知数列n S ，求n a 。
要分n=1和1n ≠；（2）若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求{}n n a b 的前n 项和时用错位相减，但是不要漏掉最后一项。
解析：2(1),f n =Q2123(1)......n f a a a a n ∴=+++=1121n n S S n -∴==-=-11n 当n=1时,a =S 当n>1时,a当n=1时也适合上式所以=n a 21n -23()35......(21)n f x x x x n x ∴=+++-(1)(1)1357911......21n f n n-=-+-+-+-+-=当为正偶数时23411111111()3()5()7()......(23)()(21)()2222222n n f n n -=++++-+- 11()22f = 23451111111()3()5()7()......(23)()(21)()222222n n n n +++++-+- 234111111111(1)()2()()()......()(21)()22222222n n f n +⎡⎤∴-=+++++--⎢⎥⎣⎦即231111111()21()()()......()(21)()1222222n n f n -⎡⎤=+++++---⎢⎥⎣⎦11()122(21)()1122nn n ----=13(32)()2n n -+3< 例题2：已知数列{}n a 是递增数列且2n a n n λ=+，求实数λ的取值范围。
易错警示：因为2n a n n λ=+为n 的二次函数，它的对称轴方程为2n λ=-，所以若使数列为递增数列，则必须使2λ-1≤，即得2λ≥-。
本题的陷阱“在2λ-1≤，它只是数列为递增数列的充分条件，并非为必要条件，所以解此题用此法是错误的。
解析：因为数列{}n a 是递增数列所以1n n a a +<对所有的正整数都成立。
2n n λ+即 < 211n n λ+++（）（）对所有的正整数恒成立,则>-(2n+1)λ 又因为*n N ∈所以>-3λ例题3：已知数列为等差数列，{}2log (1)(*)n a n N -∈且133,9a a ==。
（1） 求数列{}n a 的通项公式。
（2） 证明：21324354111111......1n na a a a a a a a a a ++++++<-----易错题分析：错因一：{}2log (1)n a -是等差数列，只要知到首项与公差可知2log (1)n a -，学生对概念理解不透，往往只想求2log (1)n a -的通项公式，而忽视从三项入手。
错因二：设2log (1)n n b a =-，{}n b 是等差数列，由题意得13,b b ，而不是12,b b ，此处容易发生审题错误，以为求的是12,b b 。
解析：（1）设，则{}n b 是等差数列，所以{}n b 是以1为首项，以1为公差的等差数列n b n ∴= 即2log (1)n a -n = 1221n n n n a a ∴-=∴=+证明：1121(21)2n n n n n a a ++-=+-+=，即1112n n n a a +=-21324354111111......n na a a a a a a a a a +∴+++++----- 231111.....2222n =++++111122111212n n⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<-。